Инструментальная регуляризация решения задачи диагностики электрических цепей методом узловых импедансов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

волочных потенциометров на длительную безотказность в течение 10000 часов. По результатам испытаний отказов не зафиксировано, значение ПКГ испытанных потенциометров не превышает допускаемых значений.

Заключение

Проведен анализ физико-химических процессов потенциометров при испытаниях на надежность.

Предложены физико-математические модели старения проволочных потенциометров. Разработана и опробирована методика оценки показателей надежности потенциометров, основанная на использовании результатов ускоренных испытаний с применением эмпирической зависимости старения комплектующих материалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. И.А. Кострикина, А.С. Ишков, Е.Н. Галкина Применение методов ускоренных испытаний для исследований метрологической надежности информационно-измерительных систем // Надежность и качество сложных систем. 2014, № 3. - С. 67 - 73.

2. Ишков А.С., Тарабрин А.И., Колдов А.С. Автоматизированная система контроля климатических испытаний радиоэлектронных компонентов // Надежность и качество - 2014: труды Международного симпозиума: в 2-х т.- Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - Том 2 . - С. 94-95.

3. Литвинов, А. Н. Исследование состояния плат радиоэлектронных систем при тепловых воздействиях / А. Н. Литвинов, О. Ш. Хади, Н. К. Юрков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2015. - № 2 (34). - С. 182-191.

4. Хауффе К. Реакция в твердых телах и на их поверхности. - М. - Иностранная литература, 1962, 415 с.

5. Перроте А.И. Основы ускоренных испытаний радиоэлементов на надежность. - М. - Советское радио, 1969, 229 с.

6. Лушпа И.Л. Оценка коэффициентов вариации ресурса резисторов // Надежность и качество - 2015: труды Международного симпозиума: в 2-х т.- Пенза: Изд-во ПГУ, 2015. - Том 1. - С. 305-307.

УДК 621.317.6

Куроедов С.К., Светлов С.К.

ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет»

Пенза, Россия

ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ИМПЕДАНСОВ

Рассмотрены возможности использования методов узловых адмитансов и импедансов для диагностики электрических цепей различного назначения. Отмечается, что метод узловых адмитансов характеризуется потенциально более высокой точностью определения собственных и взаимных адмитансов узлов цепи, однако область его применения ограничена, в основном, диагностикой пассивных цепей нефункционирующего оборудования. Для исследования метода узловых импедансов построена математическая модель косвенных измерений узловых импедансов с временным или ортогональным разделением измерительных сигналов, а также с временной избыточностью или избыточностью ортогональных составляющих воздействия на цепь в виде контурных токов. На основе данной модели определены условия оптимальности плана измерительного эксперимента по критерию точности результатов косвенных измерений. Проведен анализ влияния точности косвенных измерений и обусловленности матрицы узловых импедансов на точность совокупных измерений узловых адмитансов. Для регуляризации решения задачи совокупных измерений предложен способ поиска узловых пар, подключение к которым опорных двухполюсников обеспечивает минимизацию числа обусловленности преобразованной матрицы узловых импедансов при заданной системе ограничений на число и значения адмитансов двухполюсников. На примере ЬС-фильтра показана эффективность предлагаемого способа регуляризации решения задачи диагностики электрических цепей методом узловых импедансов.

Ключевые слова:

электрическая цепь, диагностика, обусловленности матрицы.

матрица узловых адмитансов, матрица узловых импедансов,

Узловые адмитансы (комплексные проводимости) являются характеристиками сообщения или разобщения узлов электрической цепи и могут быть использованы для ее диагностики и поэлементного контроля. Наиболее просто узловые адмитансы определяются косвенно - по токам внешних источников напряжения, подключаемых к полюсам диагностируемой цепи. Метод диагностики на основе результатов косвенных измерений в координатной системе узловых пар назван в [1] методом узловых адмитансов.

Реализация метода узловых адмитансов связана с необходимостью создания на полюсах диагностируемой цепи режимов заданных напряжений или короткого замыкания. Это ограничивает область использования данного метода, так как режим короткого замыкания или заданного напряжения между полюсами активного элемента может вызвать его необратимый отказ. Кроме того, использование таких режимов приводит к изменению функций как пассивных, так и активных цепей и не позволяет диагностировать цепи функционирующего оборудования.

Отмеченных недостатков лишен метод узловых импедансов (комплексных сопротивлений), основанный на совокупных измерениях узловых адмитан-сов, которые определяются по узловым импедансам диагностируемой цепи [2]:

y = z"

1

(1)

где V и Z - матрицы узловых адмитансов и импедансов размера пхп , п - число координат -узловых пар, в канонической системе координат п - число внешних узлов (полюсов) цепи без учета базисного полюса.

Для косвенного определения узловых импедансов в соответствующей координатной системе контуров

организуются режимы заданных токов // (/ € 1,п) от внешних источников или холостого хода и измеряются напряжения и/ (/ = 1,п) между полюсами диагностируемой цепи [1,3]. При использовании гармонических или полигармонических контурных токов матрица Z узловых импедансов определяется как решение матричного уравнения

и = Z• I , (2)

где и = ^и и i = - матрицы комплексных ам-

плитуд

U

и

Ii (Ц 6 1,ш) напряжений щ и токов

// размером п х т , и = [иц...^] и 1 = [/^.../'п] - векторы-столбцы напряжений и/ и токов // , ^ и F/ - функционалы, определяющие соответствия между временными зависимостями напряжений и/ (/) и токов

ii (t) и их комплексными амплитудами Uи

hu ,

'V и

Т - символ транспонирования матрицы.

Обобщенное решение уравнения (2) при условии того, что I является матрицей полного ранга, имеет вид

Z = и•1+ , (3)

где 1+ = i ^н - обобщенная обратная матрица

для матрицы i (обратная при т = п и псевдооб-

х*

ратная при т >п ), I - сопряженная, по отношению к I , матрица.

и

Вид матриц i и и определяется планом диагностического эксперимента и способом обработки результатов промежуточных измерений [4-6]. При временном разделении однократных измерений эле-

ментов

U.

n

матрицы

и

матрицу

i

можно предста-

вить в виде диагональной матрицы i = diag(i ц..1пп) . Элементы каждого столбца данной матрицы определяют комплексные амплитуды Iу = ц (

n

символ Кронекера) токов

in (t),

ilJ (V) , воздействующих на цепь на непересекающихся интервалах времени (V J, tJ+\) • Одновременно с формированием одного из

контурных токов Iу на интервале , tJопреде-

ляются элементы

U

i

соответствующего столбца

матрицы и по результатам измерений напряжений

Полученные значения

комплексных амплитуд атрицы z - импедансы

Inn токов i n (t) .

lb

1 b II

— J i (t)ij (t)dt = SV]Io|

(!ъ - 1а )

При выполнении условия (5) элементы матрицы и могут быть определены с помощью разложения временных зависимостей напряжений и (V) на ортогональные составляющие. Выбор базиса для такого разложения определяется видом используемых воздействий 11(V),I 61,п . Если токи II(V) представляют собой гармонические колебания с близкими частотами соI , то естественно использовать данные колебания в качестве базиса, ортогонального на интервале (,а,^ ) , для разложения зависимостей и1 (V) . При этом элементы Иу у -го столбца и будут соответствовать комплексным амплитудам гармонических составляющих напряжений и1 (0,161, п с частотой с у .

Для снижения влияния случайной погрешности и получения более точных результатов измерений

планом эксперимента может быть предусмотрена его избыточность. Временная избыточность заключается в многократных измерениях элементов матрицы Z и усреднении полученных результатов. При этом происходит кратное увеличение числа т = п1 столбцов матриц i и и, которые можно представить в виде блочных матриц i = [1]12 ...i/] и и = [и1и2..и/] , где / - кратность измерений. Блоки iI, 12,..., i/ матрицы i при совпадении планов однократных измерений одинаковы, при использовании же различных планов для каждого однократного измерения данные блоки различаются. В любом случае, если блоки II матрицы i являются масштабными копиями унитарных матриц, то каждый

блок псевдообратной матрицы I+ также можно представить как результат масштабирования унитарной матрицы:

г *

7 = и I -1

В описанном варианте плана измерительного эксперимента с временным разделением однократных измерений матрица i является квадратной. При равенстве всех ненулевых элементов i , не обязательно диагональных при произвольном выборе последовательности определяемых столбцов матрицы и , i представляет собой масштабную копию унитарной матрицы, которая удовлетворяет условию

I• Г = |1 о|2Е , (4)

где е - единичная матрица, Iо - ненулевые элементы матрицы i .

Число обусловленности масштабной копии унитарной матрицы равно его минимально возможному значению - единице, поэтому погрешность косвенных измерений узловых импедансов не превышает погрешности измерений комплексных амплитуд Иу напряжений иу , определяемой с учетом погрешности воспроизведения комплексных амплитуд IУУ (V) • Отсюда следует, что план измерений элементов матрицы z, описываемый матрицей i в виде масштабной копии унитарной матрицы, является оптимальным по критерию минимума погрешности косвенных измерений.

Аналогичный вид матрицы i обеспечивается также при одновременном формировании контурных токов, попарно-ортогональных на интервале времени (Vа, Vъ ) :

и

I

+

( l

i=1

\

-1

Подобным же образом может быть описана избыточность ортогональных составляющих воздействий на цепь в виде токов II(V) , реализация которой

предполагает формирование суммы ортогональных воздействий, например многочастотного воздействия, на каждый контур цепи, и разложение реакции в виде напряжений и1 (V) на ортогональные составляющие. В отличие временной избыточности, реализация избыточности ортогональных составляющих не связана с необходимостью кратного увеличения общего времени измерений.

Следующим этапом алгоритма диагностики электрической цепи методом узловых импедансов является определение матрицы V=Z 1. зультатов совокупных измерений, данном случае обращением Z , зависит от точности косвенных измерений узловых импедансов и степени обусловленности решаемой задачи, которая оценивается числом обусловленности соп<!Z матрицы Z [7]:

Точность ре-получаемых в

||ay||

iiyii

cond z-

l|az||

И"

1 - cond z-

llaz||

1zt

где • - норма матрицы, а/ и ау - матрицы погрешностей косвенных измерений элементов матрицы Z и совокупных измерений элементов v . Из (7) следует, что при

соизмеримых

с

величиной

значениях condZ, ||az||-1 -IIzI , обратной

оценке относительной погрешности измерений элементов Z , решение задачи совокупных измерений становится неустойчивым из-за эффекта увеличения влияния погрешности косвенных измерений на погрешность совокупных измерений. Получить достоверный конечный результат измерений в таких условиях становится невозможным, так как относительно малые погрешности косвенных измерений вызывают увеличение погрешности совокупных измерений до уровней, сопоставимых со значениями измеряемых величин.

Следует отметить, что многие практические задачи диагностики электрических цепей методом узловых импедансов являются плохо обусловленными. В известных методах регуляризации решения плохо обусловленных задач используется априорная информация об ожидаемом характере решения [8], однако применение регуляризации решения задач диагностики, которые относятся к задачам с априорной неопределенности, без предварительных исследований диагностируемого объекта невозможно.

u

n

1

n

*

Ii Ii

*

I

l

\

/

2

В качестве предварительной информации о матрице y может быть использовано ее число обусловленности cond Y и характер влияния на данное число параметров внешних цепей, подключаемых к полюсам диагностируемой цепи. По определению числа обусловленности обратных матриц совпадают, поэтому для определения и минимизации condZ могут быть использованы результаты измерений

элементов не матрицы y , а матрицы z = y 1 .

В [1] предложено для минимизации Cond y преобразовывать y в матрицу y' с доминирующей главной диагональю, все элементы у' главной диагонали которой удовлетворяют условию

№>¿1 Ц ■ <8)

и ^

Данное преобразование может быть реализовано суммированием y с диагональной матрицей

diag(Yi,...,Уи) :

y' = y + diag(y1v..,Уп) . (9)

Для выполнения условия (8) элементы диагональной матрицы должны удовлетворять неравенству

У + Yi >Z |У

И

(10)

и **

Преобразование (9) на физическом уровне соответствует подключению к узловым парам диагностируемой цепи опорных двухполюсников с известными адмитансами, например, прецизионных резисторов. Если данное преобразование плохо обусловленной матрицы V приводит к уменьшению ее числа обусловленности и, следовательно, числа обусловленности матрицы Z до уровня, при котором возможно получение устойчивого решения задачи совокупных измерений с приемлемой точностью, то элементы V могут быть определены по результатам косвенных измерений элементов преобразованной матрицы Z'= (V) 1 :

y = (z')"1 -diagyir..jn) •

(11)

одной из узловых пар цепи. Этому варианту соответствует диагональная матрица приращений узловых адмитансов АYk = diag(0,...,0,Уk ,0,...,0) все элементы которой равны нулю, за исключением элемента к -ой строки и к -го столбца.

Матрица АУ^ может быть описана произведением

Т

AY.

к

~-Ук ek ек

(12)

где е^ - вектор-столбец, все элементы которого,

за исключением к -го, равны нулю, а к -й равен единице. Данная матрица имеет ранг, равный единице, поэтому, если матрица v невырожденная, то

справедливо равенство

Ч) = 1 -1 +

[3]

(y + ayk )-1 = y-1 -(l + Укек y-1ek )-1y-1ayky-1 (y + ayk )-1 = z' = z + azк ,

(13)

Учитывая, что az к - матрица приращений элементов ма

трицы Z,

которые соответствуют приращениям элементов матрицы v , равенство (12) может быть записано так:

Z + AZ к = Z

1

-ZДYk Z ,

(14)

1 + Ук^кк

где Хкк - диагональный элемент матрицы Z. Матрица АZк приращений узловых импедансов, вызванных подключением опорного двухполюсника с адми-тансом Ук к к -ой паре узлов, выражается следующим образом:

AZ к =-

У

к

-Ze кекZ .

(15)

Реализация описанного способа регуляризации предполагает дополнительные аппаратурные затраты в виде рабочих мер адмитансов - опорных двухполюсников и коммутационного оборудования. Дополнительное коммутационное оборудование включает подвижные или неподвижные зонды, подключающие опорные двухполюсники к полюсам диагностируемой цепи, и переключатели мер адми-танса, выбираемых из условия минимума Condz' .

Для исследования возможности оптимизации числа одновременно подключаемых опорных двухполюсников и их адмитансов по критериям минимума Condy' , аппаратурных и временных затрат необходима информация о соотношениях диагональных и недиагональных элементов y , однако данная информация не может быть получена по результатам косвенных измерений элементов z при ее плохой обусловленности. Анализ всех вариантов преобразования y по результатам косвенных измерений элементов соответствующих матриц z' не может быть использован при решении практических задач из-за больших аппаратурных и временных затрат даже при относительно небольшом числе полюсов диагностируемой цепи и мер адмитанса.

Для поиска наилучшего варианта преобразования матрицы y без большого числа пробных косвенных измерений элементов матриц z' может быть использована математическая модель, описывающая преобразование характеристик цепи при подключении к ее полюсам опорных двухполюсников. Наиболее просто данное преобразование описывается при подключении одного двухполюсника с адмитансом Ук к

1 + Ук^кк

Использование выражений (14) и (15) для оценки числа обусловленности преобразованных матриц Z' и У' рассмотрим на примере ЬС-фильтра, построенного по схеме двойного Т-образного моста. Граф данной цепи показан на рис. 1, где каждой ветви поставлено в соответствие значение адмитанса катушки индуктивности или конденсатора, нормированное по проводимости и частоте. Предполагается, что нормирующее значение частоты равно частоте, на которой осуществляются косвенные измерения узловых импедан-сов, а нормирующее значение проводимости выбрано исходя из диапазона возможных значений адмитан-сов ветвей цепи, нормированных по частоте.

Рисунок 1 - Граф диагностируемой ЬС-цепи

Матрица v узловых адмитансов ЬС-цепи, показанная на рис. 2, получена с учетом активных потерь в катушках индуктивности, конденсаторах и изоляции проводников. Для определения матрицы Z использовалась математическая модель косвенных измерений узловых импедансов с коррекцией систематической погрешности. Среднеквадратическое относительное значение случайной погрешности измерения элементов Z принималось равным 0,6 %. Соответствующая матрица показана на рис. 3.

где

Рисунок 2 - Матрица y узловых адмитансов LC-цепи

Определяемое по спектральной норме число обу-

задаться только одним значением . Используя выражение (14) для определения вариантов преобразованных матриц Z'k = z + azk при k е1,6 , можно выбрать наилучший вариант по критерию

condZ^ = min . При Yk = 0,5 минимальный компонент ke1,6

вектора (188,926 183,398 179,064 188,928 229,407 298, 044) чисел обусловленности cond Zk соответствует третьему полюсу цепи.

cond Z = 2,5 10

4

Поэтому элементы

словленности

матрицы Z 1 , которые показаны на рис. 4, не позволяют оценить в совокупности узловые адмитансы цепи, так как относительное отклонение результатов совокупных измерений элементов V от истинных значений изменяется по модулю от 45,2 %

до 335,7•Ю6 %.

Для того чтобы упростить описание результатов поиска узловых пар, подключение к которым опорных двухполюсников дает наибольший эффект, можно

Рисунок 3 - Матрица z узловых импедансов LC-цепи, полученная с помощью модели косвенных

измерений

Рисунок 4 - Результат обращения матрицы z узловых импедансов LC-цепи

После определения оптимального варианта подключения первого опорного двухполюсника матрица Z заменяется матрицей Zk = Z + А/к , где к = 3 . Если в качестве опорного двухполюсника используется многозначная или регулируемая мера адми-танса, то поиск оптимального к дополняется оптимизацией ¥к по критерию

cond Z'u = min г

(16

&G1,6 Y g{7 }k

где {y}^ - множество значений адмитансов опорных двухполюсников, каждый из которых может быть подключен к полюсу k .

Поиск оптимального варианта подключения второго и последующих опорных двухполюсников осуществляется аналогично по аналогичным критериям, при этом после выбора узловой пары и значения адмитанса опорного двухполюсника соответствующим образом преобразуется матрица узловых импедансов. На рис. 5 показаны совмещенные графики зависимостей числа обусловленности матрицы z и оптимальных значений k на каждом шаге преобразования от числа N подключаемых опорных двухполюсников.

Из полученных зависимостей следует, что наибольший эффект достигается при подключении первых трех опорных двухполюсников к полюсам 3, 5 и 2, что вызывает уменьшение числа обусловленности СОП(( Z' приблизительно в пятьсот раз. Полученная на третьем шаге матрица Z ' характеризуется обусловленностью, достаточной для достоверной оценки элементов матриц У ' и V при заданной точности косвенных измерений.

y ' = (z')-1, y = y ' - Ay3 - Ay5 - Ay-

12

(17)

Результаты приближения к матрице у , полученные по формулам (17), показаны на рис. 6. Анализируя данное приближение, можно сделать вывод о том, что относительное отклонение результатов совокупных измерений элементов у от истинных значений при использовании рассмотренного алгоритма регуляризации не превышает по модулю 10,3%.

Исключение составляют взаимные адмитансы узлов, которые не являются смежными и непосредственно не связаны элементами, входящими в состав цепи.

Рисунок 5 - Графики зависимостей числа обусловленности СОП( Z и оптимальных значений к на каждом шаге преобразования матрицы Zот числа N подключаемых опорных двухполюсников

Истинные значения данных адмитансов определяются сопротивлением и емкостью изоляции между проводниками цепи, поэтому они отличаются от узловых адмитансов, определяемых адмитансами элементов цепи, на несколько порядков. Для получения более точных результатов при таких соотношениях собственных и взаимных узловых адмитансов

необходимо получить результаты косвенных измерений параметров цепи в другой системе координат, выбор которой может быть осуществлен по данным, предварительно полученным с помощью измерений в координатной системе контуров или узловых пар.

Рисунок 6 - Матрица узловых адмитансов LC-цепи, полученная с помощью регуляризации решения задачи

совокупных измерений

После получения достаточно хорошего приближения к матрице у становится возможной оценка соотношений между диагональными и недиагональными элементами у с целью анализа возможности дальнейшего улучшения обусловленности данной

матрицы и повышения точности совокупных измерений узловых адмитансов. Один из вариантов такого анализа заключается в использовании оценки числа обусловленности матрицы y по норме с помощью кругов Гершгорина

спектральной 1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Куроедов, С.К. Алгоритмы диагностики электрических цепей методами узловых адмитансов и импедансов./ С.К. Куроедов, А.В. Светлов // Надежность и качество - 2014: Труды Международного симпозиума: в 2-х т. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - Том 2. - С. 52 - 57.

2. Демирчан К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2. СПб.: Питер, 2003. - 576 с.

3. Куроедов, С.К. Использование технологии виртуальных приборов для решения задач диагностики электрических цепей методом узловых импедансов./ С.К. Куроедов, А.В. Светлов // Инженерные и научные приложения на базе технологий National Instruments - 2014: Сборник трудов XIII Международной науч.-практ. конф. NIDays-2014: Москва, 19-20 ноября 2014 г. - М.: ДМК Пресс, 2014. - С. 12-14.

4. Куроедов, С.К. Использование технологии виртуальных приборов для определения частотных характеристик элементов и систем управления. / С.Ю. Байдаров, С.К. Куроедов, М.М. Бутаев, А.В. Светлов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 1 (21). -С. 105-115.

5. Куроедов, С.К. Алгоритмы виртуального анализа характеристик оптоэлектронных устройств / С.К. Куроедов, А.В. Светлов // Инженерные и научные приложения на базе технологий National Instruments - 2012: Сборник трудов XI Международной науч.-практ. конф. - М.: ДМК Пресс, 2012. - С. 423-425.

6. Куроедов, С.К. Реляционная модель и алгоритмы аппаратурного анализа характеристик электрических цепей. / С.К. Куроедов, А.В. Светлов // Надежность и качество: Труды Международного симпозиума. В 2 т. Т. 1. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - С. 36-38.

7. Воеводин В.В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. - Наука, 1984. - 320 с.

8. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - Наука, 1986. - 288 с.

УДК 53.084.873

Белов А.В., Чайковский В.М,

ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия

БАЛАНСНЫЙ СМЕСИТЕЛЬ ДЛЯ ДОППЛЕРОВСКОГО МЕТЕОРАДИОЛОКАТОРА

Описан подход реализации выделения допплеровского приращения частоты, посредством разностного вычисления из радиолокационного сигнала (поступающего на вход принимающей антенны) колебания несущей частоты с помощью двух диодного кольцевого балансного смесителя.

Ключевые слова :

метеорологическое образование, эффект Допплера, разностная частота, допплеровское приращение частоты, балансный смеситель.