CC BY
18
УДК 519.6:681.5
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ МАССИВА ФУНКЦИЙ ПЕРЕДАЧИ МНОГОПОЛЮСНЫХ СИСТЕМ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ
Г.А. Пюкке
Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003
e-mail:geopyukke@yandex.ru
Предложенный в работе метод, основанный на матричных преобразованиях, позволяет сформировать множество функций передачи многополюсной системы, которое впоследствии используется как совокупность основных регулировочных и диагностических признаков при построении диагностических и регулировочных моделей технических систем. На основе построенных моделей разрабатываются новые методы диагностирования технического состояния судовых средств автоматики. Разработка новых методов диагностирования позволяет проектировать технические средства диагностирования с новыми возможностями, что расширяет круг инженерных задач по поддержанию работоспособного состояния технических систем и предотвращения аварийных ситуаций при эксплуатации в условиях автономного плавания.
Ключевые слова: регулировочный признак, многополюсное представление, топологический граф, укороченная матрица узловых параметров.
Analytical methods of functions array transfer forming of multipolar system while solving a problem of technical diagnosis. G.A. Pjukke (Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, 683003)
The offered method is based on matrix transformations, it allows to form a range transfer functions of multipolar system which is later used as a set of basic adjusting and diagnostic attributes at construction of diagnostic and adjusting models of technical systems. On the basis of constructed models new methods of operating conditions diagnosing of ship automation condition are elaborated. Development of new diagnosing methods allows to project technical diagnosing means with new opportunities, it expands a range of engineering tasks for operating conditions maintenance of technical systems and emergencies prevention at operation in conditions of independent navigation.
Key words: an adjusting attribute, multipolar representation, topological the columns, the short matrix of central parameters.
Модель регулирования многомерной системы может быть построена на основе использования массива регулировочных признаков, предварительно полученных при анализе системы регулирования, представленной в виде многополюсной системы. Учитывая особенности объекта регулирования (ОР), его топологию и спецификацию, а также характер решаемых задач можно выделить совокупность величин, функционально связанных с топологическими характеристиками объекта изучения, такими как параметры составляющих компонент, топология объекта регулирования, характер связей между компонентами. Назовем эти величины регулировочными признаками (РП) объекта регулирования.
Для формирования массива
(п + \) - полюсник регулировочных признаков используем
многополюсное представление многомерной I I I I системы (рис. 1), которое всегда можно
1 выполнить, если дана структура изучаемой
Рис. 1. Многополюсное представление системы системы и п°стр°ен топ°л°гический граф,
имеющий п вершин и к дуг.
Внутренняя топология объекта регулирования будет представлена совокупностью
структурных компонент (СК), характер и размер которых определяется глубиной регулирования и
спецификой решаемой задачи. При таком делении ОР регулирование ведется с глубиной до СК,
а весь ОР представляется в виде многополюсной системы. При этом все вершины графа будут
представлены полюсами многополюсной системы.
Выбирается функция цели, экстремума которой необходимо добиться при решении задачи регулирования (например, величины запаса работоспособности системы и др.). Формализация поставленной задачи достигается посредством использования аппарата матричных преобразований. Формирование массива регулировочных признаков выполняется на основе использования полной матрицы узловых параметров, построенной на основе топологического графа исследуемой системы. Будем рассматривать только линейные системы. Исследуемая система будет считаться линейной, если полюсные функции внешнего воздействия , полюсные функции реакции системы и внутренние параметры составляющих компонент системы уц связаны системой линейных уравнений.
Для вычисления каждого регулировочного признака из всей возможной совокупности регулировочных признаков в топологическом графе необходимо выделить информационный канал, имеющий два полюса на входе (входные полюсы поступления информации) и два полюса на выходе (выходные полюсы съема информации). Соответственно над матрицей [Г] необходимо совершить эквивалентные преобразования, приводящие к понижению ее порядка.
После выполнения таких преобразований многополюсник с любым количеством полюсов преобразуется в четырехполюсник. Эту процедуру назовем процедурой «поглощения» полюсов многополюсной системы. Над матрицей [Г] произведем преобразования, приводящие к
получению конечной матрицы четырехполюсной системы.
Для перехода от (п + 1)-полюсной системы к четырехполюснику используем наличие в (п +1)-полюсной системе полюсов, свободных от поступления и снятия информации.
Предположим сначала, что какой-то к-й полюс имеет полюсную функцию /к , равную нулю и превращается во внутренний узел (внутреннюю вершину графа).
Тогда из к-го уравнения системы можно выразить полюсную функцию Нк через полюсные функции остальных полюсов, при условии /к = 0.
/і = УгА + у 12 К + •••+уКя+і) Ап+і
/2 = У 2іАі + У22 А2 + ••• + У 2(п+1) Ап+1
/п = У(п+1)Л + У (п+1)2 А2 + ••• + У Запишем полную матрицу узловых параметров системы:
У ]
Уіі У12
у21 У 22
у1(п+1) У2(п+1)
У(п+1)1 У( п+1)2 • У(п+1Х п+1)
і Ук1А1 Ук 2А2 • Ук (к-1) Ак-1 Ук (к+1) Ак+1 ••• Ук (п+1) Ап+1
Ак ~
к Укк
Деля почленно наукк и подставляя в исходную систему, получим:
укк укк
ук(к-1) Ук(к+1)
Ак-1 — Ак+1
Укк Укк
ук(п+1)
Ап+1 ■
Укк
При подстановке в первое уравнение системы (1) получим:
/1 = Уі1А1 + У12 А2 + • + УікАк + • + Уі(п+1) Ап+1
Укк Укк Укк
Раскрываем скобки и группируем члены при одинаковых полюсных параметрах к\
/1 =
Уп
УхкУг.
\
у1( к+1)
Укк У1кУк (к+1) Укк
К + • • • +
Л
У1(к-1)
У 1кУ к (к-1)
Укк
Ик-1 +
Ик+1 + ... +
У1(и+1)
У 1кУ к (и+1)
Укк
\
и_,.
Получили первое уравнение новой системы. Проделав те же преобразования со всеми остальными уравнениями системы (1), получим:
(
/2 = (
У 21
У2кУк1
Л
(
+
У 2(к+1)
Укк У2к Ук(к+1)
к+• • •+
Л
У2( к-1)
у2кук (к-1)
Л
Укк
Ик-1 +
Укк
Ик+1 + • +
У 2(и+1)
у2кук (и+1)
Укк
\
/и+1
(
У(и+1)1
+
У(и+1)( к+1)
у(и+1)кук1 укк у(и+1)кук (к+1) укк
\
У(и+1)( к-1)
у(и+1)кук (к -1) укк
\
Ик-1 +
А
Ик+1 + ••• +
У(и+1)( и+1)
у(и+1)кук (и+1) укк
\
Получили новую систему, в которой будет отсутствовать к-е уравнение и к-й столбец, а коэффициенты при полюсных функциях к будут пересчитаны по формулам, стоящим в скобках перед ними. Соответственно в матрице узловых параметров необходимо вычеркнуть к-ю строку и к-й столбец, что будет соответствовать превращению к-го полюса во внутренний узел (операция поглощения полюса).
Выражения для пересчета коэффициентов в новой системе имеют общий вид:
У11 = У11
у1кукк.
Укк ’
,, у1кук(к-1) . у1кук(к+1) .
. У1(к-1) = У1(к-1) ; У1(к+1) = У1(к+1)
Укк
. У1(п+1) У1(п+1)
Укк
У1кУк (
и+1)
Укк
У21 = У21
У2кУк1 . Укк ’
У 2(к-1) У 2 (к-1)
у2кук(к-1) . Укк ’
У 2(к +1) У 2( к +1)
у2кук(к+1) . Укк ’
. У2(и+1) У2(
и+1)
У2кУк ( и+1) Укк
У(и+1)1 У(и+1)1
У(и+1)кУк1
Укк
У (и+1)(к-1) У(и+1)(к-1)
У(и+1)кУк(к-1) .
Укк
У( и+1)(к+1) У (и+1)(к+1)
У(и+1)кук(к+1) .
У( и+1)(и+1) У(и+1)(и+1)
У(и+1)кУк (и+1)
Укк Укк
Процедура приведения (п + 1)-полюсника к четырехполюснику предполагает последовательное исключение всех полюсов, кроме полюсов выделенного канала прохождения информации. Выполнение этой процедуры позволяет найти первый регулировочный признак на основе получения первой конечной матрицы первого четырехполюсника (рис. 2).
+
И
И
Алгоритм коэффициентов матрицы
четырехполюсника выделение информационного полюсами а, Ь на
пересчета первой первого включает первого канала с входе и
Рис. 2. Выделение каналов информации многополюсника: аЬ - вход канала; cd - выход канала
полюсами с, d на выходе, соответствующими полюсным функциям га, гЬ, 1а 1с1 в системе
(1). Эти полюсы оставляют внешними. Все остальные полюсы преобразуют во внутренние узлы (их полюсные функции считаются равными нулю).
Если обозначить через к количество полюсов, преобразуемых во внутренние узлы, а через S -количество полюсов, оставляемых внешними, то к = п + 1 - S, где п + 1 - размер матрицы системы (1).
Выражения для пересчета коэффициентов промежуточных матриц (2) при «поглощении»
очередного внешнего полюса получаются при приравнивании коэффициентов при одинаковых полюсных функциях кк:
У а = Уг,
УгкУк/
Укк
(2)
где г, ] - текущие индексы, к - номер полюса, преобразуемого во внутренний.
После преобразования всех к полюсов во внутренние переходим от матрицы (п + 1)-го порядка к матрице £-го порядка (т. е. четвертого).
Аналогичные преобразования необходимо выполнить после выделения в многополюсной системе второго и последующих каналов передачи информации. Общее количество каналов передачи информации определяется комбинаторно и составляет величину М:
М = (Сп+12 - 1) Сп+12 ,
где п + 1 - порядок матрицы т; Сп + I2 - количество сочетаний из п + 1 элементов по два.
Полученные в результате приведенных преобразований матрицы четвертого порядка в количестве М служат исходными данными для формирования массива
регулировочных признаков системы.
Если задан исходный топологический граф
системы, включающий
параметры СК (рис. 3), то полная матрица узловых параметров системы будет иметь вид:
Г 15 -1 -2 -3 -4 - 5 1
-1 31 -6 -7 -8 - 9
- 2 - 6 41 -10 -11 -12
- 3 - 7 -10 47 -13 -14
- 4 - 8 -11 -13 21 -15
V-5 - 9 -12 -14 -15 5 5
А =
Приступая к процедуре исключения полюсов, оставляем внешними полюсы 1, 2, 5, 6. Полюсы
3, 4 преобразуем во внутренние узлы, используя формулу для пересчета коэффициентов системы
(2). Процедура выполняется последовательно с каждым полюсом.
В качестве языка для написания программ используем язык программирования системы MathCad 13.
1. Сначала преобразуем третий полюс.
Получим новую матрицу пятого порядка:
А =
2. Полученную после исключения третьего полюса матрицу считаем исходной. Далее преобразуем четвертый полюс во внутренний. Получим новую матрицу четвертого порядка:
( 13,994 - 3,131 - 6,477 - 9,040 Л
- 3,131 28,868 -10,478 -13,040
- 3,486 -10,478 43,522 -18,040
- 9,040 -13,040 -18,040 50,959
(14,902 -1,293 - 3,488 - 4,537 - 5,585"
-1,293 30,707 - 7,487 - 8,537 - 9,585
- 3,488 - 7,487 46,512 -13,536 -14,585
- 4,537 - 8,537 -13,536 20,463 -15,585
ч-5,585 - 7,244 -14,585 -15,585 54,414 ,
А =
Матрица А2 является матрицей четырехполюсника.
Если превращать во внутренние узлы сразу к полюсов, то оставшиеся элементы новой матрицы ^-го порядка, полученной вычеркиванием строк и столбцов, отвечающих всем полюсам, превращаемым во внутренние, находятся по формуле:
Л
.* _ вн.пол.
УІІ ~
Л„,
(3)
где Лвнпол - определитель, получаемый из определителя матрицы параметров (п + 1)-порядка путем вычеркивания строк и столбцов, соответствующих всем оставшимся внешним полюсам, Л, под - определитель, получаемый из определителя Лвнпол путем восстановления строки г и столбца у.
Действительно, если, например, один к-й полюс превратить во внутренний, то определитель А вн. пол. = укк и получается путем вычеркивания строк и столбцов, соответствующих всем оставшимся внешним полюсам.
Определитель Л,пол в этом случае получается из определителя Лвнпол путем восстановления строки г и столбца у:
Л
вн.пол.
У Уік
Укі Укк
= У цУкк- У ікУкі-
Подставив в соотношение (3), получим:
У г/ = (Уу Укк - Угк Уку) / Укк = Угу - УгкУку / Укк ,
что соответствует выражению (2).
Таким образом, понижение порядка исходной матрицы узловых параметров исследуемой системы упрощает процедуру нахождения определителя матрицы: количество операций и необходимый объем зарезервированной памяти ЭВМ при вычислении миноров и алгебраических дополнений сокращается.
Полученная в результате эквивалентных преобразований конечная матрица А2 приводит к эквивалентному четырехполюснику и преобразованному конечному графу (рис.
Ь
а
Рис. 4. Эквивалентный четырехполюсник: полюсы 1-2 соответствуют а - Ь полюсы 5-6 соответствуют с - d
4, рис. 5).
Структурные компоненты конечного графа имеют соответствующие значения у12* = 3,13; у13* * * * *
= у14 = у23 = у24 = у34 =
Если рассматривается (п + 1)-полюсная система, описываемая полной матрицей (п + 1)-го порядка, то такая система является линейно зависимой и любое уравнение системы (1) является линейной комбинацией остальных уравнений системы. В этом случае для получения линейно независимой системы необходимо один из полюсов (например (п + 1)-й) принять за опорный, а в матрице (п + 1)-го порядка вычеркнуть (п + 1)-й столбец и (п + 1)-ю строку.
Полученная матрица называется укороченной, а соответствующая ей система линейных уравнений линейно независимой. Именно такая система используется для решения задачи анализа, то есть для нахождения полюсных функций реакции кк. При решении задачи регулирования для формирования массива регулировочных признаков можно использовать как полную (п + 1)-го порядка матрицу узловых параметров, так и укороченную матрицу п-го порядка.
При использовании укороченной матрицы узловых параметров для определения регулировочных признаков необходимо аналитически связать полюсные функции внешнего воздействия / и полюсные функции реакции системы к . В соответствии с преобразованной матрицей системы А2 и согласно теореме Крамера, любая полюсная функция реакции кк равна:
К = А, (4)
А
где А - определитель укороченной матрицы узловых параметров, полученной из полной матрицы А2 вычеркиванием четвертой строки и четвертого столбца при принятии полюса й = 4 за опорный полюс; Ак - определитель, полученный из определителя А после замены к-го столбца столбцом полюсных функций воздействия /1, /2, /.
После разложения определителя Ак по элементам к-го столбца, получим следующее соотношение:
А к =Л А1к + 72 А2к + /3 А 3к , (5)
где А1 к - алгебраическое дополнение, полученное из определителя Ак после вычеркивания первой строки и к-го столбца; А2к - алгебраическое дополнение, полученное из определителя Ак после вычеркивания второй строки и к-го столбца; А3к - алгебраическое дополнение, полученное из определителя Ак после вычеркивания третьей строки и к-го столбца.
В силу того, что входные полюсы канала прохождения информации (а =1 и Ь = 2) уже зафиксированы изначально, то в выражении (5) необходимо сначала положить / = 0 и / = 0 и получить соответственно: Ак = / А1к , а затем в том же выражении положить / =0 и / = 0 и получить соответственно: Ак = / А2к .
Подставив полученные выражения в соотношение (4), получим выражения для к-й функции реакции системы при подключении воздействия/1 к полюсам а - й (а = 1; й = 4):
Ик =/ А:
А
и выражение для к-й функции реакции системы при подключении воздействия / к полюсам Ь - й (Ь = 2; й = 4, где й - полюс, принятый за опорный):
Ик = /2 А
А
В соответствии с представлением конечного графа (рис. 5) выбранного канала прохождения информации и опорного полюса можно записать все выражения для функций реакции системы при различных подключениях воздействия:
И* = -АИ / - функция реакции первого полюса при воздействии / на первый полюс;
А
Н2* = / - функция реакции второго полюса при воздействии/ на первый полюс;
А
И3* = -Аз / - функция реакции третьего полюса при воздействии/ на первый полюс;
А
И** = -А^ /2 - функция реакции первого полюса при воздействии/2 на второй полюс;
А
Н2 * = /2 - функция реакции второго полюса при воздействии/2 на второй полюс;
А
Из** = Агз /2 - функция реакции третьего полюса при воздействии/2 на второй полюс;
А
И*** = Аз! /з - функция реакции первого полюса при воздействии /3 на третий полюс;
А
И*** = Азг /з - функция реакции второго полюса при воздействии /3 на третий полюс;
А
И3*** = /3 - функция реакции третьего полюса при воздействии/3 на третий полюс.
А
Полученные выражения необходимы для дальнейшего формирования массива
регулировочных признаков, используемых для построения модели параметрического регулирования систем. В качестве регулировочных признаков выберем коэффициенты передачи, так как эти параметры характеризуют систему и зависят только от ее внутренней организации, топологии и спецификации ее СК и не зависят от внешних полюсных функций:
И
к = —. (6) И.
*
Для выбранного канала передачи информации (а - Ь - вход; с - й - выход, инцидентный опорному полюсу) и опорного полюса й выражение для 3-й узловой функции реакции системы И при подключении воздействия / к полюсу а (а = 1) получим для функции реакции третьего полюса:
А:
И3 = ----/ - функция реакции третьего полюса при воздействии/ на первый полюс.
А
Соответственно выражение для 3-й узловой функции реакции системы И3 при подключении воздействия/2 к второму полюсу Ь (Ь = 2) получим для функции реакции третьего полюса:
И3** = Агз /2 - функция реакции третьего полюса при воздействии/2 на второй полюс.
А
В соответствии с принципом суперпозиции для линейных систем можно записать функцию реакции третьего полюса от суммарного воздействия:
,,3 - „3* + Лз**- А
Из - Лз* + Лз** - ^ /1 + ^ /2.
А
А
В силу того, что функции воздействия на входе, не инцидентном опорному полюсу, связаны соотношением /2 - /1 = 0, получим:
/2 - /1.
Подставляя это условие в последнее равенство, получим следующее соотношение для Л3:
„3 — — (А13 + А23) /1 - — А(1+2) 3 /1 - „вых..
А А
Покажем справедливость последнего соотношения в общем в виде. Пусть дан определитель матрицы А2 четвертого порядка:
det А2 = А =
а1 а2 аз а4 а5 аб ав а1 а2 а 4
а5 аб а7 а8 , тогда А13 - ; А23 -
а9 аю а12 а9 аю а12
а9 аю а11 а12 а\з а14 а1б а1з а14 а1б
а!з а14 а15 а1б
а5 аб ав а1 а2 а4
А13 + А23 - а9 аю а12 + а9 аю а12
а1з а14 а1б а1з а14 а!б
- а5 (аю а16 - ам а12) - а6 (а9 аы - а13 а12) +
а8 (а9 а14 - а13 аю) + а1 (аю а^ - а14 а12) - а2 а а^ - а13 а12) + а4 (а9 а14 - ав аю) - (а1 + а5)(аю а1б - а14 а12) - -
(а2 + аб)(а9 а^ - а13 а12) + (а4 + а8) (а9 а14 - ап аю) -
(й + а5) (о2 + о6) (04 + о8) а
-*12
-*13
14
а
16
= А
(1+2)3 , ч. т. д.
Таким образом, при сложении миноров А13 и А23 определителя А необходимо вычеркнуть третий столбец, а первую строку сложить со второй.
Полученная реакция третьего полюса Л3 является выходным параметром системы.
Для определения входного параметра системы рассмотрим функцию реакции первого полюса при воздействии/1 на первый полюс а (а - 1);
„1* - .А11 /1 - функция реакции первого полюса при воздействии/ на первый полюс.
А
Соответственно реакцию первого полюса Л1 при подключении воздействия /2 к полюсу Ь (Ь = 2) получим для функции реакции первого полюса:
► _ А2
И -
А
/2 - функция реакции первого полюса при воздействии /2 на второй полюс.
В соответствии с принципом суперпозиции для линейных систем можно записать функцию реакции первого полюса от суммарного воздействия:
И1 - „1* + „1** - А /1 + А /2.
А А
В силу того, что функции воздействия на входе, не инцидентном опорному полюсу, связаны соотношением /2 - /1 = 0, получим:
/2 - /1.
Подставляя это условие в последнее равенство, получим следующее соотношение для „1:
„1 - ~ (А11 + А21) /1 - ~ А(1+2) 1/1.
А А
Далее рассмотрим функцию реакции второго полюса при воздействии /1 на первый полюс:
н; -
_ А12
А
/1 - функция реакции второго полюса при воздействии /1 на первый полюс.
а
а
9
Соответственно получим функцию реакции второго полюса при воздействии /2 на второй полюс Ь (Ь - 2):
„2** - А22 /2 - функция реакции второго полюса при воздействии/2 на второй полюс.
А
В соответствии с принципом суперпозиции для линейных систем можно записать функцию реакции второго полюса от суммарного воздействия:
„2 - „2* + „2** - А/1 + А^
А А
В силу того, что функции воздействия на входе, не инцидентном опорному полюсу, связаны соотношением /2 - /1 = 0, получим:
/2 - /1.
Подставляя это условие в последнее равенство, получим следующее соотношение для „2:
„2 - — (А12 + А22) /1 - — А(1+2) 2/1.
А А
Полученная реакция входного полюса „2 является одним из входных параметром системы.
Для получения входного параметра „вх. находим разность „1 - „2:
„вх. - „1 - „2 - — (А(1+2) 1 - А(1+2) 2 )/1.
А
Далее находим один из М (М = (С„+12 - 1) С„+12) регулировочных признаков, равный коэффициенту передачи от входа канала передачи информации, не инцидентного опорному полюсу, к выходу канала, инцидентному опорному полюсу:
^12 - 3 - “ - А(1+2)^./1 ^ : (А(1+2)1 _ А(1+2)2 ^ - А(1+2) 3 / (А(1+2) 1 - А(1+2) 2 ) = А(1+2) 3 / (А(1+2) (1+2) .
При использовании полной матрицы узловых параметров для определения регулировочных признаков необходимо аналитически связать полюсные функции внешнего воздействия / и полюсные функции реакции системы „ в соответствии с преобразованной матрицей системы А2 и согласно теореме Крамера.
Таким образом, сформирован массив функций передачи основных диагностико-регулировочных признаков.
Литература
1. Пюкке Г.А., Портнягин Н.Н., Кузнецов С.Е. Диагностирование электрических цепей методом изовар / Изв. вузов. Электромеханика. - 1998. - № 1. - С. 35-40.
2. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 648 с.
3. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. -М.: Высшая школа, 1988. - 335 с.
4. Синтез линейных электрических и электронных цепей / П.А. Ионкин, Н.Г. Максимович,
B.Г. Миронов, Ю.С. Перфильев, П.Г Стахив. - Львов: Высшая школа. Изд-во Львовского ун-та, 1982. - 312 с.
5. Блинов Э.К., Розенберг Г.Ш. Техническое обслуживание и ремонт судов по состоянию: Справочник. - СПб.: Судостроение, 1992. - 189 с.
6. Лурье О.Б. Интегральные микросхемы в усилительных устройствах. Анализ и расчет.- М.: Радио и связь, 1988. - 176 с.
7. Айзинов С.Д., Белавинский А.Ю., Солодовниченко М.Б. Комплексная оценка надежности судовых радиоэлектронных средств // Эксплуатация морского транспорта. - СПб.: Наука, 2003. -
C. 242-247.
8. Выбор информативных параметров при контроле качества изделий электронной техники. ЛДНТП / Д.В. Гаскаров, В.И. Попеначенко, С.А. Попов, В.И. Шаповалов. - Л.: Общество Знание, 1979. - 32 с.
_ А12 г I А2:
