Математическая модель размещения датчиков контроля атмосферного воздуха на основе решения задачи о раскраске графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.064.36

А. И. Бракович, ассистент

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗМЕЩЕНИЯ ДАТЧИКОВ КОНТРОЛЯ АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСКРАСКЕ ГРАФА

The mathematical model of the control sensors for the atmospheric air state arrangement on the basis of NP-difficult problem solution about the graph coloring is proposed. This model is differed from analogs by the fact that the calculation speed for developed model is approximately two times higher. The model can work with the maps sized to 100*100 cells, while analogs - with maps 50*50 of cells. The model also differs by the presence of additional constraints for the sensors arrangement inside the cluster, for averting the group of sensors in one place on the map, while the analogs place the sensors inside the cluster randomly.

Введение. Для проведения мониторинга выбросов загрязняющих веществ в атмосферу от стационарных источников важное значение имеет выбор необходимых точек контроля для размещения датчиков, контролирующих содержание выбрасываемых веществ в атмосферу вблизи санитарно-защитной зоны предприятия. Чем большее количество датчиков будет установлено, тем точнее будут полученные результаты. Однако это также приведет к значительному увеличению затрат, связанных с их установкой и последующей обработкой полученных результатов. Таким образом, рациональное размещение датчиков контроля позволит сэкономить значительные средства.

Необходимость организации контроля загрязнения атмосферного воздуха в зоне интенсивного антропогенного воздействия определяется предварительными экспериментальными (в течение 1-2 лет) и теоретическими исследованиями с использованием методов математического и физического моделирования. Такой подход позволяет оценить степень загрязнения той или иной примесью атмосферного воздуха в городе или любом другом населенном пункте, где имеются стационарные и передвижные источники выбросов вредных веществ.

Обычно расположение источников выбросов и их параметры известны или их можно определить. Зная метеорологические показатели, в том числе «розу ветров», можно с использованием математических и физических моделей рассчитать поля концентраций загрязняющих веществ в атмосферном воздухе для любой ситуации. Но адекватность принятых моделей реальным ситуациям все равно должна проверяться экспериментально.

При размещении постов наблюдений предпочтение отдается районам жилой застройки с наибольшей плотностью населения, где возможны случаи превышения установленных пороговых значений гигиенических показателей ПДК. Наблюдения должны проводиться за всеми примесями, уровни которых превышают ПДК. В обязательном порядке измеряются основные, наиболее часто встречающиеся загрязняющие воздух вещества: пыль, диоксид серы, оксид

углерода, оксиды азота. Выбор других веществ, требующих контроля, определяется спецификой производства и выбросов в данной местности, частотой превышения ПДК [1].

В настоящей статье предлагается для выбора мест размещения датчиков использовать подход, основанный на размещении датчиков контроля за состоянием атмосферного воздуха на основе решения ОТ-трудной задачи о раскраске графа и понятия «кластер». Основные подходы к решению ОТ-трудной задачи о раскраске графа описаны в [2]. В [3] предложен метод на основе проективных геометрий и полей Галуа, где указано, что датчик контроля располагается внутр и кластера. Однако одним из недостатков данного метода является то, что на начальном этапе создания методики сбора информации о загрязнении окружающей среды необходимо располагать математической моделью загрязнения территории рассматриваемым веществом, которая имитировала бы процесс измерения качества воздуха в приземном слое атмосферы в любой заданной точке области. Для получения модели необходимо разработать информационную сеть, в узлах которой должны содержаться данные многолетних наблюдений в зависимости от календарного времени, погодных условий, ветрового режима и других факторов. Таким образом, при отсутствии данных многолетних наблюдений такая модель не позволяет решать требуемую задачу.

Основная часть. С целью формализации процедуры принятия решения о требуемом количестве источников информации для описания загрязнения территории культурно-промышленного комплекса с заданной точностью, а также для вычисления координат их рационального размещения предложено рассматривать некоторую замкнутую область S, задаваемую массивом пар смежных точек границы области М = [(х,, у,)], , = 1, 2, ..., п. Область может представлять собой, например, санитарно-защитную зону предприятия, зону влияния, а также контур карты города, что позволяет визуально соотносить участки области 5 с местоположением конкретных транспортных магистралей, промышленных или культурных объектов

на территории комплекса [3]. На начальном этапе создания методики сбора информации о загрязнении окружающей среды необходимо располагать либо математической моделью загрязнения территории города рассматриваемым веществом X = Д^, ..., ^к), которая имитировала бы процесс измерения качества воздуха в приземном слое атмосферы в любой заданной точке области S, либо конкретными числовыми значениями приземной концентрации загрязняющих веществ.

Можно выделить следующие этапы решения задачи определения оптимального числа датчиков и рационального их размещения на территории города, для которого разрабатывается система мониторинга:

1) выделение замкнутой области S факторного пространства, границы которой определяются контуром карты-схемы культурно-промышленного комплекса;

2) выбор и обоснование значения евклидовой метрики й, определяющей точность описания области

3) заполнение ячеек цифровыми значениями приземной концентрации загрязняющего вещества:

<,; (1)

V . =У1. ., V2 .,

1,. 1,и

4) определение евклидова расстояния между ячейками й(а,р)

й,

(<*,Р)Й,Х)

V

I )2. (2)

к=1

Значения евклидова расстояния можно использовать для разбиения области 5 на кластеры (зоны), представляющие некоторые типовые области загрязнения. На основании р, й строится 0,1-матрица В = [6.], такая, что Ь. = 1 в том и только в том случае, когда расстояние й. между ячейками 1 и. не превосходит й, и Ь. = 0 в противном случае.

Процедура определения необходимого числа датчиков и рационального их размещения на исследуемой территории для оценки экологической обстановки с заданной точностью сводится к решению известной NP-трудной задачи о раскраске графа, алгоритм решения которой описан в работе [2]. Теоретически NP-трудная задача может быть сведена к многократному решению ее специального варианта.

1. Стартовой точкой алгоритма решения задачи является выбор и обоснование величины отклонения Дц-й координаты вектора V. относительно ядра кластера. Таким образом, ячейки попадают в один и тот же кластер, если расстояние между ними по каждой координате не превышает соответствующего отклонения Дц (ц = 1, ¿). На основании этого система получает решение и сравнивает его с оптималь-

ным для NP-полной задачи или ее специального варианта.

2. Строится матрица В, в которой заполнение строк и столбцов происходит следующим образом. Если на карте-схеме в ячейках 1 и . значения приземных концентраций загрязняющего вещества отличаются более чем на й, то Ь. = 1, иначе Ь. = 0.

3. Формируется матрица В' исключением из В строки, содержащей максимальное количество единиц. Затем требуется вычеркнуть и столбец с одноименным номером. Исключение необходимо проводить до тех пор, пока подматрица не превратится в нулевую. Как только это произошло, номера строк или столбцов относятся к аналогичному кластеру, которому присваивается первый порядковый номер.

4. Вычеркиваются эти строки и столбцы из исходной матрицы В. Если получившаяся мат-р ща является нулевой, то количество кластеров равно двум: ячейки, относящиеся к первому кластеру, найдены на предыдущем этапе, а номера ячеек, относящиеся ко второму кластеру, - это соответственно номера строк или столбцов нулевой матрицы В. Если получившаяся матрица не является нулевой, то необходимо повторить пункты 3 и 4.

5. Необходимо решить задачу выбора оптимального места размещения датчика контроля внутри ячеек, образовавших кластер. Решение может быть разным: например, начать с кластеров, содержащих только одну ячейку, а затем расставлять их так, чтобы датчики, по возможности, не располагались в соседних ячейках [2].

Основным отличием данного метода размещения пунктов контроля от имеющихся аналогов является то, что для его использования не требуется наличие данных о многолетних наблюдениях распределения загрязняющих веществ в атмосфере и математических моделей, описывающих загрязнение на выделенной территории. Кроме того, например, в работах [3] имелась возможность выбора мест размещения датчиков только на территории города Минска. Предлагаемый метод позволяет решать поставленную задачу на любой территории.

Для проведения вычислительного эксперимента возьмем санитарно-защитную зону предприятия размером 100x100 м. Количество разбиений по каждому направлению одинаково и составляет 4 клетки по 25 м. В каждой ячейке предварительно рассчитаны значения концентраций диоксида азота в каждой точке на карте-схеме при случайных значениях метеопараметров. Задача заключается в нахождении оптимальных мест размещения датчиков контроля для последующего мониторинга окружающей среды в районе санитарно-защитной зоны промышленного предприятия. Допустим, что в ре-

зультате вычисления значения приземных концентраций диоксида азота в каждой ячейке равны представленным в табл. 1.

Таблица 1

Карта-схема с рассчитанными значениями концентраций, мг/м3

Номер координаты 1 2 3 4

1 0,7 0,4 0,9 0,8

2 0,5 1,0 0,2 0,4

3 0,6 0,7 0,5 0,3

4 0,9 0,2 0,9 0,6

Зададим нумерацию ячеек на карте-схеме, как это показано в табл. 2.

Таблица 2 Карта-схема с нумерацией ячеек

Номер координаты 1 2 3 4

1 а2 а3 а4

2 а5 а6 а7 а8

3 а9 а10 а„ а12

4 а13 а14 а15 а1б

Далее необходимо определить значение евклидова расстояния с1, т. е. число, на которое будут различаться результаты для отнесения их в различные кластеры. Это число должен задавать эксперт, руководствуясь при этом тем, что чем меньше это число, тем в итоге большее количество датчиков понадобится для мониторинга и тем точнее будут результаты. Однако малое значение евклидова расстояния приведет к необходимости установки слишком большого количества датчиков и возрастанию стоимости проведения последующего мониторинга. Про-

Вид

анализировав данные рассуждения, примем значение евклидова расстояния равным 30%, т. е. результаты, имеющие большее расхождение, относятся к разным кластерам.

На следующем этапе формируем матрицу В, такую, что если на карте-схеме в ячейках , и ] значения концентраций загрязняющего вещества отличаются более чем на с1, то Ъ^ = 1, иначе Ъу = 0. Результат представлен в табл. 3.

Находим строку, содержащую наибольшее число единиц, в нашем случае - это строка 7, и вычеркиваем ее и соответствующий ей столбец из данной матрицы. В результате получаем матрицу без 7-й строки и 7-го столбца. Далее опять находим строку с максимальным числом единиц. Это строка 14. Вычеркиваем ее и соответствующий 14-й столбец. Операцию повторяем до тех пор, пока не получим нулевую матрицу (табл. 4).

Таблица 4

Вид матрицы В после всех преобразований

Номер ячейки а1 а3 а4 а10 а13 а15

aj 0 0 0 0 0 0

а3 0 0 0 0 0 0

а4 0 0 0 0 0 0

а10 0 0 0 0 0 0

а13 0 0 0 0 0 0

а15 0 0 0 0 0 0

Номера строк или столбцов указывают на то, что ячейки с данным номером попадают в первый кластер. Это номера 1, 3, 4, 10, 13 и 15.

Для нахождения принадлежности оставшихся ячеек к определенным кластерам построим новую матрицу В, не содержащую строки и столбцы с этими номерами (табл. 5).

Таблица 3

рицы В

Номер ячейки а1 а2 а3 а4 а5 аб а7 а8 a9 а10 а„ а12 а13 а14 а15 а16

а1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0

а2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

а3 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1

а4 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0

а5 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0

аб 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1

а7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

а8 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

а9 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

а10 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0

а„ 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0

а12 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1

а13 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1

а14 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

а15 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1

а1б 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

Таблица 5

Вид матрицы В после второго преобразования

N а2 а5 аб а7 а8 а9 а„ а12 а14 а16

а2 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

а5 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

а6 1 1 0 1 1 1 1 1 1

а7 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1

а8 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

а9 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

аи 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

а12 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

а14 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1

а16 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

Аналогичные действия по удалению строк и столбцов, содержащих максимальное количество единиц, проводим и с данной матрицей. Нулевая матрица в этом случае содержит в себе строки и столбцы с номерами 5, 11 и 16. Данные ячейки относятся ко второму кластеру.

Новая матрица В без ячеек 5, 11 и 16 представлена в табл. 6. Получаем, что ячейки с номерами 7, 12 и 14 относятся к третьему кластеру. Проделав все последующие действия, получаем, что к четвертому кластеру относятся ячейки 2 и 8. К пятому - ячейка 6, к шестому - ячейка 9. На карте-схеме кластеры обозначены соответствующими римскими цифрами (табл. 7).

Таблица 6

Вид матрицы В после третьего преобразования

На последнем этапе необходимо выбрать, в какую из ячеек кластера следует поместить

датчик. Рекомендуемым правилом является размещение датчиков в несмежных ячейках, начиная с кластеров с наименьшим количеством ячеек. В нашем случае это р смещение имеет вид, представленный в табл. 8.

Таблица 8

Карта-схема с итоговым размещением датчиков

Номер координаты 1 2 3 4

1 I

2 V IV

3 VI

4 III II

Заключение. Предложена математическая модель размещения датчиков контроля за состоянием атмосферного воздуха на основе решения ОТ-трудной задачи о раскраске графа [2], отличающаяся от аналогов тем, что скорость расчетов по разработанной модели примерно в 2 раза выше. Модель может работать с картами размером до 100x100 ячеек, в то время как аналоги - с картами до 50x50 ячеек. Модель отличается наличием дополнительных ограничений на размещение датчиков внутри кластера для предотвращения группировки датчиков в одном месте на карте-схеме, тогда как в моделях-аналогах датчики внутри кластера располагаются случайным образом.

При решении задачи размещения датчиков на заданной территории было получено, что на основе предварительно определенного евклидова расстояния необходимо разместить шесть датчиков контроля за состоянием атмосферного воздуха в районе, ограниченном областью каждого из шести кластеров.

Литература

1. Большаков, А. М. Оценка и управление рисками влияния окружающей среды на здоровье населения / А. М. Большаков, В. Н. Круть-ко, Е. В. Пуцилло. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 256 с.

2. Герман, О. В. Алгоритм булевой оптимизации на 0,1-матрице / О. В. Герман, В. Г. Най-денко, Е. И. Германович // Вычислительная математика и математическая физика. - 1993. -№ 2. - С. 28-33.

3. Колесников, В. Л. Компьютерное моделирование и оптимизация химико-технологических систем: учеб. пособие для вузов / В. Л. Колесников, П. П. Урбанович, И. М. Жарский. -Минск: БГТУ, 2004. - 532 с.

Номер ячейки а2 аб а7 а8 а9 а12 а14

а2 0 1 1 0 1 0 1

аб 1 0 0 1 1 1 1

а7 1 1 0 1 1 0 0

а8 0 1 1 0 1 0 1

а9 1 1 1 1 0 1 1

а\2 0 1 0 0 1 0 0

а14 1 1 0 1 1 0 0

Таблица 7 Карта-схема с текущими кластерами

Номер координаты 1 2 3 4

1 I IV I I

2 II V III IV

3 VI I II III

4 I III I II