CC BY
18
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 539.3:624.74
ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ
© 2005 г. Г.М. Муртазалиев, М.М. Пайзулаев
Наиболее эффективными инженерными сооружениями, применяемыми во многих областях техники, являются тонкостенные пространственные оболочеч-ные конструкции. Характерной особенностью поведения таких систем под действием приложенных нагрузок является их склонность к большим перемещениям и связанная с этим многозначность равновесных состояний при заданных условиях нагружения и закрепления, число которых возрастает с уменьшением толщины.
Причиной огромного внимания и стимулом к исследованию указанных проблем является сохраняющееся расхождение между вычисленными значениями критических нагрузок и экспериментальными данными для реальных оболочек, а также полное несоответствие характера предсказанной формы прогибов при потере устойчивости и наблюдаемой в экспериментах. Менее исследованными являются задачи несимметричного деформирования оболочек вращения.
В данной работе исследуется поведение пологой оболочки при действии несимметричной сосредоточенной нагрузки.
В качестве исходной принята система нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме, описывающая общий случай деформирования пологих оболочек вращения (рис.1) под действием поперечной нагрузки [1, 2]:
DV 4W = V 2 F + L(W, F) + P;
1 V 4 F = -V 2kW - - L(W ,W),
Eh
(1)
V 2 ()=*з dn1
д r
+ к,
1 dü+J_ dÜJ
r дr r2 Эф2
L (W, F ) =
д 2W (1 dF 1 д 2F Л д 2F (
dr2
r dr r Эф
dr2
2
- dW + - d W r dr r Эф
-2-
(1 dW ЛЭ (1 dF Л
dr
r Эф
dr
r Эф
kj и к2 - главные кривизны оболочки.
Рис. 1. Геометрия и схема загружения оболочки
Уравнения (1), совместно с соответствующими граничными условиями, характеризуют общий случай геометрически нелинейной деформации оболочки вращения.
Для удобства введем следующие безразмерные
величины: X = X2
12 (1 -v2)
14 a . r X2 -
-¡=, r = X-, W =-W .
4hR a 2H
F = ■
= „ P 12(1 -v2) f , P = —;--- параметр поло-
где Ж и F - функции прогибов, через которые определяются усилия соответственно моментного и безмо-ментного состояния; Е, V, к, Б, q - модуль упругости, коэффициент Пуассона, толщина, цилиндрическая жесткость оболочки и действующая нагрузка; V 2 ( ), Ь ( ) - дифференциальные операторы, имеющие в полярных координатах следующий вид:
4ЕН 2к Ек3 2п
гости, радиальная координата, прогиб, функция напряжений, параметр нагрузки.
Уравнения (1) в безразмерной форме имеют вид:
V4Ж = V 2F + |"-F' + -1^ |Ж' +
+11 w'+-1- W | F - 211F
r r I l r
1W I + 4P;
V 4 F = -V 2W +
-W
2
-I -W' + -1W |W'
(2)
где V2 F = F' +1F' + F.
r r2
r
В случае защемленного контура (r = b) на границе отсутствуют все перемещения. Эти условия через основные неизвестные записываются в виде:
W (b, ф) = 0; W'(b,(p) = 0;
F" -vi1F' + —f1 = 0; (3)
lb b2 у
b i F'-V F'-V F1 -1F' -l r r I b
/
-1F + vF" + 2 (1 + v)-F j = 0.
При шарнирно -неподвижном закреплении контура граничные условия имеют вид:
W (b, ф) = 0; F"-v^jF' + = 0;
1W' + -1т W\ = 0; (4)
b b 2 I
bF' + F"-1 (1 -(2 + v)F) - 3+ F-bW'-2(W)2 = 0.
К этим условиям должны быть добавлены условия ограниченности внутренних усилий в вершине оболочки (r = 0):
lim W,F,rWrF" = 0. (5)
Решение системы уравнений (2) представляет довольно сложную задачу даже при наличии быстродействующих ЭВМ, поскольку при определенных значениях нагрузки наблюдаются "скачки" в поведении оболочки и связанная с этим расходимость счета.
Для решения задачи использован алгоритм, сочетающий метод конечных разностей для решения краевой части задачи и метод Ньютона - Рафсона для решения полученной нелинейной алгебраической системы уравнений.
Так как число неизвестных функций в каждой точке равно двум (W, F), после перехода к конечно-разностной задаче с учетом граничных условий (3)-(5), приходится решать систему 2(N+4) нелинейных алгебраических уравнений (где N - число узловых точек).
Полученная система решается с помощью системы MATHCAD, которая позволяет решать систему из 200 нелинейных алгебраических уравнений.
Применением указанного алгоритма для решения «модельных» задач, какой является осесимметричная задача, где сосредоточенная нагрузка приложена в вершине оболочки, получены результаты, хорошо согласующиеся с результатами других авторов на основе различных методик [1, 3, 4].
Поскольку при приближении значения параметра нагрузки к критическим наблюдается расходимость счета, то для получения непрерывной кривой, в качестве задаваемого (управляющего) параметра системы, принят прогиб точки оболочки, в которой приложена нагрузка.
С увеличением параметра пологости оболочки критическая нагрузка увеличивается, но полученные данные не представляют практической ценности, так как в таких оболочках происходит переход симметричных форм в несимметричную. Для оболочек с шарнирно-подвижной опорой перемещение в центре примерно два раза больше, чем для такой же оболочки с защемленной опорой.
В случае действия на оболочку несимметричной сосредоточенной нагрузки, приложенной на расстоянии г1 от центра оболочки, для точки, где действует нагрузка, в соответствующих уравнениях в правой части будет присутствовать параметр нагрузки, в остальных уравнениях нагрузка равна нулю (рис. 2).
Рис. 2. Зависимость нагрузка - характерный прогиб от параметра асимметрии а
При действии несимметричной сосредоточенной нагрузки (рис. 2), оболочка «прощелкивается» при меньшем значении нагрузки, нежели при осесиммет-ричной, критическая нагрузка для неосесимметричной сосредоточенной нагрузки на 20 - 30 % меньше, чем при осесимметричной, и зависит от места приложения нагрузки, а также от характера крепления опорного контура. С увеличением параметра пологости жесткость оболочки увеличивается и критическая нагрузка возрастает.
Моменту потери устойчивости соответствует нагрузка, при котором происходит «хлопок» оболочки, т.е. скачкообразное изменение прогиба. Прощелкива-ние оболочек возможно при определенных значениях параметра пологости, а при меньших значениях оболочка деформируется без прощелкивания.
Для тонкостенных оболочек момент потери устойчивости не всегда приводит к полному «прохло-пыванию» всей оболочки, т.е. к общей потере устойчивости. Иногда вначале происходит местная потеря устойчивости, («хлопок» некоторой части оболочки, где приложена несимметричная нагрузка), а потом и всей оболочки (явление «хлопка» не наблюдается).
W" + v
Литература
1. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на
ЭВЦМ. М., 1976.
2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.,
1967.
3. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев, 1983.
4. Райзер В.Д., Муртазалиев Г.М. Закритические равновесные состояния пологих оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. № 1. С. 40-45.
6 сентября 2004 г.
Дагестанский государственный технический университет
УДК 624.072.2:539.4
ВЛИЯНИЕ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕНКИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК МЕЖДУ НАКЛОННЫМИ ТРЕЩИНАМИ
© 2005 г. Г.С. Алиев, Н.М. Аваев
Прочность стенки железобетонных элементов в зоне действия поперечных сил остается до настоящего времени малоизученной, и связано это, в первую очередь, с отсутствием исследований влияния на прочность элементов изгибающих моментов. Анализ результатов существующих экспериментов, проведенный в работе [1], показывает, что с увеличением длины зоны среза балок и отношения M/Q прочность стенки существенно снижается (примерно на 30 % с увеличением clh0 от 1 до 4). Однако, из-за отсутствия достаточно обоснованных предложений, нормы данный фактор не учитывают [2] и расчет производится на воздействие только поперечных сил.
В связи с изложенным нами проведены экспериментальные исследования прочности стенки железобетонных балок при различных схемах загружения, вызывающих в зонах разрушения элементов различное сочетание изгибающих моментов и поперечных сил [3, 4].
Были изготовлены и испытаны балки трех серий: однопролетные (I серия) и однопролетные с консолями, со знакопеременной эпюрой изгибающих моментов (II серия), где отношение M/Q при одинаковой длине зоны среза в два раза меньше, чем в образцах I серии, на действие сосредоточенных сил и одно-пролетные, загруженные распределенной нагрузкой (III серия) (рис. 1).
В опытных образцах, при прочих постоянных параметрах, варьировались: длина зоны среза от 0 до 4h0 (I и II серия) и пролет балок от 4h0 до 10h0 (III серия). Характеристики и результаты испытания опытных образцов приведены в таблице.
Все опытные балки разрушились вследствие раздробления бетона стенки, при этом признаков разрушения по наклонным сечениям не обнаружено и полки балок до предельной стадии оставались неповрежденными. Разрушение стенки балок I и II серий начиналось, как правило, в зоне, удаленной от сечения с максимальным моментом на расстояние примерно 0,5h0, а балок III серии - на расстоянии (0,4^1,0)h0 или 0,1/0 от опоры.
P
200
С = (1-4) hp t
2h0
l =(4-10)h
С = (1-4) h0
200
а)
\P1
А ' А '
T (1,5-3) h0 ^ С = (1-4) h0 Y (1,5-3) h0 .
200 l = (4-10) h0 200
6)
i^nnniininnniu9
Л TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT bi
T0.5S S = 160(S = 80 для БД-Ш-1) 0,5S ц 200] l = (4-10) h0 ~^"200
в)
Рис. 1. Схемы испытания опытных образцов: а - I серии;
6 - II серии; в - III серии По результатам испытаний построены зависимости относительной прочности (QlRbbh0) от относительной длины зоны среза (clh0) балок I и II серий и относительного пролета образцов (llh0) III серии (рис. 2).
Q_
Rbbh0
0,5
0,4
0,3
0,2
N 6 iL
7 \ 5
4^
0
1
2
3
4
5
clh0
0 2 4 6 8 10 llhö Рис. 2. Зависимости относительной прочности стенки от длины зоны среза балок I и II серий и пролета балок III серии: 1, 2, 3 - опытные и 4, 5, 6 - расчетные для I, II и III серий соответственно; 7 - по формуле (72) СНиП 2.03.01-84*
P
P
2
