О деформировании трехслойной сферической оболочки с сжимаемым заполнителем под действием акустической волны давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

О деформировании трехслойной сферической оболочки с сжимаемым заполнителем под действием акустической волны давления

к.ф.-м.н. доц. Коган Е.А., к.ф.-м.н. Юрченко A.A.

Университет машиностроения 8(495)223-05-23, kogan_ea@mail.ru

Аннотация. Построено в акустическом приближении точное решение задачи о динамической реакции трехслойной сферической оболочки, погруженной в жидкость, при действии внешнего гидродинамического давления. Система дифференциальных уравнений движения оболочки 14-го порядка, учитывающих поперечные сдвиговые и нормальные деформации и напряжения в заполнителе, интегрируется методом двойных интегральных преобразований. Оценены характеристики реакции оболочки для различных вариантов задания гидродинамического давления.

Ключевые слова: сферические трехслойные оболочки, гидродинамическое давление, акустическое приближение, интегральные преобразования. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 10-08-00258а.

Введение

Проблемы обеспечения динамической прочности тонкостенных конструкций являются весьма актуальными для многих современных областей техники. В частности, к ним относятся задачи взаимодействия ударных волн с деформируемыми конструкциями, погруженными в жидкость.

В строгой постановке связанная контактная задача гидроупругости предполагает совместное решение системы уравнений движения упругих оболочек и волнового уравнения относительно потенциала скоростей в жидкости при соответствующих граничных и начальных условиях, а также условиях непроницаемости и излучения. Ввиду сложности определения гидродинамических сил взаимодействия упругих конструкций с жидкостью обычно задача делится на два этапа. Сначала решается гидродинамическая задача по определению внешней нагрузки, действующей на оболочку, а затем интегрируются уравнения движения упругой конструкции при найденных внешних силах. При действии ударных волн, распространяющихся в жидкости, рассматривается в основном так называемое акустическое приближение. При этом полное гидродинамическое давление, действующее при падении волны на упругую преграду конечных размеров, в силу линейности внешней задачи представляется в виде алгебраической суммы давлений в падающей и отраженной волне, действующей на абсолютно жесткую, неподвижную в пространстве конструкцию, и давления излучения, обусловленного упругими деформациями оболочки и движением ел как твердого тела.

Решение задачи о действии акустической волны давления на пологую упругую однослойную сферу, находящуюся в идеальной сжимаемой жидкости, рассмотрено в [1] для частного случая специально подобранной жесткости опорного шпангоута. Различные задачи о действии ударных волн на трехслойные и многослойные сферические оболочки с несжимаемым заполнителем, погруженные в жидкость, решены в работах [2-4].

Ниже в развитии работы [1] рассмотрено деформирование трехслойной пологой сферической оболочки с жестким сжимаемым заполнителем, погруженной в жидкость, при действии ступенчатого импульса давления.

Постановка задачи

Разрешающие уравнения малых поперечных осесимметричных колебаний трехслойных пологих сферических оболочек несимметричного строения по толщине с изотропными внешними слоями и трансверсально - изотропным жестким заполнителем с учетом поперечных сдвиговых и нормальных деформаций в среднем слое имеют вид [5]:

у2у2 Р = — V2

Я

С и2 Л 1 - к- V2

Р

Х + со

Б

%2 Л 1 - — V2

р

У

Як

+ - V2 Р + Я

Й2

2

1 - к- V2

У

= Я- + 42,

Б

У

.2у2'

р

У2У2^ - -А- V2 (^ - 55Щ)

Як

У

+ V— V2 Р +

4 я2 Г Я а2

Зз

2

1 - к- V2

V

р

У

= Я - Я 2.

(1)

(2)

(3)

Эта система уравнений является обобщением известных уравнений Григолюка - Чул-кова трехслойных оболочек с несжимаемым заполнителем [6].

При выводе уравнений для несущих слоев полагались справедливыми гипотезы Кирхгофа - Лява, для заполнителя принимался линейный закон распределения нормальных перемещений по толщине:

3г г

= + — V,

(4)

где:

+ ^(2) =-, V =

w(1) - w(2)

(5)

22

В уравнениях (1-3) Р - функция усилий, функции перемещений % и цг связаны с про-

гибами первого ^<(1) и второго ^(2) несущих слоев оболочки зависимостями:

,,(2)

w =

( и2 Л 1 - к- V2

V

Р

х + (вл - Щ)¥, V = -(^1 +^2)^,

(6)

у

у/ - «функция обжатия», которой учитываются поперечные нормальные деформации и напряжения в заполнителе (если прогибы несущих слоев одинаковы, то у/= 0); Як = Як (г, ^) -внешняя нагрузка, приложенная к к-му (к = 1,2) несущему слою (Як > 0, если направлена в

3

положительном направлении оси 2); к = 2 кк - полная толщина пластины (кк - толщина

к=1

1 -V2 3 К к

к - го слоя, (к = 1,2,3), к3 = 2с - толщина заполнителя); Е ~ к ^ - ^ - осреднлнный модуль упругости трехслойного пакета; Ек,ук - модуль упругости и коэффициент Пуассона

_ з ЕкккУк к -го слоя; у ~ ^

(

X

1 2 ,_ 2 - приведенный коэффициент Пуассона; Ук, tk - безраз-

к-1 1 Ук V _1 1 Ук У

мерные жесткостные характеристики и безразмерные толщины слоев (к = 1,2,3):

Еккк У к =7^2

С

1 "V,

| Еккк

X

Vк=11 -у'к у

к

f — —-

1к - - •

г Б =

Екъ6п

к ; параметры: Б - ц— ^2) - изгибная жесткость трлхслой-

ного пакета

; Р =

1Юг3(1 -у2)

Е01

параметр, характеризующий жесткость заполнителя на попе-

2

с

речный сдвиг (о - модуль поперечного сдвига заполнителя); ^ _

т - в2 вфх

параметр, харак-

теризующий относительную изгибную жесткость несущих слоев; 51 = 2 ркАк (рк - удельная

к=1

плотность материала к-го слоя);

Я2 =РА + Р2А2 + 1 p3h3, = РА -P2h2, Я4 = Я1(в4 " Щ) ~ Я3(в1 + 02^

^ = ^ - К^) - ^ + ^ ©1 =04 " Щ " (П " Г2ХЗ ^2) :

К =

ЕЕ в\ о я 6^2(1 -V)

в = , £ =¿1 -щз, з2* =32+щ$з, з*з* = Ц^ад,

1 -V 2

^ = ^ ^ =^4 +^5), ^ = ^ ~32дА, ¿3 = ^^ ,

ь ь

в, = в, = + ¿6, 4 = = 3

+ 202 +03, = 3(с22 - 02 = 3(с23 - ^"12^13) , 0, = 3(с33 "

04 = 3(с24 _ С12С14), 05 = 3(с34 _ С13С14), ^6 = 3(с44 _ С14), С12 = ^3^1 _ ?/2) ,

б>7 = - (1+к- #2, б>8 = е4 + (1 - к+ в2,

(7)

С13 = УА -У2t2, С22 = Ч\У1 +У2 +-

34 С23=^,

С33 _

1

1

4( .2 2\ _ 4/ 2 2\ 1 _

+ ^2 /, С34 _ 3 У 14 ~У^2 2tзС13 , С14 _ С23 + 2С22

_ ( 1 С24 _ t31 С13 + 2 С12

I

2

1

С44 = \У1 +У2 + 3Г3 1 + С23 + С33.

Удельные и обобщенные усилия и моменты в случае осесимметричного деформирования оболочки выражаются через функции усилий и перемещений по формулам:

к -1 ^,

г дг

л г 5 2 Р

"'-ЦТ

моменты, обусловленные поперечным сдвигом в заполнителе

Нгг = -Б31

удг2 г дг ^

п 1 + у

ЯС

полные изгибающие моменты

М„ = - Б<

^ + Кдг2 г дг J

1 -Ъ -

Р

^ + (¿1 - Щ3)¥

у

моменты «второго порядка», обусловленные учетом сжимаемости заполнителя

Ь„ = -Б<

г д2 у дл ■ + —

дг г дг

У

Ж У2 '

V

р

Х- (32 + Щ33)¥

у

пп 1 + У

(8)

(9)

(10)

(11)

Моменты Нв,Мв,Ьв получаются из приведенных формул заменой оператора

д2 уд 1 д д2 н---на---ь V-

дг2 г дг г дг дг2

Граничные условия для свободно опертой по контуру оболочки

Т = У2Т = ы = V = Нгг = Мг = = 0

с учетом (6), (8-11) могут быть приведены к виду [5-7]

X = V у = V 2У У = р = У2р = 0.

Начальные условия относительно перемещений w и V записываются в виде

дw д^ ^ w = — = V = — = 0.

дг дг

Интегрируя первое уравнение системы (1) - (3), получим

У2 р = ЕкУ2 Я

(

2

1 - к- V2

V

Р

Х + а -/

У

+ г,

(12)

(13)

(14)

где Г- некоторая гармоническая функция: V Г = 0.

Так как на контуре V2 Р - Х~¥ - 0, то и функция Г = 0. Поэтому на основании принципа максимума Г = 0 всюду в рассматриваемой области [8].

Исключая теперь у2Р из ДВУХ других уравнений системы (2) и (3), получим после

(р _ г

приведения к безразмерным координатам а~ = (здесь (р0 - угол полураствора панели,

(р0 Я0

(р - угол, отсчитываемый от вершины оболочки - рисунок 1),

w V У

Щ =т, v0 =т, Х0 = ~т, к к к

щ С*г

"">=~к' т=1Я

( С* - скорость звука в среде) систему двух безразмерных уравнений 10-го порядка

т,

2

1 V2

. РЯ0 .

3 _ 5 ^ _ ^2У2У2^0 + а-2У2У2^0 -

дт

2 +

2 дт2

О ООО Ф

- а13V Х0 + а-4Х0 + ЪпУ У ^0 + Ь12V ^0 + Ъ13^0 = Р ,

т

1 -

к2

Я

5 ^ - ^ ^ - ^2У 2У 2^0 + а22^2У 2^0 -

0

дт

2 + т5--

2 5 дт2

(15)

(16)

2 2 2 2 * " а23^ ^0 + а24^0 " Ъ21^ V Щ + Ъ22^ ^0 + Ъ23^0 = Р ,

а2

1 а

где V = —2 н----оператор Лапласа относительно безразмерной переменной а .

да а да

Здесь и в дальнейшем коэффициенты уравнений имеют очень громоздкий вид и из-за ограниченности размеров статьи не приводятся.

I Т Т I " I I I I

Рисунок 1. Трехслойная сферическая панель

При действии ступенчатого импульса на пологую сферическую панель на основании решения [1] полное гидродинамическое давление, действующее на сферическую оболочку, в безразмерной форме может быть представлено в виде:

2

2

p* = p0(i _ (г) -^í E ER о

i--HL у2

Ж

^2Zo , й дУо

У

дг2

дг2

"(r"ri)Jr1

(17)

где: p0 - давление на фронте падающей волны; р - плотность среды; с*- скорость звука в среде; Н (...)- единичная функция Хевисайда. В частности, при использовании гипотезы плоского излучения, справедливой для начального этапа взаимодействия оболочки с волной, давление определяется по формуле

р* = E (i + e~T)H (г)

pclh д

ER дт

f h2 V 1 -Ат V

/R2

Zo + #7^0

У

(18)

Решение системы уравнений движения трехслойной сферической оболочки (15, 16) с учетом (17), граничных и начальных условий строится методом двойных интегральных преобразований. Сначала к уравнениям применяется интегральное преобразование Лапласа по независимой переменной т с учетом однородных начальных условий относительно функций

w и v:

где

w(s,cc) = íw0(c¡r,r)e STdz,

1 y+ix

w0(a,r) = —: í w (s,a)estds,

(19)

(20)

2тй у-гх

а затем к уравнениям в изображениях - преобразование Ханкеля с конечными пределами нулевого порядка по переменной а [8]:

где:

_* ai_

w (£, s) = í w (a, s)J0(£ar)ada, o

w(a,r) = zw*(£,s)- Jo(^a)

ax i

(21) (22)

[ 1)]2

- корни трансцендентного уравнения J0 (^а) = 0.

В результате система изображающих уравнений относительно трансформант Ханкеля [8] приводится к виду:

\41^0* & ) + ^12^0 6 ) =

{Л^оМ ) + ^22^0 М) = ^ ( 1„2 \ ,

(23)

m1s4 + m11 (s3 + s2 )]+ gu(s2 + 2s + 2),

A12 = (m3s2 + gi2 )(s2 + 2s + 2) + У-в7s2(s + ^ mii = 2mi + Уo, m21 = 2m4 + У-

2

2 2

A21 =|1 +

$ [m4s 4 + m2is PR0 J

(s3 + s2 )]+ g2i(s2 + 2s + 2), A22 = ^s2 - g22 )(s2 + 2s + 2)+ y-67s2(s +1),

42

(24)

gil = ail^t + ai2^t + ai3^i2 + al4, g 21 = a21^t + a22^t + a23^i2 + a24, g 12 = b11^ - Ъ12^ + b13, g 22 = b2¿t + Ъ22^ " b23.

Разрешая систему (23), получим для трансформант изображений функций перемеще-

нии:

e

о

) =Ро А1(Я) )

ГоЫ,) = р0 А2(Я) №)

(25)

ЕВ(5,£) £ ^ ЕВ(5,£) £

Здесь А1(я), А2(5), В(5,<^) - многочлены с вещественными коэффициентами: 4(я) = (252 + 35 + 2)( А054 + А153 + А252 + А35 + А4),

А2 (5) = (252 + 35 + 2)(Д)54 + Ц53 + й252 + йъ5 + Д4), (26)

В(5) = 5В1 (5) = В058 + В157 + ... + в7 5 + в8. В (24)-(26) т/, а^, Ъ^, Ак, Вк, Вк - безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрических и механических характеристик слоев.

Выполняя обратные преобразования Ханкеля и Лапласа, находим оригиналы функций перемещений в виде:

*о(«,г) = 2р* 2 а(1)(£,г) ^г) = 2р* 2 а(2)(£,г)

где

0(Г) =2 ^^ 2Ке2 А^еЧТ, (г = 1,2).

(27)

(28)

к В'(5к ) к В'(5к )

Здесь первая сумма распространяется на все действительные корни многочлена

В(5,1), 5к

у а вторая - на все комплексные корни с положительными мнимыми частями; к -

В(5,£) гсп корни многочлена 4 [9].

С учетом формул (5), (6) окончательные выражения для безразмерных прогибов несущих слоев трехслойной пологой сферической панели представляются в виде:

^(^г) = 2ро 2

1 +

А

Л

ы02)(а,т) = 2р* 2

V Ря0 ) ( А2 \

V РЯ0 )

J0(£О

(29)

Скорости и ускорения слоев получаются дифференцированием выражений (29). При этом максимальные значения ускорений слоев достигаются в начальный момент времени. Эти значения могут быть определены непосредственно из уравнений движения (15), (16).

Действительно, так как при т = 0 % = V2% = V2У2^ = Щ = V2щ = 0, то, разрешая уравнения

относительно

д2^о „ д>0

дт2

и

аг2

и учитывая, что из выражения для давления в начальный момент

времени следует р = 2р0 , получим:

а2

г

1

л

дт2

а 2^(2)

т055 - т3 + (т3 - то 53 ) ^4 " " Л Л

2 Ро _^_#1 + ^2 J

г=0

Е

т0(т155 - т353)

(

1

(30)

^2

т055 - т3 + (т3 - то53) ^4 - К^1 +

2 Ро _^_01 +02 у

Е '

т=0 - т0 (т155 - т353)

Так как изображения представляют собой дробно - рациональные функции с простыми полюсами, обращение их производится точно с помощью теории вычетов. При этом значения корней полиномов с вещественными коэффициентами определялись методом Мюллера.

Результаты

При численных расчетах рассмотрено воздействие ступенчатого импульса на трехслойную пологую панель с параметрами: к = 6 см, толщины несущих слоев \ - ОД - 0,2 см, к = 0,1 - 0,2 см, Е3 = I0 - 40 МПа, Я = 300,600,1200 см При Я0 = 155 см ; параметры среды:

р = 0,102 • 10"5 Кг. сек2. / см4, С* = 1,46 • 105 см/ сек .

Оценено влияние различных форм колебаний оболочки. Для предельного случая однослойной сферической панели на рисунке 2 сплошной линией показана зависимость максимального прогиба в полюсе от времени, а пунктирной - зависимость скорости от времени для случая, когда гидродинамическое давление на панель определялось по формуле (17). Практически при определении прогибов можно ограничиться с точностью до 2% десятью

членами ряда. Коэффициент динамичности (по прогибу) составляет £дин - ^М™ /- 1,44.

0,1

0,06 -

0,04 -

0,02 -

-0,02 ■

м> --

/

/

¿у

0, 75 1 5 2, 25 ! 3, 75 4 5 1

Ы=0,2

ДИН

Ь2=0,1 ЕЗ=Е0=100

т,щ

0.12

0,08

0.04

УУ1 -- ууг^зоо) —т —УУ2{Р=600)

Рисунок 2. Зависимость прогиба и скорости в полюсе от времени для однослойной сферы

Рисунок 3. Зависимость прогибов слоев от времени для трехслойной сферы с сжимаемым заполнителем (гипотеза плоского излучения)

Расчеты показывают, что при учете поперечных сдвигов заполнителя сходимость по сравнению с однослойной оболочкой ухудшается: для получения точности в определении прогиба в 1-2% необходимо удерживать до 20 членов ряда. При вычислении ускорения надо удерживать большее число членов ряда, но максимальное ускорение при т = 0 может быть определено точно, непосредственно из системы уравнений по формулам (30).

Наиболее существенное влияние на характеристики реакции трехслойной сферы оказывает пологость панели, характеризуемая отношением Н / Я (рисунок 3 для трехслойной оболочки с сжимаемым заполнителем).

В расчетах варьировался радиус кривизны панели Я от 300 до 600 см при фиксированном Я . Сплошные линии на рисунке 3 соответствуют Н /Я = 0,0339, пунктирные - Н /Я = = 0,1438 . Как видно, для более пологих панелей прогибы существенно возрастают.

При учете сжимаемости заполнителя (результаты приведены для гипотезы плоского излучения) в начальные моменты времени первый (нагруженный) слой резко смещается в сторону второго (ненагруженного) слоя, то есть происходит сжатие заполнителя, а затем прогибы второго слоя (волнистые кривые) становятся больше прогибов первого слоя. Поэтому в заполнителе возникают растягивающие напряжения (в рамках принятой модели пропорциональные разности прогибов несущих слоев), что может приводить к нарушению сцепления заполнителя с несущими слоями.

При этом с увеличением пологости панели различие в прогибах несущих слоев становится существенным, но лишь при малом модуле упругости заполнителя Е3 < 10 - 20 МПа.

Серия 3. Естественные науки.

Всплески при колебаниях ненагруженного слоя объясняются отражением приходящих волн [10].

Выводы

Построено точное аналитическое решение задачи о деформировании трехслойной сферической оболочки, погруженной в жидкость, при действии внешнего гидродинамического давления. Оценены влияние сходимости рядов для прогибов, скоростей и ускорений, пологости панели, сжимаемости заполнителя на характеристики реакции оболочки для различных вариантов задания гидродинамического давления.

Литература

1. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие слабых ударных волн с упругими конструкциями (изд. второе, исправленное и дополненное) // Институт механики МГУ. Научные труды. 1971. Вып. 13. 180 с.

2. Бабаев А.Э., Кубенко В.Д., Курбакова В.Г. Деформирование многослойной сферической оболочки под действием слабой ударной волны // Прикл. механика, 1979. Т. XII, № 12. С. 28-35.

3. Григолюк Э.И., Кузнецов Е.Б. Реакция трехслойной сферической оболочки, соединенной с жесткими массами, на акустическую волну давления // В кн. Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск. Изд-во Томск. ун-та, 1975. С. 53-59.

4. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука, Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1990. 264 с.

5. Коган Е.А. К расчету пологих трехслойных сферических оболочек при динамическом и статическом нагружении // В сб. Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. М.: Изд-во Моск. ун - та, 1986. С. 40-53.

6. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 172 с.

7. Гершунов Е.М. Расчет круглых и кольцевых пластинок на действие произвольной динамической нагрузки. Изв. АН СССР, ОТН. Механ. и машиностроение. 1964, № 6. С. 89-95.

8. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955.

9. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Изд-во Наука. Глав. ред. физ.- матем. лит-ры, 1973. 736 с.

10. Присекин В.Л. Взаимодействие трехслойной пластины с акустической волной // В сб. Расчеты элементов авиационных конструкций. Вып. 4. М.: Машиностроение, 1965. С. 157 - 167.