CC BY
21
УДК 624.072.221
DOI: 10.31675/1607-1859-2022-24-4-110-129
Э.К. ОПБУЛ1, А-Х.Б. КАЛДАР-ООЛ2, ЛЕ КУАНГХЮИ1, 1 Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2Тувинский государственный университет
ДЕФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПРОЧНОСТИ ИЗГИБАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА В СРЕДЕ MATLAB
Аннотация. В статье приводятся деформационные модели расчета прочности изгибаемых железобетонных элементов в программе Matlab. Универсальность деформационной модели заключается в возможности проведения контрольных тестов, например верификации конструктивных расчетов в стадии проектирования.
На основе нормативных диаграмм деформирования материалов и способа итерационных вычислений предлагаются два независимых друг от друга нелинейных расчёта. Одно из главных принятых условий методов заключается в том, что итерационные процессы начинаются при упругой работе элемента. Задачей итерационных вычислений является определение величины максимальной кривизны элемента и соответствующих ей деформаций. Критерием прочности методов являются расчетные деформации, величина которых не должна превышать допустимых значений, указанных в строительных нормах и правилах.
Приводятся алгоритмы расчетов в виде блок-схем, полученные результаты практических расчетов и выводы.
Ключевые слова: деформационная модель, нелинейный расчет, итерация, матрица жесткости, деформации, напряжения, железобетон
Для цитирования: Опбул Э.К., Калдар-оол А-Х.Б., Ле Куанг Хюи. Деформационная модель прочности изгибаемого элемента в среде Matlab // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2022. Т. 24. № 4. С. 110-129. DOI: 10.31675/1607-1859-2022-24-4-110-129
E.K. OPBUL1, A-Kh.B. KALDAR-OOL2, LE QUANG HUY1, 1 Saint-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, 2Tuvan State University
DEFORMATION MODELING OF BENDING ELEMENT STRENGTH IN MATLAB
Abstract. The paper presents the strength analysis of bending reinforced concrete elements in the MATLAB support package. The versatility of the deformation model is its ability to conduct control tests, for example, verification of structural analysis at the design stage.
Based on the standard stress-strain state diagrams of materials and iteration procedures, two independent nonlinear analyses are suggested. One of the main accepted conditions is that iteration procedures occur at the elastic behavior of the member. Iteration procedures determine the maximum member curvature and its deformation. The strength criterion is theoretically calculated deformation, which must not exceed permissible values specified in construction codes and regulations. Calculation algorithms are given in flowcharts. In conclusion, the results of experimental data are presented.
© Опбул Э.К., Калдар-оол А-Х.Б., Ле Куанг Хюи, 2022
Keywords: deformation model, nonlinear strength analysis, iteration procedures, stiffness matrix, stress-strain state, reinforced concrete
For citation: Opbul E.K., Kaldar-Ool A-Kh.B., Le Kuang Khyui. Deformatsion-naya model' prochnosti izgibaemogo elementa v srede Matlab [Deformation modeling of bending element strength in Matlab]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta - Journal of Construction and Architecture. 2022. V. 24. No. 4. Pp. 110-129 DOI: 10.31675/1607-1859-2022-24-4-110-129
Введение
Объектом аналитического исследования является изгибающаяся железобетонная балка, находящаяся под действием равномерно распределенной нагрузки.
Предлагаемые методы, разработанные в программе Matlab, могут проводить расчёты прочности не только для тавровых или двутавровых сечений, но и могут быть адаптированы для более сложных форм поперечного сечения, например треугольной и круглой. При этом расхождения между результатами расчетов оказываются достаточно малы, порядка 1 %. Деформационные модели расчета могут быть эффективны и актуальны при проверке достоверности и надёжности проектных расчетов заказчика, когда уже определены несущая способность, трещиностойкость и жесткость элемента на изгиб.
Цель исследования - практическое применение деформационной модели при расчете прочности изгибаемых элементов в вычислительной среде Matlab.
Изгибаемым элементам посвящены исследования [1-5]. В работах [1-3] рассматривается довольно важный вопрос о наиболее безопасном и оптимальном проектировании конструкций, в котором используются аналитические и численные методы расчета. Актуальны исследования комбинированных изгибаемых элементов [4], состоящих сразу из нескольких материалов [5]: ламинированной фанеры, фибробетона [6-11], стали [12, 13] и композитной арматуры из полимеров [14, 15]. Есть исследования, в которых конструкционный материал одновременно не только прочный, но и легкий, армированный различными синтетическими полимерами [16, 17], коррозионностой-кая нержавеющая сталь [18-22].
Известен нормативный документ1, где приводится общая теория расчета железобетонных конструкций по деформационной модели. Применительно к изгибаемым элементам из фиброжелезобетона посвящены работы [23-26], в которых также использованы итерационные процедуры.
В работе [27] представлены ряд идей и формул для расчета изгибаемых железобетонных конструкций, основанные на методе проектирования UDM [28] и с традиционным подходом ACI [29]. Эти формулы и идеи имеют большое значение при обучении инженерных и конструкторских направлений, т. к. идея коэффициентов армирования наиболее понятна, чем декоративность материала.
1 СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Свод правил.
Исследования [30, 31] наглядно демонстрируют влияние нелинейных свойств бетона и арматуры на точность при расчете прогибов железобетонных балок. Подход к расчету основан на принципах нелинейного деформирования материалов и выполнен в виде численного эксперимента.
Моделирование поведения изгибаемых железобетонных балок с учетом реального напряженно-деформированного состояния представлено в работе [32]. Для улучшения физико-механических характеристик элементов конструкций на стадии проектирования конструкции необходимо оценить возможное сочетание влияний деформационных характеристик материалов, внешних нагрузок, технологии изготовления элементов конструкций и внешних условий окружающей среды.
Ниже представлены примеры расчета прочности изгибаемого железобетонного элемента по деформационной модели, также выполнен сравнительный расчёт зарубежного аналога [18].
1. Метод расчета
1.1. Диаграммы деформирования материалов (бетон, арматура) согласно своду правил СП 63.13330.2018
На рис. 1 представлены полные диаграммы деформированного состояния бетона при сжатии и растяжении.
Рис. 1. Диаграмма деформирования бетона
В табл. 1 представлены расчетные формулы для напряжений и модулей бетона в зависимости от деформаций.
При этом ем = гы,геа =15 -10-4; в62 = 35 • I0"4; = = 8 •10-5;
гЬ12 = 15 • 10"5.
На рис. 2 представлены полные диаграммы деформированного состояния арматуры при сжатии и растяжении.
Таблица 1
Напряжения и модули в бетоне при сжатии и растяжении
При сжатии При растяжении
е СТ E е СТ E
0 < е ь < е м ^ Ь = еЬ • ЕЬ Е = КЬ 0 < е ы < е Ьг1 0Ьг = е Ьг ' ЕЬг еь = КЬг
ЕЬ еЬ1, Твй еьг е Ьг1, теё
вЬ\ < еЬ < еЬ2 0 Ь = КЬ рг _ Кь еь = — еь еЬП < еЬг < еЫ2 0Ь г = КЬг р' - КЬг еьг =- е Ьг
е Ь 2 < е Ь Оь = 0 Е'ь = 0 е Ьг 2 < е Ьг Оь г = 0 ЕЬг = 0
Рис. 2. Диаграммы деформированного состояния арматуры
В табл. 2 представлены расчетные формулы для напряжений и модулей арматуры в зависимости от деформаций.
Таблица 2
Напряжения и модули в арматуре
При сжатии При растяжении
е СТ E е СТ E
0 < е 30 < е 300 0 = е • Е ' ^30 ^30 30 Е' = ^ Е'0 = е 300 0 < е 3 < е 3 0 0 3 = е 3 • Е3 к= е30
е$а0 < е.0 < е302 030 К30 Е' = ^ Е30 е30 е.0 < е3 < ез2 03 = К3 Е' = ^ Е3 = е 3
е.02 < е.0 О 30 = 0 Е.0 = 0 е з 2 < е 3 о 3 = 0 Е3 = 0
При этом в^о = —; е= 25 • 10 3; е„ „ = ^; е^ = 25 • 10 3.
Е30 Е3
1.2. Алгоритм расчёта первого метода
В первом деформационном методе расчета прочности изгибаемого железобетонного элемента алгоритм расчёта напряжений и деформаций выполняется согласно блок-схеме, представленной на рис. 3. Первая итерация начинается при условии упругой работы материалов нормального сечения. Затем, используя общеизвестные формулы, можно установить начальное положение нейтральной линии и вычислить кривизну элемента. Конец итерации заключается в определении деформаций и напряжений.
/ Initial data : M,b,h .
-У Concrete um- ll„, lit,, !'.„. . bt]. yb,
/ Hcinforccnwnl A400: H,. l„ Vj,.
where i - number of small section orßttittgs (i - 1,2,3,...n f; j - iteration number (j —1,2,3,...» J; Afl, • thickness (if the i-th small area; !>,„ - width of the i-th small section.
7
F.h targe rigidity, concrete class, etc.
y0-position of the neutral line at the j-ih iteration: у^ - center of gravity of the i-th small area; y,f- center of gravity of the i-th reinforcing bar. При j^I -* ;
Уы'У^-Уы: У,*
где у'ы ; y'ti • shoulder of a pair of forces, respectively, of the i-th section and the i-th reinforcement.
i _ t M_
ri £W ^ лы yj+1 E„ A„ yj
— - curvature at the j-th iteration; at j=J —* tt,-o,SS-F.t ; r!,-K,.
Рис. 3. Блок-схема первого метода
Последующая итерация начинается с определения модуля упругости (модуля деформаций) в зависимости от величины деформаций в элементарных (малых) участках сечения и нового положения нейтральной линии.
Итерационные вычисления заканчиваются тогда, когда будут установлены максимальная величина кривизны и соответствующие ей деформации в контролируемых точках нормального сечения. Контролируемыми точками являются крайняя сжатая фибра (бетон) и крайняя растянутая фибра (арматура) нормального сечения.
1.3. Алгоритм расчёта второго метода
Второй деформационный метод основан на использовании теории расчета, приведенной в СП 63.13330.2018, где кривизна определяется с помощью матрицы жесткостных характеристик поперечного сечения. Порядок расчета второго метода представлен на рис. 4.
Рис. 4. Блок-схема второго метода
2. Пример расчета
Исходные данные:
класс бетона В40: Яъ = 22 МПа, Яы = 1,4 МПа, Еь = 36000 МПа. Диаграммы состояния бетона и арматуры представлены на рис. 5 и 6.
1аь (МРа)
еы*10
1.4
аы (МРа)
Рис. 5. Диаграммы состояния бетона класса В40
4
25
5**10
355
1.775
а* (МРа)
а (МРа)
1.775
355
5Хс*103
25
Рис. 6. Диаграммы состояния арматуры класса А400
Продольная арматура класса А400: Я* = 355 МПа, Я*с = 355 МПа, Е* = 2 • 105 МПа.
Поперечное сечение 570x450 мм, длина ригеля 5400 мм (рис. 7). В сечении действует изгибающий момент, равный М = 430-106 Нмм.
Рис. 7. Поперечное сечение ригеля
Аналитические расчеты проводились с использованием программы Matlab, полученные результаты которых представлены на рис. 11-18. На рис. 8 представлены исходные данные для примера.
М (N.mm) = 430000000.000
Class concrete: В40
Rb (MPa) 22.000
Rbt (MPa) 1,400
Eb (MPa) 36000.000
Class stell: A-III
Rs (MPa) 355.000
Rst (MPa) 355.000
Es (MPa) 200000.000
Рис. 8. Исходные данные материала и значение момента
Перед началом итерационных расчетов предварительно необходимо произвольно сделать разбивку поперечного сечения на элементарные малые участки. В нашем случае количество малых участков поперечного сечения составило 13 (рис. 9).
На рис. 10 представлены количество слоев и расчетные параметры поперечного сечения ригеля.
310
± * 1 о ЕЗ
Cxj Г* —=-— -X о> о PO CN О -П
D 3ГО0 -X
-X
007 —1- -< ---U- -^— 30 45
зсо I -X 45 32 О CXI cxl
Ф -О <£> - — С"ч| 00 1 Ф (№ -4Ф- LO Cü -ö ГО
130 I 250 i 130
_570_
Рис. 9. Разбивка поперечного сечения
Рис. 10. Основные параметры слоев по сечению:
i - порядковый номер малого участка; deltabi, yb(i), bbi, Abi - соответственно высота, расстояние от крайнего волокна нижней растянутой зоны до центра тяжести, ширина и площадь; ysi, Asi - соответственно расстояние от внешнего края нижней пристройки до центра тяжести и площадь арматуры
С целью сокращения объема статьи ниже приводятся только первая, вторая и последняя итерации (рис. 11-16).
3. Результаты 3.1. Пример расчета по первому методу М1
Приведены: j - итерация; ynl(1, j) - расстояние от нейтральной оси до крайнего края растянутой зоны сечения; a = 1/r - расчётная кривизна; delta -относительное отклонение кривизны; eps_b(i,j), sig_b(i,j), Eph_b(i,j) - соответственно значения деформаций, напряжений и модуля бетона i-го слоя при j-й итерации; eps_bcalc(i,j), sig_bcalc(i,j) - соответственно расчетные значения деформаций, напряжений бетона i-го слоя при j-й итерации; eps_s(i,j), sig_s(i,j), Eph_s(i,j) - соответственно значения деформаций, напряжений и мо-
дуля арматуры /-го слоя при ]-й итерации; вр8_8са1с(1, ]), sig_scalc(i, ]) - соответственно расчетные значения деформаций, напряжений арматуры /-го слоя при]-й итерации; Мса1с - расчетный момент. а) Первая итерация
На рис. 11 и 12 представлены первая итерация и эпюра деформаций и напряжений в поперечном сечении.
Рис. 11. Первая итерация
~ "400"-
--350"" "300"
250
200
- -150--
^ео--
¿"50"-
^ФПГФ! I
Ь (тт) х 400
350
300
250
200
Б^евв (МРа)
И(тЯо /
350 /
300 /
/
200 /
15 (/
100
-5°" I-31дта Ье1оп I -51дта 51ее1/101
Ь (тгп)
ервИоп х10"3
Рис. 12. Эпюра деформаций и напряжений в поперечном сечении первой итерации Ь) Вторая итерация
На рис. 13 и 14 представлены результаты второй итерации.
Рис. 13. Вторая итерация
- - -ф- чоо-
250
200 Ф
© © ® 5СГ ©
Stress (МРа)
h (mm) 400 /
300 /
250 /
Â50
/ 100
/ 50
* 400
350 у
300 /
250 /
200^ —
150
100
50 I-sigma béton I -sigma steel/101
Ь (mm) epsilon ю - sigma
Рис. 14. Эпюра деформаций и напряжений второй итерации с) Двадцать вторая итерация
На рис. 15 и 16 представлены эпюры деформаций и напряжений двадцать второй итерации.
Рис. 15. Двадцать вторая итерация
© -hfrrrn^
300
200
_____в____i _____m_____ _
s ® ® Ф ® ®
400 h (mm) /
350 /
300 /
250 /
/150
/ 100
/ 50
400 350
250 150 100
--sigma béton I -sigma steei/iû |
-200 -100 О 100 200 b(mm)
Рис. 16. Эпюры деформаций и напряжений двадцать второй итерации
3.2. Пример расчета по второму методу М2
В связи с тем, что результаты расчетов второго метода показывают абсолютно такие же численные значения, как и в первом методе, ниже, на
рис. 17 и 18, представлены результаты только первой и последней итераций в табличной форме.
На рис. 17 и 18 представлены первая и двадцать вторая итерации.
Рис. 17. Первая итерация
Рис. 18. Двадцать вторая итерация
Минимальное относительное отклонение расчётов, равное 5 = 1,05 %, показывает двадцать вторая итерация в обоих случаях.
В табл. 3 в зависимости от рис. 15 (метод 1) и 18 (метод 2) представлен деформационный критерий прочности по [23]. Полученные расчетные деформации первого и второго методов показывают абсолютно одинаковые значения.
Tаблица 3
Деформации в контролируемых точках
Деформационный критерий прочности в контролируемых точках
В сжатой зоне еь (max) е6 <[ей] = 3,5-10-3 [23] В растянутой зоне es (max) ей <[е, ] = 25 -10-3 [23]
3,059 10-3 Условие выполняется 2,399 10-3 Условие выполняется
4. Сравнительный расчет предлагаемой методики с зарубежными стандартами
Для оценки возможностей предложенных деформационных методов ниже приводится сравнительный расчет с результатами расчетов, выполненных по нормам зарубежных стран. Согласно источнику [18], изгибаемый железобетонный элемент представляет собой балку типа Ж, армированную нержавеющей арматурной сталью класса 1.4311 (304Ь№) с геометрическими размерами 150x280x2950 (рис. 19). Рассмотрены элементы с классом бетона С30 (В30). Арматурные стержни принимаются 2ф12 (А = 226,08 мм2) и на сжатие 2ф8 (А = 100,48 мм2) с расчетным сопротивлением & = 480 МПа (условный предел текучести). Расстояние от краевой поверхности балки до центра тяжести натянутой арматуры а' = 29 мм.
Рис. 19. Железобетонная балка (30^^
Согласно пункту 8.1.9 в работе [23], в случае = — < предельный
й0
момент М18 определяется по формуле
МЬ5 = Яь ■ Ь ■ х (Ь - 0,5 • х) + ■ 4( И0 - а') ;
• а:
x =
Rs • As - Rsc
Rh ■ b
Соответственно для балок из бетона В30:
- высота сжатой зоны: 23,64 мм;
- предельный момент: Мья = 24,91 кН^м.
На рис. 20 представлены количество слоев и расчетные параметры поперечного сечения железобетонной балки.
Parameters of section layers
9.0 10.0
deltabi bbi yb(i) Abi ysi Asi
(mm) (mm) (mm) (mm2) (mm) (mm2)
25.000 150.000 12.500 3750.000 0.000 0.000
12.000 150.000 31.000 1573.920 31.000 226.080
35.000 150.000 54.500 5250.000 0.000 0.000
35.000 150.000 89.500 5250.000 0.000 0.000
35.000 150.000 124.500 5250.000 0.000 0.000
35.000 150.000 159.500 5250.000 0.000 0.000
35.000 150.000 194.500 5250.000 0.000 0.000
35.000 150.000 229.500 5250.000 0.000 0.000
8.000 150.000 251.000 1099.520 251.000 100.480
25.000 150.000 267.500 3750.000 0.000 0.000
Рис. 20. Расчетные параметры поперечного сечения балки
а) На рис. 21 и 22 представлена последняя 54-я итерация первого метода, при котором относительное отклонение составило 5 = 0,99 %.
Рис. 21. Деформации и напряжения
h(mm)
/ 200
/
/
/ 100
Щт 50
Stress (МРа)
/
250
/
sigma befoti I sigma steeVIO
—
100 150 -10
b(mm)
■> и £0 ^0 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
epsiton хЮ"3 sigma
Рис. 22. Эпюры деформаций и напряжений Ь) На рис. 23 и 24 представлены результаты расчётов второго метода.
Рис. 23. Результаты расчета
Полученные численные значения деформаций и напряжений в обоих методах абсолютно одинаковы, и коэффициент отклонения составляет 5 = 0,99 %.
Section Strain stress (МРа)
100 150 -10 -5 0 -50 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
b{mm) epsilon ,1Л ' s¡gma
Рис. 24. Эпюры деформаций и напряжений
с) Сравнение результатов расчета изгибаемой балки 1.4311 (304LN) методами № 1 и № 2.
В табл. 4 в зависимости от рис. 21 (метод 1) и 23 (метод 2) представлен деформационный критерий прочности. Полученные расчетные деформации первого и второго методов показывают абсолютно одинаковые значения.
Tаблица 4
Деформации в контролируемых точках
Деформационный критерий прочности в контролируемых точках
В сжатой зоне eb (max) г„ <[e¿] = 3,5-Ю-3 [23] В растянутой зоне e* (max) г„ < [es ] = 25 -10-3 [23]
1,602 -10-3 Условие выполняется 7,016 -10-3 Условие выполняется
В табл. 5 приведены сравнения изгибающих моментов.
Tаблица 5
Изгибающие моменты
Results according to [18] table 4 [23] DM
Mec2 (кН-м) Mam (кН-м) Mfe (кН-м) Msm (кН-м) Mls (кН-м) 1 1 ^ ? £ ^ Si Mec2¡M\ (%) Mam/Mi (%) Mfe/Mi (%) Msm/Mi (%)
26,15 31,95 39,56 30,20 24,91 24,668 6,01 29,45 60,37 22,43
Здесь Mec2 - момент по Еврокод-2; Mam - полный аналитический момент; Mfe - численный момент Abaqus; Mm - упрощенный аналитический момент; Mls - предельный момент по СП 63.13330.2018; DM - деформационная модель; Mi, M2 - методы 1 и 2.
Численные значения моментов согласно [18], представленные в табл. 5, показывают хорошую сходимость деформационных методов (Mi, М2) с результатами расчётов по Еврокод-2 (Mec2), и погрешность составляет порядка 6 %.
Достаточно большое расхождение (60 %) между методами Mi, М2, Mec2 и Abaqus объясняется с тем, что в первом случае использовано расчетное сопротивление стали сто,2, а во втором в численном методе - предельное сопротивление Su.
При этом, согласно напряженно-деформированному состоянию, представленному на рис. 23 и 24, экспериментальная балка 1.4311 (304LN) по [18] проектирована неэффективно, т. к. высота сжатой зоны достаточно мала, а значит, и жесткость недостаточна.
Выводы
По результатам предложенных методов аналитического расчета с использованием программного комплекса Matlab можно сделать следующие выводы:
1. Применение полученных алгоритмов эффективно при проверке надежности проектных расчетов, в том числе при проектировании зданий и сооружений с заранее известными расчетными параметрами (класс бетона, арматура, геометрические характеристики, усилия) элементов конструкций из комбинированных строительных материалов.
2. Предложенные методы применимы к поперечному сечению балки «Т-образной» и прямоугольной балки и могут быть адаптированы для более сложных форм поперечного сечения.
3. Окончательные результаты сохраняются в виде таблиц и графически отображаются в рабочем пространстве программного пакета Matlab, что обеспечивает взаимодействие с другими текстовыми редакторами.
4. Эти методы практичны и обладают достаточно высокой скоростью вычислений за счет использования матричной записи систем уравнений.
5. Представленные две модели деформации дают идентичные численные результаты, которые показывают адекватность методов.
6. Метод 1 имеет преимущества перед методом 2, т. к. в первом случае легко определить положение нейтральной линии и высоту сжатой зоны.
Библиографический список
1. Michal D., Jacek S. Design Aspects of the Safe Structuring of Reinforcement in Reinforced Concrete Bending Beams // Procedia Engineering. 2017. V. 172. P. 211-217. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.02.051
2. Herranz J.P., Maria H.S., Gutiérrez S., Riddell R. Optimal Strut-and-tie models using full ho-mogenization optimization method // ACI Structural Journal. 2012. V. 109(5). P. 605-613. D0I:10.14359/51684038 _
3. Garstecki A., Glema A., Scigallo J. Optimal design of reinforced concrete beams and frames // Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences. 1996. V. 3 (3). P. 223-231.
4. Amin A., Gilbert R.I. Instantaneous Crack Width Calculation for Steel Fiber-Reinforced Concrete Flexural Members // Aci Structural Journal. 2018. V. 115. № 2. P. 535-542. D0I:10.14359/51701116
5. Szeptynski P. Comparison and experimental verification of simplified one-dimensional linear elastic models of multilayer sandwich beams // Composite Structures. 2020. V. 214. P. 1-13. DOI: 10.1016/j. compstruct.2020.112088
6. Gao D.Y., Gu Z. qiang, Wu C. Bending Behavior and Deflection Prediction of High-Strength SFRC Beams under Fatigue Loading // Journal of Materials Research and Technology. 2020. V. 9. P. 6143-6159. DOI: 10.1016/j.jmrt.2020.04.017
7. Wu Z., Shi C., He W., Wu L. Effects of steel fiber content and shape on mechanical properties of ultra high-performance concrete // Construction and Building Materials. 2016. V. 103. P. 8-14. D01:10.1016/j.conbuildmat.2015.11.028
8. Yoo D.Y., Banthia N., Yoon Y.S. Impact resistance of reinforced ultra-high-performance concrete beams with different steel fibers // ACI Structural Journal. 2017. V. 114 (1). P. 113-124. D0I:10.14359/51689430
9. Ulzurrun G.S.D., Zanuy C. Enhancement of impact performance of reinforced concrete beams without stirrups by adding steel fibers // Construction and Building Materials. 2017. V. 145. P. 166-182. D0I:10.1016/j.conbuildmat.2017.04.005
10. Gali S., Subramaniam K.V.L. Investigation of the dilatant behavior of cracks in the shear response of steel fiber reinforced concrete beams // Engineering Structures. 2017. V. 152. P. 832-842. D0I:10.1016/j.engstruct.2017.09.050
11. Li Q., Huang B., Xu S., Zhou B., Yu R.C. Compressive fatigue damage and failure mechanism of fiber reinforced cementitious material with high ductility // Cement and Concrete Research. 2016. V. 90. P. 174-183. D0I:10.1016/j.cemconres.2016.09.019
12. Butean C., Heghes B. Cost Efficiency of a Two Layer Reinforced Concrete Beam // Procedia Manufacturing. 2020. V. 46. P. 103-109. D0I:10.1016/j.promfg.2020.03.016
13. Glowacki M., Kowalski R. An experimental approach to the estimation of stiffness changes in RC elements exposed to bending and high temperature // Engineering Structures. 2020. V. 217. P. 1-15. D0I:10.1016/j. engstruct.2020. 110720
14. Zhu H., Cheng S., Gao D., Neaz S.M., Li C. Flexural behavior of partially fiber-reinforced high-strength concrete beams reinforced with FRP bars // Construction and Building Materials. 2018. V. 161. Pp. 587-597. D0I:10.1016/j.conbuildmat.2017.12.003
15. Song A., Wan S., Jiang Z., Xu J. Residual deflection analysis in negative moment regions of steel-concrete composite beams under fatigue loading // Construction and Building Materials. 2018. V. 158. P. 50-60. D0I:10.1016/j.conbuildmat.2017.09.075
16. Fava G., Carvelli V., Pisani M.A. Remarks on bond of GFRP rebars and concrete // Composites Part B: Engineering. 2016. V. 93. P. 210-220. D0I:10.1016/j.compositesb.2016.03.012
17. Aulia T.B., Rinaldi. Bending capacity analysis of high-strength reinforced concrete beams using environmentally friendly synthetic fiber composites // Procedia Engineering. 2015. V. 125. P. 1121-1128. D0I:10.1016/j.proeng.2015.11.136
18. Rabi M., Cashell K.A., Shamass R. Flexural analysis and design of stainless steel reinforced concrete beams // Engineering Structures. 2019. V. 198. P. 1-13. D0I:10.1016/j.engstruct. 2019.109432
19. Cramer S.D., Covino B.S., Bullard S.J., Holcomb G.R., Russell J.H., Nelson F.J., Laylor H.M., Soltesz S.M. Corrosion prevention and remediation strategies for reinforced concrete coastal bridges // Cement and Concrete Composites. 2002. V. 24. P. 101-117. D0I:10.1016/S0958-9465(01)00031-2
20. Briz E., Biezma M. V., Bastidas D.M. Stress corrosion cracking of new 2001 lean-duplex stainless steel reinforcements in chloride contained concrete pore solution: An electrochemical study // Construction and Building Materials. 2018. V. 192. P. 1-8. D0I:10.1016/ j.conbuildmat.2018.10.108
21. Yadollahi A., Shamsaei N., Thompson S.M., Elwany A., Bian L. Effects of building orientation and heat treatment on fatigue behavior of selective laser melted 17-4 PH stainless steel // International Journal of Fatigue. 2017. V. 94. P. 218-235. D0I:10.1016/j.ijfatigue.2016.03.014
22. Hou Z., Chen S., Sun Q., Wei X., Lv W. Experimental research on fatigue characteristics of X12Cr13 stainless steel // Journal of Materials Research and Technology. 2020. V. 9. P. 3230-3240. D0I:10.1016/j.jmrt.2020.01.070
23. Opbul E.K., Dmitriev D.A., Vedernikova A.A. Calculation of Bending of Steel-Fiber-Reinforced Concrete Members by a Nonlinear Deformation Model with the Use of Iteration Procedures // Mechanics of Composite Materials. 2018. V. 54 № 5. P. 1-24. D0I:10.1007/s11029-018-9769-x
24. Опбул Э.К., Ондар Э.Э., Калдар-оол А-Х.Б. Расчет прочности фиброжелезобетонных изгибаемых элементов с использованием трехлинейной диаграммы деформирования растянутой зоны // Научное обозрение. 2016. № 14. С. 100-106.
25. Опбул Э.К., Ондар Э.Э., Калдар-оол А-Х.Б. Деформационные модели расчета прочности изгибаемых железобетонных элементов // Вестник Тувинского государственного университета. Технические и физико-математические науки. 2020. № 1 (58). С. 6-22.
26. Опбул Э.К., Калдар-оол А.Х.Б. Практическое применение нелинейной деформационной модели в расчёте коротких железобетонных элементов, находящихся в косом внецен-тренном сжатии // Вестник Тувинского государственного университета. Технические и физико-математические науки. 2022. № 1 (90). С. 34-48.
27. Munshi J.A. Design of prestressed flexural sections by the Unified Design Approach // PCI Journal. 1999. V. 46. P. 76-87. DOI:10.15554/pcij.09011999.72.81
28. Orozco C.E. Strain limits vs. reinforcement ratio limits - A collection of new and old formulas for the design of reinforced concrete sections // Case Studies in Structural Engineering. 2015. V. 4. P. 1-13. DOI:10.1016/j.csse.2015.05.001
29. ACI318. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary (ACI 318M-11). 2011. ISBN: 9780870312649.
30. PanfilovD.A., PischulevA.A., Romanchkov V.V. The Methodology for Calculating Deflections of Statically Indeterminate Reinforced Concrete Beams (Based on Nonlinear Deformation Model) // Procedia Engineering. 2016. V. 153. P. 531-536. DOI:10.1016/j.proeng.2016.08.183
31. Gilbert R.I. The serviceability limit states in reinforced concrete design // Procedia Engineering. 2011. V. 14. P. 385-395. DOI:10.1016/j.proeng.2011.07.048
32. Wróblewski R., Ignatowicz R., Gierczak J. Influence of Shrinkage and Temperature on a Composite Pretensioned - Reinforced Concrete Structure // Procedia Engineering. 2017. V. 193. P. 96-103. DOI:10.1016/j.proeng.2017.06.191
REFERENCES
1. Michal D., Jacek S. Design aspects of the safe structuring of reinforcement in reinforced concrete bending beams. Procedia Engineering. 2017. V. 172. Pp. 211-217. DOI: 10.1016/ j.proeng .2017.02.051
2. Herranz J.P., Maria H.S., Gutiérrez S., Riddell R. Optimal strut-and-tie models using full ho-mogenization optimization method. ACI Structural Journal. 2012. V. 109. No. 5. Pp. 605-613. DOI:10.14359/51684038
3. Garstecki A., Glema A., Scigallo J. Optimal design of reinforced concrete beams and frames. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences. 1996. V. 3. No. 3. Pp. 223-231.
4. Amin A., Gilbert R.I. Instantaneous crack width calculation for steel fiber-reinforced concrete flexural members. ACI Structural Journal. 2018. V. 115. No. 2. Pp. 535-542. DOI:10.14359/51701116
5. Szeptynski P. Comparison and experimental verification of simplified one-dimensional linear elastic models of multilayer sandwich beams. Composite Structures. 2020. V. 214. Pp. 1 -13. DOI: 10.1016/j. compstruct.2020.112088
6. Gao D.Y., Gu Z. Qiang, Wu C. Bending behavior and deflection prediction of high-strength SFRC beams under fatigue loading. Journal of Materials Research and Technology. 2020. V. 9. Pp. 6143-6159. DOI: 10.1016/j.jmrt.2020.04.017
7. Wu Z., Shi C., He W., Wu L. Effects of steel fiber content and shape on mechanical properties of ultra high-performance concrete. Construction and Building Materials. 2016. V. 103. Pp. 8-14. DOI:10.1016/j. conbuildmat.2015.11.028
8. Yoo D.Y., Banthia N., Yoon Y.S. Impact resistance of reinforced ultra-high-performance concrete beams with different steel fibers. ACI Structural Journal. 2017. V. 114 No. 1. Pp. 113-124. DOI:10.14359/51689430
9. Ulzurrun G.S.D., Zanuy C. Enhancement of impact performance of reinforced concrete beams without stirrups by adding steel fibers. Construction and Building Materials. 2017. V. 145. Pp. 166-182. DOI:10.1016/j.conbuildmat.2017.04.005
10. Gali S., Subramaniam K. V.L. Investigation of the dilatant behavior of cracks in the shear response of steel fiber reinforced concrete beams. Engineering Structures. 2017. V. 152. Pp. 832-842. DOI:10.1016/j.engstruct.2017.09.050
11. Li Q, Huang B., Xu S., Zhou B., Yu R.C. Compressive fatigue damage and failure mechanism of fiber reinforced cementitious material with high ductility. Cement and Concrete Research. 2016. V. 90. Pp. 174-183. D01:10.1016/j.cemconres.2016.09.019
12. Butean C., Heghes B. Cost Efficiency of a two layer reinforced concrete beam. Procedia Manufacturing. 2020. V. 46. Pp. 103-109. D0I:10.1016/j.promfg.2020.03.016
13. Glowacki M., Kowalski R. An experimental approach to the estimation of stiffness changes in RC elements exposed to bending and high temperature. Engineering Structures. 2020. V. 217. Pp. 1-15. D0I:10.1016/j. engstruct.2020.110720
14. Zhu H., Cheng S., Gao D., Neaz S.M., Li C. Flexural behavior of partially fiber-reinforced high-strength concrete beams reinforced with FRP bars. Construction and Building Materials. 2018. V. 161. Pp. 587-597. D0I:10.1016/j.conbuildmat.2017.12.003
15. Song A., Wan S., Jiang Z., Xu J. Residual deflection analysis in negative moment regions of steel-concrete composite beams under fatigue loading. Construction and Building Materials. 2018. V. 158. Pp. 50-60. D0I:10.1016/j.conbuildmat.2017.09.075
16. Fava G., Carvelli V., Pisani M.A. Remarks on bond of GFRP rebars and concrete. Composites PartB: Engineering. 2016. V. 93. Pp. 210-220. D0I:10.1016/j.compositesb.2016.03.012
17. Aulia T.B., Rinaldi. Bending capacity analysis of high-strength reinforced concrete beams using environmentally friendly synthetic fiber composites. Procedia Engineering. 2015. V. 125. Pp. 1121-1128. D0I:10.1016/j.proeng.2015.11.136
18. Rabi M., Cashell K.A., Shamass R. Flexural analysis and design of stainless steel reinforced concrete beams. Engineering Structures. 2019. V. 198. Pp. 1-13. D0I:10.1016/j.engstruct. 2019.109432
19. Cramer S.D., Covino B.S., Bullard S.J., Holcomb G.R., Russell J.H., Nelson F.J., Laylor H.M., Soltesz S.M. Corrosion prevention and remediation strategies for reinforced concrete coastal bridges. Cement and Concrete Composites. 2002. V. 24. Pp. 101-117. D0I:10.1016/S0958-9465(01)00031-2
20. Briz E., Biezma M. V., Bastidas D.M. Stress corrosion cracking of new 2001 lean-duplex stainless steel reinforcements in chloride contained concrete pore solution: An electrochemical study. Construction and Building Materials. 2018. V. 192. Pp. 1-8. D0I:10.1016/j.conbuild-mat.2018.10.108
21. Yadollahi A., Shamsaei N., Thompson S.M., Elwany A., Bian L. Effects of building orientation and heat treatment on fatigue behavior of selective laser melted 17-4 PH stainless steel. International Journal of Fatigue. 2017. V. 94. Pp. 218-235. D0I:10.1016/j.ijfatigue.2016.03.014
22. Hou Z., Chen S., Sun Q., Wei X., Lv W. Experimental research on fatigue characteristics of X12Cr13 stainless steel. Journal of Materials Research and Technology. 2020. V. 9. Pp. 3230-3240. D0I:10.1016/j.jmrt.2020.01.070
23. Opbul E.K., Dmitriev D.A., Vedernikova A.A. Calculation of bending of steel-fiber-reinforced concrete members by a nonlinear deformation model with the use of iteration procedures. Mechanics of Composite Materials. 2018. V. 54 No. 5. Pp. 1-24. D0I:10.1007/s11029-018-9769-x
24. Opbul E.K., Ondar E.E., Kaldar-ool A-Kh.B. Raschet prochnosti fibrozhelezobetonnykh iz-gibaemykh elementov s ispol'zovaniem trekhlineinoi diagrammy deformirovaniya rastyanutoi zony [Strength analysis of fiber-reinforced concrete bending elements using three-line stressstrain diagram of tension region]. Nauchnoe obozrenie. 2016. No. 14. Pp. 100-106. (rus)
25. Opbul E.K., Ondar E.E., Kaldar-ool A-Kh.B. Deformatsionnye modeli rascheta prochnosti iz-gibaemykh zhelezobetonnykh elementov [Deformation models of strength of bending steel elements]. Vestnik Tuvinskogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie i fiziko-matema-ticheskie nauki. 2020. No. 1 (58). Pp. 6-22. (rus)
26. Opbul E.K., Kaldar-ool A.Kh.B. Prakticheskoe primenenie nelineinoi deformatsionnoi modeli v raschete korotkikh zhelezobetonnykh elementov, nakhodyashchikhsya v kosom vnetsen-trennom szhatii [Application of nonlinear deformation model for strength analysis of short reinforced concrete elements under oblique eccentrical compression]. Vestnik Tuvinskogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie i fiziko-matematicheskie nauki. 2022. No. 1 (90). Pp. 34-48. (rus)
27. Munshi J.A. Design of prestressed flexural sections by the unified design approach. PCI Journal. 1999. V. 46. Pp. 76-87. D0I:10.15554/pcij.09011999.72.81
28. Orozco C.E. Strain limits vs. reinforcement ratio limits - A collection of new and old formulas for the design of reinforced concrete sections. Case Studies in Structural Engineering. 2015. V. 4. Pp. 1-13. D0I:10.1016/j.csse.2015.05.001
29. ACI 318. Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary (ACI 318M-11). 2011. ISBN:9780870312649.
30. Panfilov D.A., Pischulev A.A., Romanchkov V.V. The methodology for calculating deflections of statically indeterminate reinforced concrete beams (based on nonlinear deformation model). Procedia Engineering. 2016. V. 153. Pp. 531-536. D0I:10.1016/j.proeng.2016.08.183
31. Gilbert R.I. The serviceability limit states in reinforced concrete design. Procedia Engineering. 2011. V. 14. Pp. 385-395. D0I:10.1016/j.proeng.2011.07.048
32. Wroblewski R., Ignatowicz R., Gierczak J. Influence of shrinkage and temperature on a composite pretensioned - Reinforced concrete structure. Procedia Engineering. 2017. V. 193. Pp. 96-103. D0I:10.1016/j.proeng.2017.06.191
Сведения об авторах
Опбул Эрес Кечил-оолович, канд. техн. наук, зав. лабораторией, Санкт-Петербургский государственный архитектурно--строительный университет, 190005, г. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4, fduecnufce@mail.ru
Калдар-оол Анай-Хаак Бугалдаевна, канд. техн. наук, ст. преподаватель, Тувинский государственный университет, 667000, Республика Тыва, г. Кызыл, ул. Ленина, 36, oorzhaka-h@mail.ru
Ле Куанг Хюи, аспирант, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 190005, г. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4, lqh189@lqdtu.edu.vn
Authors Details
Eres K. Opbul, PhD, Laboratory Head, Saint-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering 4, 2nd Krasnoarmeiskaya Str., 190005, Saint-Petersburg, Russia, fduecnufce@mail.ru
Anai-Khaak B. Kaldar-ool, PhD, Senoir Lecturer, Tuvan State University, 36, Lenin Str., 667000, Kyzyl, Russia, oorzhaka-h@mail.ru
Le Quang Huy, Research Assistant, Saint-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering 4, 2nd Krasnoarmeiskaya Str., 190005, Saint-Petersburg, Russia, lqh189@lqdtu.edu.vn
