CC BY
41
УДК 691.32
doi 10.24411/2221-0458-2022-90-34-48
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ В РАСЧЁТЕ КОРОТКИХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ,
НАХОДЯЩИХСЯ В КОСОМ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ
1 2 Опбул Э.К. , Калдар-оол А-Х.Б.
1 Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет
2Тувинский государственный университет, г. Кызыл
PRACTICAL APPLICATION OF A NONLINEAR DEFORMATION MODEL IN THE CALCULATION OF SHORT REINFORCED CONCRETE ELEMENTS IN OBLIQUE EXCENTER COMPRESSION
E.K. Opbul1, A-Kh.B. Kaldar-ool2 1 Saint-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering 2Tuvan State University, Kyzyl
Настоящая статья посвящена практическому применению нелинейной деформационной модели при расчете железобетонных элементов, находящихся в сложном напряженно-деформированном состоянии, а именно при косом внецентренном сжатии. Идея деформационного метода, основанного на действующих нормах, заключается в следующем. Перед началом расчёта поперечное сечение элемента разбивается на элементарные участки (малые участки). Далее, в табличной форме, вычисляются расчётные геометрические параметры элементарных участков поперечного сечения. Посредством последовательного приближения или метода итераций, начиная с упругой, устанавливаются все стадии напряженно-деформированного состояния каждого элементарного участка. Итерационные расчеты направлены на определение максимально возможной величины продольной кривизны элемента и соответствующие ей деформации (напряжения) малых участков. Первая итерация начинается при условии упругой работы сечения. Вторая и последующие итерации производятся на основе численного значения деформаций, полученных в результате первой. Итерационный процесс считается законченным, если относительное среднеквадратичное приращение деформаций на двух смежных итерациях становится малым. Результатом предложенного метода является сравнение нормативных и расчетных деформаций малых участков в контролируемых точках. За контрольными точками деформаций принято считать крайнюю фибру бетона сжатой зоны и крайнюю фибру
(арматуру) растянутой зоны. Приводятся алгоритм расчета метода в виде блок-схем, также выполнен пример расчета.
Ключевые слова: сложное напряженное состояние; косое сжатие; железобетон; деформационная модель; итерационная процедура; матрица жесткости; деформации; нейтральная линия; кривизна; жесткость
The article is devoted to the practical application of a nonlinear deformation model in the calculation of reinforced concrete elements that are in a complex stress-strain state, namely, under oblique eccentric compression. The idea of the deformation method, based on the current standards, is as follows. Before starting the calculation, the cross section of the element is divided into elementary sections (small sections). Further, in tabular form, the calculated geometric parameters of the elementary sections of the cross section are calculated. By successive approximation or the method of iterations, starting from the elastic one, all stages of the stress-strain state of each elementary section are established. Iterative calculations are aimed at determining the maximum possible value of the longitudinal curvature of the element and the deformations (stress) of small sections corresponding to it. The first iteration begins under the condition of elastic work of the section. The second and subsequent iterations are made on the basis of the numerical value of the deformations obtained as a result of the first. An iterative process is considered completed if the relative rms increment of strains at two adjacent iterations becomes small. The result of the proposed method is a comparison of standard and calculated deformations of small sections at controlled points. It is customary to consider the extreme concrete fiber of the compressed zone and the extreme fiber (reinforcement) of the tension zone as the control points of deformations. An algorithm for calculating the method in the form of block diagrams is given, and an example of calculation is also performed.
Keywords: complex stress state; oblique compression; reinforced concrete; deformation model; iterative procedure; stiffness matrix; deformations; neutral line; curvature; rigidity
В настоящее время, с появлением новых конструкционных материалов, обладающих достаточно большими прочностными характеристиками, а также с применением новых технологий в строительстве зданий и сооружений, создаются самые разнообразные
конструктивные схемы. При этом сложная конструктивная схема предполагает сложные условия эксплуатации и сложное напряженно-деформированное состояние (косое сжатие, косой изгиб, изгиб с кручением).
Между тем, проблема исследования конструкций, работающих в условиях сложных деформаций, в современной теории железобетона относится к одной из наиболее сложных и недостаточно изученных. В этой связи, предлагаемые практические расчёты косо-сжимаемых железобетонных элементов, выполненные на основе деформационной модели, являются достаточно актуальными.
Рассматривается расчёт короткого железобетонного элемента с
геометрическими размерами 200*300*800 мм, находящего в косом внецентренном сжатии. Действует внешняя продольная сила N которая приложена с эксцентриситетами еу = 75 мм, ех = 50 мм.
Известно [1-7], что внецентренно-сжатые элементы прямоугольной формы при соотношении длины к высоте сечения 10 л
меньше четырёх (— < 4 ) принято считать Ъ
короткими. При этом в расчётах коэффициент продольного изгиба не учитывается.
Задачей предложенного метода расчета является, посредством
последовательного приближения в виде итерационных процедур, определение максимально возможной величины продольной кривизны элемента и соответствующие ей величины деформаций малых участков. Первая итерация
начинается при условии упругой работы сечения. Вторая и последующие итерации производятся на основе численного значения деформаций, полученных в результате первой. Результатом
предложенного метода является сравнение нормативных и расчетных деформаций малых участков в контролируемых точках. За контрольными точками деформаций принято считать крайняя фибра сжатой зоны бетона и продольная растянутая арматура.
Максимальная продольная кривизна устанавливается из условия, что численное значение разниц между полученной и предыдущей итераций составляло не более 0,1% [8].
Отметим, что практические расчёты с применением нелинейной деформационной модели, применительно для изгибаемых элементов, были посвящены работы [9-13].
Принятые предпосылки и допущения:
1. Действует гипотеза плоских сечений на всех стадиях загружения.
2. Используются полные диаграммы «напряжения-деформации» для бетона и арматуры согласно [1-3] (рис.1-2).
3. Нормальное сечение представляется в дискретной форме - поперечное сечение элемента разбивается на элементарные участки, размеры которых принимаются исходя из удобства и требуемой точности (рис. 3).
1. Диаграммы деформирования материалов
а) расчетные формулы напряжений и модулей для бетона:
при сжатии бетона:
Б
пРи 0 ^8ы,у : у = Яы ;
8
b1,red
R
ъ .
Eb,red = COnst =
S b1,red
ПРИ 8bX,red < 8bi j — 8b2 : °bi. i = Rb i
bi,j * vb '
R
b .
Eb i, j = '
8 bi, j
при растяжении бетона:
пРИ 0 — 8bti, i — 8bared : °bti, j = Rbt
8bti,j
8
bt1,red
Ebt,red = COnst =
R
bt .
8 bt1,red
прИ
8bt1,red < 8bti,j — 8bt2 :
аыи,у - Яы!; ЕыI,у - ~ , Нй,}
где
Бы^ - 0,0015, вы^ - 0,0035, Бып,^ - 0,00008, вы!2 - 0,00015 -
нормативные деформации, характеризующие двухлинейную диаграмму бетона, Яы -расчетное сопротивление бетона сжатию, Яы! - расчетное сопротивление бетона р^та^™^ Еы^а, -
начальные модули упругости
бетона, Еы,-,у, Еыу -модули деформации
бетонных участков, оыу, оы, - сжимающие и растягивающие напряжения в бетоне, еыу, еъау - относительные деформации сжатия и растяжения бетона соответственно,/ -номер участка,] - номер итерации.
б) расчетные формулы напряжений и модулей для арматуры: при растяжении:
Б
ПРИ 0 <8j <8s0 ,j = Rs ■
SI ,J
8
s 0
E = E ;
S1,J s '
ПРИ 8s0 <8si, j <8s2 : j = Rs >
e . =R- •
Si, j '
8.
si,J
при сжатии:
ПРИ 0 <8j < 8s0 :°si,j = Rsc
8,
si, j
МПа,
8
s 0
E = E ;
si,J s '
ПРИ 8s0 < 8si,J < 8s2 : °"si, j = Rsc >
E = ^ •
8
si, j
R 340
гДе 8s 0 = =
E 2-105
= 0.0017
Бз2 - 0,025 - нормативные деформации, характеризующие двухлинейную диаграмму арматуры, Я - Я - 340 МПа -расчетное сопротивление растяжению и сжатию арматуры, Ех - 2 • 105 МПа -модуль упругости арматуры, Ез1у - модуль
деформацИИ арматуры, os
sci,j, "sij
сжИмающИе и растягИвающИе напряженИя
арматуры, е^ - относительные арматуры соответственно, / - номер
деформации сжатия и растяжения участка,] - номер итерации.
Рис. 1. Диаграмма деформирования бетона
Рис. 2. Диаграмма деформирования арматуры
2. Разбивка поперечного
сечения на элементарные участки
Перед началом расчёта,
предварительно поперечное сечение элемента разбивают на элементарные участки (рис. 3) и каждому из них
присваиваются порядковый номер. При этом на поперечном сечении произвольно выбирают точку «0», которая является точкой пересечения глобальных осей «у» и «х» (рис. 4).
Рис. 3. Разбивка поперечного сечения на элементарные участки и присвоение порядкового номера каждого / - го бетонного участка и арматуры
Следующий шаг, определение занесением их в расчетные таблицы (табл. площадей малых участков А^, А^ и 1, 2).
численного значения координат уЬ1 и у^ с
Рис. 4. Дискретная расчетная модель нормального сечения
3. Основные расчетные формулы и блок-схема
Внизу приводятся основные рабочие формулы для деформационного расчета прочности косо-сжимаемого элемента согласно [1-3].
А) Определение жесткостных характеристик:
Ах = Е А • у2ы • А,, + Е А • у1 ■ А,,, 2 2
п =Е А • х,2 • К ,+Е А • х2 • Е ,
22 / У 02 02 0, , / 52 52 ,
(1)
Д = VA. • y,. • x,. • E . + VA • y • x • E
Р / , bi .'bi bi о, ? / ; si ^si sa ;
Д13 = V A bi * Уй • Eb, j + V A» У • Es, ? ,
Д13 = V АЪ, -ХЫ • Eb,j + V Asi X- • Es, j
Д33 = V Abi • Eb,j +V Asi • Es,? ■ i i
Д21 = Д12> Д31 = Д13> Д32 = Д23 •
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
вида:
Б) Вычисление определителя матрицы
, det A Ф 0 . (8)
В) Произведение обратной матрицы в
f Д11 Д12 Д13 л
A = Д21 Д22 Д23
l Д31 Д32 Д33 J
виде:
( M Л ( x Л
A'1 х
My
V N j
V Х3 J
-1 -1
, где Xj — , Х2 —
Х3 = S0 . (9)
Г) Определение относительных деформаций:
1 1
S = S0 + — Xbi + — Уъг>
1 1
S = S0 + ~ ^i + — У* . r r
(10) (11)
Итерационный процесс считается законченным, если относительное среднеквадратичное приращение деформаций на двух смежных итерациях становится малым по формуле:
ь0, j s0, j+1
ь0, j+1
1/ rx, j - 1/ rx, j+1
1/r.
x, j+1
1/ryj -1/ry,j+1
1/r
< 0,001
y, j+1
(12)
Д) Условие прочности: • По деформациям:
Sbi,calc < [sb2 ] , Ssi,calc < [Ss2 ] ' (13)
где s
1
1
bi, calc S0 + • xbi + • ybi,
r r
1 1
Si,calc = S0 + — • xsi + ~ ■ ysi - расчетные
деформации, [sb2 ], [ss2 ] - допустимые
деформации.
• По усилиям:
^со/с = Е°"ь, • + • 4, ^ ^ •
(14)
В расчетных формулах приняты следующие параметры, Еьп - начальный модуль упругости при 1 итерации; Ebi j = Eb, j - модуль деформации в последующих итерациях; Esi j - модуль упругости арматуры при 1 итерации; Esi j = Es, j - модуль деформации
арматуры в последующих итерациях.
Таким образом, если в итерационных процессах выполняется расчетное условие (12), то по формулам (13) и (14) переходят к проверке прочности сечения.
2
2
2
+
+
r
r
x
Рис. 5. Блок-схема расчета
Рис. 6. Продолжение блок-схемы
40000 кг, эксцентриситеты приложения внешней силы: ех = 5 см, еу = 7,5см.
Точка приложения продольной силы N и предварительная разбивка поперечного сечения элемента выполнена в начале статьи и представлена на рисунке 3.
Заметим, что согласно рисункам 3 и 4 контролируемыми участками в данном случае являются: элементарный участок бетона сжатой зоны №1 и крайняя арматура №4 растянутой зоны.
Исходные данные представлены в виде таблиц 1-2 для бетона и арматуры.
Таблица 1. Исходные данные бетона
Пы xbi УЪг АЪг Еыц
см см см2 кг/см2
1 1,25 1,25 6,25 380000
2 3 1,25 2,5 380000
3 5,25 1,25 8,75 380000
4 8,5 1,25 7,5 380000
5 11,75 1,25 7,5 380000
6 14,75 1,25 8,75 380000
7 17 1,25 2,5 380000
8 18,75 1,25 6,25 380000
9 1,25 3 2,5 380000
10 3 3 0,211 380000
11 5,25 3 3,5 380000
12 8,25 3 3 380000
- - - - -
64 18,75 28,75 6,25 380000
4. Практический расчет в среде MathCad и результаты
Рассматривается железобетонная колонна: бетон класса В50 (Яь = 27,5 МПа, Яы = 1,6 МПа,
Еъ = 38000 МПа), арматура класса А400
010 мм (= = 340 МПа,
Е = 2 • 105 МПа). Геометрические размеры
поперечного сечения 200 х 300мми армирование железобетонного элемента приведены на рисунке 7, длина элемента 1000 мм. Внешняя продольная сила: N =
Таблица 2. Исходные данные арматуры
nSi xsi ySi Asi Esi,i
см см см2 кг/см2
1 3 3 0,789 2000000
2 17 3 0,789 2000000
3 3 27 0,789 2000000
4 17 27 0,789 2000000
где п^п^ - номер участка, xbi, xsi - расстояние от центра тяжестш'-го участка по оси х,уы, - расстояние от центра тяжести /-го участка по оси у, Abi, Asi - площади /-го участка, ЕЫ1 - начальный модуль упругости бетона /-го участка, - модуль упругости арматуры /'-го участка.
У
-1ШЮГ«» -а пг л И -ШЮ01505 -0.0000755 -О.ОООШМ | О.ИНЮ68Н | 0.1 Ю (1.0001611 Н 7
Л.1ЛЯШ IX р и -00002I» 12 1} 41.0001+4 5 -O.UOOOW5 41.0000003 1 0.1 1 L 0.0001»; 1 И 7 f I
л н •0.1*104 W8 -OLOOOSJ: № 71 -O.OOÖ3675 -0.0002201 •4.0001451 -O.O002I7J -OlOOOOT» -0. 00 1 -0.00005 W m i3
-0.000535« -а ж N • ЛДПШ1 »5- II ппгетм -о м -0.00013IS 1 20 80
-п,лоам№ -о. и -ОДОЮ122 «И ■0.000362: •0. 00 -ШИШ"» 2- 10
200
х
Рис. 7. Численные значения относительных деформаций
первой итерации:
где н.л. - нейтральная линия,
Ж-точка приложения сжимающей силы
Рис. 8. Численные значения относительных деформаций последней (11) итерации: где н.л. - нейтральная линия, Ж-точка приложения сжимающей силы
Практический расчёт выполнен по формулам (1) - (14) настоящей статьи. Для сокращения объема материала ниже на рисунках 7-8 представлены первая и
последняя итерации. Также на рисунке 9 представлен фрагмент скрипта на программе МаШСаё.
elb :=
E2b :=
for i e 1.. 64 els :=
z, <— N11I3 + Nnl j xbj + Nn^-ybj return z
for i e 1.. 64
E2b; <- 0.85-Ebi if 0 < -elb; < eblred Rb
E2bj
elb;
if eblred < -elbi < eb2
E2b; 0.85 Eb; if 0 < elb; < ebtlred Rbt
E2b;
|£lbi| E2b; <— 0 otherwise return E2b
if ebtlred < elb; < ebt2
for i e 1.. 4
zj <— N11I3 + N11I i'XSj + Nnl2yysi return z
E2s :=
for i e 1.
E2sj <- Esi if 0 < |els;| < esO;
Rsc ., . .
E2s; <-- -,-r it esOj < els; < es2
\el4\ I 4
E2s; <-- 0 otherwise return Е2з
Рис. 9. Фрагмент скрипта в программе MathCad
5. Проверка прочности
Внешняя продольная сила по исходным данным: , = 40000 кг.
внешн.
Деформационная проверка
прочности:
• ем = 0,001374 < 0,0035.
Проверка прочности по несущей способности:
• = ТъЛ^^Л^ 49,680 > 40,000 т.
В таблице 4 представлены полученные, в результате нелинейного деформационного расчёта, контролируемые расчётные параметры.
Таблица 4. Результаты расчета
Название Контролируемые расчетные параметры
Деформации ем = 0,001374 е54 = 0,0004955
Несущая способность 49,680 т
Аппроксимированная высота сжатой зоны Х=21,2 см
Таким образом, выше условия по деформациям и усилиям
представленный нелинейный расчёт выполняются, несущая способность
прочности косо-сжимаемого сечения обеспечена.
железобетонного элемента показывает, что
Библиографический список
1. СП 63.13330.2012. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-012003 (с изменениями № 1, 2). -Москва : Минстрой России, 2013. - Текст : непосредственный.
2. СНиП 52-01-2003 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. - Москва, 2004. - Текст : непосредственный.
3. Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения (к СП 52-101-2003). - Москва : ОАО ЦРИИ Промзданий, 2005. - 166 с. - Текст : непосредственный.
4. Байков, В. Н. Железобетонные конструкции. Общий курс : учебник для вузов / В. Н. Байков, Э. Е. Сигалов. - 4-е издание, переработанное. - Москва : Стройиздат, 1985. - 728 с. - Текст : непосредственный.
5. Бондаренко, В. М. Примеры расчета железобетонных и каменных конструкций : учебное пособие / В. М. Бондаренко, В. И. Римшин. - Москва : Высшая школа, 2006. -504 с. - Текст : непосредственный.
6. Кувалдин, А. Н. Примеры расчета железобетонных конструкций зданий Расчеты элементов конструкций гражданских и промышленных зданий : учебник / А. Н. Кувалдин, Г. С. Клевцова - 2-е издание, переработанное и дополненное. - Москва : Стройиздат, 1976. - 288 с. - Текст : непосредственный.
7. Мандриков, А. П. Примеры расчета железобетонных конструкций : учебное пособие для строительных техникумов по
специальности «Промышленное и
гражданское строительство». - Москва : Стройиздат, 1979. - 419 с. - Текст : непосредственный.
8. Байков, В. Н. Расчет на ЭВМ прочности по нормальным сечениям косо внецентренно сжатых железобетонных элементов / В. Н. Байков, М. И. Додонов, Б. С. Расторгуев, А. К. Фролов, Т. А. Мухамедиев. - Текст : непосредственный // Известия ВНИИГ. - 1988. - № 204. - С. 42-47.
9. Опбул, Э. К. Нелинейно-итерационный расчет прочности сталефиброжелезобетонных элементов с использованием опытных диаграмм деформирования материалов / Э.К. Опбул, Д. А. Дмитриев, А. А. Ведерникова. -Текст : непосредственный // Вестник гражданских инженеров - Санкт-Петербург : СПбГАСУ, 2017г. - № 1 (60). - С. 79-91.
10. Опбул, Э. К. Расчет прочности фиброжелезобетонных изгибаемых элементов с использованием трехлинейной диаграммы деформирования растянутой зоны / Э. К.Опбул, Э. Э. Ондар, А-Х. Б. Калдар-оол. -Текст : непосредственный // Научное обозрение. - 2016. - № 14. - С. 100-106.
11. Опбул, Э. К. Деформационые модели расчета прочности изгибаемых железобетонных элементов / Э. К. Опбул, Э. Э. Ондар, А-Х. Б. Калдар-оол. - Текст : непосредственный // Вестник Тувинского государственного университета. №3 Технические и физико-математические науки. - 2020. - № 1(58). - С. 6-22. - Б01 10.24411/2077-6896-2020-10023.
12. Опбул, Э. К. Практический расчет изгибаемых элементов с использованием нелинейной деформационной модели на примере типового
ригеля РГД 4.56-90 / Э. К. Опбул, Фан Ван Фук, Д. А. Дмитриев. - Текст : непосредственный // Вестник гражданских инженеров - Санкт-Петербург : СПбГАСУ, 2018г. - № 5 (70). - С. 58-68.
13. Опбул, Э. К. Расчет прочности предварительно напряжённых конструкций на основе нелинейной деформационной модели на примере многопустотной плиты перекрытия безопалубочной технологии / Э. К. Опбул, Д. А. Дмитриев. - - Текст : непосредственный // Вестник гражданских инженеров - Санкт-Петербург : СПбГАСУ, 2019г. - № 6 (77). - С. 93-110.
References
1. SP 63.13330.2012. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii. Osnovnye polozhenija. Aktualizirovannaja redakcija SNiP 52-01-2003 (s izmenenijami № 1, 2) [Code of Rules for Concrete and Reinforced Concrete Structures. The main provisions. Updated version of SNiP 52-012003 (with amendments No. 1, 2)]. Moscow, Ministry of Construction of Russia, 2013. (In Russian)
2. SNiP 52-01-2003 Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii. Osnovnye polozhenija [Concrete and Reinforced Concrete Structures. The main provisions]. Moscow, 2004. (In Russian)
3. Posobie po proektirovaniju betonnyh i zhelezobetonnyh konstrukcij iz tjazhelogo betona bez predvaritel'nogo naprjazhenija (k SP 52-1012003) [Manual for the design of concrete and reinforced concrete structures made of heavy concrete without prestressing]. Moscow, OAO CRII Promzdanij, 2005, 166 p. (In Russian)
4. Baikov V. N., Sigalov Ye.E. Zhelezobetonnye konstrukcii. Obshhij kurs : uchebnik dlja vuzov [Reinforced Concrete Structures. General Course. Textbook for university students]. 4th edition.
Moscow, Strojizdat Publ., 1985, 728 p. (In Russian)
5. Bondarenko V. M., Rimshin V. I. Primery rascheta zhelezobetonnyh i kamennyh konstrukcij : uchebnoe posobie [Examples of calculation of reinforced concrete and stone structures]. Moscow, Vysshaja shkola, 2006. 504 p. (In Russian)
6. Kuvaldin A. N., Klevtsova G.S. Primery rascheta zhelezobetonnyh konstrukcij zdanij Raschety jelementov konstrukcij grazhdanskih i promyshlennyh zdanij : uchebnik [Examples of calculation of reinforced concrete structures of buildings. Calculations of structural elements of civil and industrial buildings : textbook]. 2nd edition. Moscow, Strojizdat Publ., 1976, 288 p. (In Russian)
7. Mandrikov A. P. Primery rascheta zhelezobetonnyh konstrukcij : uchebnoe posobie dlja stroitel'nyh tehnikumov po special'nosti «Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo» [Examples of calculation of reinforced concrete structures : textbook for construction technical schools]. Moscow, Strojizdat Publ., 1979, 419 p. (In Russian)
8. Baikov V. N. et al. Raschet na JeVM prochnosti po normal'nym sechenijam koso vnecentrenno szhatyh zhelezobetonnyh jelementov [Calculation on a computer of strength according to normal cross sections of obliquely out-of-center compressed reinforced concrete elements]. Izvestija VNIIG. 1988. No. 204. P. 42-47. (In Russian)
9. Opbul E. K., Dmitriev D. A., Vedernikova A. A. Nelinejno-iteracionnyj raschet prochnosti stalefibrozhelezobetonnyh jelementov s ispol'zovaniem opytnyh diagramm deformirovanija materialov [Nonlinear iterative calculation of the strength of steel-reinforced
concrete elements using experimental diagrams of deformation of materials]. Vestnik grazhdanskih inzhenerov [Journal of Civil Engineers]. Saint-Petersburg, SPbGASU, 2017, no. 1 (60). P. 79-91. (In Russian)
10. Opbul E. K., Ondar E.E., Kaldar-ool A. B. Raschet prochnosti fibrozhelezobetonnyh izgibaemyh jelementov s ispol'zovaniem trehlinejnoj diagrammy deformirovanija rastjanutoj zony [Calculation of the strength of fibro-reinforced concrete bendable elements using a three-line diagram of the deformation of the stretched zone]. Nauchnoe obozrenie. 2016. No. 14. P. 100-106. (In Russian)
11. Opbul E. K. Ondar E.E., Kaldar-ool A. B. Deformacionye modeli rascheta prochnosti izgibaemyh zhelezobetonnyh jelementov [Deformation models for calculating the strength of bent reinforced concrete elements]. Vestnik of Tuvan State University, no.3 Tehnical Sciences. Physial and Mathematical Sciences. 2020, no. 1(58), p. 6-22. (In Russian)
12. Opbul E. K., Fan Van Fuk, Dmitriev D. A. Prakticheskij raschet izgibaemyh jelementov s ispol'zovaniem nelinejnoj deformacionnoj modeli na primere tipovogo rigelja RGD 4.56-90 [Practical calculation of bendable elements using a nonlinear deformation model on the example of a typical RGD 4.56-90 crossbar]. Vestnik grazhdanskih inzhenerov [Journal of Civil Engineers]. Saint-Petersburg, SPbGASU, 2018, no. 5 (70), p. 58-68. (In Russian)
13. Opbul E. K., Dmitriev D. A. Raschet prochnosti predvaritel'no naprjazhjonnyh konstrukcij na osnove nelinejnoj deformacionnoj modeli na primere mnogopustotnoj plity perekrytija bezopalubochnoj tehnologii [alculation of the strength of prestressed structures based on a nonlinear deformation model on the example of a multi-cavity floor slab of a non-formwork technology]. Vestnik grazhdanskih inzhenerov [Journal of Civil Engineers]. Saint-Petersburg, SPbGASU, 2019, no. 6 (77), p. 93-110. (In Russian)
Опбул Эрес Кечил-оолович, кандидат технических наук, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, г. Санкт-Петербург, E-mail: fduecnufce@mail.ru
Калдар-оол Анай-Хаак Бугалдаевна, кандидат технических наук, старший преподаватель, Тувинский государственный университет, г. Кызыл, E-mail: oorzhaka-h@mail.ru
Eres K. Opbul, Candidate of Technical Sciences, Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, Saint-Petersburg, Russia, e-mail: fduecnufce@mail.ru
Anay-Khaak B. Kaldar-ool, Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer, Tuvan State University, Kyzyl, Russia, e-mail: oorzhaka-h@mail.ru
Статья поступила в редакцию 11.02.2022
