CC BY
16
108
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПЛОТНОСТИ, ТЕМПЕРАТУРЫ И ДАВЛЕНИЯ ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА ГАЗА ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ ПРОДУВЕ1
© Обухов А.Г.* *, Абдубакова Л.В.*
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
C использованием явной разностной схемы в прямоугольном параллелепипеде со сторонами 50 м х 50 м х 2 м численно строятся решения полной системы уравнений Навье-Стокса. Такие решения описывают трехмерные течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа в восходящих закрученных потоках в условиях действия сил тяжести и Кориолиса при постоянных коэффициентах вязкости и теплопроводности. Начальные условия представляют собой функции, являющиеся точным аналитическим решением полной системы уравнений Навье-Стокса. Предложены конкретные краевые условия, при которых восходящий поток газа моделируется продувом через квадратное отверстие размером 5 м х 5 м в верхней плоскости расчетной области. Приведены результаты расчетов термодинамических параметров возникающего восходящего закрученного потока. Показано, что плотность, температура и давление газа при таком сложном течении претерпевают заметные изменения на начальной стадии. При увеличении времени расчета термодинамические параметры и все течение в целом стабилизируются с постепенным выходом на стационарный режим.
Ключевые слова: математическое моделирование, система уравнений газовой динамики, нестационарные течения газа, полная система уравнений Навье-Стокса, краевые условия.
Теоретические и численные исследования, проведенные в работах [1-5], подтвердили предложенную в [6] общую схему возникновения и последующего функционирования восходящего закрученного потока. В указанных работах были изучены течения газа в разных частях восходящего закрученного потока. Основная идея предложенной в [6] схемы возникновения восходящего закрученного потока заключается в том, что в результате локального прогрева поверхности суши или водной поверхности появляется восходящий поток воздуха. Замещающее его радиальное течение под действием силы инерции Кориолиса приобретает осевую закрутку.
Принципиально важно при этом отметить, что для появления радиального движения воздуха не имеет значения способ создания первоначального
1 Исследования поддержаны РФФИ (проект № 11-01 -00198) и Министерством образования и науки РФ (проект N° 2014/229).
* Профессор кафедры «Высшая математика», доктор физико-математических наук, доцент.
* Ассистент кафедры «Алгебра и математическая логика».
Физико-математические науки
109
восходящего потока - либо нагрев подстилающей поверхности, либо холодный вертикальный продув. Последний способ получения восходящего закрученного потока был успешно реализован в лабораторных условиях [7,8]. В описанных здесь лабораторных экспериментах продув воздуха осуществлялся с весьма незначительной скоростью через трубу малого диаметра и скорости окружного движения воздуха в придонной части получались небольшими. Поэтому, было бы весьма интересно попытаться математически и численно смоделировать возникновение и развитие восходящего закрученного потока с использованием холодного продува воздуха с большей скоростью и через трубу значительно большего диаметра. Тем более что в работах [9-11] предприняты попытки исследований сложных течений газа, предполагающих математическое моделирование и численные расчеты трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в целом.
Целью данной работы является математическое моделирование и численный расчет термодинамических характеристик трехмерного нестационарного течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа в восходящем закрученном потоке, вызванного вертикальным холодным продувом. При этом скорость продува предполагается порядка 1 м/c, а диаметр трубы - 5 м. По итогам математического моделирования и численных расчетов предполагается дать конкретные рекомендации по осуществлению масштабного эксперимента с указанными параметрами.
Для описания сложных течений упругой сплошной среды, обладающей диссипативными свойствами вязкости и теплопроводности, используется полная система уравнений Навье-Стокса, которая будучи записанной в безразмерных переменных с учетом действия силы тяжести и Кориолиса в векторной форме имеет следующий вид [12]:
pt + V -Vр + р div V = 0, —
YP Y
V, +(V-V)V +—Vp+ -VT = g -2QxV + ^° -v(div V) + 3aV ' v 'YP Y P L 4 V ’ 4 _
— + V-VT + (y-1)TdivV = K)AT + A)Y^Y-1){[(^ -v,) 2+
(1)
+ (Ux - Wz ) 2+(v^ - ) 2 ]+ 3 \_(uy + vx ) 2+(Uz + Wx ) 2+(Vz + Wy ) 2 ]|,
где значения безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности следующие: p0 = 0,001, к и 1,458333д).
Эта система в дифференциальной форме передает законы сохранения массы, импульса и энергии в движущейся сплошной среде.
110
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
В системе (1): t — время; х, у, z — декартовы координаты; р— плотность газа; V = (и, v, w) — вектор скорости газа с проекциями на соответствующие декартовы оси; T — температура газа; g = (0,0, - g) — вектор ускорения силы тяжести; у = 1.4 — показатель политропы для воздуха; -2QxV = (av - bw, - аи, bu) — вектор ускорения Кориолиса, где а = 2Q sin/, b = 2Q cos/, Q = |Q|; Q —
вектор угловой скорости вращения Земли; /— широта точки O — начала декартовой системы координат xyzO, вращающейся вместе с Землей; V и div — операторы градиента и дивергенции по декартовым пространственным переменным, точкой обозначено скалярное произведение векторов.
В качестве начальных условий при описании соответствующих течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в случае постоянных значений коэффициентов вязкости и теплопроводности в данной работе берутся функции, задающие точное решение [9] системы (1):
и = 0, v = 0, w = 0, (2)
/г K
T(z) = 1 -kz, k = —00, / = 0.0065K, x00 = 50м, T00 = 288oK (3)
T00 м
р(z) = (1 -kz)v-1; v=yg = const > 0 (4)
k
Расчетная область представляет собой прямоугольный параллелепипед с длинами сторон х0 = 1, у0 = 1 и z0 = 0,04 вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно.
Для плотности на всех шести гранях параллелепипеда: х = 0, х = х0, у = 0, у = у0, z = 0, z = z0 — ставится «условие непрерывности» потока [10].
Краевые условия для компонент вектора скорости газа соответствуют «условиям непротекания» для нормальной составляющей вектора скорости и «условиям симметрии» для двух других компонент вектора скорости течения [10]. Для температуры на всех шести гранях задаются условия теплоизоляции [10].
Учитывая цель данной работы, продув газа через вертикальную трубу моделируется заданием вертикальной скорости течения газа в зависимости от времени t в виде
w(t) = 0.003 ■ [1 - exp (-10t)] (5)
через квадратное отверстие размером 0,1 x 0,1 в центре верхней грани расчетной области.
Расчеты проводились при следующих входных параметрах: масштабные размерные значения плотности, скорости, расстояния и времени равны соответственно
Физико-математические науки
111
Р = 1.2928^ ы00 = 333-, х00 = 50м, 100 = х00 /м00 = 0.15c. м с
Разностные шаги по трем пространственным переменным Ах = Ay = 0.005 (размерное значение 0.25 м), Az = 0.004 (размерное значение 0.2 м), а шаг по времени At = 0.001 (размерное значение 0.00015 с).
На рисунках 1-3 представлены результаты расчетов плотности, температуры и давления газа на высоте z = 0.02 (размерное значение 1 м) для 300000 шага расчетного времени. Плотность газа по периметру расчетной области сохраняется постоянной и равной значению плотности стационарного распределения. В начальные моменты времени происходят колебания плотности газа в четвертом десятичном знаке, а с течением времени амплитуда колебаний плотности постепенно уменьшается и наблюдается плавное понижение плотности в центре расчетной области.
Рис. 1. Плотность газа Рис. 2. Температура газа Рис. 3. Давление газа
Несмотря на холодный продув газа через верхнее отверстие, в результате численного решения полной системы уравнений Навье-Стокса отмечается понижение температуры в центре расчетной области под отверстием продува. Периферийное же значение температуры соответствует постоянному значению начального стационарного распределения. Следует отметить, что также как и для плотности видны незначительные изменения температуры в начальные моменты времени счета, которые постепенно исчезают.
Поведение рассчитанных значений давления с течением времени аналогично поведению плотности и температуры, поскольку давление есть произведение плотности и температуры. Существенным моментом в поведении давления от времени является появление области пониженных значений напоминающей воронку, которая постепенно увеличивается с течением времени.
Таким образом, в работе показано, что численное решение полной системы уравнений Навье-Стокса с поставленными начально-краевыми условиями могут описывать сложные течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Установлено, что плотность, температура и давление газа при таком сложном течении претерпевают заметные изменения на начальной
112
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
стадии. При увеличении времени расчета термодинамические параметры и все течение в целом стабилизируются с постепенным выходом на стационарный режим.
Список литературы:
1. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. - Новосибирск: Наука, 2012. - 152 с.
2. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование и численный расчет течений в придонной части тропического циклона // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика - 2012. - № 4. - С. 175-183.
3. Обухов А.Г. Математическое моделирование и численные расчеты течений в придонной части торнадо // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика - 2012. - № 4. -С. 183-189.
4. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование придонной части восходящего закрученного потока // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51, № 4. - С. 567-570.
5. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Обухов А.Г., Баутин К.В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, эксперименты. - Новосибирск: Наука; Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. - 215 с.
6. Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. - Новосибирск: Наука, 2008. -96 с.
7. Баутин С.П., Баутин К.В., Макаров В.Н. Экспериментальное подтверждение возможности создания потока воздуха, закрученного силой Кориолиса // Вестник УрГУПС. - 2013. - № 2 (18). - С. 27-33.
8. Макаров В.Н., Горбунов С.А., Баутин К.В., Баутин С.П. Исследование циркуляционного течения атмосферного воздуха под действием силы Кориолиса // Известия Уральского государственного горного университета. -2013. - № 2(30). - С. 35-38.
9. Баутин С.П., Обухов А.Г. Одно точное стационарное решение системы уравнений газовой динамики // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. -№ 4. - С. 81-86.
10. Баутин С.П., Обухов А.Г. Об одном виде краевых условий при расчете трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 5. - С. 55-63.
11. Обухов А.Г., Сорокина Е.М. Математическое моделирование и численный расчет трехмерного конвективного течения газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 6. - С. 57-63.
12. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 2009. - 368 с.
