ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНОМ НЕОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ, ЗАПОЛНЕННОМ МЕТАМАТЕРИАЛОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.622

doi:10.21685/2072-3040-2021-1-8

Численный метод решения задачи о распространении ТЕ-поляризованных волн в многослойном неоднородном волноводе кругового сечения, заполненном метаматериалом

Е. Д. Деревянчук1, А. О. Лапич2, М. О. Снегур3

1,2,3Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1,2mmm@pnzgu.ru, 3snegur.max15@gmail.com

Аннотация. Актуальность и цели. Целью работы является численное исследование задачи о распространении ТЕ-поляризованных электромагнитных волн многослойной регулярной неоднородной волноведущей структуры со слоями из метаматериала. Материалы и методы. Проблема сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для получения численного решения задачи используется метод пристрелки по параметру. Результаты. Осуществлена реализация численного метода для решения задачи распространения электромагнитной волны в волноводе многослойного типа. Были получены численные результаты вычислений. Выводы. Примененный метод отлично подходит для нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн в структуре волновода.

Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, ТЕ-волны, уравнение Максвелла, дифференциальные уравнения, многослойный волновод, метама-териал, метод пристрелки

Финансирование: исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ в рамках научного проекта 20-11-20087.

Для цитирования: Деревянчук Е. Д., Лапич А. О., Снегур М. О. Численный метод решения задачи о распространении ТЕ-поляризованных волн в многослойном неоднородном волноводе кругового сечения, заполненном метаматериалом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 1. С. 102-111. doi:10.21685/2072-3040-2021-1-8

A numerical method for solving the problem of TE-polarized waves' propagation in a multilayer inhomogeneous circular waveguide filled with a metamaterial

E.D. Derevyanchyk1, A.O. Lapich2, M.O. Snegur3

1,2,3Penza State University, Penza, Russia 1,2mmm@pnzgu.ru, 3snegur.max15@gmail.com

Abstract. Background. The purpose of this work is to numerical study the problem of TE-electromagnetic waves' propagation in a multilayer regular waveguide structure with metamaterial layers. Material and methods. The problem boils down to solving the eigenvalue problem for a system of ordinary differential equations. To achieve a numerical solution, the parameter shooting method is used. Results. A numerical method is implemented to solve the problem of an electromagnetic wave's propagation in a multilayer waveguide.

© Деревянчук Е. Д., Лапич А. О., Снегур М. О., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Numerical results were obtained. Conclusions. The applied method is excellent for finding an approximate solution to the problem of propagation of electromagnetic waves in the structure of a waveguide.

Keywords: propagation problem of electromagnetic waves, Maxwell's equations, TE-waves, differential equations, multilayer waveguide, metamaterial, shooting method

Acknowledgments: the research was financed by the RSF within the research project 20-11-20087.

For citation: Derevyanchyk E.D., Lapich A.O., Snegur M.O. A numerical method for solving the problem of TE-polarized waves' propagation in a multilayer inhomogeneous circular waveguide filled with a metamaterial. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;1:102-111. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-1-8

Введение

Применение новых композитных материалов и новых технологий в проектировании оптоэлектронных устройств привело к необходимости исследования новых классов задач электродинамики, в частности, многослойных волноведущих структур со вставками из метаматериала. Внедрение композитных материалов позволяет получить полезные качества для передачи. При этом основной задачей является изучение режимов распространения электромагнитных волн в таких изделиях [1-5].

В представленной работе рассматривается задача о распространении волн H типа (TE-волн), которые распространяются в многослойном открытом круглом волноводе со слоями из метаматериала. Физическая задача сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проверка метода и получение численных результатов основана на испытании серии неоднородных волноводов с различным заполнением слоев.

1. Постановка задачи

В качестве геометрической модели возьмем векторное пространство

3

М . В данном случае систему координат будем предполагать цилиндрической (0p9z). Весь объем пространства заполнен изотропной средой с постоянной диэлектрической проницаемостью scs0 = const, где 80 - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Многослойный волновод цилиндрической формы

W:={(p,9,z ):0^р< гь0^ф< 2п} U

U{(р,Ф,z) ^р^r2,0^ф<2п}U...U{(р,Ф,z):^р^Гп,0^ф<2п}

с образующей линией, параллельной оси Oz, помещается в М . Продолжение волновода по оси z - не ограничено. Его сечение, полученное в результате «разреза» волновода перпендикулярно данной оси, представляет собой окружности концентрической формы с радиусами rj,r2,...,rn (рис. 1). Заметим, что волновод является n -слойным.

Рис. 1. Поперечное сечение волновода W

Магнитная проницаемость также постоянна и равна Ц = Цд , где Цд -магнитная проницаемость вакуума.

Комплексные амплитуды E, H монохроматического электромагнитного поля должны удовлетворять уравнениям Максвелла

| гЫ H =

[ 10 E = 7®^;

Л

E = (£р' Ez ) ,H = ('HpHф, Hz ) •

(1) (2)

Обозначение (.) всюду предполагает операцию транспонирования.

Так как рассматриваются вытекающие волны, следует учитывать условие на бесконечности, которое сформулировано следующим образом: электромагнитное поле растет при р ю - круговая частота. Также необходимо выполнение условий непрерывности касательных компонент поля на границах контакта сред р = Г[...гп . Обозначение (.) всюду предполагает операцию транспонирования. Решения уравнений Максвелла ищутся во всем пространстве.

Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве имеет вид 8 = 88д , где

с, 0 <р<п,

£2(р), г <р<2, г2 <р<

8 =

£2(р>

(3)

"е2г-1 (рХ гп -1 <Р<гп 1

1 р> гп .

Следовательно, рассматривается многослойный круглый открытый неоднородный волновод со слоями из метаматериала.

Рассмотрим ТЕ-волны в гармоническом режиме:

Ее~ш = е~ш (0,Еф,0) , Не-'™ = е"г'юг (Яр,0,Нг) , Еф = Еф (р, ф, z), Нр = Нр (р, ф, z), Нг = Нг (р, ф, z).

В уравнения (1) впишем поля Е и Н , тем самым получим следующую систему:

1 dHz

- 0,

Р дФ dHp дН

z _

dz

1 dHp

Р дФ BE,

dp = 0,

^'юеЕф,

ф --iro^Hp,

= iro^Hz.

dz

1 дФЕф )

Р дР

Анализируя предыдущую систему, видим, что компоненты Нг и Нр

не зависят от ф. Еф выражается через Нг и Нр . Можно сделать вывод о

том, что Еф также не зависит от ф.

Необходимые для решения задачи волны должны распространяться вдоль оси Ог волновода Ж с гармонической зависимостью от г. Отсюда можно записать компоненты полей Е и Н как

Еф = Еф (р)ег>, Нр = Нр (р)ег>, Нг = Нг (р)ег>,

где у обозначает вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны), который нужно отыскать. При этих условиях система представляется в виде

iyHp (p) - (Hz (p))' - -юеЕф (p), iyE9(p) - -iro^Hp (p),

(4)

¡гфЕф (p))' = iro^Hz (p),

p

d

где (.)' = —. ё р

Выразим компоненты Нг и Нр через Еф из системы (4):

Hz(p) -—-^Еф(p))', Hp(p) - Еф(p),

7ГОЦ p ГОЦ Y

подставим наиденные выражения в первое уравнение

(1 V 2 2

- (рЕф (р))' + (ю2це-у2)Еф (р) = 0.

V Р )

Заменив и(р) := Еф(р) и к^ := ю2Цо£о, получим

г

(р—V)') + (ко2ё-у2 )и = 0. (5)

В цилиндре 0 < р < Г1 диэлектрическая проницаемость представлена в виде е = ес . Получим уравнение Бесселя из формулы (5):

—1 —2 2 2 2 2 и" + р и' — р и — кси = 0, кс =т — коес. (6)

Решив уравнение (6), мы получим

и = ОД^р) + ОД(кср), р< 1

Важным требованием является учет условия ограниченности поля во всякоИ конечной области. Из чего следует, что С\ = 0 и решение примет вид

и=едкср). (7)

В оболочке волновода (г < р < гп) получим следующее уравнение:

и" + р—1и' — р—2и — к}и = 0, к2 = (р) — у2. (8)

При р > гп получим

и" + р—1и' — р—2и — к2и = 0, к2 = у2 — к(2ес. (9)

Так как рассматриваются вытекающие волны, для которых амплитуда поля возрастает при удалении от волновода в поперечном направлении, то решение (9) будет иметь вид

и = С2/1(кср), р> Гп. (10)

Условия сопряжения для функций и(р) и и'(р)выглядят следующим образом:

[и] |р=г = 0, [и']|р=г = 0. (11)

Сформулируем задачу. Необходимо отыскать такие вещественные значения параметра у, для которого будет существовать отличная от нуля функция и (зависящая от р), в свою очередь определяемая формулами (7) и (10); в оболочке волновода она будет удовлетворять уравнениям (8), а также принимать условия сопряжения на границах (11) и выполнять условия на бесконечности.

2. Численный метод вычисления собственных значений

Для исследования возьмем задачу Коши на сегменте [г, Г2 ] для уравне-

ния

и" = -р У + р 2и -к2(р)и , (12)

для которой будут использованы условия

и(п) = с1/1(ксг1), и'(П) = Схкс Г7о(кс/1) - . (13)

I ксг1 )

После чего возьмем новую («следующую») задачу Коши на отрезке ^ г3]:

и" = —р-1и' + р-2и -к|(р)и. (14)

Начальные условия будут иметь вид

и(г2 + 0) = и(г2 -0), и'(Г2 + 0) = и'Г - 0), (15)

и(г2 -0) и и'(а*2 -0) здесь определяются из условий сопряжения на границе р = а*2 , как решения предыдущей задачи Коши в точке р = г^.

Решая вспомогательные задачи Коши на оставшихся отрезках ([Г3,Г4],...,[гп-1,гп]), получаем значения и(гп -0) и и'(гп -0) на границе волновода.

Постоянную С2 примем за единицу и, воспользовавшись условиями сопряжения на границе гп (11), получим дисперсионное уравнение

А(у) - и'(Гп )Ь(ксГп ) - кси{тп ) Г10(ксГп ) - Ь&Щ. (16)

V ксГп у

Необходимо рассмотреть функцию

Р(у) := и(Гп - 0;у) -и(Гп + 0;у).

Так как нам известны решения (10) и соответствующие условия сопряжения на гп (11), то очевидно, что Р(гп; у) = А(у).

Значения функции Р (у) можно выразить только через значения решения задачи Коши (видно из формулы (16)). Пусть у = у таково, что Р(у) = 0 . Из этого следует вывод, что число у можно считать решением задачи, т.е. постоянной распространения.

Утверждение. Если существует отрезок |у, у^е у*,у , для которого

Р(У)Р(У) < 0, то постоянная распространения (одно собственное значение) уе (у, у) задачи будет существовать (хотя бы одно собственное значение).

При использовании рассматриваемого метода можно изобразить графики, которые показывают зависимость распространения у от частоты / . Данная частота связана с циклической частотой ю при помощи равенства

/ = 2яю. Кривые у = у(/) такого типа также называют дисперсионными кривыми.

* 2 1— *

Возьмем 0 < / < / < ^ . Также предположим, что V ес < У* < У -

* *

некоторые числа. Полагаем /е[/*,/ ], уе [у*,у ].

Необходимо разбить отрезки

и

у*, у

на n и m частей со-

f*, f

ответственно. Тогда имеем {,y-}, i = 0...n, j = 0...m; к тому же f = f*,

* *

f = f , Y0 = Y*, Ym =Y . Следующим шагом будет построение F(f; yj): F(f,Yj) := «j-(rn - 0) -(rn + 0).

Пусть для f будут существовать некоторые Yj и yj+j, на основе которых

F (fi; Y j) F (fi-; y j+j) < 0.

Выходит, что имеется собственное значение уj е (y- , yj+i) < 0, которое

будет собственным значением для задачи о распространении волн в волнове-дущей структуре. Такому значению отвечает толщина слоя fi. Чтобы отыскать значение у-, можно воспользоваться широко известным методом дихотомии. Он полезен тем, что благодаря нему можно добиться высокой точности вычисления.

Создадим метод нахождения приближенного значения постоянной распространения, положив за основу метод половинного деления (МПД).

Следует задать погрешность 5>0. Используем отрезок ^yi,YiJ, удовлетворяющий неравенству

F (fi, Yi) F (f, Yi) < 0.

Собственные значения у (искомое) и Yi (приближенное) должны принадлежать диапазону (yj,Yi).

Необходимо найти центральную точку отрезка Yi (т.е. его середину):

Yi =(Yi + Yi) / 2 .

Вычислим функцию F (; Yi) и проверим такие условия:

• Число Yi - искомое приближенное собственное значение, когда |F(fi;yi) меньше и не равняется указанной погрешности.

• Собственное значение уе(,Yi), если F(f;Yi)F(f;Yi) будет меньше нуля. Считая yn :=Yi и yn :=Yi получим, что Yn е (yn, yn).

• Собственное значение уe(yi,Yi), если F(f;Yi)F(f;Yi) будет меньше нуля.

Положив yn := Yi и yn := Yi, полУчим, что Yn е (Yn, Yn).

Шаг за шагом используем МПД. Дойдя до п шага, мы обнаружим, что искомое приближенное значение уп е (уп, уп). После этого станет понятно,

что |у„ -уи| = 2~п |У1 -71|.

Выберем число п такое, что неравенство 2~п - у^ <5 будет выполняться. Тогда в качестве приближенного значения уп постоянной распространения у можно принять, к примеру, центральную точку отрезка У1, у ^,

т.е. У„ = (( +1п )/2-

3. Численные результаты

Для получения численных результатов был использован метод, предложенный в предыдущем разделе.

Построены графики дисперсионных кривых. На их основе изучена зависимость спектрального параметра у от циклической частоты ю .

На рис. 2 визуализированы графики дисперсионных кривых 4-слойного волновода, состоящего из однородных слоев. Слои с метаматериалом чередуются с заполненными диэлектриком слоями.

Рис. 2. Дисперсионные кривые и профили диэлектрической проницаемости

Заключение

Проведено численное исследование спектра задачи о ТЕ-поляризован-ных электромагнитных волнах многослойного волновода. Использование предложенного варианта метода может быть оправдано, когда проводится анализ однородных волноводов с n -слоями, а явное дисперсионное уравнение имеет очень сложную форму.

Для неоднородного волновода явное дисперсионное уравнение недоступно, и численное исследование спектра собственных значений может быть выполнено только численным методом, например, предложенным в этой работе. Проведенные эксперименты подтвердили правильность реализации данного метода, его сходимость и эффективность.

Список литературы

1. Solymar L. & Shamonina E. Waves in Metamaterials. Oxford : Oxford University Press, 2009.

2. Veselago V. G. The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e and д // Sov. Phys. Usp. 1967. Vol. 10 (4). P. 509-514.

3. Smolkin E., Shestopalov Y., Snegur M. Surface Waves in a Nonlinear Metamaterial Rod // Radio Science. 2020. Vol. 55.

4. Smolkin E., Smirnov Y., Snegur M. Leaky waves in a nonlinear metamaterial rod // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2020. Vol 34. P. 1680-1690.

5. Snegur M., Smolkin E. Diffraction of TE Polarised Electromagnetic Waves by a Nonlinear Metamaterial Waveguide // 2020 33rd General Assembly and Scientific Symposium of the International Union of Radio Science, URSI GASS 2020, 2020.

References

1. Solymar L. & Shamonina E. Waves in Metamaterials. Oxford: Oxford University Press, 2009.

2. Veselago V.G. The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e and д. Sov. Phys. Usp. 1967;10(4):509-514.

3. Smolkin E., Shestopalov Y., Snegur M. Surface Waves in a Nonlinear Metamaterial Rod. Radio Science. 2020;55.

4. Smolkin E., Smirnov Y., Snegur M. Leaky waves in a nonlinear metamaterial rod. Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2020;34:1680-1690.

5. Snegur M., Smolkin E. Diffraction of TE Polarised Electromagnetic Waves by a Nonlinear Metamaterial Waveguide. 2020 33rd General Assembly and Scientific Symposium of the International Union of Radio Science, URSI GASS 2020, 2020.

Информация об авторах / Information about the authors

Екатерина Дмитриевна Деревянчук

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Ekaterina D. Derevyanchuk

Candidate of physical and mathematical

sciences, associate professor

of the sub-department of mathematics

and supercomputer modeling,

Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Андрей Олегович Лапич магистрант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Andrey O. Lapich Master's degree student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Максим Олегович Снегур аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: snegur.max15@gmail.com

Maksim O. Snegur Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Поступила в редакцию / Received 10.12.2020

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 25.12.2020 Принята к публикации / Accepted 18.01.2021