CC BY
13
УДК 519.63: 621.372.8
DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-9
А. О. Лапич, Е. Ю. Смолькин, А. С. Шутков, М. О. Снегур
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВЫТЕКАЮЩИХ ТЕ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНОМ ВОЛНОВОДЕ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Цель работы - численное исследование задачи распространения вытекающих ТЕ-электромагнитных волн многослойной регулярной волноведущей структуры.
Материалы и методы. Для получения численного решения задачи применяется метод пристрелки по параметру.
Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи о распространении вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения, проведен ряд численных экспериментов.
Вывод. Указанный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн.
Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, ТЕ-волны, уравнение Максвелла, дифференциальные уравнения, многослойный волновод, метод пристрелки.
A. O. Lapich, E. Yu. Smol'kin, A. S. Shutkov, M. O. Snegur
A NUMERICAL METHOD FOR SOLVING THE PROBLEM OF PROPAGATION OF OUTLETING TE-POLARIZED WAVES IN A MULTILAYER CIRCULAR WAVEGUIDE
Abstract.
Background. The aim of this work is to numerical study the problem propagation of leaky TE-electromagnetic waves a multilayer regular waveguide structure.
Material and methods. The problem boils down to solving the eigenvalue problem for a system of ordinary differential equations. In order to obtain a numerical solution to the problem, the parameter shooting method is used.
Results. A numerical method for solving the propagation problem of an electromagnetic wave in waveguide was developed and implemented, and several numerical experiments were carried out.
Conclusions. The proposed numerical method is an effective way to find an approximate solution to the problem of propagation of electromagnetic waves.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-51004.
© Лапич А. О., Смолькин Е. Ю., Шутков А. С., Снегур М. О., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Keywords: propagation problem of electromagnetic waves, TE-waves, Maxwell's equation, differential equations, multilayer waveguide, shooting method.
Введение
Задачи, описывающие распространение электромагнитных волн в вол-новедущих структурах, занимают обширную часть в электродинамике. С развитием радиотехники и применением волноводов сложных поперечных сечений в качестве волноведущих структур, стало необходимо построение новых математических моделей распространения электромагнитных волн. Появилась необходимость в изучении новых типов задач, особенностью которых была сложная структура граничных незамкнутых поверхностей, заполненных неоднородным диэлектриком и имеющих бесконечно тонкие металлические ребра (пластины) в структуре [1-5].
В данной работе изучаются ТЕ-волны, распространяющиеся в многослойном волноводе. Произведен расчет действительных постоянных распространения. Для неоднородного волновода явное дисперсионное уравнение недоступно, и численное исследование спектра собственных значений может быть выполнено только специальным методом, разработанным в этой работе. Проведенные эксперименты подтвердили правильность реализации данного метода, его сходимость и эффективность.
1. Постановка задачи
Имеем трехмерное пространство М с цилиндрической системой координат 0p9z . Пространство заполнено изотропной средой и имеет постоянную диэлектрическую и магнитную проницаемости sc8q = const, ц = где 8q, - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. В это пространство помещен цилиндрический диэлектрический многослойный волновод кругового сечения
W := {(р,ф,г): 0 ^р < гь0^ф< 2п} и
и{(р,ф,z):г ^р^Г2,0^Ф<2п}и...и{(р,ф,z):rn_i ^р^rn,0^ф<2п}
с образующей линией, параллельной оси Oz .
Волновод неограниченно продолжается в направлении z . Сечением волновода, перпендикулярным его оси, являются концентрические окружности радиусов r\,Г2,---,rn ; т.е. волновод является n-слойным (рис. 1).
Комплексные амплитуды E, H монохроматического электромагнитного поля должны удовлетворять гармоническим по времени уравнениям Максвелла:
[rot H = -/©sE, [rot E = /©^H;
(1)
E = ((Eф,Ez ) ,H Hz ) , (2)
условиям непрерывности касательных компонент поля на границах раздела (на границе волновода) р = г\,...р = гп и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле растет при р ю - круговая частота. Всюду
(.) обозначает операцию транспонирования. Решения уравнений Максвелла ищутся во всем пространстве.
О V1V2I
Рис. 1. Поперечное сечение волновода W
Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве имеет вид 8 = 880 , где
£с, 0 <р<П,
£1(р), г <Р<2,
£2(р), г2 <р< гЗ' (3)
£п-1(Р). гП-1 <Р<гП. ес. р^ гп .
Рассмотрим ТЕ-волны в гармоническом режиме:
Ee-Ш = e~iш (0,Eф,0)T ,
Нв~ш = e~iюt ((р,0, Hz )T , Eф = Eф (р, ф, z), Hр = Hp (р, ф, z), Hz (р, ф, z).
Определение 1. ТЕ-волны - электромагнитные волны, в которых вектор электрического поля Е ортогонален волновому вектору. ТЕ-волны относятся к классу плоских монохроматических волн. ТЕ-волны также называют волнами магнитного типа или Н-волнами.
Подставив поля Е и Н в уравнения Максвелла (1), получим следующую систему:
1 dH
= 0,
Р дФ дНр ЭН_
_L___— _7
dz Эр
/юеЕ,
Ф'
1 дНр
р дФ
= 0,
дЕ
Ф
dz =-ЮМНр , 1 д(рЕФ)
р др
= /юцН_.
Из первого и третьего уравнений видно, что компоненты поля Н 2 и Нр не зависят от ф; поскольку Еф можно выразить через Н 2 и Нр , то Еф также не зависит от ф.
Замечание 1. Выбирая для компонент зависимость в1ф" по переменной ф, где п - целое число, и взяв п = 0 , получим волны, не зависящие от ф.
Распространяющиеся волны, текущие по оси 02 волновода Ж , имеют гармоническую зависимость от 2 . Значит, компоненты полей E и H можно представить в следующем виде:
Еф = Еф (р)ег>, Нр = Нр (р)е^, Нг = Нг (р)е^,
где у - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).
Рассмотренная выше система принимает вид
/ унр (р) - (H z (р))' = -/юеЕф (р), /уЕФ (р) = -/'юмНр (р), р-(рЕФ (р))' = /®МН z (р),
(4)
где (.)' =
d
Из второго и третьего уравнения системы (4) находим
Н 2 (р) =—-(рЕф(р))',Нр (р) = —^ Еф(р). /юц р юц
Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (4), получаем
(1 V
-(рБф (р))' + (ю2це-у2 )Еф (р) = 0.
Обозначив u(p):= Еф(р) и kg :=ю2^оео получаем следующее:
г
(p—V)') + (kg2e-т2)« = о. (5)
При 0 < р < ri имеем е = £с , из (5) получаем уравнение Бесселя:
—1 —2 2 2 2 2 и" + р и' — р и — kcи = 0, kc =у — kg£c. (6)
Решение данного уравнения имеет вид
и = Q/i(kcp) + kcp), р<п.
Принимая во внимание условие ограниченности поля во всякой конечной области, получим, что Q = 0 и
и = Ci/i(kcp). (7)
В оболочке волновода (r < р < rn) имеем
и" + р—1и' — р—2u — kfu = 0, kf = kgEj(р) — у2. (8)
При р > rn получим
и'' + р—1и' — р—2и — kfu = 0, kf = у2 — k(2ec. (9)
Так как С2 равна 0, то решение получится в виде
u = C2Ii(k^), р>rn. (10)
Условия сопряжения для функций и(р) и и'(р) выглядят следующим образом:
[и] |р=г = 0, [и'] |р=,г = 0. (11)
Определение 2. Необходимо найти вещественные значения у, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Существует ненулевая функция и(р), которая определяется формулами (7) и (10).
2. Внутри волновода удовлетворяет уравнениям (8) соответственно, причем определенная таким образом при р е [0, +»), удовлетворяет условиям сопряжения (11).
2. Численный метод вычисления собственных значений
Рассмотрим задачу Коши на отрезке [ri, r2 ] для уравнения
и" = —р—1u' + р—2и — k12(p)u (12)
с начальными условиями:
и (ri) = CiIi(kcri), и' (ri) = Ck f 10(kcri) — M^l . (13)
I kcr1 J
Замечание 2. При расчетах необходимо задавать значение одной из постоянных: С или С2. Можно задавать значение постоянной на любой из границ волновода.
Далее рассмотрим «следующую» задачу Коши на отрезке [Г2, Гз ]
и" = —р—1и' + р—2и — к|(р)и (14)
с начальными условиями
и02 + 0) = и(г2 — 0), и'(г2 + 0) = и'О2 — 0), (15)
где значения и(г2 — 0) и и'(г2 — 0) определяются из условий сопряжения на границе р = ?2 как решения «предыдущей» задачи Коши в точке р = Г2.
Решая вспомогательные задачи Коши на оставшихся отрезках ([Г3, Г4],...,[гп_1, гп ]), получаем значения и(гп — 0) и и'(гп — 0) на границе гп.
Взяв постоянную С2 = 1 и применив условия сопряжения на границе гп из формулы (10), получаем дисперсионное уравнение
А(у) = и'(тп )11(ксГп) — кси(тп) {[10(ксГп ) — . (16)
V ксгп /
Далее рассмотрим функцию
Р(у) := и(Гп — 0;у) — и(Гп + 0;у).
Используя условия сопряжения на границе р = гп (11) и решения р > гп (10), заметим, что Р(гп; у) ^А(у).
На основании формулы (16) получаем, что значения функции Р(у) можно выразить лишь через решения задачи Коши. Потребуем, чтобы у = у было таково, что Р (у) = 0, исходя из этого делаем вывод, число у является решением (постоянной распространения) задачи.
Утверждение. Пусть существует отрезок ^у,у^е у*,у
Р(У)Р(У) < 0 . Тогда существует по крайней мере одна постоянная распространения (одно собственное значение) у е (у, у) нашей задачи.
На основании данного метода мы можем построить графики зависимости постоянной распространения у от частоты / . Частота / связана с циклической частотой ю соотношением / = 2пю. Дисперсионными кривыми в данном случае называют кривые у = у(/). Если же кривая зависит от амплитуды поля (что имеет место в рассматриваемой нами задаче), то такие кривые называют энергетическими дисперсионными кривыми.
* 2 1— * Пусть 0</* </ и к0 л/ес <у* <у - некоторые числа. Будем
считать, что
/е [/*,/*], уе[у*,у*].
такой, что
и
Y^ Y*
на n и m частей соответствен*
Разбиваем отрезки /*, /
но. Тогда имеем {/-,у,-}, I = 0...п, у = 0...т, причем /0 = /*, /п = /', Уо = у
*
ут = у . Построим функцию р(/1; Уу):
р(/I-,Ту) := (Гп - 0) -",у Г + 0). Пусть для заданного /^ существуют такие у у и ^ у+1, при которых
р (/; У у) р (/,-; у у+1) < 0.
Отсюда следует, что существует значение уу е (у у, у у+1) < 0, являющееся собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн; этому собственному значению соответствует толщина слоя / . Значение у у
может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.
Используя метод дихотомии, выведем метод нахождения приближенного значения постоянной распространения.
Зададим 5>0 - некоторая погрешность. Пусть отрезок [71,У1J такой,
что
р ((, 11) ((, Т1 )< 0.
Искомое собственное значение: уе (у1, ^), приближенное собственное : 71 е(Уъ У1).
Определим середину отрезка У1 = 0.5 ( + У1) и вычислим р(/-;У1). Проверяем следующие условия:
1. Если |р(/-;У1)| <5, то У1 — искомое приближенное собственное зна-
значение
чение.
2. Если р(/;У1)р(/;У1 )< 0, то уе(,У1). Тогда полагаем уп :=У1 и
Уп := Уъ следовательно уп е ((п,Уп).
3. Если р(/-;У1 )р(/;у1 )< 0, то уе (у1, У1). Тогда полагаем уп :=У1 и
Уп := Уъ следовательно уп е ((, Уп).
Продолжая процесс половинного деления п раз, получаем, что искомое приближенное значение уп е (уп, уп). Ясно, что |уп - уп | = 2-п |у1 - У11.
Выберем число п таким образом, чтобы выполнялось неравенство 2-п | У1 - у! <5. Тогда приближенное значение уп постоянной распространения у может принять, например, середину отрезка [ У1, У1 ^, т.е.
уп = °.5 (( +Уп ).
3. Численные результаты
Численные результаты получены с помощью метода, предложенного в предыдущем разделе.
Было проведено исследование поведения дисперсионных кривых (графиков зависимости спектрального параметра у от циклической частоты ю).
На рис. 2 представлены дисперсионные кривые 11-слойного однородного волновода, состоящего из линейных слоев.
Рассматриваются следующие случаи:
а) диэлектрическая проницаемость увеличивается от слоя к слою;
б) диэлектрическая проницаемость уменьшается от слоя к слою;
в) однородные слои чередуются с заполненными вакуумом слоями;
г) диэлектрическая проницаемость сначала увеличивается, а затем уменьшается от слоя к слою.
Дисперсионные кривые показаны на рис. 2. Серая пунктирная линия на рисунках указывает область, где линейная задача имеет решение
2 2 2 ko < у < ko max .
Можно сделать следующий вывод: при неизменном количестве и толщине слоев число мод остается постоянным, величина моды ограничена максимальным и минимальным значениями диэлектрической проницаемости в слоях.
Далее рассмотрим п-слойный однородный волновод, состоящий из линейных слоев, чередующихся с заполненными вакуумом слоями. Рассматриваются следующие случаи: 2 слоя; 4 слоя; 8 слоев; 16 слоев.
Можно сделать следующий вывод: при неизменной толщине волновода с увеличением количества слоев число мод также увеличивается, величина моды ограничена максимальным и минимальным значениями диэлектрической проницаемости в слоях.
Было проведено сравнение спектров неоднородного волновода (диэлек-
2
трическая проницаемость внутри которого имеет вид £ = —9р + 18р +1), со спектром п -слойного волновода (рис. 4).
Можно сделать следующий вывод: с увеличением числа слоев многослойного волновода дисперсионные кривые становятся похожими на дисперсионные кривые неоднородного волновода.
Заключение
Проведено численное исследование спектра задачи о вытекающих электромагнитных волнах многослойного волновода. Использование предложенного варианта метода может быть оправдано, когда проводится анализ однородных волноводов с п -слоями, а «явное» дисперсионное уравнение имеет очень сложную форму.
Для неоднородного волновода явное дисперсионное уравнение недоступно, и численное исследование спектра собственных значений может быть выполнено только специальным методом, разработанным в этой работе. Проведенные эксперименты подтвердили правильность реализации данного метода, его сходимость и эффективность.
Рис. 2. Дисперсионные кривые
8-
¡6 ...■■■■"'
П> . •"
О
14
|з
О
1
0 — . -т-.-т---1-.-т---
О 20 40 60 80 100
частота, СН1
2 слоя
8
7
¡6 л)
• 5
4)
О
; 4
о
"г- ..•■■''
1
0 - I -•- т - I -.- т -
0 20 40 60 80 100
частота, СНг
4 слоя
8
7
¡6- ....-■; ч
Д 5 ...■■ ■ .,■■•' ..
О
14 ..■■■" ..■■• .■■■
1з ...-■■■" ,■■""
о
1
0 — -.-.-т-.-т-.-т-.-
0 20 40 60 80 100
частота, СН1
8 слоев
8
7 ¡6
а ..■"
4)
О
¡4 .,.■■- .,-■■
о ,■• _. •
"г- ..■■■'" ..-■•'
1
0 - I -•- т - I -.- т -
О 20 40 60 80 100
частота, СН2
16 слоев Рис. 3. Дисперсионные кривые
40 60
частота, GHz
5 слоев
частота, GHz
7 слоев
частота, GHz
11 слоев
частота, GHz
100
100
100
100
17 слоев Рис. 4. Дисперсионные кривые
Библиографический список
1. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адамс. - Москва : Мир, 1984. - 512 с.
2. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПГУ, 2009. - 266 с.
3. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - Москва : Радио и связь, 1988. - 440 с.
4. Schurmann, H. W. TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. -1998. - Vol. 58, №1. - P. 1040-1050.
5. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganesyants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - Vol. 35, № 1. -P. 44-47.
References
1. Adams M. Vvedenie v teoriyu opticheskikh volnovodov [Introduction to the theory of optical waveguides]. Moscow: Mir, 1984, 512 p. [In Russian]
2. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki [Mathematical methods for studying problems of electrodynamics]. Penza: Inf.-izd. tsentr PGU, 2009, 266 p. [In Russian]
3. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', 1988, 440 p. [In Russian]
4. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Phys. Rev. E. 1998, vol. 58, no. 1, pp. 1040-1050.
5. Eleonskii P. N., Oganesyants L. G., Silin V. P. Soviet Physics Jetp. 1972, vol. 35, no. 1, pp. 44-47.
Лапич Андрей Олегович магистрант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Смолькин Евгений Юрьевич кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: e.g.smolkin@hotmail.com
Шутков Александр Сергеевич аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: einstein9@rambler.ru
Lapich Andrey Olegovich Master's degree student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, subdepartment of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Shutkov Aleksandr Sergeevich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Снегур Максим Олегович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Snegur Maksim Olegovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: snegur.max15@gmail.com
Образец цитирования:
Лапич, А. О. Численный метод решения задачи о распространении вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения / А. О. Лапич, Е. Ю. Смолькин, А. С. Шутков, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2020. — № 3 (55). — С. 114—126. — DOI 10.21685/2072-30402020-3-9.
