Численный метод решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-3

Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ АНИЗОТРОПНОМ НЕОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ С ПРОДОЛЬНЫМ НАМАГНИЧИВАНИЕМ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - численное исследование задачи о распространяющихся электромагнитных волнах анизотропной магнитной неоднородной волноведущей структуры.

Материалы и методы. Физическая задача сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нахождения численного решения задачи применяется метод Галер-кина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функций.

Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи распространения электромагнитной волны в анизотропном волноводе, проведен ряд численных экспериментов.

Вывод. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн.

Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, ферри-товый стержень, уравнение Максвелла, дифференциальные уравнения, метод Галеркина.

E. Yu. Smol'kin, M. O. Snegur

A NUMERICAL METHOD TO SOLVE THE ELECTROMAGNETIC WAVE PROPAGATION PROBLEM IN A CYLINDRICAL ANISOTROPIC INHOMOGENEOUS WAVEGUIDE WITH LONGITUDINAL MAGNETIZATION

Abstract.

Background. The aim of this work is to numerically study the problem of electromagnetic wave propagation in a cylindrical anisotropic inhomogeneous waveguide structure.

Material and methods. The physical problem is reduced to solving the eigenvalue problem for a system of ordinary differential equations. The Galerkin method is applied to find a numerical solution to the problem using piecewise linear basis functions.

Results. The authors have developed and implemented a numerical method for solving the propagation problem of an electromagnetic wave in an anisotropic waveguide, as well as carried out several numerical experiments.

Conclusions. The proposed numerical method is an effective way to find an approximate solution to the problem of propagation of electromagnetic waves.

1 Работа написана при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.894.2017/ПЧ).

Key words: electromagnetic waves propagation problem, ferrite rod, Maxwell's equation, differential equations, Galerkin method.

Введение

Электрические параметры e и ц обычных диэлектрических и магнитных сред определяются их физической структурой. Однако нередко требуются среды с необычными свойствами, которые можно получить, используя либо неоднородные по составу среды, либо частично заполненные. Очевидно, что параметры ( e и ц ) таких сред не являются постоянными величинами, а могут иметь вид тензоров с компонентами, зависящими как от радиальной координаты, так и от частоты, на которой распространяется волна [1, 2].

В данной работе рассматривается задача о распространяющихся нормальных волнах анизотропной магнитной неоднородной волноведущей структуры. Магнитная проницаемость такой структуры представляется в виде тензора с компонентами, зависящими от радиальной координаты. Физическая задача сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные результаты найдены с помощью метода Галеркина.

1. Постановка задачи

Рассмотрим трехмерное пространство M с цилиндрической системой координат Орфг . Пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью eo = const и магнитной проницаемостью Цо = const, где £o, Цо - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Ферритовый стержень с образующей, параллельной оси 0z, и круговым поперечным сечением из материала с параметрами e, (1 и радиусом r по-

3

мещен в

M Л На рис. 1 представлена геометрия задачи. Стержень неограниченно продолжается в направлении z .

Но

Рис. 1. Геометрия задачи

Задача о нормальных волнах волноведущей структуры состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла

в виде бегущей волны [3], т.е. с зависимостью от координаты г, вдоль которых структура регулярна:

[rot H = -imeE, I rot E = irnjlH;

E = ( (p)ep + £ф(р)еф + Ez(p)ez)eiyz, H = (Яр (p)ep + H ф (р)еф + Hz (p)ez )z,

(1)

(2)

причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода, непрерывность касательных составляющих полей на границе раздела сред

[ЕФ ]Ц = [Hp ] p=r = 0. [Ez ]|p=r = 0, [Hz ]|,

1 p=r

p=r

'lp=r

= 0,

(3)

и условие излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает, как

—1/2

0(р ) при р^^ в области р> г .

Магнитная проницаемость (1 внутри стержня имеет вид

[ |p 0

| = |p 0

0 0 1 z

(4)

Предполагаем также, что (р (р), (р) и (г (р) - дважды непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [0, г ].

Задача о нормальных волнах является задачей на собственные значения для системы уравнений Максвелла относительно спектрального параметра у -нормированной постоянной распространения (затухания) волноведущей структуры.

Запишем систему уравнений Максвелла (1) в координатном виде:

ryHp = zrneEp, iyHp - H'z = -юеЕф,

1 (ph ф)

= -iroeEz

г'уЕф = -im^pHp -ю^фHф, iyEp - E'z = -ю|!фHp + im^pHф, 1 '

P(pEф) =-im| zHz,

(5)

I р

выразим функции Ер , Нр , Ег, Нг через Еф и Нф из 1, 3, 4 и 6-го уравнений последней системы, получаем

ЯР="

"УЕф+ /юцф Н

Ф Ф

Н =-

ЮЦр

(рЕф)'

ЮЦzР '

Ер =

YH

Ф

Ez =

Ю£

(рН ф )'

юер

(6)

Из последних формул следует, что поле нормальной волны в волноводе может быть представлено при помощи двух скалярных функций:

Ue := Еф (р), ит := НФ (Р).

(7)

Тем самым задача сводится к нахождению функций ие и ит - компонент электрического и магнитного полей. Всюду (•)' обозначает дифференцирование по р.

Для компонент поля ие и ит имеем следующую задачу (задача Р) на собственные значения: найти такие вещественные у, при которых существуют нетривиальные решения следующей системы дифференциальных уравнений:

(

Цр

Цр ( (рит У

(рие У

л

v ^р /

л

+ |(Ц2£Цр -Y2)ue = YЮЦфUи

(8)

^ р

ю2Е(Ц2 - цф ) - Y2Цp ) ит = Y(E^Ue,

/

удовлетворяющие условиям сопряжения на границе r :

k ]| r = о, [um ]| r = о,

рий

рие Ц z

= 0,

= 0,

(9)

где [ f ] = lim f (р) — lim f (p), и условиям ограниченности поля во

'р° р^ро —о р^ро+о

всякой конечной области и убывания на бесконечности.

Отметим, что при обнулении компонент Цф система (8) распадается на

два независимых уравнения, отвечающих распространению ТЕ- и ТМ-поля-ризованных волн.

Зная компоненты поля ue и um как решение задачи P, можно определить оставшиеся компоненты по формулам (6). Определенное так поле E, H удовлетворяет всем условиям (1)-(3).

Вне волновода (р > г) диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид £о и (о, соответственно тогда из (1) получаем следующие уравнения:

((puel ^ p /

((pum)'Л

- kxue = 0,

— Ь\ит = 0,

V р ;

,2 2 2 где к1 = у — ю (0£0.

Принимая во внимание условие на бесконечности, получаем решение последней системы в виде

ие (р; у, т) = ВД^р), (10)

ит (р; У, т) = С2 ВДр),

где функция К^р) - модифицированная функция Бесселя (функция Макдо-

нальда) [4], С и С2 постоянные.

Внутри волновода из (8) мы получаем систему дифференциальных уравнений

\ Ьеие = кеие + Реие + Неие = feum, \Ьтит = ктит ^ ртит ^ Нтит = /тие,

(11)

где

2 2 ке =р 1р(г, кт =р2(р,

Ре = р(р( г — р21рМ4, рт = р(р,

Не = р2(2 ( — у2 ) — (р(г — рцрц;, ^ = £юУ ( — ( )'— 1р (у2р2 + 1), /е =уюр2(ф(^, /т = ушер2(ф.

Зная решения в свободном пространстве, задачу (8)-(9) можно свести к задаче на собственные значения на отрезке [0, г ].

2. Вариационное соотношение

Дадим другую вариационную формулировку задачи Р. Умножим уравнения системы (11) соответственно на произвольные пробные функции Уе и Ут, считая их пока непрерывно дифференцируемыми на отрезке [0, г ]. Использую вторую формулу Грина, получаем

| vLud p = J vku'd p vpud p +J hvud p :

0

0

- vku\ 0 - J (vk + vk ')ud p + J vpud p + J hvud p,

(12)

где и = Uj, V = , р = pj, Н = hj, к = kj, ] = е или т . Применяя полученную формулу (12) отдельно для первого и второго уравнений системы (11) на отрезке [0, г ] и складывая результаты, получим

J(veLeue + vmLmum ) dР = J0

leueve + hmumvm

"J (keu'ev'e + kmu'mv'm ) d Р-J ((ke - Pe )u'eve + (k'm - Pm )u'mvm )d Р + 0 0

+Г2Цр (Г) (z (ГК (r)ve (Г) + u'm (r>m (r) ).

(13)

Принимая во внимание правые части уравнений системы (11), имеем

г г

| (^Лие + ттит ) dР = |(/еи т^е ^ /тие^т )dР. (14)

0 0

Зная решения (10), выразим из формул (9) значения нормальных производных при р = г следующим образом:

u'e (Г) = -

u'm (r) = -

(1+kl MzM Ko(kir)Л

r ^o Ki(kir)

(1 + kl _L Ko(kir)Л r eo Ki(kir)

v

ue (r),

um (r).

(i5)

Из (i3) с учетом (i4) и (i5) получаем

J(heueve + hmumvm )dР- J(keu'ev'e + kmu'mv'm ) dР-0 0

r

-J((ke - Pe )u'eve + (k'm - Pm )u'mvm ) + ^Mp (r) X

X

( (

M z (r)

V v

i + k Mr) Ko(kir) ^ r i Mo Ki(hr)

(

ue(r)ve(r)+

i + k ±Ko(kir) r eo Ki(kir)

um (r)vm (r)

"J (feumve + fmuevm )dР = o.

(i6)

Вариационное соотношение (16) получено для гладких функций

v и v

e m ■

3. Проекционный метод

Используя проекционный метод сведем вариационное соотношение (16) к системе алгебраических уравнений [5]. Во-первых, разделим отрезок [0,г] на п отрезков длиной l = г / п . Определим п отрезков:

Ф, = [(, — 1)1,(, + 1)1 ], 7 = 1,..., П — 1, и Ф п = [(п — 1)l, г ] .

Эти отрезки мы назовем носителями.

В соответствии со схемой проекционного метода необходимо ввести базисные функции ф,, чтобы определить приближенное решение уравнения (16).

Базисные функции определены для каждого носителя Ф, (ф, равна нулю вне Ф,):

ф/ =

1

b - a.

■(p-a/),ai <p<b/,

i = 1, n -1

(17)

b - c.

•(p-С),bi <p<Ci,

и

фп = (р—а )/(с — а), (18)

где а,, Ь и с, - начальная, средняя и конечная точки , -го носителя соответственно.

Приближенные решения рассматриваемой задачи будем искать в виде

п п

ие = Еа,Ф,, ит = Е Р/Ф/ , (19)

г=1 г=1

где а,, Р/ - неизвестные коэффициенты; ф, - базисные функции.

Подставляя функции ие и ит с представлением (19) в вариационное соотношение (16), мы получим систему линейных уравнений относительно а, и Р/ (для фиксированного значения у):

Ах = 0, (20)

здесь матрицы А и х имеют вид

( A11

Aee

аП,1

A =

... A

1, n Л,1

Л,n Л

Л,1

An,1 V me

An,n An,1

ee em

A1,n A1,1

me mm

An,n An,1 me mm

1,n

An, n лтт

x =

( o1 Л

o„

ft

V1^ n У

1

где

A1 = j Кф,(Pjdр- J keф,р- J (k'e - Pe)ф;p-

Ф,

- r Mp(r)MZ(r)

Ф,

- + ki

Ф,

MZ (r) )

ф,- (r )ф j (r),

Mo Kl(kir), Ael =- j fmф,ФjdP> ^ = - j Лф,фjdP,

Ф,-

Ф ,-

^Jm = j Ктф,ФjdP- j kmф,ф jdP- j (k'm - Pm )ф,ф^P

Ф ,

Ф ,

f

- r

'Mp (r)

e Ko(kir)

v

1 + k1 • r eo Ki(kir)

ф,, (r )ф j (r),

1 = 1,...,п и ] = 1,...,п .

Таким образом, матрица А имеет размерность 2п х 2п . Обозначим через Д определитель матрицы А :

Д(у) = А. (21)

Определение. Если существует у такое, что Д(у) = 0 , то у является приближенным решением задачи Р. Другими словами, если интервал у, у^

таков, что Д(у)хД(у)< 0, то это означает, что существует у = у£ |у,у^, которое является приближенным собственным значением (постоянной распространения) задачи Р. Это приближенное собственное значение может быть вычислено с любой заданной точностью.

4. Численные результаты

Ниже приведены результаты решения задачи о распространяющихся электромагнитных волнах анизотропной магнитной неоднородной волнове-дущей структуры. Радиус волновода г = 2; диэлектрическая проницаемость внутри стержня е = 4; магнитная проницаемость имеет вид

Mi -,M2 0

M = ,M2 Mi 0

0 0 M3

Значения компонент тензора М1, М2, Мз приведены в сопроводительных подписях к рисункам.

Проведено численное исследование поведения дисперсионных кривых (графиков зависимости спектрального параметра у от циклической частоты

ю) при изменении компонент тензора М . На рис. 2 представлены дисперси-

онные кривые при постоянных значениях (1, (3 и изменяющемся значении компоненты (2 от 0,125 до 1. При уменьшении значения (2 дисперсионные кривые растягиваются по вертикали.

Циклическая частота

I 10 ш

Циклическая частота б)

Циклическая частота в)

Рис. 2. Дисперсионные кривые: а - (1 = 4, (2 = 1, (з = 1; б - (1 = 4, (2 = 0,5, (3 = 1: в - (1 = 4, (2 = 0,25, (3 = 1; г - (1 = 4, (2 = 0,125, (3 = 1

На рис. 3 представлены дисперсионные кривые при постоянных значениях (1, (2 и изменяющемся значении компоненты (3 от 1 до 8.

Циклическая частота

а)

Циклическая частота б)

Рис. 3. Дисперсионные кривые: а - (1 = 4, (2 = 1, (3 = 1;

б - (1 = 4, (2 = 1, (3 = 2 ; в - (1 = 4, (2 = 1, (3 = 4 ; г - (1 = 4, (2 = 1, (3

Циклическая частота в)

о с

Циклическая частота

г)

Рис. 3. Окончание

При увеличении значения Мз происходит увеличение числа мод. В обоих случаях наблюдается качественное изменение формы дисперсионных кривых.

Заключение

Исходная задача о нормальных волнах неоднородной волноведущей структуры сведена к краевой задаче для продольных компонент электромагнитного поля в пространствах Соболева. Неоднородность диэлектрического заполнения и вхождение спектрального параметра в условия сопряжения приводят к необходимости дать специальное определение решения задачи. Для определения решения использована вариационная формулировка задачи. Численные результаты найдены с помощью метода Галеркина. Предложенный численный метод программно реализован, проведен ряд вычислительных тестов. Проведенные эксперименты подтвердили правильность реализации численного метода, его сходимость и эффективность.

Библиографический список

1. Левин, Л. Теория волноводов / Л. Левин. - М. : Радио и связь, 1981. - 321 с.

2. Раевский, А. Б. Комплексные волны / А. Б. Раевский, С. Б. Раевский. - М. : Радиотехника, 2010. - 224 с.

3. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.

4. Никифоров, А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. - М. : Наука, 1978. - 320 с.

5. Colton, D. Integral Equation Methods in Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. -New York : Wiley, 1984.

References

1. Levin L. Teoriya volnovodov [The waveguide theory]. Moscow: Radio i svyaz, 1981, 321 p.

2. Raevskiy A. B., Raevskiy S. B. Kompleksnye volny [Complex waves]. Moscow: Radio-tekhnika, 2010, 224 p.

3. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki [Mathematical methods to examine problems of electrodynamics]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009, 268 p.

4. Nikiforov A. F., Uvarov V. B. Spetsial'nye funktsii matematicheskoy fiziki [Special functions of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1978, 320 p.

5. Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. New York: Wiley, 1984.

Смолькин Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: e.g.smolkin@hotmail.com

Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant, the research center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Снегур Максим Олегович

студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: snegur.max15@gmail.com

Snegur Maksim Olegovich Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.3 Смолькин, Е. Ю.

Численный метод решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 32-43. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-2-3