CC BY
85
УДК 519.6+519.246+551.5 В.А. Огородников, А.А. Ильина ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск
ЧИСЛЕННОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Рассматривается численная стохастическая модель совместных нестационарных временных рядов температуры воздуха и модуля скорости ветра трехчасового разрешения с учетом реальной зависимости от времени параметров одномерных распределений и корреляционных функций. Для аппроксимации эмпирических распределений температуры используются распределения в виде смесей двух гауссовских распределений, а для модуля скорости ветра - смеси двух гамма-распределений. Численное моделирование основано на методе обратных функций распределения и спектральном разложении корреляционных матриц. По модельным выборкам исследуются статистические свойства длительных неблагоприятных сочетаний рассматриваемых метеорологических величин, а также статистические свойства погрешностей оценивания соответствующих характеристик по реальным данным в условиях ограниченного объема выборки.
V.A. Ogorodnikov, A.A. Ilina
Russian Academy of Sciences Mathematical Department Novosibirsk Scientific Centre (SB RAS)
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics (ICMMG)
6 Lavrentieva, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
NUMERICAL STOCHASTIC SIMULATION OF NON-STATIONARY METEOROLOGICAL TIME SERIES
The numerical stochastic model of joint non-stationary time series of air temperature and wind speed modulus of three-hour time resolution with actual time variation of the parameters of one-dimensional distributions and correlation functions is considered. For the distributions of temperature mixtures of two gaussian distributions, and for the wind speed modulus mixtures of two gamma-distributions are used. The numerical simulation is based on a method of inverse distribution functions and spectral decomposition of correlation matrices. The statistical properties of long adverse combinations of the meteorological parameters are investigated with the help of modeling samples. Some statistical properties of the estimation errors of the corresponding characteristics with when the sample volume is small are also investigated.
Работа посвящена построению стохастической модели двух совместных нестационарных рядов, а именно, температуры воздуха и модуля скорости ветра на основе данных реальных наблюдений. В модели учитывается суточная и внутрисезонная нестационарность рассматриваемых процессов. Данные наблюдений представлены в виде синхронных рядов приземной температуры воздуха и модуля скорости ветра за период с 1966 по 2000 годы на метеостанции «Астрахань». Рассматривался интервал времени с 20 января по 1 марта (для високосных лет - по 29 февраля). Используются данные с трехчасовым разрешением, т.е. в каждых сутках имеется восемь измерений температуры и модуля скорости ветра, таким образом длина каждого ряда составляет 320 элементов.
Для построения стохастической модели этих совместных рядов используются оценки распределений вероятностей каждого элемента ряда и совместная корреляционная матрица. Ниже приведены результаты оценивания рассмотренных характеристик по реальным данным. Периодичность и нестационарность реального процесса наиболее четко проявляется в изменениях во времени средних значений и дисперсий температуры воздуха. Соответствующие графики приведены на рис. 1. Сходное поведение наблюдается и для характеристик модуля скорости ветра.
а) б)
Рис. 1. Изменения по времени средних значений а) и дисперсий б) температуры воздуха (шаг А/ = 3часа, интервал наблюдения 40 суток)
На рис. 2 приведены графики изменения средних многолетних значений модуля скорости ветра в течение суток. График 1 соответствует 23 января, а график 2 соответствует 24 февраля. На этом рисунке также приведены границы статистической погрешности для этих оценок (3 и 4 соответственно).
Рис. 2. Средние значения модуля скорости ветра в течение суток.
Из приведенных рисунков видно, что временные ряды температуры приземного воздуха и модуля скорости приземного ветра испытывают существенный суточный ход и внутрисезонные изменения. Следует отметить, что суточный и внутрисезонный ход испытывают не только средние значения и дисперсии, но также и характеристики, связанные с моментами более высоких порядков. На рис. 2 в качестве примера приведена первая и девятая побочная диагонали корреляционной матрицы временных рядов температуры воздуха. Корреляции для модуля скорости ветра имеют сходный вид, однако в силу сильной изменчивости этого метеоэлемента соответствующие кривые оказываются более зашумлеными. Рассмотренные характеристики будут учитываться в качестве входных параметров модели.
Рис. 3. Первая и девятая побочная диагонали корреляционной матрицы
температуры воздуха
Распределения вероятностей на каждом шаге по времени t аппроксимируются смесями двух распределений
РМ) = 6,Ри О % X/ 0 < в < 1>
а именно: распределения для температуры аппроксимируются смесями двух нормальных распределений, а для модуля скорости ветра смесями гамма-
распределений. При этом параметры смесей выбираются так, чтобы эти распределения в определенном смысле наилучшим образом описывали эмпирические распределения. Методика оценивания параметров распределений приведена в статьях [1, 2].
Качество аппроксимации одномерных распределений температуры воздуха проверялось по величине показателя Пирсона и по модулю разности между асимметрией аппроксимирующего распределения и соответствующей асимметрией, оцененной по реальным данным. Следует отметить, что качество аппроксимации для плотностей, соответствующих различным срокам наблюдений, не одинаково, например, из 320 распределений показатель Пирсона попал в интервал от 0,05 до 0,1 в 183 случаях, а в интервал от 0,15 до
0,2, соответствующий наибольшей погрешности, в 15 случаях. Сходные результаты получены при аппроксимации одномерных распределений для модуля скорости ветра.
Для моделирования реализаций совместных рядов температуры и модуля скорости ветра используется метод обратной функции распределения, подробно рассмотренный в работе [3]. При моделировании необходимых для реализации этого метода гауссовских векторов с заданной корреляционной структурой используется метод, основанный на спектральном разложении корреляционной матрицы. Сходный подход был использован в работе [4] для моделирования совместных рядов среднесуточной температуры воздуха и индикаторов суточных сумм жидких осадков. Различие состоит в том, что в работе [4] для моделирования среднесуточной температуры вместо метода обратных функций распределения использовалось специальное представление случайной величины с распределением в виде смеси распределений [1,2], а для индикаторов осадков специальное пороговое преобразование гауссовского ряда. Численные эксперименты показали, что использование метода обратных функций распределения в ситуации, когда распределение изменяется на каждом шаге по времени, дает существенно лучший результат, чем использование подхода, рассмотренного в работах [1,2,4].
Для проверки качества модели по реальным и модельным данным были проведены расчеты по оценке характеристик, связанных с выбросами рассматриваемых случайных процессов. На рис. 4 приведены оценки зависимости от времени вероятности понижения температуры ниже уровня -150С длительностью 3 и 9 часов. Видно, что с увеличением длительности различие между модельными и фактическими вероятностями увеличивается, но, тем не менее, характер поведения этих характеристик сохраняется.
Рис. 4. Вероятности понижения температуры воздуха ниже уровня -150С длительностью а) 3 часа, б) 9 часов; 1 - оценки по реальным данным, 2 - по
модельным данным
Рассматривались также вероятности различных событий, связанных с совместным поведением временных рядов температуры воздуха и модуля скорости ветра. В частности, на рис. 5. приведены вероятности
Р <а,...,^1т <а; <Ь,...,^Т <Ъ для различных уровней а, Ъ , а также
границы статистической погрешности оценки этих характеристик по объему выборки, равному объему данных наблюдений. Здесь обозначает
температуру, а с,2 - модуль скорости ветра. Следует отметить, что в границы статистической погрешности чаще всего попадают оценки этих вероятностей для уровней, взятых вблизи средних значений рассматриваемых процессов, или для произвольных уровней, но для сравнительно небольших длительностей г. Таким образом, для длительностей в пределах суток модель вполне удовлетворительно описывает реальные данные. При оценках вероятности относительно длинных интервалов выхода за заданный уровень, модельные вероятности могут быть использованы в качестве дополнительной информации, так как оценки по реальным данным в этих случаях содержат существенные ошибки.
Рис. 5. Вероятность Р <а,...,^\т <а;^2 >Ь,...,^1Т >Ъ для значений а = 0°С,
Ь = 2,5 м/с. 1 - оценки по реальным данным, 2 - по нестационарной модели, 3 -границы стандартного отклонения от модельной оценки по 35 сорокадневных
последовательностям
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 09-05-00963-а. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Марченко А.С., Минакова Л. А. Вероятностная модель временных рядов температуры воздуха. // Метеорология и Гидрология, 1980, № 9, с. 39-47.
2. Марченко А.С., Семочкин А. Г. Модели одномерных и совместных распределений неотрицательных случайных величин. // Метеорология и Гидрология, 1982, № 3, с. 50-56.
3. Пригарин С. М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2005. - 259 с.
4. A.I. Evstafieva, E.I.Khlebnikova, VA. Ogorodnikov. Numerical stochastic models for complexes of time series of weather elements. Russ. Journal of Numer Anal. and Math. Modelling, V.20, No. 6, ( 2005), pp. 535-548.
© В.А. Огородников, А.А. Ильина, 2011
