Определение закона распределения атмосферной турбулентности посредством решения двумерного уравнения Фоккера Планка Колмогорова Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XXI 1990 ' М2

УДК 629.735.33.015.073

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АТМОСФЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА — КОЛМОГОРОВА

А. В. Бобылев

Рассматривается возможность использования нелинейного дифференциального стохастического уравнения для моделирования непрерывной атмосферной турбулентности с медленно меняющейся интенсивностью. Решается уравнение ФПК, полученное для системы двух дифференциальных стохастических уравнений, одно из которых является формирующим фильтром для продольной составляющей атмосферной турбулентности, а с помощью другого формируется модуль горизонтального ветра, имеющий круговой нормальный закон распределения. Проводится сравнение плотности распределения вероятности турбулентных продольных порывов ветра, полученной из решения уравнения ФПК и путем непосредственного интегрирования дифференциальных стохастических уравнений, для различных значений постоянной времени нелинейного уравнения.

При исследовании вопросов, связанных с получением оценок точности автоматической посадки самолетов с учетом воздействия атмосферной турбулентности, используются либо корреляционный метод, либо метод Монте-Карло. Метод Монте-Карло в принципе позволяет определить вероятность успешной посадки, либо вероятность выполнения каких-либо требований с необходимой доверительной вероятностью, но при этом количество реализаций оказывается слишком большим. При использовании корреляционного метода в процессе одного расчета удается получить оценки математических ожиданий и моментов второго порядка для всех фазовых переменных, которые для линейной системы и гауссовских входных воздействий полностью описывают совместную плотность распределения вероятностей. Однако этот метод порождает ряд трудностей, одна из которых заключается в правильном учете мультипликативных возмущений. При методе Монте-Карло такие возмущения моделируются с помощью линейных формирующих фильтров, на вход которых подается «белый шум», пропорциональный некоторому постоянному на данной реализации параметру, но этот параметр по совокупности реализаций является случайной величиной, распределенной по определенному закону. В данной статье рассматривается одно из таких мультипликативных возмущений, а именно продольная составляющая атмосферной турбулентности. Она описывается линейным формирующим фильтром, на вход которого подается сигнал в виде «белого шума», пропорциональный модулю горизонтального ветра. Обычно [1], боковая и продольная составляющие горизонтального ветра предполагаются распределенными по нормальному закону и, поэтому, модуль горизонтального ветра оказывается распределенным по закону Релея.

В статье синтезируется нелинейный формирующий фильтр, обеспечивающий ре-леевский закон распределения модуля горизонтального ветра и для двух формирующих фильтров (линейного и нелинейного) решается уравнение Фоккера — Планка —-Колмогорова (ФПК). Стационарное решение уравнения ФПК является совместной плотностью распределения вероятности двух фазовых переменных, что позволяет

решить задачу полного вероятностного описания стационарного случайного процес-

В качестве критерия сходимости результатов выбрана плотность распределения турбулентных продольных порывов ветра, которая вычисляется тремя способами. При первом способе интегрируется совместная плотность распределения, полученная из решения уравнения ФПК, по координате, являющейся модулем горизонтального ветра. При втором способе обрабатывается одна продолжительная реализация турбулентности, полученная путем интегрирования двух дифференциальных стохастических уравнений. Одно из этих уравнений — линейный формирующий фильтр, у которого коэффициент при «белом шуме» пропорционален переменной, являющейся выходом другого, нелинейного уравнения. Третий способ заключается в статистической обработке множества реализаций турбулентности, полученных с помощью одного лишь линейного формирующего фильтра. При этом интенсивность турбулентности, которая пропорциональна модулю скорости горизонтального ветра, в каждой реализации постоянна, но от реализации к реализации меняется в соответствии с круговым нормальным законом распределения. Величина модуля скорости горизонтального ветра задается по методу Монте-Карло.

1. Применение теории диффузионных марковских процессов для анализа закона распределения атмосферной турбулентности. При исследовании автоматической посадки самолетов в условиях воздействия атмосферной турбулентности обычно используется математическая модель турбулентности, разработанная Драйденом [3]. Спектральная плотность продольной составляющей турбулентности имеет вид

где Ь — масштаб турбулентности, V — скорость полета самолета, ах — интенсивность турбулентности, характеризуемая среднеквадратическим отклонением, со — частота.

Случайный процесс, описывающий продольную составляющую атмосферной турбулентности ХУ), при математическом моделировании задается с помощью линейного формирующего фильтра

цесс единичной интенсивности (на шаге интегрирования |х=const), Дт — шаг интегрирования.

Интенсивность атмосферной турбулентности пропорциональна модулю скорости горизонтального ветра и определяется следующим образом

где их, иг — продольная и боковая составляющие скорости горизонтального ветра, Ки — коэффициент пропорциональности, у — модуль скорости горизонтального ветра.

Случайные величины их, иг предполагаются распределенными по нормальному закону [1], причем среднеквадратические отклонения = аи. В результате

модуль скорости горизонтального ветра оказывается распределенным по круговому нормальному закону распределения. Таким образом:

са [2].

(1)

(t)

где hx(t) = —т=г —«белый шум», (0 —ступенчатый абсолютно случайный про-

= Ки V+ и\ = Ки У>

і у»

В работе [4] рассматривается дифференциальное стохастическое уравнение

у = ay — f!_y3 + У2к Kyhy,

£у (*)

(где а, Р, К — постоянные коэффициенты, ку (I) = -у'^—«белый шум»), которое

можно использовать в качестве нелинейного формирующего фильтра для получения стохастического процесса с релеевским законом распределения («белый шум» понимается в смысле Стратоновича [4}). Действительно, полагая а>0, |3>0, АГ>0, у>О, и, сделав замену переменных 2=1п у, у=ег, у=егг, получим

г = а - $е2г + У~2к КНу.

Для случайного процесса г У), обладающего марковским свойством, можно записать дифференциальное уравнение в частных производных для безусловной плотности распределения вероятности /2(г, £) (уравнение ФПК)

= $е2г)/г (г, <)] + -у- ^ [2 кКЧг (*> 01- (2)

Следует отметить, что вид уравнения (2) не зависит от того, понимается «белый шум» в смысле Ито [4] или в смысле Стратоновича [4], так как коэффициент при ку не зависит от 2. Уравнение (2) в данном случае имеет стационарное решение

_д_ дг

|\_ а + 6е2г)/г (*) + ъК* /г (г) ] =0,

поскольку а, Р, К не зависят от времени. Откуда

1п [/г (г)] = С1 + (аг - -у- е2г

Переменные г я у связаны между собой однозначной зависимостью г=1п у=ф{у), поэтому их функции плотности распределения вероятности связаны между собой соотношением [4]:

Г(У)=ГгЪ(У)\ | —

Лу

Следовательно,

Закон Релея получается при

л/С3

: 2гсА?, р = —Г

Коэффициент сг определяется из условия нормировки

оо

С2 _[/(>') ЛУ= ’>

о

1

для закона Релея с2 — —5-,

Таким образом, нелинейный формирующий фильтр можно представить в виде у = ( Ь ~ -4-1 + Ку

у-

\ ~а /

Полагая К3 = у , где Ту—параметр, характеризующий степень затухания процесса

(/(0 по времени, и, объединяя с уравнением (1), получим систему дифференциальных стохастических уравнений, описывающих изменение атмосферной турбулентности по времени в пространстве х, у (х — продольная составляющая турбулентности, у — модуль скорости горизонтального ветра)

У ~ Ту 1 2у — -2 ) + У т.. УЬу-

(3)

При пошаговом интегрировании марковского процесса, определяемого системой уравнений (3), необходимо рассматривать стохастические интегралы от «белых шумов» в смысле Стратоновича [4]. В результате система уравнений (3) преобразуется к виду: (для случая независимых «белых шумов» кх, ку):

dx — -у- Jdt + К

dy =

■.У У-

•л.

у3 \ 1 2я

т7[2у~~ЗГ)+~*'у~т7

dt + у

(4)

где d^x, dty — приращения винеровского процесса [2].

Для получения безусловной совместной плотности распределения переменных х, у необходимо решить двумерное уравнение ФПК, которое можно представить в следующем виде [21:

д/(Х’д/' *■ = — -&г\ах{х, у) fix, у, t)} — -^[ay{x, у) fix, у, <)] +

+ Ъ? [Ьп (Л:' y)f{x’ у’ *)] + X ITdy [bn (*’ y)f(X' У’ t)] +

Id2 • 1

+ ~2 fyTdi У)/{Х' У' t)] + ~2"ду* [Ь™(Х’ У)/(Х’ У’ 01, (5)

где ax, ay — коэффициенты сноса марковского процесса, Ьц — элементы матрицы диффузии марковского процесса:

х 71 ( У3 \

ах(х* У) ~ > ау У)= Зу 2 )»

2К2и у2 2яу8

Ьп ІX, У) = —г— , Ь22 {х, у) = , Ьи ix, у) = Ьп С*, у) =

1 X 1 у

2. Решение двумерного уравнения ФПК и сравнение результатов. Уравнение (5) можно представить в следующем виде:

д/ д/ df д* / л д2/

~dt = APf + А* ~дх + АУ ~ду~ + А*х дхг + <Эу2

(6)

где

Л TZ /Зу2 »)+ тх‘

Af — ту 1

Ах = X ~Т~Х ' > ^хх К2иу* - Тх ’

м У3 л Лу,= * у» 1У

Уравнение (6) является двумерным уравнением параболического типа. Его можно численно проинтегрировать неявным методом переменных направлений, при котором последовательно решаются одномерные задачи вдоль одной из осей координат, затем вдоль другой оси координат [5|. Шаг итерирования по t делится пополам, значения функции !(х, у, 0 в середине шага (после решения одномерных задач только по одному из направлений) являются промежуточными. После выполнения полного шага интегрирования производится нормализация функции Цх, у, £).

Продольно-поперечная схема интегрирования оказалась достаточно эффективной. Однако, для решаемой задачи шаг интегрирования по времени Дт, при котором схема устойчива, зависит не только от размера сетки по координатам х, у, (Л/г*, АНУ), но и от постоянных времени Тх, Ту. Так, при Д/г* = 0,1 м/с, Аку = 0,2 м/с, <т« = 2 м/с, Ки=0,2, Тх — Ту — 2 с схема устойчива при Дт<0,005 с. Количество точек по координате х, Nх= 101 (—5 м/с<х<5 м/с), по координате у, #у=81 (0<1/<16 м/с). Функция [о(х, у), которая использовалась в качестве нулевого приближения, имеет вид:

fo (X, У) =

Ku'lVz* e

Она представляет собой произведение двух функций: функции плотности распределения, соответствующей закону Релея при *=0, и функции плотности распределения для нормального закона при (/=const. В результате при *=0 получается нормальный закон распределения, определенный для положительных у.

Вид безусловной совместной плотности распределения f(x, у) после интегрирования уравнения ФПК представлен на рис. 1 (краевые условия задавались нулевыми, время окончания интегрирования /к=45 с). Она заметно отличается от нулевого приближения и имеет максимум f(x, i/)max«0,228 с2/м2 при х=0, (/=1,8 м/с.

Как уже отмечалось выше, при использовании метода Монте-Карло в процессе моделирования автоматической посадки самолетов на каждой реализации скорость горизонтального ветра считается детерминированной величиной, что соответствует значению Т„ = оо в нелинейном формирующем фильтре. Поэтому в дальнейшем следует рассмотреть случай, когда ТУ^>ТХ (постоянная времени Тх обычно составляет величину порядка 2—3 с). Оказалось, что уже при Тх=2 с, Ту = 20 с вид функции f(x, у) существенно зависит от размера сетки по координате х, причем в районе точки *=0, y—Ahy появляется пик, который вносит заметный вклад в величину интеграла

Вид функции f(x, у) представлен на рис. 2 (ДЛ* = 0,1 м/с, A/i„ = 0,2 м/с, Дт=0,02 с).

Величину пика функции f(x, у) в районе начала координат можно уменьшить за счет уменьшения размера сетки по координатам х, у. Однако, с увеличением постоянной времени Ту эта проблема все более усложняется.

Проинтегрировав функцию f(x, у) по координате у, можно получить одномерную ПЛОТНОСТЬ распределения вероятности f*(x) И сравнить С функциями /ст(х) и /м-к(х), которые можно получить после статистической обработки случайного процесса x(t), являющегося решением системы уравнений (4) и, соответственно, реализаций продольной составляющей атмосферной турбулентности при использовании

16 5

j j /(*, у) dx dy.

о -5

/(**)

0,5

ТХ-2С

Ту=2с

Рис. 1

метода Монте-Карло. При Ту=2 с совпадение функций /* (х) и ?Ст(х) достаточно хорошее (рис. 3). Следует заметить, что функции /* (х) заметно отличаются от гауссовского закона /г(*) положительным эксцессом при *=0 и более медленным уменьшением /*(*) при больших значениях \х\. Для плотности распределения/м.к (х) это отличие еще более ярко выражено, причем /м_к (0)«1,05 значительно превышает /*(0)«^т(0)«0,75.

Для Ту—20 с результаты расчетов представлены на рис. 4. Отличие между функциями }ст(х) и/м.к (х) уменьшилось, но появилось существенное отличие между функциями /* {х) и /Ст(я), что свидетельствует о недостаточной точности вычисления совместной плотности распределения }(х, у) при Д/гх = 0,1 м/с, Дйу=0,2 м/с.

Дальнейшее увеличение постоянной времени Ту проводилось лишь при интегрировании системы уравнений (4). При Г„=100 с [Ст(х) близка к плотности распределения /м-к (*)> полученной при использовании метода Монте-Карло (рис. 5).

Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о том, что нелинейный формирующий фильтр с постоянной времени Ту >'100 с можно использовать в стационарных случаях для моделирования воздействия атмосферной турбулентности на динамику самолета. При этом можно использовать полную нелинейную модель самолета и наряду с продольной составляющей атмосферной турбулентности задавать боковую и вертикальную составляющие, которые моделируются с помощью линейных

-2-1 0 1 г х.м/г

Рис. 4

формирующих фильтров второго порядка [3]. В результате, путем однократного (достаточно продолжительного) интегрирования полных уравнений движения могут быть получены законы распределения всех фазовых координат. В качестве таких стационарных режимов могут исследоваться режим захода' на посадку, режим отслеживания рельефа местности и т. д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин В. П., Ярошевский В. А. Оценка предельных отклонений параметров траекторий самолета при автоматической посадке. —Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 2.

2. Р о с и н М. Ф., Булыгин В. С. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления. —М.: Машиностроение, 1981.

3. Доброленский Ю. П. Динамика полета в неспокойной атмосфере.— М.: Машиностроение, 1969.

4. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. — М.: Наука, 1980.

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

Рукопись поступила 11/Х 1986 г.