Численные стохастические модели совместных негауссовских рядов метеоэлементов с учетом периодической зависимости параметров распределений от времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6+519.246+551.5 В.А. Огородников, К.В. Деренок ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск Е.И. Хлебникова

ГГО им. А.И. Воейкова, Санкт-Петербург

ЧИСЛЕННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОВМЕСТНЫХ НЕГАУССОВСКИХ РЯДОВ МЕТЕОЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОТ ВРЕМЕНИ

В работе рассматриваются численные стохастические модели совместных временных рядов различных метеорологических элементов, таких как температура воздуха, скорость ветра, относительная влажность и т.д., учитывающих одномерные распределения и матричные корреляционные функции реальных процессов. Для построения моделей используется приближение периодически коррелированных процессов, в соответствии с которым параметры распределений являются периодические функциями с суточным периодом. На основе этих моделей исследуются вероятностные свойства опасных метеорологических явлений (длительные понижения температуры воздуха, неблагоприятные сочетания метеорологических элементов и т. д.).

V.A. Ogorodnikov, K.V. Derenok

Russian Academy of Sciences Mathematical Department Novosibirsk Scientific Centre (SB RAS)

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics (ICMMG)

6 Lavrentieva, Novosibirsk, 630090, Russian Federation E.I. Khlebnikova

A.I. Voeikov Main Geophysical Observatory,

7 Karbysheva, St. Peterburg, 194021, Russian Federation

NUMERICAL STOCHASTIC MODELS OF JOINT NON-STATIONARY AND NON-GAUSSIAN TIME SERIES OF WEATHER ELEMENTS IN VIEW OF PERIODIC DEPENDENCE OF DISTRIBUTIONS PARAMETERS ON TIME

The numerical stochastic parametrical models of joint time series of various weather elements (air temperature, speed of a wind, relative humidity etc.), taking into account one-dimensional distributions and matrix correlation functions of real processes are constructed. The approximation of periodically correlated process is used. According to this approximation the daily periodic character of parameters of one-dimensional distributions and correlation functions is taken into account. On the basis of these models the statistical properties of the adverse meteorological phenomena (for example, long adverse temperature phenomena, adverse combinations of meteorological elements etc.) are investigated.

В работе рассматриваются модели совместных нестационарных периодически коррелированных временных рядов различных метеоэлементов с учетом их реальной специфики.

Одномерные распределения вероятностей большинства метеорологических элементов, как правило, существенно отличаются от нормальных. При этом они испытывают суточный ход, причем периодически меняются различные характеристики процесса (средние значения, дисперсии, коэффициенты

корреляции). Это существенным образом влияет на изменение различных важных для практики характеристик метеорологических рядов, например, длительных заморозков, резких перепадов температур и т. д.

Оценка параметров модели и численная верификация проведены с использованием данных 8-срочных метеорологических наблюдений, которые представлены в виде синхронных рядов значений приземной температуры воздуха, модуля скорости приземного ветра, атмосферного давления, относительной влажности и т.д. за период с 1966 по 2000 годы (метеостанция «Астрахань»).

Подход к построению совместных периодически коррелированных случайных процессов состоит в представлении этого процесса в виде векторного процесса с блочно-теплицевой ковариационной матрицей. Период определяется размерностью векторов в этом процессе, например, числом измерений в сутки, а значения компонентов соответствуют значениям метеорологического элемента в соответствующие сроки наблюдения. Средние, дисперсии и корреляционная функция периодически коррелированного процесса удовлетворяют следующим соотношениям [4]:

£^.+ р) = (1)

В^г + р) = В$(гг), (2)

Щ+ р, + р) = Щ, гі). (3)

Способ моделирования гауссовых последовательностей, удовлетворяющих этим условиям, основан на моделировании стационарно связанных гауссовых

р -мерных векторов ^ = (^., Е, . )т, совокупность которых при / = 1,..., п

можно представить в виде вектора

(4)

с нулевым средним и заданной вещественной ковариационной матрицей блочно-теплицева вида

(5)

Щ ■ ■ К-1

Щ( п) Щ ■ ■ К-2

К-1 К-2 ■ ■ Щ

где Як, к = 0,...,п-\ - матрицы рхр. Без нарушения общности мы можем рассматривать нормированную ковариационную матрицу Я(и).

Соответствующая ковариационная матрица получается после умножения каждой компоненты вектора (4) на соответствующее стандартное отклонение. Представим вектор (4) в виде

Последовательность компонентов данного вектора является периодически коррелированной последовательностью [2, 3]. Отметим, что специфика периодической коррелированности последовательности (6) определяется

структурой блоков Нк матрицы Я(п}.

Алгоритм моделирования последовательности векторов /' = 1 с корреляционной матрицей (5) основан на методе условных распределений [6]. Для численной реализации этого метода используется специфика матрицы (5) [6,7].

Для моделирования неограниченных последовательностей

^>\ ■> ^>2 ■> ‘ ‘ ‘ ’ ^р■> ^р+1 ’ ^'р+2 ■> — ’ ^2р-> — ’ ^(п-\)р+\■> ^(п-\)р+2■> — ’ ^пр■> —

может быть использована многомерная модель авторегрессии порядка п в

виде

Й = В[+... + Втп [п]^_п + Спф1,

где в качестве начальных векторов используются векторы ,..., <^2. Если выполняются условия стационарности процесса авторегрессии [1], то для него также выполняются соотношения (1)—(3).

Для воспроизведения заданных распределений используется специальная модификация метода обратных функций распределения, основанная на нормализации исходного ряда [5].

В качестве примера на рис. 1-3 приведены вероятности различных сочетаний метеоэлементов, длящиеся на протяжении заданного промежутка времени.

Рис. 1. Вероятность совместного наступления двух событий в течение заданного временного периода: относительная влажность выше 40(%)-1, 60(%)-

2, 80 (%)-3, а температура выше 15 (0С), по реальным (......) и по модельным

(-------) данным, июль

Рис. 2. Вероятность совместного наступления двух событий в течение заданного временного периода: температура ниже 00 С -1, - 50С - 2, -100С - 3, 15

0С - 4, относительная влажность выше 70 (%), по реальным (......) и по

модельным (-------) данным, январь.

Рис. 3. Вероятность совместного наступления двух событий в течение заданного временного периода: 1 - температуры ниже 0 0С, -5 0С, -10 0С, -15 0С,

модуль скорости ветра меньше 5 (м/с), по реальным (......) и по модельным

(-------) данным, январь.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00846-а, 09-05-00963-а, 08-05-00569-а, 09-05-00874-а, 09-05-13507-офи_ц)

1. Т. Андерсон. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 757 с.

2. Боков В.Н., Лопатухин Л.И., Микулинская С.М., Рожков В.А., Румянцева С.А. О межгодовой изменчивости волнения // Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения. - С.-Петербург, Гидрометеоиздат, 1995. - С. 446-454.

3. K.V. Derenok and V.A. Ogorodnikov. Numerical simulation of significant long-term decreases in air temperature // Russ. Journal of Numer. Anal. and Math. Modelling -2008, V. 23, № 3. - P. 223-237.

4. Драган ЯП., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1987. - 320 с.

5. Марченко А.С., Сёмочкин А.Г. FФФF - метод моделирования временных рядов по наблюдаемым реализациям // Численные методы статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987. - С. 14-22.

6. V. A. Ogorodnikov, S. M. Prigarin. Numerical Modeling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications, Utrecht: VSP. The Netherlands, 1996.

7. Марпл С.Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М: Мир, 1990. -

584 с.

© В.А. Огородников, К.В. Деренок, Е.И. Хлебникова, 2010