Численное решение связанной динамической термоупругопластической задачи, основанной на деформационной теории Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы:

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.

3. Халджигитов А., Каландаров А., Юсупов Ю., Сагдуллаева Д. Numerical modeling of the 1D thermoplastic coupled problem for isotropic materials // ВестникТУИТ. - 2013. - Том 1/2.

4. Самарский A.A., Николаев Е.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983. - 646 с.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СВЯЗАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ, ОСНОВАННОЙ НА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ

© Худояров Ш.Ш.*, Хужакулов Ш.А.*, Хасанов К.А.*

Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд

Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В двумерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопроводности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные и функции заменяются соответствующими конечно разностными аппроксимациями по явной и неявной схемы [4], для решения которых применяются методы последовательных приближений и прогонки [2].

Формулировка связанной динамической краевой задачи термопластичности, используя деформационную теорию пластичности

Рассмотрим обобщённую связанную динамическую краевую задачу термо-упруго-пластичности, которая состоит из уравнений движения

j + X =М > (1)

соотношения между деформациями и напряжениями для изотропных упру-гопластических материалов

* Магистрант.

ст. = К (9- 3а3)3. + ,

уравнение притока тепла для изотропных материалов

соотношения Коши

с начальными

Ктм - СЕТ-агТ0 -е. = О,

в =1 . + '),

(2)

(3)

(4)

--Фил, и,Ц =¥ик, У,|=. = , = ¥уЛ,

w,

Ц , = , ТЦ = Т0,

(5)

и краевыми условиями

и\е =и', VЦ w,|Е]

1 =w0, т| е1 =т, е = 5°

(6)

где Св - теплоемкость при постоянной температуре, а - коэффициент теплового расширения, Л - коэффициент теплового потока. Уравнения (1)-(6) в трехмерномслучае приобретают вид

--1---1---+ А, = р

я2

о и

дх

оу

дz

''21, ост22 , 23^ --1---1---+ А~ = р

дх Т31

ду

дz

дt2 я2

д V

Э2

я2 д w

, 32 , д"33 , у „

--1---1---+ А, = р—у

дх ду дz 3 дГ

(7)

аи =Л9 + 2Меи - 2(М-М')(1 - —) - ау(Т -Т0)

ст. = 2Ме. - 2(м-м ')(1 - ), (I Ф .)

Еи

где 9 = еи + е22 + £33; еи = ^1(еГ| + 4 + 4 + 24 + 24 + 24)

е11 = в11 -9/3, е22 = в22-9/3, езз =взз -9/3, е12 = в12, =в13, ®23 = в23;

(8)

ди 1 ду ди ду

ох 2 дх ду ду

1 ^ дич вз = —(— + —)

2 дх дх

Эw

1 ^ ду„

зз --"ч , 23 г\ ( ^ );

дх 2 ду дх

и

и

Учитывая этих имеем уравнение движения в перемещениях

, . д2ы д2ы д2ы ,. ^ д\ ,. ^ д2А „ дТ д2ы (Л + 2^)—т +М~2 + М~г + (Л + М)~— + (Л + М)——£-ау— = р—т дх ду дг дхду дхдг дх д/

д2у „ „ д2у д2у ,. „ д2ы „ д2А ^ дТ д2у

М—2 + (Л + ^М)—^ +М—2 + (Л + М)^~ + (Л+М)^~-%-ау— = Р—г (10)

дх ду дг дхду дудг ду д/

д2а д^ ,. , ^ д2-^ ,. ^ д2ы ,. ^ д2у „ дТ д2а М—2 + М~г + (Л + 2М)~г + (Л + М)—— + (Л + М)——£-ау— = р—т дх ду дг дхдг дудг дг д/

и уравнение притока тепла для изотропных материалов

д2т д2т дт ^ дТ ^ д2ы д\ д^^

Л(—Г + —Г + —Г) - С8--Т0ау(-+-+-) =

* дх ду до2 8 д/ 0 дхдь дудь дгдГ

с соответствующими начальными и краевыми условиями вида:

I ды

Ь=0=< — д/

| ду

=0=<2- —

д/ дА

/=0

= ¥2, Ух=0= У0' 1х=£ = у0' /=0 (12)

4=0 =?3> — д/

= ^2, Ах=0 = А0' А1х=£ = А /=0

Т1=0 = Т,; Т1х=0 = Т1' Т1=, = Т;

* д 1 д 1 д 1 где /= 3Л + 2м % = 2(м-м')£ы—) + — (—) + — (—)]; Л, м М, а, с„ Л -

дх 8ы ду 8ы дг 8ы известные величины, £ - длина стержня, <, , Т0, Т,Т2 - заданные величины.

Построение явных и неявных конечно разностных уравнений

Построив в t > 0, 0 < х < I два семейства параллельных прямых х, = ¡и;

(1 =0,п), гк = кт; (к =0,1,2,...), заменяя производные в уравнениях (10)-(11) разностными отношениями, получим

5 5 5 '■»5,5

ы , , - 2ы , + ы , ., ы л, - 1ы , + ы ,, ы- ■, , - 2ы , + ы ., ,

/ 1 О ч 1+1,3,к 1,3,к 1-1,3,к 1,з+\,к 1,3,к 1,з~\,к 1,3,к+1 1,3,к 1,3,к-1

(Л + ¿М)-—-+ М--2-+ М-~2-+

"1 "2 5 5 5.5 у 5-1 у 5-1

, /1 , ч У1+1,3+1,к - У1+1,3-1,к - ^-1,3+1,к + ^-1,3- 1,к Г5 Т1+1,3,к ~ Т1-1,3,к , /1 оч

+ (Л + М)—3-—-3--^ук -аУ—-:3- + (13)

ч А+1,3,к+1 - А+1,3.к-1 - А-1,3,к+1 + А-1,3,к-1 "3 - 2К3,к +

+ (Л + М)-—-=р-2-,

4к" т

V, тоже похоже на и

гр5 ОТ75 _|_T7* Т75 ОТ7^ Л-Т75 Т75 ОТ75 I

о /+1,],к - 2Т/,],к + Т-1,],к , Т,]+1,к - 2Т,],к + Т,]-1,к , Т',],к+1 - 2Т,],к + Т,] ,к—1 \

Ло(-К-+--+-К-)-

и5, .,- и5, .,- и5-?., + и'Г?.. V", - у' , - у"-2,,, + у"-2,,

ОС Т ( г+ • 1,• к {+1,],к '-1,] ,к ',] +1,к г,]-1,к г,]+1,к г,]-1,к \ (Х^-4)

_ т ¡,к+1-w<!],к-1-+1+2,к-1 гТ.*-Т: =п ау 0 4 * г в 2г "

Решая разностные уравнения (13)-(14) относительно и], у], w'++1k и T"+1 соответственно получим

г2.....и^+и к - 2< к + и. и.+1, к - 2<Лк + и^к

] = —((Л + 2,«)——-] 1-1]к + И

р К К

и*.,,, -2^., + и

¿,],к+1 ¿,], к ¿,], к-1 /• о ¿+1. 7+1,к ¿+1, /-1 ,к ¿-1, ]+1,к ¿-1, ]-1,к —

+ --72--— + (Л + ^)(-]-—]-]—+ (15)

К 4К1К2

■U!* — и/ — и/ -1- и/ 7"-1 — 7"-1

-4*-}^^-2,- "

| '+1,],к+1 '+1.-.k-1 ¡-1.-.k+1 l-1.-.k-1л гд 1+1,],к ¡-1J.k^ п. •

+-ТГГ-) - Ы]к - аТ--) + 2U¡.],к - и1,],к

5-2 . 5-,

— 1! . — 7

С = тг(ауТо('

С/ 4*г 4* г

^],к+1 - Ч],к-1 - ^-2к+1 + к-1ч 1 /Т+1,],к - 2Т ,*-.k + Т--1,],к ^¿ч

+-4*Г-)-Ло(-К2-+ (16)

+ к2 + К2 ))+

Разностное уравнение (10) можно привести к виду

a-kU+,-k + Ь^и] + c-^u—-k= ], (17)

Л +(Л + 2^) р Л+2^. где Ь^= ---

Г „.Ti^—,-,k - Т- l.l-.^ £к ."ГЦк - 2 + ^Цк ,,и1],к +1 - 2 U.^^/.k + и5],к -1

=ау—2К—-ц--ц-К2--

— (Я + 1и)(у'+1,]+1,к -у'+1,-—1,к -1,]+1,к + у'-1,-—1.k ^+1,],к+1 - ^+1,],к-1 - ^-1,],к+1 + ^-1,],к-1 ^ +

и]к-1 - 2u¿;—1

Аналогичным образом можно привести разностное уравнение (11) к виду

и т3+1 + Ь Т3+1 + c Т3+1 = Г

(18)

2 и ^ С где аук = Т2, ьук = -2~--е

К 1

и = агтЛ-

С , =

К 2т' ф К2

1

1

¡+1,7,к ¡-1,7,к ¡+1,7,к ¡-1, 7,к . ¡,7+1,к ¡,7-1,к ¡,7+1,к ¡, 7-1,к

- - + V-

-V

, 7,к+1 ¡, 7 ,к-1 ¡, 7,к+1

Акт

■*-2 + щ

Акт т

,7,к-1 \ С е т3 I ¡,7+1,к

)- т т.,1 —

Акт

_2т; + т

,7,к ¡,7-1, к . ¡,7,к+1

Г,*., -2Т" + т;

К

К

-)

Значения перемещений , , и температуры начиная

со второго слоя, мы находим по итерационным формулам (18)-(19), а значения этих функций на первом слое мы находим методом [3].Совместное решение уравнений термоупругости с уравнениями теплопроводности позволяют более адекватно описать процесс термо-упругого состояния под действием механических и тепловых воздействий.

Тестовая задача

В качестве примера решалась связанная задача термо-упруго-пластич-ности (1)-(6), при ниже указанных начальных и граничных условиях:

и „ = О, V = 0, щ = О,

||=0 ' 1|=0 ' и=0 '

ди

т

= о, — д1

= О,

дщ

"дГ

= О,

т\*=0ц = 1 +1 • • ят^уХ Т\у2=о/( = ТО, Т\=о = ТО,;

при следующих константах

2 = I Л0= I, а = 0.05, ц = 0.5, Ц = 0.3, р = 1, Се = 3.5, Т0 = 90, к = 0.1, т = 0.01, £ = !■

Рис. 1.а) Перемещения и(х, у, 1) (метод неявный)

Рис. 1.Ь) Перемещения и(х, у, 1) (метод сеток)

3-2

+

+

г=0

I=0

г=0

Рис. 2.a) Зона пластичность Eu(x, y, t) (мет. неяв.)

Рис. 2.b) Зона пластичность Eu(x, y, t) (метод сеток)

Список литературы

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.

3. Халджигитов А., Каландаров А., Юсупов Ю., Сагдуллаева Д. Numerical modeling of the 1D thermoplastic coupled problem for isotropic materials // ВестникТУИТ. - 2013. - Том 1/2.

4. Самарский А.А., Николаев Е.А. Теория разностных схем. - М.: Наука.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНОЙ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ, ОСНОВАННОЙ НА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ

© Хужакулов Ш.А.*, Хасанов К.А.*, Худояров Ш.Ш.*

Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд

Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В двумерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопро-

* Магистрант.