CC BY
9
138 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
На рисунках показаны изменения искомых величин u(x, t) и Т(х, t) в зависимости от координаты х и времени t. На рисунках можно увидеть, что численные результаты полученные по явному сеточному методу и методу прогонки достаточно близки.
Список литературы:
1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.
2. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНОЙ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОСНОВАННОЙ НА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
© Юсупов Ю.С.*, Хужакулов Ш.А.*, Худаяров Ш.Ш.*
Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд
Сформулирована связанная термодинамическая пластическая краевая задача на основе деформационной теорию Ильюшина. Дискретные уравнения построены конечно-разностным методом. Построены два типа двумерных разностных уравнений, в виде явных и неявных схем.
В случае явной схемы, численное решение задачи основывается на рекуррентное соотношение. А в случае неявной схемы, метод решения задача приводится к последовательному применению метода прогонки по соответствующим направлениям оси координат. Заметим, что в случае неявной схемы в отличие явной схемы сходимость схемы, не налагается условия на длину шагов сетки по координатным осям.
Введение
Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В двумерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопроводности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные и функции заменяются соот-
* Предподователь.
* Магистрант.
* Магистрант.
Информационно-коммуникационные технологии
139
ветствующими конечно разностными аппроксимациями по явной и неявной схемы [4], для решения которых применяются методы последовательных приближений и прогонки [2]. Сравнения полученных результатов показывают, что они хорошо совпадают.
Формулировка связанной динамической краевой задачи термопластичности, используя деформационную теорию пластичности
Рассмотрим обобщённую связанную динамическую краевую задачу термо-упруго-пластичности, которая состоит из уравнений движения
ау. j + Xi = Ри, . (1)
соотношения между деформациями и напряжениями для изотропных упругопластических материалов
а,
а = K (в- 3a$)Sif + — et
j S
и
уравнение притока тепла для изотропных материалов
KT,a - csT-a7To Sj = 0.
соотношения Коши
S.. = 1 (и. .+ V. ),
У ^)\ l,J J. 1 / ’
2
с начальными
и,1 =Щ, U,.| =w., v| = ф, v| =% , T\ = Tn,
•\t=U 'lt=t„ J\t=, rj j\ -Dj | 0,
и краевыми условиями
Ui = Ui-
V,k = V". 4, = To- аЛ|ь = S“-
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где cS - теплоемкость при постоянной температуре, а - коэффициент теплового расширения, Л - коэффициент теплового потока.
Уравнения(1)-(6) в двумерном случае приобретают вид
дап да1.
дх ду
v _ д2и
• + X. = р—— 1 dt2
да да d2v
---21+----— + X 2 = р—г
дх ду дt2
(7)
<
140 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
где
ип
< а22
и 12
Л(еп + е22) + 2^: ii
Л(— +е22) + 2м—22 2Меи - 2(р-^)(Ь
*
е
2(М-М')(1 - —) -ay(T - To), Б
*
е
-2(м-м№-—) -ay(T -T), Б
*
—
е
и
);
(8)
^2 ejej ^2 (ei1 + e22 + '2ei2%)
_ 2ei i е22 (
3 ’
ди
—ii = УГ, —22 = dx
(ei2i
2 —22 - —ii
dv i /dv дич
—, б12 = — (— + —); dy 2 dx dy
ei2 —i2
(9)
Учитывая этих имеем уравнение движения в перемещениях
,. , лд2и д2и д2у . VS, i д i dT д2и
(Л + + Мт-у+(Л + М)ТУ - 2(М-М')—и(^(—) + у- (—))-аУ^~ = Р^Т
дх ду дхду дх — ду — дх дt
д v
д2и
д , i д 1
дT дУ
дУ
дх2 У '“'ду2 V дхду иУдхУе— дуУ — ‘ ду ^ дг2
(10)
+ (Л + 2М)—7 + (Л + М)—— 2(М-М—(— (—) +—(—Ъ -аУ~ = Р
<
и уравнение притока тепла для изотропных материалов
д2Т д2Г
дГ
Л (ттг + УГТ) - Се^7- Tar(
. д2и 32v .
-) = 0,
' дх ду д дхд дуд(
с соответствующими начальными и краевыми условиями вида:
I ди
и =Ф,, —
Uo $i ы
ду
4=0 =?2,
д(
= Vi, и|х=0 = ^ и\х=, = и0
= Щ2, Ух=0 = v0, VU = v0,
г| = To; t| = t , T = T;
lt=0 0’ 1х=0 i5 \х=1 2’
t=0
t=0
(11)
(12)
(13)
(14)
вде у = 3Л + 2м; = 2(м-м'— +-|-(—)); У м m\ a c— Л - из-
J дх — ду —и
вестные величины, £ - длина стержня, $, щ, <$2, щ, T0, Tb T2 - заданные
величины.
Информационно-коммуникационные технологии
141
Построение явных и неявных конечно разностных уравнений
Построив в t > 0, 0 < x < l два семейства параллельных прямых xi = ih; (i =0,n), tk = кт;(к =0,1,2,...), заменяя производные в уравнениях (10)-(11) разностными отношениями, получим
(2, I 2fl)U‘+1’j’k 2ui’j’k + U‘~1’j’k I (,l I fl)V‘+1’j+1’k V‘+1’J~1’k v‘-1,j+U + vi-1,j-1-к _|_
4hh
+p
Ui, j+1,k 2li, j,k + Ui, j-1,k sk Ti+1, j,k-1 Ti-1, j,k-1 Ui, j,k+1 2i, j2 + 2i, j2~ 1
~^-L-7T-—-4-aY——— = P—----22-—.
(15)
—h
T — 2T + T T — — + T T — T
л /i+1,j’k 2i,j’k + Ti-1,j,k 1i,j+1,k —i,j,k + Ti,j-1,k Л s-i Ti,j,k+1 Ti,j,k-1
Ail-----------л------------+------------75-----------1+4
2t
ayj, ^i+1 ,j,k -Ui-1,j,k -Ui+1,j,k-2 + Ui-1,j’k-2 Vi,j+1,k - Vi,j-1,k - Vi,j+1,k-2 + Vi,j-1,k-2 ^ _ Q
(16)
44
4H2t
Решая разностные уравнения (15)-(16) относительно ы^к, v j и Ту,к соответственно получим
i.j.k+1
X(A+2^) U-+1. j*-2uijk + Ui-1j * +^Uj1^Z—U,^l+^i-2L.
ay
T - T
1i+l.j.k—1 1i—l.j.k—l
2h
+ (A+p)V+1j'+1-k Vi+1,J- ^-1J+u + )-2ц + и
(17)
4hh
2r , m ,Ui+l,j,k Ui-1,j,k Ui+1,j,k-2 + Ui-1,j,k-2 , Vi,j+1,k Vi,j- 1,k Vi,j+1,k-2 + Vi,j- 1,k-2 ч
T,j,k+1 =7T (a7T0(-
£
-ц+
4\г
4Нг г
T -2Г + T T -22 + T
л /2+1,j,k 2i,j,k + Ti-1,j,k . Ti,j+1,k 2i,j,k + Ti,j-1,k u . rp
-A(--------h--------+--------h--------)}+j1
Разностное уравнение (10) можно привести к виду
аи.^, + Ьи+ си = А.
ij i+1,jk+1 ij ijk +1 j 2-1 jk+1 J ij
где
a _A + 2p 2(A + 2p) P c A +
j h ’ J h г2’ j h
f _ „„,Ti+1,j,k-1 ~Ti-1,j,k-1, gk ,, Ui,j+1,k ~ 2ui,j,k + Ui,j-1,k
Jij=a7 2^ M hi
-(A + P)
Vi+l, j+1,k Vi+1, J-1,k Vi-1, J+1,k + Vi-1, J-1,^ Ujk-1 '2Uijk
4hlh2
- + p-
(18)
(19)
P
2
T
142 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
Аналогичным образом можно привести разностное уравнение (11) к
виду
где
aijTi+l jk+1 + bjTijk+1 + CijTi-1 jk+1 fij
Л L
j = lb bj
(20)
hi
fj =arT0-
4h{c
Л C. c -f| и
h 2т ’ j h
Щ-К j,k-2 Т V г i, j+1,k
hh
i „.../p Vi,j+1,k Vi,j-1,k Vi,j+1,k-2 + Vi,j-1,k-2 CE rp
+ aYT0 T, — Ti, j,k-1
4h т 2t
Значения перемещений Иу-ш, Vy,k+1 и температуры Гу,к+1 начиная со второго слоя, мы находим по итерационным формулам (17)-(18), а значения этих функций на первом слое мы находим методом [3]. Совместное решение уравнений термоупругости с уравнениями теплопроводности позволяют более адекватно описать процесс термо-упругого состояния под действием механических и тепловых воздействий.
Тестовая задача
В качестве примера решалась связанная задача термо-упруго-пластич-ности (1-6), при ниже указанных начальных и граничных условиях:
М t=0=sin(y)-sin( хД —, —
dt dt
= 0, TL 0/x=1 = 90, ТЦ у_л = 90, = 90;
при следующих константах:
Л = 1.5, Лэ = 1, « = 0.05, и = 0.8, и' = 0.3, р = 1, Ce = 3.5, h = 0.1, т = 0.01, I = 1;
Рис. 1.a) Перемещения u(x, y, t) (метод неявный)
Информационно-коммуникационные технологии
143
Рис. 1.b) Перемещения u(x, y, t) (метод сеток)
Рис. 2.a) Температура T(x, y, t) (метод неявный)
Рис. 2.b) Температура T(x, y, t) (метод сеток)
144 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
Рис. 3.a) Зона пластичность Eu(x, y, t) (мет. неяв.)
01 23456789 10
Рис. 3.b) Зона пластичность Eu(x, y, t) (метод сеток)
Список литературы:
1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.
2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ,1948.
3. Халджигитов А., Каландаров А., Юсупов Ю.С., Сагдуллаева Д. Numerical modeling of the 1D thermoplastic coupled problem for isotropic materials // Вестник ТУИТ. - 2013. - Том 1/2.
4. Самарский AA., Николаев EA. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.
