Численное решение двухмерной связанной термопластической задачи, основанной на деформационной теории Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 2.a) Зона пластичность Eu(x, y, t) (мет. неяв.)

Рис. 2.b) Зона пластичность Eu(x, y, t) (метод сеток)

Список литературы

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.

3. Халджигитов А., Каландаров А., Юсупов Ю., Сагдуллаева Д. Numerical modeling of the 1D thermoplastic coupled problem for isotropic materials // ВестникТУИТ. - 2013. - Том 1/2.

4. Самарский А.А., Николаев Е.А. Теория разностных схем. - М.: Наука.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНОЙ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ, ОСНОВАННОЙ НА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ

© Хужакулов Ш.А.*, Хасанов К.А.*, Худояров Ш.Ш.*

Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд

Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В двумерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопро-

* Магистрант.

водности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные и функции заменяются соответствующими конечно разностными аппроксимациями по явной и неявной схемы [4], для решения которых применяются методы последовательных приближений и прогонки [2].

Формулировка связанной динамической краевой задачи термопластичности, используя деформационную теорию пластичности

Рассмотрим обобщённую связанную динамическую краевую задачу термо-упруго-пластичности, которая состоит из уравнений движения

+ X, =рй,,

(1)

соотношения между деформациями и напряжениями для изотропных упру-гопластических материалов

= К +-йеу,

ей

уравнение притока тепла для изотропных материалов

ЛоТи -сеТ-агТ0 -¿у = О,

соотношения Коши

с начальными

¿.. =1 (й. .+ V.),

у 2 V '• у ■>'''

(2)

(3)

(4)

= Ф, й.\ =ш., V,

'\г=г„ У"' Д

Ф-, V \

= Ъ, П=, = ^

(5)

и краевыми условиями

й'' Е = й ' , ч к

= V0, = То, а

п\ = БО

(6)

где с¿ - теплоемкость при постоянной температуре, а - коэффициент теплового расширения, Л - коэффициент теплового потока.

Уравнения(1)-(6) в двумерном случае приобретают вид

д2й

+ X1 = р-т-

1 дг2

да11 | дч12

дх ду

дЧ21 дапп . + —22

дх ду

+X2 =р

д V

дг2

й

ап =Цеп +£22) + 2реп - —-) -ау{Т -Т0),

агг = Л(£п +£22) + 2 в -2(')(1 —-)-аУ(Т-Т1

^12 = 2 в - 2(^-^)(1 —-);

(8)

где =

+4 + 24);

_ 2еи в22 _ 2 22 е11 „ __ .

е11 = 2 ' е22 = 2 ' е12 =в12'

дм ду 1 сг ди

в11 = ' в22 = ' в12 = 77 + Л 5х ду 2 5х ду

Учитывая этих имеем уравнение движения в перемещениях

„ ,32и д2», * ;д . 1 . З . 1 дТ д2и

(2 + + у++ - - 2(м-м')еи (—(—) +—(—))-ау—=Р~Г

дх ду дхду дх еи ду еи дх д

С2У ,, _ N З2^ ^ . д2и п ,.д . 1 . З . 1.. дТ ЗЧ>

^^Г + (2 + + (2 + V)—- 2(М Ь-(-) + т- (—))-ау— = Р^-г дх ду дхду дх еи ду еи ду о1

(9)

2. (10)

и уравнение притока тепла для изотропных материалов

д2Т д Т дТ „ ,д2и д2уч л

Л( ~т+~т ) -—т0ау(—+—) = о,

дх ду д дхд дудt

с соответствующими начальными и краевыми условиями вида:

(11)

и (х' у' t )11=0 = Р(х' У )'

ди

= щ(х'у)' -(х'У'= -0' -(х'У't)| = -о' (12)

У (х' У' 01 =^2(х,' У X ^ =^2(х' У )' V (х' У' С0 = V' V (х' У' ^ = V' (13)

дt

Т (х' У' t)lt=о = Т;Т (х' У' 01=0 = Т1 (t)'Т (х У' ОЬ = Т (0;

(14)

, д 1 д 1 д 1 где У= 32 + 2д 4 = 2(р - V )еи [ ( ) + — (—)+—( V1, а, с„ 2о -

дх дУ ви ви

известные величины, £ - длина стержня, Р' Щ'Р ¥2' Т' Т1'Т2 - заданные величины.

*

и

и

в

и

I=0

t=о

Построение явных и неявных конечно разностных уравнений

Построив в г > 0, 0 < х < I два семейства параллельных прямых х, = ¡И;

(' =0,п), гк = кт; (к =0,1,2,...), заменяя производные в уравнениях (10)-(11) разностными отношениями, получим

(2 + 2 N й'+1,у,к -2й',у,к + й'-1,у,к , : Ч V'+1,-+1,k ~ У'+1,1- 1,к -^-1,у+1,к + У'-1,]- 1,к

} К " ^ (15)

й',-+1,k 2Ч,ук + й',у-1,к ек Т+1,у,к-1 Т'-1,у,к-1 й',у,к+1 2у,к + Ч, Лк-1 —-а у =р—,

(Л + 2 'у+1'к ■ ¡-к + У,у-1,к | ^ | +1,у+1,к - й+1,у-1,к - й' -1,у+1,к + й' -1,у-1,к +

¡2 4ЙА

2 2 (16)

^+1,],к ,Лк + ^-—'к гк ТУ+1,к-1 -Т',у-1,к-1 ^,^'k+1-2v¡,ук + ^,/¿-1

+ ^-у-Л----Ь -аг—--= р~-----

К ^ ' 2кг Т

Т+1,у,к -2Т,-,k + ^-Ц'к Т,у +1,к -2Т,-,k + ТЦк^.гч Т,-,k+1 -Т,у,к-1

л , í+l,-,k ¡,-,k i-l,-,k ¡'у +1,к ¡,у,к ¡'у-1,к х-»

Л0(-^-+-^-) + С 2Т

(17)

к22 ' ¿ 2т

_а /й'+1,-',к й'-1,-,k й'+1,у,к-2 + й'-1,-,k-2 ^,у +1,к ^,у-1,к ^,у+и-2 + ^,у-1,к-2 а 4% Т 4к2 Т ~

Решая разностные уравнения (15)-(16) относительно , v¡-kk и Тук соответственно получим

„ т2 -лйм,м+ йм,м у-2й, ,к +й' _1,к T+l,-,k-1 ~Т-1,;,к-1 й, у к+1 =_ ((Л + -Г2--Г2--а--

',],í+1 р" " % ' % '2%

+ (Л + ^)-Щ-Ь^у +

(18)

, ]•,k + й, уы

т2 ^ ^+1,у,к ,-,k + ^-1,у,^ ^ ^ . Т ^Vi,у+и ,-,k + ^,у- 1,к

р К К

т Р-т % + (19)

Т ,у+1,к 1 Т ,у 1,к 1 к й +1,у+1,к й +1,у 1,к й 1,у+1,к +й 1,у 1,к аг---Ь + (Л+^-4КК-)-2^ ^„к + ч

_ 2т , ТЛ +—,к и'-1,у,к и' +—,к-2 + и'-1,у,к-2 V'J+1,k V',у-1,к ^,у+1,к-2 + V',у-1,к-2 ч = С(аГТо( 4Кт 44т

(20)

Т —9 Т а-Т Т —9 Т А-Т

1 Т'+1, у,к 2Т, у,к Т'-1, у,к ''у+и 2, у,к + Т' , у-1,к чч ^

-Ло(-¡К-+-К-)}+^1

Разностное уравнение (10) можно привести к виду

,+1,+1 -1,к+1 Л . (21)

— + 2ц , „(—+ 2 ц) р — + 2 ц

где 0,.-+^. Ь, =-2^-Р.

г Т+1.,.к-1 — Т-1. ,.к-1 ¡-к Ы1,,+1.к — 2м1. ,,к + и1.,-1.к

=аг---— + 4«-ц-

2^ - к,

, Л ч У1+1,,+1.к У1+1,,-1.к у-1.,+1.к + ,-1.к и-к-1 2и-к

- (— + Ц)--+ Р-2-•

4пхпг т

Ауу1+1.,к+1 + В,Ук+1 + -1-к +1 _ р. (22)

г36 А- .Ц В, .-2Ц-Р. С, .Ц

^ Т'+1.,.к-1 - Т-1.,.к-1 ¡-к /о , о .,+1.к - 2у.,.к + У.,-1.к

Р -^-^--+ £ - (- + 2ц)- ^ . '■>' '■> .

2й2 " й22

/ 1 \ и<+1.,+1.к - и1+1.,-1.к - и1-1.,+1.к + и1-1.,-1.к У,к-1 - 2у,к - (- + ц)——-—-—-^+ р ^ '

4ПП ' т2

Аналогичным образом можно привести разностное уравнение (11) к виду

0!ГТ1+1 ,к+1 + Ь,Т,к+1 + СТ-1 ,к +1 _ I , . (23)

— , <-. — С — где ^ —2. Ь _-2 —-С. с,

™ и/+1.¡,к - и1-1.¡,к - и/+1.¡,к-2 + и1-1. /.к-2 Л =агто-

+а7То

4Пт

V.. ш,, - V .._,,, - V,.

4П2 т

--—о т 11. ,+1.к — 2Т 21,.к

п

-2 + V .1.к-2 с С8 ^ 2т

Значения перемещений и. ,.к+1, V,+1 и температуры Т.,.к+1 начиная со второго слоя, мы находим по итерационным формулам (17)-(18), а значения этих функций на первом слое мы находим методом [3]. Совместное решение уравнений термоупругости с уравнениями теплопроводности позволяют более адекватно описать процесс термо-упругого состояния под действием механических и тепловых воздействий.

Тестовая задача

В качестве примера решалась связанная задача термо-упруго-пластич-ности (1)-(6), при ниже указанных начальных и граничных условиях:

«,!„ = у) • 8Ш( х

дй ди

= О,

дг дг

Т1 = 90, Г = 90, Т п = 90;

|х=0/х=1 ' |у = 0/у=1 ' 1г=0 '

при следующих константах Л = 1.5, Л0 = 1, а = 0.05, ц = 0.8, ц" = 0.3, р = 1, Се = 3.5, К = 0.1, т = 0.01, I = 1;

Рис. 1.а) Перемещения и(х, у, t) Рис. 1.Ь) Перемещения и(х, у, t) (метод неявный) (метод сеток)

Рис. 2.а) Температура Т(х, у, (метод неявный)

Рис. 2.Ь) Температура Т(х, у, (метод сеток)

Рис. 3.а) Зона пластичности Еи(х, у, t) (мет. неяв.)

Рис. 3.Ь) Зона пластичности

Еи(х, у, ^

Список литературы

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.

3. Халджигитов А., Каландаров А., Юсупов Ю.С., Сагдуллаева Д. Numerical modeling of the 1D thermoplastic coupled problem for isotropic materials // Вестник ТУИТ. - 2013. - Том 1/2.

МОДЕЛЬ СОГЛАСОВАНИЯ ВЕРСИЙ ЗАПИСИ В БАЗАХ ДАННЫХ NOSQL

© Цвященко Е.В.*

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

г. Москва

В статье представлена модель согласования версий записи в базах данных NoSQL. Модель позволяет оценить время согласования, а также число версий записи, одновременно существующих в базе данных. Представлено два варианта модели. В первом варианте время обработки пользователем версий записи рассчитывается исходя из числа версий, считанных пользователем. Во втором варианте время обработки рассчитывается на основе числа обновлений, выполненных другими пользователями между последовательными обновлениями записи текущим клиентом. Проведен натурный эксперимент в кластере до 10 узлов для доказательства адекватности модели.

Для повышения производительности и отказоустойчивости автоматизированных информационных систем (АИС) в настоящее время все чаще используются системы баз данных (БД), построенные на парадигме распределенных хранилищ «ключей / значений», получивших название NoSQL (Not-Only-SQL) [1]. В базах данных NoSQL не поддерживается режим ведения транзакций, поэтому возникает проблема согласования данных. Поддержание требуемого уровня согласованности для каждой конкретной предметной области может регулироваться параметрами (N, W, R) [2].

Вне зависимости от типа согласованности пользователи могут одновременно обновлять записи с одним и тем же ключом. Следовательно, система может хранить несколько версий данной записи. В этом случае возникает проблема обработки сразу нескольких версий (конфликт обновления). Базы данных NoSQL поддерживают механизм ведения вектора часов (Vector Clock - VC) [2] для каждой версии хранящейся в БД записи, который со-

* Аспирант.