Информационно-коммуникационные технологии
131
тельная степень отклонения /-той вершины рассматриваемого графа, можно определить квадратичное отклонение степеней вершины от равномерного:
£
2
Z р -р)2=^p2i
(6)
Показатель £ характеризует недоиспользование возможностей структуры, имеющей m ребер и n вершин, в достижении максимальной связанности.
Перечисленные показатели обеспечивают оценку структуры, функциональных связей в службах (отделах) АК участвующих в процессе обеспечения воздушных перевозок. Применение данных показателей происходит на этапе анализа деятельности подсистем АК при подготовке решения на управляющее воздействие в рамках системы управления качеством авиапредприятия.
Список литературы:
1. Бажин И.И. Информационные системы менеджмента. - М.: ГУВШЭ, 2000. - 688 с.
2. Устинова Г.М. Информационные системы менеджмента: Основные аналитические технологии в поддержке принятия решений: учеб. пособие. -Спб: ДиаСофтЮП, 2000. - 368 с.
3. Дружинин Е.А., Латкин М.А., Луханин М.И. Модели анализа проектов систем управления специального назначения // Информатика. - К., 1998. -С. 145-149.
4. Згуровский М.З. Интегрированные системы оптимального управления и проектирования. - К.: Вища шк., 1990. - 351с.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
© Юсупов Ю.С.*, Хасанов К.А.*
Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд
Сформулирована связанная динамическая краевая задача термопластичности, используя деформационную теорию пластичности для малых деформаций. Построены, конечно, разностные уравнения, исполь-
* Преподаватель.
* Магистр.
132 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
зуя явные и неявные схемы в одномерном случае. Задача решалась численно методом сеток (явная схема) и методом прогонки (неявная схема). Сравнение показывают совпадение численных результатов, полученных двумя методами.
Введение
Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В одномерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопроводности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные заменяются соответствующими конечными разностями, и оказывается, появляются два вида схем, то есть явные и неявные схемы. Явная схема решена с помощью рекуррентных формул. Для решения неявной схемы используется метод прогонки [2]. Сравнение результатов полученных двумя методами показывает хорошее совпадение.
Формулировка связанной динамической краевой задачи термопластичности, используя деформационную теорию пластичности
Рассмотрим обобщённую связанную динамическую краевую задачу термо-упруго-пластичности, которая состоит из уравнений движения
соотношения между деформациями и напряжениями для изотропных упругопластических материалов
аи,у + Xt =рщ
(1)
av= K (в- 3aS)8v +
(2)
уравнение притока тепла для изотропных материалов
KT,ii - csT - то •а(3Л'+ 2М) -ёу = о
(3)
соотношения Коши
ёу =1 (щ,J + )
(4)
Информационно-коммуникационные технологии
133
с начальными
иЦ =ъ, и<Ц = W, TL = T
(5)
и краевыми условиями
u\ ь =U‘, T Ь =T°, j k =S (6)
где се - теплоемкость при постоянной температуре, а - коэффициент теплового расширения, Л0 - коэффициент теплового потока.
Уравнения (1)-(6) в одномерном случае приобретают вид
д 2u
+т,= рд^
дх dt2
li = Л + 2М~ ~(Р- ^')(1 - -Ж - а(3Л + 2M)(T - Т0)
ди
дх
подставляя (9) в (8)
стп = (Л + 2/и- 4(М - ^')(1 - %di - а(3А + 2MXt - T)
и полученное в (7) имеем уравнение движения в перемещениях
4 s д 2и 4
(Л + 2р- ~(м-м' )(1 —-)) —г - ~(м-м') ■
s., дх 3
д 2и
* д 1 ди
■su '^т(su ь--ar(T-T) = р^г дх дх дt
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Уравнение притока тепла в одномерном виде приобретает следующий вид
(12)
. д^ дг д2и
Л—г - cs------T0ar------= 0
4 дх2 s дt 0 дxдt
с соответствующими начальными и краевыми условиями
(( х’t )| t=0 =v( хX
ди
~dt
= ¥(. хX T (х,t )| t=0 = T0
(13)
и
sii =
t=0
134 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
и(x>0L = ->'> U(Х> 0L = и°; 1(Х’0|Х=0 = 1 ); 1(Х’0L = 1 (О (14)
где у= 31 + 2д, 1, д, д', а, cs, 1 - известные величины, £ - длина стержня, у, Т0, Ть Т2 - заданные величины.
Построение явных и неявных конечно разностных уравнений
Построив в t > 0, 0 < х < l два семейства параллельных прямых заменяем производные в уравнениях (11)-(12) разностными отношениями, получим
,. „ 4, ,~.~.ui - 2U + uj_, 4,
(1 + 2д--(д-д)) —------2---i-L --(д-д) •
•_L(„-1\им -ии /-V ( и ) гц 7
ox 2h
-а/
Tj - T-i_ и{+1 - 2и/ + и -1
2 h
А
Т - 2TJ + TJ
Ti+1 21 i + Ti-1 _|_ q
T'J+1 - tу-1
2t
--аУТ0
■ = p
j - j - и- + J
4hT
(15)
=0 (16)
2
T
h
Решая разностные уравнения (15) и (16) относительно u{+l и Tj+! соответственно получим
-+1 =
2т
4 uj _ 2uj + uj TJ - TJ
(1 + 2д-4(д - д')) -i;1 2- + и‘-1 -а(31 + 2д) Т+1 Т-1
4 . * 0 _ 1 и), и , I j j 1
—(д-д) •s — (s ')——— + 2uJ - — 1 3 и dx и ) 2h
2h
(
TJ+1 = - —
i C
ayTi
j -t; - -t; --i- + -i-
4hT
-1'-^
Tj - 2TJ + TJ Л
- T
j-i
(17)
(18)
2
2
h
Как видно уравнения (17) и (18) позволяют найти значения функций и(х, t) и Т(х, t) на слое tj+1 если известны значения этих функций на двух предыдущих слоях. Значения функции и(х, t) на двух начальных слоях j = 0 и j = 1 мы найдём из начальных условий, а для значения функции Т(х, t) найдём заменяя смешанные производные другими разностными отношениями.
и = — i 2
Р
4 ыа
(1 + 2д --(д-д'))
- 2-0+-0,
-ау■
гп 0 гр0
1 i+1 - 1 i-1
2h
+ 2u0 + 2ут
(19)
2
1
г
2
h
тi = _2т
i с„
(
ауТ0
ui+1 ui-1 ui+1
2hT
+-0±_ r l0i - 21 +1
0 Л
]-i0
(20)
Информационно-коммуникационные технологии
135
Разностное уравнение (15) можно привести к виду
aiuM + bui+l + си!+ = f
(21)
где
4 4 4
1 + 2ц--(ц-ц') 2(1 + 2ц--(ц-ц')) п 1 + 2ц--(ц-ц')
ai =-------3-------, bi =----------3------------, c =--------3-------
i h2 ‘ h2 r2 i к2
'T'j 'Т'J -ijj 1 r)-ijj Д. p) -ijj -ijj
f =a(3A + 2ц)+ - i 2 i + -(ц-ц')s • —(s-)^i±L_i=L
2h
Г 3
5x
2h
Аналогичным образом можно привести разностное уравнение (16) к
виду
где
a-,++1 + b-+1 + c—+1 = fv
1 , г. 10 C Л0
a, = -0, bt =-2-0 —s, c, = -0
i h2 i h2 2r i h2
f = _ jUi+11 - uj1 - ujl + ujl J
f P i 4hr s 2t
(22)
Вычислив значения функций u(x, t) и T(x, t) на двух начальных слоях при j = 0 из начальных условий и при j = 1 из уравнений (19) и (20) соответственно, значения этих функций на остальных слоях можно вычислить из уравнений (21) и (22) используя граничные условия методом прогонки.
Совместное решение уравнений термоупругости с уравнениями теплопроводности позволяют более адекватно описать процесс термо-упруго-пластического состояния под действием механических и тепловых воздействий.
Тестовая задача
В качестве примера решалась связанная задача термопластичности (1114) с явным методом (метод сеток) и методом прогонки, при ниже указанных начальных и граничных условиях:
5u( x, t) 5t
t=0
0 - (x,t )|t=0
-0> u (xt)lx=0=0
u (x,t)lx=1
0, - (x, t )|
x=0
^ -(xt)|x=1 = -0
при следующих константах
1 = 1,2, 1= 0,8, a = 0.05, ц = 0.5, - = 0,9, Ce = 3.5, — = 90, h = 0.1, r = 0.01, £ = 1.
136 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
Рис. 1. Перемещения u(x, t) (метод прогонки)
Рис. 2. Перемещения u(x, t) (метод сеток)
Рис. 3. Температура Т(х, t) (метод прогонки)
Информационно-коммуникационные технологии
137
Таблица 1
Перемещения u(x, t) (метод прогонки)
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0 0 0,3090 0,5877 0,8090 0,9510 1 0,9510 0,8090 0,5877 0,3090 0
0,01 0 0,3083 0,5865 0,8080 0,9499 0,9988 0,9499 0,8080 0,5865 0,3083 0
0,02 0 0,3070 0,5840 0,8051 0,9465 0,9952 0,9465 0,8051 0,5840 0,3070 0
0,03 0 0,3051 0,5802 0,8003 0,9408 0,9892 0,9408 0,8003 0,5803 0,3050 0
0,04 0 0,3025 0,5753 0,7935 0,9329 0,9809 0,9329 0,7936 0,5754 0,3023 0
0,05 0 0,2993 0,5692 0,7849 0,9227 0,9702 0,9228 0,7850 0,5693 0,2990 0
0,06 0 0,2954 0,5618 0,7744 0,9104 0,9573 0,9105 0,7746 0,5620 0,2951 0
0,07 0 0,2912 0,5533 0,7620 0,8959 0,9421 0,8960 0,7623 0,5535 0,2909 0
0,08 0 0,2858 0,5436 0,7479 0,8793 0,9247 0,8795 0,7482 0,5439 0,2855 0
0,09 0 0,2801 0,5327 0,7320 0,8607 0,9051 0,8609 0,7324 0,5330 0,2797 0
0,1 0 0,2737 0,5206 0,7144 0,8401 0,8833 0,8402 0,7149 0,5209 0,2734 0
Таблица 2
Перемещения u(x, t) (метод сеток)
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0 0 0,3090 0,5877 0,8090 0,9510 1 0,9510 0,8090 0,5877 0,3090 0
0,01 0 0,3086 0,5871 0,8080 0,9499 0,9988 0,9499 0,8080 0,5871 0,3086 0
0,02 0 0,3076 0,5852 0,8051 0,9465 0,9952 0,9465 0,8051 0,5852 0,3076 0
0,03 0 0,3059 0,5820 0,8003 0,9408 0,9892 0,9408 0,8003 0,5820 0,3059 0
0,04 0 0,3036 0,5775 0,7936 0,9329 0,9809 0,9329 0,7936 0,5775 0,3036 0
0,05 0 0,3005 0,5718 0,7850 0,9228 0,9703 0,9228 0,7850 0,5718 0,3005 0
0,06 0 0,2967 0,5647 0,7745 0,9105 0,9574 0,9105 0,7745 0,5647 0,2967 0
0,07 0 0,2922 0,5564 0,7622 0,8961 0,9422 0,8961 0,7622 0,5564 0,2922 0
0,08 0 0,2870 0,5468 0,7482 0,8796 0,9249 0,8796 0,7482 0,5468 0,2870 0
0,09 0 0,2811 0,5359 0,7325 0,8611 0,9055 0,8611 0,7325 0,5359 0,2811 0
0,1 0 0,2745 0,5238 0,7150 0,8407 0,8840 0,8407 0,7150 0,5238 0,2745 0
138 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА
На рисунках показаны изменения искомых величин u(x, t) и Т(х, t) в зависимости от координаты х и времени t. На рисунках можно увидеть, что численные результаты полученные по явному сеточному методу и методу прогонки достаточно близки.
Список литературы:
1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.
2. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНОЙ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОСНОВАННОЙ НА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
© Юсупов Ю.С.* *, Хужакулов Ш.А.*, Худаяров Ш.Ш.*
Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд
Сформулирована связанная термодинамическая пластическая краевая задача на основе деформационной теорию Ильюшина. Дискретные уравнения построены конечно-разностным методом. Построены два типа двумерных разностных уравнений, в виде явных и неявных схем.
В случае явной схемы, численное решение задачи основывается на рекуррентное соотношение. А в случае неявной схемы, метод решения задача приводится к последовательному применению метода прогонки по соответствующим направлениям оси координат. Заметим, что в случае неявной схемы в отличие явной схемы сходимость схемы, не налагается условия на длину шагов сетки по координатным осям.
Введение
Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В двумерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопроводности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные и функции заменяются соот-
* Предподователь.
* Магистрант.
* Магистрант.