Численное решение одномерной teрmoпластической задачи для изотропных тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационно-коммуникационные технологии

131

тельная степень отклонения /-той вершины рассматриваемого графа, можно определить квадратичное отклонение степеней вершины от равномерного:

£

2

Z р -р)2=^p2i

(6)

Показатель £ характеризует недоиспользование возможностей структуры, имеющей m ребер и n вершин, в достижении максимальной связанности.

Перечисленные показатели обеспечивают оценку структуры, функциональных связей в службах (отделах) АК участвующих в процессе обеспечения воздушных перевозок. Применение данных показателей происходит на этапе анализа деятельности подсистем АК при подготовке решения на управляющее воздействие в рамках системы управления качеством авиапредприятия.

Список литературы:

1. Бажин И.И. Информационные системы менеджмента. - М.: ГУВШЭ, 2000. - 688 с.

2. Устинова Г.М. Информационные системы менеджмента: Основные аналитические технологии в поддержке принятия решений: учеб. пособие. -Спб: ДиаСофтЮП, 2000. - 368 с.

3. Дружинин Е.А., Латкин М.А., Луханин М.И. Модели анализа проектов систем управления специального назначения // Информатика. - К., 1998. -С. 145-149.

4. Згуровский М.З. Интегрированные системы оптимального управления и проектирования. - К.: Вища шк., 1990. - 351с.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

© Юсупов Ю.С.*, Хасанов К.А.*

Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд

Сформулирована связанная динамическая краевая задача термопластичности, используя деформационную теорию пластичности для малых деформаций. Построены, конечно, разностные уравнения, исполь-

* Преподаватель.

* Магистр.

132 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА

зуя явные и неявные схемы в одномерном случае. Задача решалась численно методом сеток (явная схема) и методом прогонки (неявная схема). Сравнение показывают совпадение численных результатов, полученных двумя методами.

Введение

Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В одномерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопроводности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные заменяются соответствующими конечными разностями, и оказывается, появляются два вида схем, то есть явные и неявные схемы. Явная схема решена с помощью рекуррентных формул. Для решения неявной схемы используется метод прогонки [2]. Сравнение результатов полученных двумя методами показывает хорошее совпадение.

Формулировка связанной динамической краевой задачи термопластичности, используя деформационную теорию пластичности

Рассмотрим обобщённую связанную динамическую краевую задачу термо-упруго-пластичности, которая состоит из уравнений движения

соотношения между деформациями и напряжениями для изотропных упругопластических материалов

аи,у + Xt =рщ

(1)

av= K (в- 3aS)8v +

(2)

уравнение притока тепла для изотропных материалов

KT,ii - csT - то •а(3Л'+ 2М) -ёу = о

(3)

соотношения Коши

ёу =1 (щ,J + )

(4)

Информационно-коммуникационные технологии

133

с начальными

иЦ =ъ, и<Ц = W, TL = T

(5)

и краевыми условиями

u\ ь =U‘, T Ь =T°, j k =S (6)

где се - теплоемкость при постоянной температуре, а - коэффициент теплового расширения, Л0 - коэффициент теплового потока.

Уравнения (1)-(6) в одномерном случае приобретают вид

д 2u

+т,= рд^

дх dt2

li = Л + 2М~ ~(Р- ^')(1 - -Ж - а(3Л + 2M)(T - Т0)

ди

дх

подставляя (9) в (8)

стп = (Л + 2/и- 4(М - ^')(1 - %di - а(3А + 2MXt - T)

и полученное в (7) имеем уравнение движения в перемещениях

4 s д 2и 4

(Л + 2р- ~(м-м' )(1 —-)) —г - ~(м-м') ■

s., дх 3

д 2и

* д 1 ди

■su '^т(su ь--ar(T-T) = р^г дх дх дt

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Уравнение притока тепла в одномерном виде приобретает следующий вид

(12)

. д^ дг д2и

Л—г - cs------T0ar------= 0

4 дх2 s дt 0 дxдt

с соответствующими начальными и краевыми условиями

(( х’t )| t=0 =v( хX

ди

~dt

= ¥(. хX T (х,t )| t=0 = T0

(13)

и

sii =

t=0

134 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА

и(x>0L = ->'> U(Х> 0L = и°; 1(Х’0|Х=0 = 1 ); 1(Х’0L = 1 (О (14)

где у= 31 + 2д, 1, д, д', а, cs, 1 - известные величины, £ - длина стержня, у, Т0, Ть Т2 - заданные величины.

Построение явных и неявных конечно разностных уравнений

Построив в t > 0, 0 < х < l два семейства параллельных прямых заменяем производные в уравнениях (11)-(12) разностными отношениями, получим

,. „ 4, ,~.~.ui - 2U + uj_, 4,

(1 + 2д--(д-д)) —------2---i-L --(д-д) •

•_L(„-1\им -ии /-V ( и ) гц 7

ox 2h

-а/

Tj - T-i_ и{+1 - 2и/ + и -1

2 h

А

Т - 2TJ + TJ

Ti+1 21 i + Ti-1 _|_ q

T'J+1 - tу-1

2t

--аУТ0

■ = p

j - j - и- + J

4hT

(15)

=0 (16)

2

T

h

Решая разностные уравнения (15) и (16) относительно u{+l и Tj+! соответственно получим

-+1 =

2т

4 uj _ 2uj + uj TJ - TJ

(1 + 2д-4(д - д')) -i;1 2- + и‘-1 -а(31 + 2д) Т+1 Т-1

4 . * 0 _ 1 и), и , I j j 1

—(д-д) •s — (s ')——— + 2uJ - — 1 3 и dx и ) 2h

2h

(

TJ+1 = - —

i C

ayTi

j -t; - -t; --i- + -i-

4hT

-1'-^

Tj - 2TJ + TJ Л

- T

j-i

(17)

(18)

2

2

h

Как видно уравнения (17) и (18) позволяют найти значения функций и(х, t) и Т(х, t) на слое tj+1 если известны значения этих функций на двух предыдущих слоях. Значения функции и(х, t) на двух начальных слоях j = 0 и j = 1 мы найдём из начальных условий, а для значения функции Т(х, t) найдём заменяя смешанные производные другими разностными отношениями.

и = — i 2

Р

4 ыа

(1 + 2д --(д-д'))

- 2-0+-0,

-ау■

гп 0 гр0

1 i+1 - 1 i-1

2h

+ 2u0 + 2ут

(19)

2

1

г

2

h

тi = _2т

i с„

(

ауТ0

ui+1 ui-1 ui+1

2hT

+-0±_ r l0i - 21 +1

0 Л

]-i0

(20)

Информационно-коммуникационные технологии

135

Разностное уравнение (15) можно привести к виду

aiuM + bui+l + си!+ = f

(21)

где

4 4 4

1 + 2ц--(ц-ц') 2(1 + 2ц--(ц-ц')) п 1 + 2ц--(ц-ц')

ai =-------3-------, bi =----------3------------, c =--------3-------

i h2 ‘ h2 r2 i к2

'T'j 'Т'J -ijj 1 r)-ijj Д. p) -ijj -ijj

f =a(3A + 2ц)+ - i 2 i + -(ц-ц')s • —(s-)^i±L_i=L

2h

Г 3

5x

2h

Аналогичным образом можно привести разностное уравнение (16) к

виду

где

a-,++1 + b-+1 + c—+1 = fv

1 , г. 10 C Л0

a, = -0, bt =-2-0 —s, c, = -0

i h2 i h2 2r i h2

f = _ jUi+11 - uj1 - ujl + ujl J

f P i 4hr s 2t

(22)

Вычислив значения функций u(x, t) и T(x, t) на двух начальных слоях при j = 0 из начальных условий и при j = 1 из уравнений (19) и (20) соответственно, значения этих функций на остальных слоях можно вычислить из уравнений (21) и (22) используя граничные условия методом прогонки.

Совместное решение уравнений термоупругости с уравнениями теплопроводности позволяют более адекватно описать процесс термо-упруго-пластического состояния под действием механических и тепловых воздействий.

Тестовая задача

В качестве примера решалась связанная задача термопластичности (1114) с явным методом (метод сеток) и методом прогонки, при ниже указанных начальных и граничных условиях:

5u( x, t) 5t

t=0

0 - (x,t )|t=0

-0> u (xt)lx=0=0

u (x,t)lx=1

0, - (x, t )|

x=0

^ -(xt)|x=1 = -0

при следующих константах

1 = 1,2, 1= 0,8, a = 0.05, ц = 0.5, - = 0,9, Ce = 3.5, — = 90, h = 0.1, r = 0.01, £ = 1.

136 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА

Рис. 1. Перемещения u(x, t) (метод прогонки)

Рис. 2. Перемещения u(x, t) (метод сеток)

Рис. 3. Температура Т(х, t) (метод прогонки)

Информационно-коммуникационные технологии

137

Таблица 1

Перемещения u(x, t) (метод прогонки)

X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0 0,3090 0,5877 0,8090 0,9510 1 0,9510 0,8090 0,5877 0,3090 0

0,01 0 0,3083 0,5865 0,8080 0,9499 0,9988 0,9499 0,8080 0,5865 0,3083 0

0,02 0 0,3070 0,5840 0,8051 0,9465 0,9952 0,9465 0,8051 0,5840 0,3070 0

0,03 0 0,3051 0,5802 0,8003 0,9408 0,9892 0,9408 0,8003 0,5803 0,3050 0

0,04 0 0,3025 0,5753 0,7935 0,9329 0,9809 0,9329 0,7936 0,5754 0,3023 0

0,05 0 0,2993 0,5692 0,7849 0,9227 0,9702 0,9228 0,7850 0,5693 0,2990 0

0,06 0 0,2954 0,5618 0,7744 0,9104 0,9573 0,9105 0,7746 0,5620 0,2951 0

0,07 0 0,2912 0,5533 0,7620 0,8959 0,9421 0,8960 0,7623 0,5535 0,2909 0

0,08 0 0,2858 0,5436 0,7479 0,8793 0,9247 0,8795 0,7482 0,5439 0,2855 0

0,09 0 0,2801 0,5327 0,7320 0,8607 0,9051 0,8609 0,7324 0,5330 0,2797 0

0,1 0 0,2737 0,5206 0,7144 0,8401 0,8833 0,8402 0,7149 0,5209 0,2734 0

Таблица 2

Перемещения u(x, t) (метод сеток)

X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0 0,3090 0,5877 0,8090 0,9510 1 0,9510 0,8090 0,5877 0,3090 0

0,01 0 0,3086 0,5871 0,8080 0,9499 0,9988 0,9499 0,8080 0,5871 0,3086 0

0,02 0 0,3076 0,5852 0,8051 0,9465 0,9952 0,9465 0,8051 0,5852 0,3076 0

0,03 0 0,3059 0,5820 0,8003 0,9408 0,9892 0,9408 0,8003 0,5820 0,3059 0

0,04 0 0,3036 0,5775 0,7936 0,9329 0,9809 0,9329 0,7936 0,5775 0,3036 0

0,05 0 0,3005 0,5718 0,7850 0,9228 0,9703 0,9228 0,7850 0,5718 0,3005 0

0,06 0 0,2967 0,5647 0,7745 0,9105 0,9574 0,9105 0,7745 0,5647 0,2967 0

0,07 0 0,2922 0,5564 0,7622 0,8961 0,9422 0,8961 0,7622 0,5564 0,2922 0

0,08 0 0,2870 0,5468 0,7482 0,8796 0,9249 0,8796 0,7482 0,5468 0,2870 0

0,09 0 0,2811 0,5359 0,7325 0,8611 0,9055 0,8611 0,7325 0,5359 0,2811 0

0,1 0 0,2745 0,5238 0,7150 0,8407 0,8840 0,8407 0,7150 0,5238 0,2745 0

138 УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ: ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ, ПРАКТИКА

На рисунках показаны изменения искомых величин u(x, t) и Т(х, t) в зависимости от координаты х и времени t. На рисунках можно увидеть, что численные результаты полученные по явному сеточному методу и методу прогонки достаточно близки.

Список литературы:

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Изд. Мир, 1975.

2. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1: Теория малых упруго-пластических деформаций. - М.: ГИТТЛ, 1948.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНОЙ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОСНОВАННОЙ НА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ

© Юсупов Ю.С.* *, Хужакулов Ш.А.*, Худаяров Ш.Ш.*

Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Самарканд

Сформулирована связанная термодинамическая пластическая краевая задача на основе деформационной теорию Ильюшина. Дискретные уравнения построены конечно-разностным методом. Построены два типа двумерных разностных уравнений, в виде явных и неявных схем.

В случае явной схемы, численное решение задачи основывается на рекуррентное соотношение. А в случае неявной схемы, метод решения задача приводится к последовательному применению метода прогонки по соответствующим направлениям оси координат. Заметим, что в случае неявной схемы в отличие явной схемы сходимость схемы, не налагается условия на длину шагов сетки по координатным осям.

Введение

Математическая модель связанной краевой задачи термопластичности состоит из уравнений движения и теплопроводности [1]. В статье построены модельные уравнения для изотропных термопластических материалов. Используя предложенную теорию пластичности, мы сформулируем термопластическую краевую задачу, которая состоит из уравнений гиперболического и параболического типа. В двумерном случае связанная задача состоит из уравнений движения и теплопроводности зависящих от перемещения и температурных параметров с соответствующими начальными и краевыми условиями. Дискретные уравнения построены конечным методом различия. В процессе дискретизации все производные и функции заменяются соот-

* Предподователь.

* Магистрант.

* Магистрант.