Численное решение осесимметричных задач ползучести круговых цилиндрических оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том II

197 1

№ 3

УДК 629.735.33.015.4-977

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ПОЛЗУЧЕСТИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

Рассматривается задача расчета моментного напряженно-деформированного состояния круговой цилиндрической оболочки в условиях неустановившейся ползучести. Предложен численный метод решения, проиллюстрированный примерами.

Приводится численное решение задачи расчета моментного напряженно-деформированного состояния изотропной круговой цилиндрической оболочки в условиях неустановившейся ползучести при осесимметричном нагружении, нагреве, закреплении торцов и начальном прогибе оболочки (фиг. 1). Используются уравнения

теории течения (с произвольным законом упрочнения) и нелинейной теории пологих оболочек. Особенность задачи состоит в нелинейности связи между напряжениями и деформациями в оболочке, что приводит к необходимости определения нелинейного распределения напряжений по ее толщине. Это препятствие преодолевается в ряде работ (см. [1]) приближенно при помощи введения упрощенной (двухслойной) модели оболочки либо некоторой аппроксимацией распределения напряжений по толщине с последующим применением вариационных методов. Указанные приближен-

Г. Н. Замула

\ \ \ » ♦ ♦ \ ( \

Фиг. 1

ные методы мало пригодны для построения простых и универсальных инженерных алгоритмов расчета, ориентированных на ЭЦВМ.

1. Компоненты вектора перемещений оболочки в направлениях хг = х, х2=у, ха = г обозначим иг, тензоры напряжений — о,уЧ тензоры деформаций — е<;., где /, у = 1, 2, 3. Связь между скоростями изменения во времени т напряжений и деформаций при неустановившейся ползучести материала принимаем в виде, приведенном в работе [1] (точкой обозначено дифференцирование по времени):

г1]"=ецЛ-р и +•8// (а0; 1

4 10 1ф}. I

Упругие деформации удовлетворяют закону Гука

еЧ ^ 2(Г (°^ — 8 и Ьру °кк) ' ^

компоненты скоростей деформаций ползучести р1} определяются теорией течения с упрочнением

Рц = -у ё (а, Р, *) («у ~ЬЧ^1 ’ Р = (3’ Р' 0- (3>

В соотношениях (1)—(3) о и р обозначают интенсивность напряжений и скоростей деформаций ползучести,

°2 = т(°0--8о^)(^-8;/^) > Ръ = ^РцРф (4>

/ (х, г,' температурное поле в оболочке, а (£) — коэффициент

Е

линейного расширения, 0 = 0п —г, V —модуль сдвига и коэффи-

циент Пуассона, Е— модуль упругости.

Используя далее нелинейную теорию тонких пологих оболочек [2] и осевую симметрию задачи, полагаем

612 — ®13 = ®23 = °12 = °18 = °23 = °33 — Щ — О',

(5>

°п = ах(х, Х); а22 = аАХ> *>’ХУ’

и1 = а(х, т) — ; и3 = а>(х, т)

при связи скоростей деформаций и перемещений

ди . дш дш д2а> ■ ■ <о .

6п = £, = ¥+¥¥_г'Р‘’ —7* (6>

и уравнениях равновесия

д2Мг , (*, д2*\ , Му

+Г'-^)+ТГ + ''-0; (7>

где А^., Л/у, Мх — усилия и продольный Изгибающий момент в оболочке,

й/2 й/2 й/2

Л^ = | ЛГ,= | 0,2^2:; (8>

—й/2 —й/2 —й/2

^(х, х), Л^(х) — заданная поперечная и продольная нагрузки на оболочку. Граничные условия, по два на каждом из торцов оболочки х = 0, х = Ь, приводятся к виду при х = 0

где <»1, 0£, Мь, <?£ — прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающая сила на торце. С учетом (4) — (6) системы уравнений (1) —• (3), (7) принимают вид

и образуют совместно с (8) и (9), при заданных значениях (о° (х, г), 0° (х, у), р°(х, г), ш°(л:), и° (х)) в начальный момент времени х = х°, систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений первого порядка по х) относительно неизвестных ах(х, г, х), <зу(х, г, х), р(х, г, х), а>{х, х), и(х, х), после решения которых определяются также рх{х, г, х), ру(х, г, х) при известных р°х(х, г), р°у{х, г). После интегрирования первых двух соотношений (10) по толщине оболочки в пределах от — /г/2 до А/2 и по времени в пределах от ■X0 до х, а также некоторых преобразований указанная система приводится к виду

О) =

(9)

или Мх = Мі,

— -£ (®* - *>у) - И);

(10)

— (а* — а*°)]- ^2 \Pv~Py~ (Ру — Р\) + * \Рх—Р'х— ІРх —Рх)]);

Р—Р° = § о^(а, р, /)<*с;

т

pjc — p°x = j р> *) — y) dт;

т°

X

Ру —Ру = J" ЙГ(в, Р' 0 |°у — Цг')dz>

— Nv — — Eh

+ v(AlL-NLy,

Eh* d»(®-®0) Eh3 ~ ~

Mx — Mx= — -----J----Ц-5-----------------r (at — at0) ■

x 12(1—v2) dx2 12(1 — v)v 7

£A* r~ ~o ~ ~o

— 12(1 — v2) 'Px ~~ Px V ^Py ~pyH

J ft/2 J ft/2 _ | ft/2

F J '>“T 1 “( = T I atdz'

-Л/2 —ft/2 -Л/2

I ^ л/2 ^ |2 ^2 ^ J2

(13)

^* = Л^ 1 ^^Л5" 1 р»2<1г' = ^ 1 а/2Йг-

-й/2 -Й/2 -й/2

Уравнения (11) представляют собой, совместно с (12), (13) и преобразованными граничными условиями (9) вида (на торце л:=0)

0 о д(Мх — М°х) , дш „ода0 _ _•

(О —Ш =Ш, —(0£ или --------1+NLJ- — NL7Г-==QL—QL,

L L дх дх

д(ш~<и-°) = в1 - el или Л1,-Л£=.ЛЬ-ЛЙ,

(14)

систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (воль-терровского типа по т) относительно неизвестных 0х(х, Z, х), ау(х, z, х), р(х, z, х), ш(х, х). В другой форме аналогичные уравнения для ползучести пластин получены автором работы [4].

Продольное перемещение и(х, х) срединной поверхности оболочки определяется после решения указанной системы при и (0, х)= = и° (0, х) формулой

и - и- -1 и°1 дх- j {[М - Nl -»(AT, - ЛЙ] + ~Ч -

(15)

В частном случае, когда деформации ползучести пренебрежимо малы, рх = р°х, Ру = Р°у, Р = Р°, последние соотношения (И) и (12) дают уравнения осесимметричного изгиба круговой цилиндрической оболочки. При „мгновенном* нагружении (нагреве) оболочки в момент х = х° решение упругой задачи дает начальные условия для задачи о ползучести оболочки. Исходные начальные условия при х = 0 могут быть различны, в частности это может быть

(16)

ненапряженное и недеформированное состояние оболочки с началь ным прогибом <*>0(х) ПРИ температуре Ьй(х, г)\ а'х = а°у — Р° — ио= 0; 0)° = <В0;

о'х = Ру = 1$. = Ч0=1^-М\ = Ъ — /0;

а>°1 = ш0 (0) или ($; = 0, б2 = ^(°) или ж2 = 0.

2. Уравнения (11) —(14) записаны в виде, удобном для применения шагового метода их решения во времени. Используя при вычислении входящих в уравнения (И) и (12) интегралов по т, значения подынтегральных функций в момент времени х° и полагая т° = т<А-1>, х = т<*) = -с)*-1) + Дт<*), получаем выражения для приращений напряжений и величины р на &-м шаге:

Д<#> = ДМ*> - аг^к)- - [Д (а*)* - д (ЭД

к

1—V2 йхг

1 - V

1—V5

[Ар^-Ар{к) + у(Ар^-Арк)];

[Д (а^)(А) — Д (а/П -

1 — V2 их2

1 - V

.«1

(17)

Ар(к) = а(к-1)ё^к-1)) *<*-«) дх<*> 1

в которых приращения деформаций ползучести определяются формулами

Д/,‘*)=.£(0'"-1', Р*-'\ Г'")

(*-1) „(к-1) .(*—1). ГА-1)

Дх

(*).

_ 1 А/2 , А/2

Ар*)=т 1 Ар(*)Л2; Ар>)=т 1 Аркуйг;

—А/2 —А/2

А/2

дЯ*) = ^г ] Ьр^^г-, Арт = ^ [ АрЮгйг,

-А/2 —А/2

а приращение прогиба Дш<*> удовлетворяет уравнению

А/2

12

(18)

й2 ДЛ#'

с?х2

+ М'

(А)

<*» Да><*>

йЗё2

+ дмд

ж

л2

^л:2

+

ДМ

(А)

+ Д?<*>=0 (19)

при

А^к) = — Ек

Д(1)(Л) — ...

__ + А(а() + Ар(*>

длйА)=

(Р До>(*)

12(1—>2) ^2 Е№

/?

Н^ДЛ^1; ч(А)

— Д (ос/) —

12 (1 — V) ^

12(1 — V2) (Мй) + уД<))

(20)

с граничными условиями, по два на каждом из торцов оболочки, вида (при х — Ь)

йх

йх

йх

СІ^~ =ДЄІ« или ДЖ^ = Д/И?’..

(21)

При этом, согласно (15), Ди(‘>

Ек

(ДЛ^)- уДЛ/^») +Д<а*)'

(*)

?м, 1 / у ^ ид.«‘>

* 2 \ йх / йх йх

йх.

(22)

Для вычисления интегралов по г в соотношениях (13) и (18) воспользуемся обобщенной квадратурной формулой Симпсона при разбиении оболочки по толщине на 2т равных отрезков; например, Арх\ Ар(к) подсчитываются по формулам

| 2т 2

ьрх (*)=6^гИ р‘АРх Арх м = X Р1 Ар*(х' 2') (23)

1=0 г=о

где

Р і== 1, 4, 2, 4, 2,..., 2, 4, 1; 2г

г — т 2т

Линейную краевую задачу (19)—(21) на каждом шаге интегрирования во времени будем решать методом ортогональной прогонки [3], для чего системы уравнений (19) и (20) преобразуем к виду (ниже индекс при приращениях для простоты опускаем)

л»:

йх

гіде

Ш [Шх + Э (1 + V) Д (а*) + й (Д/7, + >Д/?у)1;

</ДМ,

йх

й&С} ЕН

д<3, - МА) А0 —

йш{к~1)

йх

йх

Я

Дш

I?

Д (а/) + Д/7

- д д-

Шь

"/г

(25)

граничные условия (21) — к виду

Дш = Д(в^ или ДQдг=:ДQ£; Д6 = Д0£ или Д;И, = ДМі,

где

Д9:

й&ш

~йхГ ’

д<3,—

йх

+ ДЛЪ

й^~

йх

й--

Е№

(26)

(27)

12(1 -V2) ‘

Начальные условия при х = 0, необходимые при использовании

метода для отыскания двух решений однородных и одного решения неоднородных уравнений (25), задаются согласно (26) в виде

Ди> — О, Д9 = 0, АМх = 0, Д Q = 1 или Дсо=1, Д0 = О,

АМХ - О, Д^ = О,

Дш = О, Д0 = О, АМХ = 1, ДQx=0 или Дш = 0, ДО === 1,

АМх = 0, до^ = О,

Дш = Ди)£, ДО = Д0£, АМх = АМь, А(}х — АСЬ,.

Решение производится методом Рунге-Кутта с постоянным шагом при разбиении оболочки по длине на 2/У равных отрезков длины

Л _ 1

х~~ 2Ы ■

3. Вычислительная схема рассмотренного метода реализована в виде программы для ЭЦВМ М-20. В качестве примера приведем решение задачи о ползучести идеальной цилиндрической оболочки, „мгновенно” нагруженной осевой силой — Л^0, равномерно нагретой до температуры /0 и шарнирно опертой по торцам на нагретые до той же температуры нерастяжимые диафрагмы. В силу симметрии задачи будем рассматривать половину оболочки. При этом в расчетных формулах полагаем ^(х) = — Ы0, д(х, х) = 0, Цх, г, т)=£0, граничные условия при л; = 0, 1/2 имеют вид

®(0) = 0, Мх{0) = 0,

дх [2 ) ’ дх [2 )

На первом этапе находим решение задачи об упругом изгибе и напряженном состоянии оболочки при исходных условиях (16) (ш0(л:) = 0, Ь0(х, г) = £0), которое дает начальные условия для решения задачи о ползучести оболочки. Затем последовательно подсчитываются величины Дрх, Ару, АРх, Арт АРх, Ару по формулам (18),

(23) и (24), Дш, , АМХ, АС}х — из решения краевой задачи (25)—

(27), ДЛ(у, —из соотношений (20), Дзх, Доу, Ар—по формулам (17),

и так далее шагами во времени решается задача ползучести оболочки. Вычисления проводятся и результаты запоминаются в равноотстоящих с шагом Дх0 = -^-точках х1—1Ах0 (г = 0, 1,. . ., п) по длине оболочки, в промежуточных точках, в том числе в используемых при решении задач (25), (28) методом Рунге-Кутта, необходимые величины определяются интерполяцией. В точках х{ при использовании метода ортогональной прогонки [3] проводится ортогонализация, эти же точки используются при подсчете, согласно (22), продольного удлинения оболочки Ди(Ь) по квадратурной формуле Симпсона вида (23).

Численное решение для упругой оболочки сравнивалось с точным решением, имеющим для рассматриваемого примера вид (при Л/0<ЛГкр)

ЛГсо8|/!^-§-сь/Ц"4 +

+ /1 _ Л» ]/Ц^--

/гзж(сЬу^|-1№/1±^|

А1’ а I п 1 Л|' 5.11 |Х--

-Л /. 2 2 г

-У\ — № соэ у ^ -А сЬ \/

"=_ет( сь./ц!|-№,1/Ш4)' ;

^р = _4=_^1; Х=У~ 12(1 V2) ^

Акр’ кр /31ГЗ^) /? ’ --к -V- ,

1=!/ 12(1 —V2) -^= .

Г КД/г

Относительная погрешность численного решения при параметрах оболочки, указанных на фиг, 2, не превышала величины 3-10-8 по прогибу ш и 5-10-7 по усилию На фиг. 2 и 3 приведено полученное изменение усилия и кривизны д2 а>/дх* оболочки вдоль

<Й,17П Г* Ь=1)£=2!0*; У=0,3; 9Ф>Р, *,>Л0*М,-Ю,2!,4л Г=в1К!3 )0{-

/ 6,052-/О “ /л\\ 1 !3426-1(Гв * II $ чГ п 6? /Г=324

//А

€- > 6^* 4 1 2х/1

Фиг. 2

продольной координаты х по времени т в процессе ползучести оболочки. Вызванные поперечным расширением прогибы, усилия и кривизна оболочки интенсивно нарастают во времени, что может привести в дальнейшем к потере устойчивости оболочки по неосесимметричной форме.

При решении рассмотренного примера установлено, что относительная погрешность решения задачи ползучести примерно

линейно зависит от величины шага Дт и достигает в конце расчетного интервала времени величины 2,7-Ю-2 по усилию Ыу и 3,4-10~2 по кривизне д2и>1дх* оболочки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкции. М., .Наука*. 1966.

2. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957.

3. Г о д у н о в С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. .Успехи математических наук*, т. XVI, вып. 3, 1961.

4. Поспелов И. И. Неустановившаяся ползучесть пластинки при продольно-поперечном изгибе. В сб. .Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок*. М., „Наука*, 1966.

Рукопись поступила 8/ХІІ 1970 г.