CC BY
1Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 69
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 539.3
Численное моделирование поведения трехслойной прямоугольной пластины при вертикальном ударе о жидкость
Крупенин А. М.*, Мартиросов М. И.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, А-80, ГСП-3,125993,
Россия
*e-mail: zeus-russ@yandex.ru
Аннотация
Статья посвящена численному изучению поведения трехслойной симметричной по толщине прямоугольной пластины со сплошным изотропным заполнителем при вертикальном ударном взаимодействии с идеальной сжимаемой жидкостью (водой). Скорость начального взаимодействия считается малой по сравнению со скоростью звука в жидкости. Изучается начальный этап взаимодействия, когда гидродинамические силы и давления достигают максимальных значений. Проводится параметрический анализ относительно скорости взаимодействия. Учитывается влияние на динамику пластины гравитационных сил. Задача решается в связной плоскосимметричной постановке.
Ключевые слова: удар, трехслойная пластина, взаимодействие с жидкостью, численное моделирование
Введение
Рассматривается начальный этап ударного взаимодействия симметричной по толщине трехслойной прямоугольной пластины со сплошным изотропным заполнителем при вертикальном ударе о воду.
В современныхавиационных, ракетных и космических системах применяются транспортные средства и аппараты, вступающие в ударное взаимодействие с жидкостью в процессе эксплуатации или на аварийных режимах работы (экранопланы, спускаемые капсулы и платформы с грузами, гидросамолеты).
Для эффективного проектирование подобных конструкций необходимо учитывать различные эффекты взаимодействия их с жидкостью и применять современные решения, способствующие сохранению прочности и надежности при уменьшении массы(слоистые конструкции, композиционные материалы). Сложный характер движения жидкости в сочетании с нелинейным поведением материалов конструкции исключает возможность аналитического решения поставленной проблемы.
В общем случае задачи взаимодействия конструкций с жидкостью
крайне сложны. В прошлом исследователи пользовались упрощенными
математическими моделями. Главное упрощение состояло в разделении
задачи на две самостоятельных (не связная постановка): взаимодействия
2
абсолютно твердого тела с жидкостью и исследование напряженно -деформированного состояния конструкции под действием гидродинамических нагрузок. Решения, полученные подобным образом, не могут описать всех нюансов процесса ударного взаимодействия, но позволяют получить важные для экспериментального исследования и практического применения результаты.
В статье приводится консервативное решение (без учета воздушной прослойки между пластиной и жидкостью) задачи ударного взаимодействия трехслойной пластины (которая может служить модельным представлением днища, взаимодействующих с водойаппаратов) с жидкостью в связной постановке.На основе его показаны некоторые закономерности и особенности изменения динамических характеристик пластины, которые необходимо учитывать при проектировании подобных конструкций.
Применительно к рассматриваемому вопросу можно привести следующие, полученные ранее, результаты. В работе [1] М. В. Келдыш исследовал задачу об ударе жесткой пластины шириной 2ао несжимаемую жидкость конечной глубины И. Им было показано, что при к > 5авлияние дна уже незначительно.
При ударе затупленных тел о поверхность жидкости, граница контакта будет расширяться со сверхзвуковой скоростью. В таких условиях необходимо учитывать сжимаемость жидкости.
В работе [2] приводится решения задачи удара пластины бесконечного размаха шириной 2ао полупространство занятое идеальной сжимаемой жидкостью. При решении задачи предполагается, что нет перетекания жидкости на верхнюю поверхность пластины, и граничные условия на пластине и свободной поверхности сносятся на неподвижную горизонтальную плоскостью. Такая линеаризация граничных условий возможна в интервале времени:
0 < t < —, где с - скорость звука в жидкости.
Сегодня, благодаря бурному развитию вычислительной техники,возможно рассматривать сложные задачи в полной постановке и численно исследовать их, учитывая множество различных факторов.
Метод решения
Численное моделирование рассматриваемой задачи проводилось в
программном продукте ANSYSAUTODYN, результаты обрабатывались в
пакете Mathcad 14.
В программном комплексе ANSYSAUTODYN используется явный
метод интегрирования уравнений. Разрешающие соотношения в
лагранжевыхдекартовых координатах представляют собой:
Уравнение сохранения массы:
Ро Уо _ ш V = V'
где введены следующие обозначения:
Р0,У0- начальная плотность и начальный объем,
т,У - текущая масса и текущий объем.
Уравнения сохранения количества движения:
, , дахх доху да^ рх = Ьх + —--+ —— +
дх ду дг
.._ ь даух дауу дауг
РРУ у дх ду дг '
ь дагх дагу дагг
рг г дх ду дг '
где ау - тензор напряжений, Ь - компоненты объемных сил,
х, у, г - компоненты перемещений в соответствующих направлениях. Уравнение сохранения энергии:
• -1( • • • • • -V
где - удельная энергия, - тензор деформаций.
Точкой традиционно обозначается частная производная по времени. В общем случае материалы имеют сложный отклик на динамическую нагрузку. В АКБУЗАиТОВУК модель материала разбивается на три части: уравнение состояния, которое выражает изменение объема и описывается шаровым тензором, модель прочности, которая выражает изменение формы и описывается девиатором, и модель разрушения.
а{ = -р + ;
р - гидростатическое давление, 1
V = - 3О1 + + ^з);
- девиатор тензора напряжений.
В качестве уравнения состояния в работе принято соотношение: р = Кр.;
где р - гидростатическое давление,
- главные напряжения,
К - мгновенный модуль объемной деформации, д - сжатие,
д = — - 1;
Ро
р - плотность,
р0 - начальная плотность.
В качестве модели прочности принято соотношение:
( ау\ = 2£ - — I;
где в - модуль сдвига,
V - объем.
Вместе они являются эквивалентом закона Гука.
Для несущих слоев использован материал Д16Т, а для заполнителя фторопласт-4. Характеристики материалов, приведенные в таблице 1, взяты из [3].
Таблица 1
Характеристики Д16Т Фторопласт-4
^ МПа 0.9214105 4700
G, МПа 0.3075 105 90
кг р — м3 2700 2150
Для моделирования воды использовалась стандартная модель сжимаемой жидкости, заложенная в ANSYSAUTODYN.
Верификация модели
Для верификации расчетной модели, проводилось сравнение с
экспериментом.
В статье [4] авторами исследовались ускорения, действующие на конические и шаровые сегменты тонких оболочек при их падении на воду. Данные, для шарового сегмента радиуса R = 203 мм, представлены в таблице 2. Здесь:
W -вес сегмента вместе с акселерометром, v0 - начальная скорость, п - максимальное ускорение (в долях£),
g - ускорение свободного падения, ? - времядостижения максимального ускорения.
Таблица 2
Я, мм Ж, кг У0, м/с ?,мс
203 1.374 4.74 51.8 1.43
Для моделирования удара шарового сегмента строилась осесимметричная модель (рисунок 1). В работе [4] не указаны характеристики используемого материала, указано лишь, что модели изготовлены из ацетатного полимера. Характеристики материала подбирались исходя из геометрии модели и средних характеристик для данного класса материалов и приведены в таблице 3.
Таблица 3
Характеристики Ацетатный полимер
К, МПа 117
кг р — м3 1800
I
в ш
Ж ш Ш
я
Ж ш Ж
Рис.1 Осесимметричная модель шарового сегмента В таблице 4 приведены результаты расчета с учетом гравитационных сил и без них в сравнении с экспериментом. Расхождение можно объяснить неточностью моделирования, несмотря на это видно, что без учета гравитационных сил результат имеет слишком большое расхождение с экспериментом.
Таблица 4
Эксперимент Без гравитации С гравитацией
51.8 90 30
?,мс 1.43 0.03 1.46
Постановка задачи и результаты
Трехслойная симметричная по толщине прямоугольная пластина (рисунок 2) шириной 2а падает вертикально на идеальную сжимаемую жидкость. Толщина несущих слоев:^и^2, толщина слоя заполнителя:И3.
9
Пластина свободно падает на жидкость (граничные условия по краям свободные).Моделированный объем жидкости составляет 5ав глубинуи 4а в
ширину.
Рис. 2Модель трехслойной симметричной по толщине пластины в начальный момент взаимодействия с жидкостью Расчет проводился при 2а=500 мм, И1=И2=2 мм, И3=6мм. На рисунке 3 представлен фрагмент конечно элементной модели. Несущие слои моделировались по 2 элемента в толщину. Слой заполнителя моделировался 6-ю элементами. Для обеспечения надежной сходимости, размер элементов моделирующих жидкость должен быть в 2 раза меньше размера элементов моделирующих пластину. Количество элементов моделирующих пластину 2500. Количество элементов моделирующих жидкость 1500000.
Рис. 3 Фрагмент конечно элементной модели
На рисунке 4 представлены контрольные точки, в которых снимались показания. Точка 1 соответствует центру пластины в первом несущем слое, в ней снимались перемещения и скорость. Точка 2 располагается приблизительно в 50 мм от центра пластины, соответствует месту максимальных напряжений, находится в первом несущем слое.Точка 3 располагается в приблизительно 50 мм от края пластины, соответствует месту максимальных ускорений, находится в первом несущем слое.
Рис. 4 Контрольные точки
В таблицах 5-13 приведены результаты расчетов.Сплошной линией
показаны результаты без учета гравитационных сил, точками - с учетом
гравитационных сил.
В таблицах 5-8 для разных начальных скоростей погружения в
зависимости от времени приведены соответственно перемещения, скорости,
ускорения и напряжения (по Мизесу).Видно, что гравитационные силы сильно влияют на перемещения и скорости и почти не влияют на ускорения и напряжения.
Таблица 5
Начальная Зависимость перемещений от скорость времени
У0 = 1м/с
у0 = 5м/с
у0 = 7м/с
Таблица 6
Начальная скорость
Зависимость скорости от времени
У0 = 1м/с
у0 = 7м/с
у0 = 10м/с
Таблица 7
Начальная скорость
Зависимость ускорений от времени
У0 = 1м/с
у0 = 5м/с
с;
С с:
1.эх10г
5001
-зОО®
1..
г
0 0.2 0.4 Об О.В
ыс
у0 = 7м/с
у0= 10м/с
Начальная скорость
У0 = 1м/с
у0 = 3м/с
у0 = 5м/с
Зависимость напряжений от времени
К
>10 ы ю1 :>103
'О 02 04 0.6 03
мс
Г М
ЗхЮ 2>10" ыо'
'о 02 04 0 6 0 3
Таблица 8
ыс
В таблице 9 приведены зависимости влияния начальной скорости погружения на максимальные перемещения, ускорения и напряжения. Видно, что на рассмотренном участке начальных скоростей, перемещения, ускорения и напряжения имеют линейную зависимость.
Таблица 9
Влияние начальной скорости на максимальное перемещения
В таблице 10 в зависимости от начальной скорости приведены графикивлияния гравитационных сил на перемещения, ускорения и напряжения. Видно, что влияние гравитационных сил быстро убывает с увеличением начальной скорости взаимодействия, таким образом, на более высоких начальных скоростях ими можно пренебречь.
Таблица 10
Влияние гравитационных
сил на перемещение в зависимости от начальной скорости
Влияние гравитационных сил на максимальное ускорение в зависимости от начальной скорости
Влияние гравитационных
сил на максимальные напряжения в зависимости от начальной скорости
Втаблица 11-13 приведены зависимости прогибов, скоростей и напряжений по ширине пластины по слоям, для разных моментов времени: сплошной линией при ? = 0.1мс, точка при ? = 0.5мс и пунктиром при ? = 1мс.
В таблице 11 приведены зависимости прогибов по ширине пластины по слоям. Как видно, значения прогибов для слоев одинаковы.
Таблица 11
Слой
Первый несущий
Второй несущий
Зависимость прогибов по ширине пластины
В таблице 12 приведены зависимости скоростей по ширине пластины по слоям. Видно, что значения скоростей для слоев одинаковы.
Таблица 12
Слой Зависимость скорости по ширине
пластины
Первый несущий
Заполнитель
1
■ 1
• .•V Ц
О 100 200 300 400 500
мм
Второй несущий
щ А .г.
0 100 200 300 400 5
мм
В таблице 13 приведены зависимости напряжений по ширине пластины
по слоям. Видно, что значения напряжений в первом несущем слое
возрастают со временем и достигают максимума ближе к концу
рассматриваемого временного участка. Во втором слое напряжения
достигают максимума в начальный момент времени. В заполнителе
20
максимальные напряжения постоянны, смещаясь со временем от краев к центру пластины.
Таблица 13
Слой
Первый несущий
Заполнитель
Второй несущий
Зависимость напряжений по ширине пластины
Заключение
В работе рассмотрено влияние начальной скорости погружения и
гравитационных сил на динамические характеристики погружающегося в
жидкость тела. Решение получено для вертикального удара о жидкость прямоугольной симметричной по толщине пластины со сплошным изотропным заполнителем в плоскосимметричной связной постановке.
В результате получено, что влияние гравитационных сил зависит как от начальной скорости тела, так и от геометрии модели. При увеличении начальной скорости взаимодействия влияние гравитации на динамические характеристики быстро убывает.
На рассмотренном участке скоростей начального взаимодействия зависимости перемещений, скоростей, ускорений и напряжений от начальной скорости линейны.
Максимальные напряжения возникают в первом несущем слое
1
приблизительно в 50 мм от центра пластины - а). Напряжения в
заполнителе на порядок меньше напряжений в несущих слоях, что позволяет применять для него более легкие и менее прочные материалы. Максимальные напряжения во втором несущем слое в полтора раза меньше максимальных напряжений в первом, что позволяет внести в конструкцию асимметрию по толщине.
В заключении следует отметить, что приведенный расчет выступает в качестве консервативной оценки. Учет воздушной прослойки между падающей пластиной и свободной поверхностью жидкости и второй вязкости жидкостисделает переход воздух-жидкость более плавным, что, как
следствие, приведет к снижению максимальных напряжений и ускорений, а такжеперераспределению динамических характеристик по времени и координате.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, мероприятие 1.1 по теме «Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области конструирования летательных аппаратов и авиационных материалов», госконтракт № 02.740.11.0504 от 16.03.2010 г. и Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 12-01-00566_а, 11-01-00540_а).
Библиографический список
1.Келдыш М. В. Удар пластины о воду, имеющую конечную глубину// Труды ЦАГИ, 1935. Вып. 152. С. 13-20.
2.Горшков А. Г., Григолюк Э. И. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение). СПб.:Судостроение. 1976. 200с.
3.Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 576 с.
4.Hirano Yoichi, Miura Koryo. Water impact accelerations of axially symmetric bodies.— J. Spacecraft and Rockets, 1970, vol.7, № 6, Р. 762-764.
