ПРОДОЛЬНЫЕ И ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ, КОНТАКТИРУЮЩЕЙ СО СЛОЕМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

УДК 532.517.2:539.3

Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости

A A A AAA А А А А

Грушенкова Е.Д. , Могилевич Л.И. , Попов В.С. , Попова А.А.

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

ул. Политехническая, 77, Саратов, 410054, Россия

*

e-mail: katenok.09041992@gmail.com e-mail: mogilevich@sgu.ru ***e-mail: vic_p@bk.ru e-mail: anay_p@bk.ru

Статья поступила 13.03.2019

Аннотация

Исследовано взаимодействие трехслойной пластины с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости. Движение жидкости в слое изучается как ламинарное течение в узком канале с параллельными стенками, одна из которых образована трехслойной пластиной, а вторая считается абсолютно жесткой. На границах контакта с жидкостью выполняются условия прилипания. Несущие слои пластины удовлетворяют гипотезам Кирхгофа и учитывается обжатие жесткого заполнителя. Поставлена и аналитически решена задача о продольных и изгибных гидроупругих колебаниях трехслойной пластины. Решение получено для режима установившихся гармонических колебаний с учетом нормальных и касательных напряжений, действующих со стороны жидкости на несущий слой пластины, находящейся в контакте с жидкостью. Определены гидродинамические параметры слоя жидкости, перемещения слоев пластины. Построены частотозависимые

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

функции распределения амплитуд перемещений слоев пластины и давления в слое

вязкой жидкости.

Ключевые слова: гидроупругость, колебания, трехслойная пластина, сжимаемый заполнитель, вязкая жидкость, пульсация давления.

Введение

Исследования колебаний упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью, имеют большое значение, как для развития современной механики, так и для различных инженерных приложений в авиакосмической области. В большинстве случаев изучение данной проблемы сводится к постановке и решению задачи гидроупругости, в рамках которой совместно рассматриваются уравнения динамики упругой конструкции и жидкости с соответствующими начальными и граничными условиями. Одной из первых работ по исследованию колебаний пластины, контактирующей с жидкостью, можно считать [1], в которой рассмотрена круглая пластина, закрывающая отверстие в абсолютно жесткой стенке, с одной стороны которой находится идеальная несжимаемая жидкость. В работе, используя энергетический метод Рэлея, определены собственные частоты колебаний пластины. С другой стороны, в [2] данное исследование проведено на базе рассмотрения задачи гидроупругости. Колебания круглой пластины на свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей жесткий цилиндр изучено в [3]. Аналогичная задача в случае погружения пластины под свободную поверхность рассмотрена в [4]. Собственные колебания пластины, плавающей на свободной

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, исследованы в [5]. В [6]

решена плоская задача изгибных колебаний и устойчивости пластины, являющейся

частью абсолютно жесткой стенки проточного канала с идеальной сжимаемой

жидкостью, а в [7] рассмотрена задача собственных гидроупругих колебаний и

устойчивости прямоугольной пластины, являющейся стенкой канала заполненного

идеальной сжимаемой жидкостью. Хаотические колебания пластины,

взаимодействующей с обеих сторон с потоком идеальной несжимаемой жидкости,

изучены в [8]. Работа [9] посвящена моделированию изгибных колебаний

прямоугольной пластины, погруженной в идеальную несжимаемую жидкость со

свободной поверхностью. Задача о распространение акустической волны в

идеальной несжимаемой жидкости, вызванной вынужденными колебаниями

пластины, контактирующей с ней, рассмотрена в [10]. В [11] исследованы

свободные изгибные колебания консольных пластин, частично погруженных в

идеальную несжимаемую жидкость со свободной поверхностью. В [12] рассмотрены

вопросы определения ширины зоны контакта между твердыми поверхностями и

тонкостенным каналом охлаждения, имеющим плоскоовальное сечение, при его

гидроупругом деформировании под действие внутреннего статического давления

охлаждающей жидкости.

С другой стороны, являются актуальными работы по исследованию колебаний упругих элементов конструкций, взаимодействующих с вязкой жидкостью, т.к. вязкость определяет демпфирующие свойства в колебательной системе упругое тело-жидкость. Например, в [13] решение задачи о собственных частотах колебаний пластины из [1] рассмотрено для вязкой жидкости. В [14] исследованы колебания

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

бесконечной пластинки-полоски, взаимодействующей со слоем вязкой жидкости.

Задача о гидроупругих колебаниях консольнозакрепленной балки-полоски,

погруженной в неограниченный объем вязкой жидкости решена в [15]. Поперечные

колебания дисков, взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости

между ними, изучены в [16], а в [17] выполнено аналогичное исследование для двух

параллельных стенок, образующих узкий канал конечных размеров. Гидроупругие

колебания пластин, опирающихся на упругие основания различных типов, изучены

в [18,19].

Трехслойные элементы конструкций в виде балок и пластин широко применяются в авиационной и космической технике. Подходы к изучению их статики и динамики достаточно хорошо разработаны [20, 21] Исследования гидроупругих колебаний трехслойных балок и пластин мало отражены в современной научной литературе. Можно указать работы [22-24], в которых рассмотрены вынужденные колебаний трехслойных балок и пластин с несжимаемым заполнителем, контактирующих со слоем вязкой жидкости. Однако, за рамками указанных работ остались вопросы изучения гидроупругих колебаний пластин со сжимаемым заполнителем.

Постановка задачи гидроупругости

Рассмотрим трехслойную пластину со сжимаемым заполнителем, образующую стенку узкого канала (см. рис. 1). Пластина свободно оперта на торцах, толщины ее внешних несущих слоев 1 и 2 есть И1 и И2, толщина заполнителя 3 - 2с. Центр декартовой системы координат xуz свяжем с центром срединной плоскости

заполнителя пластины. Вторая стенка канала абсолютно жесткая. Размер стенок канала в плане 21*Ь, далее полагаем Ь >> 21 и рассматриваем плоскую задачу. Расстояние И 0 между стенками канала значительно меньше их длины 21 >> И 0. Канал заполнен вязкой несжимаемой жидкостью, давление в которой пульсирует за счет заданного гармонического закона пульсации давления на торцах. Упругие перемещения пластины значительно меньше И0. Далее, изучая гидроупругие колебания пластины, опустим влияние начальных условий, т.е. ограничимся рассмотрением установившихся вынужденных колебаний, т.к. вязкость жидкости обуславливает быстрое затухание переходных процессов [25].

Рис.1. Плоский канал, нижняя стенка которого образована трехслойной пластиной.

Динамика вязкой жидкости в плоском канале описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [26], представленной в безразмерных переменных в виде

Яе

дие

дт

и

ди

д#

+и

ди ¿Г

дР 2 д2 и д2иг

--. 1 +-1

д1 д^

(1)

а иг

дт

ди,

ди,

4 д4 ^ д£

дР 2 --+ ¥

¥

2 д2и, | д2и, д4 д£2

ди, ди, —4 +—0. д4

Здесь введены следующие обозначения

к 1 „ w , „ х ^ 2 - с - к £ тт ¥=—<< 1, А=—тк, т=Ш, 4=—, с=--, и = w с—и, и = w , си,,

¥ £ , к , 4 £ 4 К х т1 К 4

Яе = ——, р = р0 + р (т) + -—^ Р

V ко¥

где мх, - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; -уровень отсчета давления; р*(т) = р*т sin(шí) - заданный закон пульсации давления на торцах канала; - амплитуда прогиба несущего слоя 1, контактирующего с вязкой жидкостью; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу.

Краевые условия системы (1) учитывают, что скорость жидкости совпадает со скоростями ограничивающих ее стенок:

и =0, ис =0 при £=1,

(2)

ТТ ит1 ди- дЖ1

иг —1, ис = —1 при .

Wm1 дт дт

В условиях (2) упругие перемещения срединной плоскости верхнего несущего слоя пластины, контактирующего с жидкостью, в направлении осей Ох и О2 представлены в форме и1=ит1 и1(4,т), w1 =wm1 Ж1 (4,т).

Условие для давления на торцах канала имеют вид

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

Р = 0 при £=± 1. (3)

Трехслойная пластина представляет собой сэндвич-пакет, состоящий из двух

внешних несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу.

Для описания кинематики пакета воспользуемся подходом, предложенным в [20], в

рамках которого полагается, что несущие слои изотропны, несжимаемы в

поперечном направлении и удовлетворяют гипотезам Кирхгофа, заполнитель

считается жестким, перемещения его точек линейно зависят от поперечной

координаты 2, а также учитывается его обжатие. Деформации полагаются малыми, а

на границах слоев выполняются условия непрерывности их перемещений. Для

рассматриваемой трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем уравнения

динамики имеют вид [20]

„ д2и д2щ дж дж _ д3ж д3ж п

А + аи - аи - а.—2 - а—2+а—1 + а—2 - 2 а—2+а—2=Р,

1 11 12 4^2 5 /-«, 2 2 ^ 3 ^ 6 /-«, 3 / ^ 3 ^Х у

дх дх дх дх дх дх

„ д2 и д2и дж дж д3ж _ д3ж Л

к - а и + а и - а —2 - а0 —2 - а —1 - а —2 - а —2+2а —2=0, (4)

211125 дх29 дх23 дх 2 дх 6 дх3 7 дх3

ди ди д3и д3и д2 ж д2 ж А -а17—1 + а10—2 + 2а6 —2 + а6 —2 + а,, —г1 -а12-г2 +

3 1' ^ 10^ 6 3 11 л 2 12 >-\ 2

дх дх дх дх дх дх

д4 ж ^ д4 ж п 1 7 дР

+а^-г1 -2а1й-т2 + а„ж, -а„жп = Р +— п—,

15 дх4 16 дх4 8 1 8 2 22 2 ^ дх

ди дщ д3и д3щ д 2ж д2ж9 А — а —1 + а —2— а -1— 2 а -2— а -1 + а -2—

А а18 дх а19 дх а7 дх3 а7 дх3 а12 дх2 а14 дх2 д 4ж д4ж _

-а«—2+а*—2 - а ж + а ж = 0.

16 дх4 13 дх4 8182 Здесь р, р - нормальные и касательное напряжение, действующие на верхний

несущий слой пластины со стороны жидкости, данные напряжения запишутся как

Р = -

рУ2т С

ко ¥

о у V

, ди ди,

¥ -С +-4

д4 дС

w„

при Щ-

2

Р22 =-Р0 - Р —

рУ2т С

ко¥2 V

Р - 2щ

2 д^ дС

при С=Л—Щ.

2,„

где р - плотность материала к-го слоя; Gk, К - модули сдвиговой и объемной

+ 4 - 4

деформации; к + = к +- О , к, = к - - О .. При этом введены обозначения

К К 3 л К К 3 л

а

2 О

; а = 2 О

1+к

V 2 с у

к

2

3 ; а = 2 о

! к 1 + -2-

V 2 с у

+

к-2

а =к+ Н + 2 к-+с

а4 =^1 к + 3

; «5=-

к3+ с к+ сК. к+ ск2

3

3

; а6=-

6

; «7 =■

6

к+

«8 = -Т-Ч а9 =к2+ Н2 + ~ 2 с 3

2 к+с О

-3— ■ а = —3

; «10 2

К

1 +

V 2 с у

+ -

к3 2

аи =

_к3- к О3 с (1 +

2

2

л2

2с

О с 6

; а12

кэ-(К + К), О3 с

к+ н к+ сн;

«13=—Ъ^ + \ ; «14

к3 к О с

12

6

2 2

4

! К 1 + -2-

2с

+

2

1 +

К

2с

2

О с

у V

+ 1.3

л К 2с

О с

; а15

к;н3 к;сн2.

12

-+-

кз+ с^Н. „ Г1 + О к

12

2 V 2 с у

3

- а = —3 2 ; «18 2

О Г1+ О к

V 2с у

+ —^ а = —

+ 2 ; «19 2

ОГ1+ О к.

V 2с у

3

2

Инерционные члены определяются соотношениями [20]

К

д2

1 дх2

/ дw1 дw1 Л

т щ+тщ + 2 т —1 - т —2

V

дх дх

у

К= ^ К дх2

дж „ дw7 т щ+т2и2+т —1 - 2 т —2

V

дх

дх

у

(5)

К =

К дх2

ди ди д2w1 д2w, ^

V

2 т5^ - т5^ + т1 W1 + т8 ^ - ^^"Т + тб - 2

дх дх дх дх

К= ^ К дх2

ди

ди„

т—1 + 2т—2+mw + + т, „

^^ / ^ 81 22

дх дх дх 2

д т д w.

2,.. Л

т

4 дх2

с

6

6

6

а16 =

,2 2 р к\ р% с И р0 И р, сИ

где т = р. к + — р с; т = р к + — р с; т = 1 ^ +¡-1—^; т. = + ^3 -2 •

1 1 1 3 2 2 3 3 12 6 4 12 6

рск А скк А ск р с

т = —1; т = ——^; т = —2; т = £-^. 5 6 6 12 7 6 8 3

Краевые условия уравнений (4) запишутся как

^ =^=^=о при х = ±£, (А=1, 2). (6)

ох ох

Решение задачи гидроупругих колебаний трехслойной пластины

В рассматриваемой постановке относительная толщина слоя жидкости у<<1, и относительная амплитуда прогиба несущего слоя пластины, контактирующего с жидкостью, Х<<1, следовательно, в нулевом приближении по у и X уравнения динамики жидкости (1) и граничные условия (2), (3) упрощаются [27] и принимают вид

ои£ дР д2и, дР дие дис

Яе—- = -— +-- = 0, — = 0, —- +—С = 0, (7)

дт д- ЗС д£ д-д£

и = 0, и = 0 при С = 1, и = 0, (8)

тт дЖ1 А п и(=~± при С = 0,

дт

Р = 0 при - = ±1.

а напряжения слоя жидкости на первом несущем слое пластины запушиться как

Р = -р™т1 сок V)- ди-/д£[__ о, (9)

Р =- Р0- Р - р^тХ С(И0 V У Р\с=0

Из решения задачи динамики жидкости (7), (8) нашли, что

р=Я

4 о

1 ^ a 2щ

2s а-

дт2

+12/

дЩ дт

1 1 4

d4d4+- (4 — 1)JJ

2 -10

1 ^ a 2щ

2s а-

дт2

+12/

дЩ дт

d4d4

ди

дС

\д Щ

1 1

\д Щ

= iН 2s2(а-+ 12/М Jd4 — i 1 (2s2(а-№ +12/ с=о 20( дт дт) 4 ——дт

дЩ дт

d4:

^ди ^

\ д_

£д4^дС у

С=о

1 h 2 7

2s2 (а — 1)дЩ +12/

дт

дЩ дт

где введены обозначения [16]

s3(shs — sin s)

s(^)=J— , /(ю) = ---

V 2 6 s (chs + coss) — 2s(shs + sin s) + 2(chs — coss)

а(ю) =

s(s(chs + coss) — (shs + sin s)) s2(chs + coss) — 2s(shs + sin s) + 2(chs — coss)

Учитывая краевые условия (6), решение уравнений (4) представим в виде

• 2п +1 * „ = v 0 0, h = X Rn

2 1 n=0

uk = TTkn (®^)sin"n+-Ж-, wk = XR (at)cos^— ж

n=0

2n+1 x

1

2

(11)

где к = 1 и к = 2 для верхнего и нижнего несущего слоя трехслойной пластины, соответственно.

Тогда, учитывая (11) в (9) и разложив входящие в Pzz слагаемые p0 и p*(t) в

2n + 1 е ряды по cos—-— ж 4 , получим

\ n+ 1

п V/ 4(—1)'"* , pvco

Pz = X 7T-TV-(Ро + p (t)) —

n=o\(2n +1) ж

2

(2n+1) ж

2 С ~ 2„i2nn т™ \

2s1 а d2Rn 12/ dR

ю2 dt2

ю dt

n u 2n+1 x cos-ж—

2

р =—У

zx / '

pvco

n=0 h0v

" 2 " 1 (

(2n+1) ж 2 I

2s2 (а — 1) d2Rn 12/ dR

ю

dt2

ю dt

. 2n+1 x sin-ж —

У

2

\ 1 h h Yppvco 11 2s2 (а — 1) d 2Rxn | 12/ dRn

2 дх 2 11 n=0 h V 2

ю

dt2

ю dt

2n+1 x

cos-ж—

2 1

эо

1

1

_ http://trudymai.ru/

(12) следует, что

Из

представленных

выражений

1 , дР

к ^^ /Ргг=о(кК1 £2 )= о{ш2) и слагаемым 1 к в (4) можно пренебречь по

2 дх / 2 дх

сравнению со слагаемым Р22. С учетом данного замечания, подставляя (11), (12) в (4), а затем, в полученной системе уравнений, используя ее однородные уравнения,

—2 Я?

выражая Т?, Я? через Т" и Я?, и учитывая, что а Я1 = -с2Я? получим систему

—Г

ьтт + ь; Я?=- 2к"

ёх ' а—Я? 4(-1)к

ь^ТГ + ¿зmзЯ_ =-2к? +[Р0 + Р (о].

а х (2? +1)п

Здесь введены следующие обозначения

А = Ь22Ь44 - Ь24Ь42 , ЬП = Ь11 + Ь12 (Ь24Ь41 - Ь44Ь21VА + Ь14 (Ь42Ь21 - Ь22Ь41VА Ь3 = Ь12 (Ь24Ь43 - Ь44Ь23 VА + Ь13 + Ь14 (Ь42Ь23 - Ь22Ь43 VА , Ь*1 = Ь31 + Ь32 (Ь24Ь41 - Ь44Ь21VА + Ь34 (Ь42Ь21 - Ь22Ь41VА , Ь3*3 = Ь32 (Ь24Ь43 - Ь44Ь23 VА + Ь33 + Ь34 (Ь42Ь23 - Ь22Ь43 VА ,

12Рус

М.

рус

Н0¥

2к

1 рус

Н0 ¥

2

(2? +1)п

2

(2?+1)п

2е а

с

, 2 к? =-;4сM_, М?

о 2

2г а

Н0 ¥

2

(2?+1)п

1 2г2(а -1)

2 с2

1 12^ 12с

2 с 2г (а-1)

М\, Ь11 = а1 + а4

2? +1

л

2

-П

V 2£ у

- т с

Ьг = -а +

2? +1

ьп =-п

13 2£

2? +1

Л2

-п

V 2£ у

- «2 - 2«6

- т8с ,

Г 2? +1 ^ 2

-п +

V 2£ у

2? +1 2£

п2т5 - М1

с

(13)

2? +1

Ь14 =-п

2£

^ + «7

( 2? +1

-п

V 2£ у

л2

т7 с

Ь21 = +

'2? +1

2

2£

п

т с

I

'2? +1 л2 -п

V 2£ у

2 и 2? + 1 - т с , ь9, =-п

2 23 2£

'2? +1 л2

«3 - «6

2£

п

+ т5с

, 2? +1

Ь24 =-п

24 2£

^ + 2a7

2? +1 -п

V 2£ у

2

2т с

2? +1

ь, =-п

31 2£

«17 ' - 2 «6

2? +1 -п

V 2£ у

\2

+ 2т с

, 2? +1 ь9 =-п

32 2£

'2? +1 л2

«10 «6

2£

п

+ т5 с

Ь33 = «8 «11

2? +1

\2

2£

-п

+ «

15

2? +1 2£

л4

п

т + т3

2? +1 2

2£

п

+М„

с

Ь34 = «8 + «12

2

'2? +1

-п

V 2£ у

16

2? +1

2

-п

V 2£ у

т8 - т6

( 2? +1

-п

V 2£ у

2

с

2? +1

Ь41 =-п

41 2£

+1л2

V 2£ у

- т7 с

, 2? +1

Ь42 =-п

42 2£

'2? +1 л2

2£

п

- 2т с

Ь43 = «8 + «12

'2? +1

2

-п

V 2£ у

16

2? +1 -п

V 2£ у

4

т - т3

2? +1 -п

V 2£ у

2

с

Ь44 = «8 «14

2

Г2? + 1 -п

V 2£ у

+ «

13

2? +1

4

-п

V 2£ у

т + т4

'2? +1

2

-п

V 2£ ^

с

а также учтена связь Т?, Я? через Т? и Я?

Т2 = (ТТ (Ь24Ь41 - Ь44Ь21) + Я (Ь24Ь43 - Ь44Ь23 ))/(Ь22Ь44 - Ь24Ь42)

(14)

Я_ = Т (Ь42Ь21 - Ь22Ь41) + К (Ь42Ь23 - Ь22Ь43)У(Ь22Ь44 - Ь24Ь42)

Из(13) получаем

—Я?

—х

ь;1 ь;1

+ Я?

Ь33 - Ь13_ ь3*1 Ьп

4( 1)1Ч тт" [Р0 + Р*(х)],

(2? + 1)п Ь

31

- т?" _ 2K" 1 = * R1 * , Ь* Ь* ш

в силу линейности данных уравнений, представляя Я" = Я"0 + Я", Т^ = Т"° + Т" где

верхний индекс 0 соответствует статическому давлению р0, имеем

Я"0 = р 4(-1) Я1 = р0

п+1

1

(2п + 1)л Ш1

с=0

(15)

Т

п0

7 *

ТУ"0 Ь13

Я1 77" Ь

и

Р0

4(-1)п

с=0

(2п + 1)л

*

Ьп!

V Ь11 ш1 У

с=0

а для режима установившихся гармонических колебаний находим, что

Д" = 4(-1)" 1

(2" +

¿V * ¿С

(16)

гр " _

Т1 =

4(-1)" Уь;2 + (2К>)

(2" +1)лд/ ШЬ2 + Ш —со2Ь

¿в ¿ш * ¿м

е ешРте ,

* * * / * ^ 1 / / 1/ где Ш1 = Ь33 - Ь31 Ь1 3/Ь11 , Ш2 = 2К„ - Ь312Кя/Ь11 , tg V = -Ш2С/ Ш1 tgв = 2Кис/Ь13

Подставляя (15), (16) в (11) при к = 1, получим выражения для прогиба и продольного перемещения первого несущего слоя, определяющие продольные и изгибные колебания пластины

ж

1 = Р0 £

4(-1) 1

"=0 (2" + 1)л

соб———— лх + Р*П м(с, х)бш(М +

с=0

21

(17)

и

1 = Р0 £

4(-1)"

и=0 (2" + 1)л

^7* 1 л

Ьь!

V Ь1 1 Ш1У

Бт2"+1 ж + Рт Пи1(с, х)81П(м + сриХ)

с=0

21

Здесь П „(с, х) = ^ Е— + Г— , Ц^ю, х) = ^ А— + В— ,

1

*

Ep = Z

4(-1)

n+1

2n +1

4(-1)

n+1

codr,

n=o(2n +

Ap =z

4(-

n =0(2n +

4(-

n =o(2n +

)ю d1 + d2C

COS-- Ю ' F = . 14 _ л2 , j2__2

2^

m=o(2n +1)ю dj + d2 с

cos-

2n +1

-юс;

)ю

13 , 2KlC d2C

72 72 2 7 * 7 * 72 72

d + d2c ¿u on ax + d2c

)ю

d1 2K> ¿1*3

d2c

2 22 * * 2 22 dj + d2c ¿u ¿n dj + d^

. 2n +1

sin-ю.

2^

. 2n +1 sin-юс

2^

то

n

n

эо

=-arctg(Fp ¡Ep), ^„1 = arctg(Bp/Ар).

Введенные в рассмотрение функции Пw1(a, x), Пи1(с, x) представляют собой частотозависимые функции распределения амплитуд прогиба и продольного перемещения вдоль канала, соответственно. Можно заметить, что принимая во внимание связь (14) мы, также, определили прогиб и продольное перемещение второго несущего слоя пластины.

Заключение

В результате решения задачи о гидроупругих колебаниях трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, найдены выражения для упругих перемещений несущих слоев пластины, полностью определяющие ее напряженно деформированное состояние. На основе полученного решения построены частотозависимые функции распределения амплитуд прогиба и продольного перемещения. Данные функции при фиксированном значении продольной координаты трансформируются в амплитудно-частотные характеристики в рассматриваемом поперечном сечении, соответствующем данной координате. Таким образом, предложенные функции позволяют исследовать гидроупругие колебания

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

трехслойной пластины. Например, они могут быть использованы для определения

резонансных частот колебаний. Кроме того, полученное решение, может

использоваться для разработки методик неразрушающего контроля состояния

трехслойных элементов конструкций авиационной и космической техники по

параметрам их вынужденных гидроупругих колебаний.

Работа выполнена при поддержке РФФИ проект № 19-01-00014а

и проект № 18-01- 00127a.

Библиографический список

1. Lamb H. On the vibrations of an elastic plate in contact with water // Proceedings of the Royal Society London A, 1920, vol. 98, pp. 205 - 216. DOI: 10.1098/rspa.1920.0064.

2. Amabili M., Kwak M.K. Free vibrations of circular plates coupled with liquids: revising the Lamb problem // Journal of Fluids and Structures, 1996, vol. 10 (7), pp. 743 - 761. DOI: 10.1006/jfls.1996.0051.

3. Amabili M. Vibrations of Circular Plates Resting on a Sloshing Liquid: Solution of the Fully Coupled Problem // Journal of Sound and Vibration, 2001, vol. 245 (2), pp. 261 -283. D0I:10.1006/jsvi.2000.3560.

4. Askari E., Jeong K.-H., Amabili M. Hydroelastic vibration of circular plates immersed in a liquid-filled container with free surface // Journal of Sound and Vibration, 2013, vol. 332 (12), pp. 3064 - 3085. DOI: 10.1016/j.jsv.2013.01.007.

5. Алексеев В.В., Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Колебания упругой пластины контактирующей со свободной поверхностью тяжелой жидкости // Журнал

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

технической физики. 2002. Т. 72. № 5. С. 16 - 21.

6. Анкилов А.В., Вельмисов П.А., Тамарова Ю.А. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента проточного канала // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 1. С. 94 - 107.

7. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Гидроупругая устойчивость прямоугольной пластины, взаимодействующей со слоем текущей идеальной жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2016. № 6. С. 108 - 120. DOI: 10.7868/S0568528116060049.

8. Аврамов К.В., Стрельникова Е.А. Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости // Прикладная механика. 2014. Т. 50. № 3. C. 86 - 93.

9. Haddara M.R., Cao S.A. Study of the Dynamic Response of Submerged Rectangular Flat Plates // Marine Structures, 1996, vol. 9 (10), pp. 913 - 933. DOI:10.1016/0951-8339(96)00006-8.

10. Chapman C.J., Sorokin S.V. The forced vibration of an elastic plate under significant fluid loading // Journal of Sound and Vibration, 2005, vol. 281 (3), pp. 719 - 741. DOI:10.1016/j.jsv.2004.02.013.

11. Ergin A. Ugurlu B. Linear vibration analysis of cantilever plates partially submerged in fluid // Journal of Fluids and Structures, 2003, vol. 17, pp. 927 - 939. DOI: 10.1016/S0889-9746(03)00050-1.

12. Добрянский В.Н., Рабинский Л.Н., Радченко В.П., Соляев Ю.О. Оценка ширины зоны контакта между плоскоовальными каналами охлаждения и корпусом приёмопередающего модуля активной фазированной антенной решётки // Труды МАИ.

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

2018. № 101. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=98252

13. Kozlovsky Y. Vibration of plates in contact with viscous fluid: Extension of Lamb's model // Journal of Sound and Vibration, 2009, vol. 326, pp. 332 - 339. DOI: 10.1016/j.jsv.2009.04.031.

14. Onsay T. Effects of layer thickness on the vibration response of a plate-fluid layer system // Journal of Sound and Vibration, 1993, vol. 163, pp. 231 - 259. DOI: 10.1006/jsvi.1993.1162.

15. Faria C.T., Inman D. J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler-Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, vol. 45, pp. 317 - 329. DOI: 10.1016/j.ymssp.2013.12.003.

16. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42 - 55.

17. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Движение вязкой жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнирно опертой пластиной // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53466

18. Алексеев В.В., Индейцев Д. А., Мочалова Ю.А. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна с тяжелой жидкостью // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. № 8. С. 37 - 42.

19. Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Christoforova A.V. Mathematical Modeling of Hydroelastic Oscillations of the Stamp and the Plate, Resting on Pasternak

Труды МАИ. Выпуск № 106_ http://trudymai.ru/

Foundation // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series, 2018, vol. 944, 012081. DOI :10.1088/1742-6596/944/1/012081.

20. Старовойтов Э.И., Локтева Н.А., Старовойтова Н.А. Деформирование трехслойных композитных ортотропных прямоугольных пластин // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53018

21. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. - М: Физматлит, 2005. - 576 с.

22. Могилевич Л.И., Попов В.С., Старовойтов Э.И. Гидроупругость виброопоры с трехслойной круглой упругой пластиной с несжимаемым заполнителем // Наука и техника транспорта. 2006. № 2. С. 56 - 63.

23. Popov V.S., Mogilevich L.I., Grushenkova E.D. Hydroelastic response of three-layered plate interacting with pulsating viscous liquid layer // Lecture Notes in Mechanical Engineering, 2019, pp. 459 - 467. DOI: 10.1007/978-3-319-95630-5_49.

24. Chernenko A., Kondratov D., Mogilevich L., Popov V., Popova E. Mathematical modeling of hydroelastic interaction between stamp and three-layered beam resting on Winkler foundation // Studies in Systems, Decision and Control, 2019, vol. 199, pp. 671 -681. DOI: 10.1007/978-3-030-12072-6_54.

25. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1987. - 352 с.

26. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

27. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. - М.: Мир, 1967. - 312 с.