РАДИАЛЬНЫЕ И ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ПУЛЬСИРУЮЩИМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

УДК 539.3;517.9 DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

Радиальные и изгибные колебания круглой трехслойной пластины, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости

A A A AAA

Быкова Т.В. , Могилевич Л.И. , Попов В.С. ,

А А А А ААААА

Попова А.А. , Черненко А.В.

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., СГТУ, ул. Политехническая, 77, Саратов, 410054, Россия e-mail: tbykova69@mail.ru e-mail: mogilevich@sgu.ru ***e-mail: vic_p@bk.ru e-mail: anay_p@bk.ru

ФФФФФ _ __

e-mail: 3chav@mail.ru

Статья поступила 28.01.2020

Аннотация

Осуществлена постановка и решение задачи о вынужденных радиальных и изгибных гидроупругих колебаниях трехслойной круглой пластины с легким несжимаемым заполнителем под действием нормальных и касательных напряжений со стороны пульсирующего слоя вязкой несжимаемой жидкости. Исследована осесимметричная задача, в рамках которой пластина рассмотрена как нижняя стенка узкого канала, заполненного вязкой жидкостью. Движение жидкости в канале принято ползущим. Уравнения динамики трехслойной пластины получены на базе использования гипотезы ломаной нормали и принципа Даламбера. Разработанная математическая модель включает в себя: уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости и уравнения динамики трехслойной пластины, жестко защемленной по контуру. В качестве граничных условий выбраны условия

Труды МАИ. Выпуск № 110 Ьир://1гиёута1. ги/

совпадения скоростей жидкости и упругих перемещений пластины на границах

контакта, условия свободного истечения жидкости на контуре, условия жесткого

защемления пластины и условия ограниченности давления жидкости и прогиба

пластины на оси симметрии. Найдено распределение гидродинамических

параметров в слое жидкости как функции прогиба и получена разрешающая система

уравнений для определения упругих перемещений пластины. Построены

амплитудно-частотные характеристики для радиальных и продольных перемещений

пластины на основной моде для режима установившихся гармонических колебаний.

Проведено численное исследование амплитуд радиальных и изгибных колебаний на

основной моде, которое показало взаимовлияния сил инерции и жесткости

трехслойной пластины в радиальном и нормальном направлениях. Расчеты показали

существенное влияние сил инерции в нормальном направлении на амплитудно-

частотную характеристику радиальных перемещений пластины. С другой стороны,

расчеты показали незначительное влияние сил инерции в радиальном направлении

на амплитудно-частотную характеристику прогибов пластины.

Ключевые слова: гидроупругость, колебания, вязкая жидкость, трехслойная круглая пластина

Введение

Балки, пластинки и оболочки являются основными элементами в расчетных схемах реальных конструкций. Данные элементы часто встречаются в изделиях авиакосмической промышленности. С целью уменьшения массогабаритных

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://tгudymai. ш/

параметров, а также защиты от воздействия различных агрессивных факторов, в

современной авиационной и космической технике применяют различные

композитные конструкции, и в частности, трехслойные пластины. Исторический

обзор развития моделей деформирования многослойных элементов конструкций на

базе кинематических теорий изменения параметров в слоях по ломаной дан в [1].

Проблемы исследования статики и динамики трехслойных элементов конструкций

рассмотрены в монографии [2]. В [3] решена задача об изгибе трехслойной балки в

температурном поле находящейся под действием сосредоточенной силы и момента,

и частично, под распределенной нагрузкой. В [4] изучена деформация

упругопластической круглой трехслойной пластины в температурном поле под

действием распределенной нагрузки на верхнем несущем слое. Вынужденные

колебания трехслойной круглой пластины установленной на основании Винклера

исследованы в [5]. В указанных работах для задания локальной распределенной

нагрузки использовались функции Хевисайда, а кинематика трехслойной

конструкции описывалась в рамках гипотезы ломаной нормали по [2]. Предлагаются

и упрощенные подходы, например, в [6] для исследования напряжений в

толстостенной двухслойной осесимметричной композитной конструкции сложной

геометрической формы, используют одномерную модель составного стержня

переменного сечения, приближенно учитывающую поперечные деформации.

Рассматривая взаимодействие упругих конструкций с разнородными телами можно выделить контактные задачи, например [7], и задачи гидроупругости. Исторически одна из первых задач гидроупругости была рассмотрена в [8], где на базе энергетического метода исследованы свободные колебания круглой пластины,

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. щ/

защемленной по контуру и контактирующей с одной стороны с неограниченным

объемом идеальной жидкости. В [9] указанная проблема решена на базе связанной

задачи гидроупругости, а в [10] дана оценка учета вязкости жидкости. В работах [11,

12] рассмотрены статические задачи гидроупругости по определению зоны контакта

цилиндрических и плоскоовальных оболочек, расположенных между двумя

абсолютно жесткими параллельными стенками, при их деформации под действием

давления жидкости, находящейся внутри них. Гидроупругие колебания мембраны

являющейся частью дна бассейна с идеальной жидкостью изучены в [13]. Колебания

круглой пластины, погруженной в идеальную жидкость, находящуюся в жестком

цилиндре, и имеющую свободную поверхность, исследованы в [14]. Проблемы

устойчивости прямоугольных пластин, взаимодействующих с идеальной и вязкой

жидкостью, изучены в [15,16]. В [17] рассмотрены гидроупругие колебания диска и

круглой пластины, между которыми находится вязкая жидкость, вызванные

вибрацией основания, на котором они установлены. Задача изгибных колебаний

прямоугольных пластин, между которыми находится пульсирующий слой вязкой

жидкости, с учетом упругой податливости основания канала, решена в [18], а

колебания круглой пластины, установленной на основание Винклера, и

взаимодействующей со слоем вязкой жидкости изучены в [19].

Однако, в указанных выше работах рассматриваются однородные упругие элементы, исследований проблем гидроупругости композитных материалов значительно меньше. Например, в [20-22] аналитически и численно исследованы свободные колебания и устойчивость многослойных композитных консольно закрепленных балок и пластин в воздухе и воде. Исследование вынужденных

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://tгudymai. щ/

колебаний трехслойной круглой пластины, взаимодействующей со слоем вязкой

жидкости выполнено в [23, 24]. В [25-27] рассмотрены задачи гидроупругих

колебаний трехслойных балок и пластин, образующих стенку узкого канала

заполненного вязкой жидкостью с учетом влияния упругой податливости основания

канала, вибрации противоположной стенки и пульсации давления в жидкости. В

указанных работах использовались уравнения динамики трехслойных пластин в

подходе, предложенном в [2], и исключались из рассмотрения касательные

напряжения, действующие со стороны жидкости, а также силы инерции пластины в

продольном направлении, заполнитель пластины считался несжимаемым. В работах

[28, 29] разработаны математические модели в плоской постановке для

исследования гидроупругих колебаний прямоугольных трехслойных пластин со

сжимаемым заполнителем и с учетом сил инерции несущих слоев пластины в

продольном направлении и касательных напряжений со стороны вязкой жидкости.

В предлагаемой работе рассмотрим задачу гидроупругости для изучения радиальных и изгибных колебаний круглой трехслойной пластины с несжимаемым заполнителем, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости при учете нормальных и касательных напряжений, действующих на ее верхний несущий слой со стороны жидкости, а также сил инерции пластины в радиальном и нормальном направлении.

Постановка и решение задачи гидроупругих колебаний

Рассмотрим узкий канал, образованный трехслойной круглой пластиной и параллельным ей абсолютно твердым диском (см. рис.1). Полагаем, что стенки

канала жестко защемлены по контуру и, учитывая осевую симметрию канала, далее,

рассмотрим осесимметричную задачу. Круглая пластина образована верхним и

нижним несущими слоями толщиной h2 и заполнителем толщиной 2c.

Заполнитель считаем легким и несжимаемым. Расстояние между стенками канала в

недеформированном состоянии Канал заполнен вязкой несжимаемой жидкостью,

по контуру жидкость свободно истекает в ту же жидкость с давлением, имеющим

постоянный уровень p0 и пульсирующую составляющую p1(шt). Введем в

рассмотрение цилиндрическую систему координат, центр которой связан с центром

срединной (координатной) плоскости заполнителя пластины.

Рис.1.

1 - трехслойная круглая пластина, 2 - абсолютно жесткий диск, 3 - вязкая несжимаемая жидкость

Учитывая узость канала, движение жидкости в нем примем ползущим, и уравнения динамики тонкого слоя вязкой жидкости, для рассматриваемого случая, запишутся в виде [30]

1 др (д V 1 дК д V V) 1 др (д V 1 дК

--— = у -Г-А---Г-А--г---г- --— = V -^ -I---±

р дг

■ +

■ +

дг г дг дг

р дг

= у

д

дг г дг дг

(1)

г

д¥г 1 Т_ дУ2 л —- +- V +_- = 0

дг г дг

Здесь Уг, У2 - проекции вектора скорости жидкости на оси введенной в рассмотрение цилиндрической системы координат.

Граничные условия для уравнений динамики жидкости будут представлять собой условия прилипания жидкости к непроницаемым поверхностям ограничивающих ее стенок

V = 0, V = 0 при г = к0 + с + к, (2)

„ ди т. дw ,

Уг = —, V- =— при 2 = w + с + к,. д д

Здесь и - радиальное упругое перемещения трехслойной круглой пластины; w -упругое перемещение трехслойной круглой пластины по нормали.

Граничные условия дополняются условиями для давления. Это условия совпадения давления жидкости на контуре с пульсирующим давлением в окружающей среде

р = р0 + р1 (ш) при г = Я, (3)

а также условие ограниченности давления на оси симметрии:

г др = 0 при г = 0. (4)

дг

Уравнения динамики трехслойной пластины с несжимаемым легким заполнителем получим из уравнений ее равновесия, выведенных в [2] используя кинематическую гипотезу ломаной нормали, применяя принцип Даламбера и учитывая при этом силы инерции в радиальном и нормальном направлении. В результате имеем

т( дw ) д2и т ( дw )

Ь2 I а+ и + а2 ф- аз— I-М0 = ~Чгг , 12 I а2 и + а4 Ф - а5 ^ I = 0 :

дw дг

д2 w

Ы а3 и + а5 Ф-аб— \-М0~^Т = .

Здесь, qzr, qzz - касательное и нормальное напряжения жидкости, соответственно, действующие на поверхности пластины, а = кК + к.К+ + 2 сК+, а2 = с (кК+ - кК+);

аз = к, (с +1 к \ К++ - к2 (с +1 к2) К + , а4 = с2 (к К+ + к К+ +1 сК+

а5 = с

\ (с++к) к+ + к (с++к \ К++ + 2 с2 Кз+ ^

а6 = к (с2 + с к + + к2) К++ + к (с2 + ск + + к2 \ к 2 + 2 с3 Кз+, К+ = К + 4 ок:

и приняты обозначения: (g) =

дг

+д г дг

)

1 д

, 13( g) = + ^[г12 (g)], М0 =РЛ +Р2к2 +р3к3 :

г дг

Ок, Кк - модули сдвиговой и объемной деформации, соответственно, рк - плотность материала к-го слоя, к = 1, 2, 3 - номер слоя.

Выражения для напряжений qzr, qzz на поверхности пластины согласно [30, 31] запишем как

( дУ2 дУг) = Ру! — + \ при г = w + с + к,

^ дг дг

(6)

Чгг =-Р + 2РУ

дг

при г = w + с + к.

Краевые условия для уравнений динамики трехслойной круглой пластины (7) представляют собой условия жесткого защемления, записываемые в виде

w = и = ф=—=0 при г = Я. дг

д

Труды МАИ. Выпуск № 110 Ьир://1гиёута1. ги/

Кроме того, запишем условие ограниченности прогиба пластины на оси

симметрии

г— = 0 при г = 0.

дг

(8)

И

Введем в рассмотрение малые параметры У = «1 - относительную толщину

г-

слоя жидкости, Х = — «1 - относительную амплитуду прогиба пластины, и

К

безразмерные переменные

С =

_ г - с - И

шЯ

К

, 5 = - , г = ш, К = ^шЦ, V, =

Я С Ио

и5, ™ = , и = пти, ф = фиФ, (9)

Р = Ро + Л(г) +

РУ^тШ

Ио^ 2

Р .

Подставляя введенные в рассмотрения малые параметры и безразмерные переменные (9) в (1)-(8) в нулевом приближении по у и X получим следующую динамическую задачу гидроупругости трехслойной круглой пластины с несжимаемым легким заполнителем, записанную в безразмерном виде и включающую в себя:

- уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости

дР д2Ц дР

дС2 ' дС

—= о,

дЦ 1 дЦ —5 +1Ц +—С

д5 5 5 дС

=о,

(10)

- уравнения динамики трехслойной круглой пластины

ь

а ити + а2 фтФ-

а3 ™т дЖ Л

Я д5

2 д2и

-М0Шит^Г = -4гг , Ь2 а2 итЦ + а4 ФтФ-дг2

а5™т дЖ Л

Я д5

= 0.

(11)

ь

а3 ити + а5 ФтФ-

дЖ Л, 2 д 2Ж

--М 0ш2 —- = -цг,

Я д5 , т дг2

здесь Ь2( g) =

д

Я2

+)

5 д5

д

Чгг =

_ ру wm ш дЩ|

к0 V дС

С=0

РУ тШ р

Чгг =-Р0 - Рх(т)--;-Г" Р

к0 V

Граничные условия на ограничивающих жидкость стенках и условия для давления жидкости, а также условия для уравнений динамики пластины примут вид

дЖ

щ = 0, Щ = 0 при С=1, Щ = 0, Щ =дЖ при С = 0,

(12)

Р = 0 при 5=1, 5 — = 0 при 5 = 0

(13)

дЖ дЖ

щ = ф= ж =—=0 при 5 = 1, 5—=0 при 5 = 0.

(14)

Решая уравнения динамики жидкости (10) с граничными условиями (12)-(13)

находим

= ЙР С(С-1)^-1 А^Р)(3£2 - 2£3 -1 5 яе 2 , С 5 д5

( дР^ъг2 -1Г3 _Л

5—

I д5Л 12 ;

(15)

1 N 5 Р = 121 115

дЖ

5 Г дт

¿5

дЩ

¿5, 5

дС

6 5 „ дЖ

=

С=0 ь 0

дт

¿55.

Упругие перемещения и поворот нормали заполнителя пластины определяются из решения уравнений (11), и с учетом краевым условий (14), могут быть представлены в виде рядов по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля:

W = WmЖo = W т ±(Я0 + Я, (Т))

к=1

10(Рк 5) Л(Рк) 10(Рк )

и = итЩ = -ит ¿Рк (00 + <2к (Т))

к=1

Л(Рк 5) + Л(Рк 5) Л(Рк) !>(Рк)

5

Ф = ФтФ = -фт !Рк Т + Тк (Г))

к=1

Л(Рк 5) + Л(Рк 5) Л(Рк) !>(Рк)

здесь /0 - функция Бесселя нулевого порядка первого рода; I) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; вk - корень трансцендентного уравнения ЬвУШк) = - Jl(вk)/Jo(вk), ^ = 1, 2,...) где Jl(вk), Ь(Рк) - соответствующие функции Бесселя первого порядка [2]. Коэффициенты Я°, , в (16) соответствуют

статическим перемещениям пластины при постоянном уровне давления р0, а гармонические функции времени Я, 0, Т - перемещениям пластины за счет

пульсации давления.

Подставим (16) в выражение для давления (15) и получим

р0 = 12ЕРт

к=1 Рк

Л(Рк 5) , 10(Рк 5) 2 Л(Рк) !>(Рк)

дЯ,

дг

(17)

Перераскладывая (17) по собственным функциям запишем выражение для давления в следующем виде:

р0 =121р?2

к=1 рк

•0(Рк 5) , 10(Рк 5) 2 Л(Рк) !>(Рк)

дЯк

дг

ОТ ОТ

= 12ЕЕ

4

[Р

Л(Рг)

1 1-1 (Р4 -Р4)РкРГ • 0(Р,)

(18)

-Р3

Л(Рк) п • 0(РкГ

• 0(Р, 5) 10(Рг5)

Л(Рг) 10 (Рг )

дЯ,

дг

а qzr, qzz будут иметь вид

Цгг =

Р™^., 1 дЯк

Ку 2

-б^т Е

к=1 рк дг

^ к-1 от Л

Е <+^ + Е <

^ Р=1 Р=к+1 У

•(Рк 5) , (Рк 5) Л(Рк) ЗДк)

ц» = (-Р0- Р1(г))Е

2 тк)

к=1 РкЛ(Рк)

• 0(Рк 5) 10 (Рк 5)

Л(Рк) 10(Рк)

И ш2 Е<+45 + Е<

И0 V к=1 ^ р=1 р=к+1 у

• 0(Рг 5) Ш 5)

•Ш) Ш )

к

ОТ

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://tгudymai. щ/

Здесь учтено, что при рк = р имеем

У 4 [рз Щ) - рз J+(Рk)■ ^ у./Ж) -± /Ж) ■

Р4 -Р4 у0(Рг) Р Л(Рк)] Й1 Л2СР*) РкЛ(Рк)],

у 4 з Л(Рг)-Рз ■ ^у ^ Л2(Рк ) - 4 Щ) ■

¿(Р4-Р4)РкР, У0(Рг) г ^0(Рк)] ЕР2[Л2(Рк) РкЛ(Рк)], и обозначено

.11 _ 4 з Л(РР) рз /\(Рк)л ,п = г/12(Рк) 4 /1(Рк К

* = Рр-Р4 -0(Рр) РрЛ(РкГ' к = [/о(Рк) РкЛ(РкГ'

4 [Вз Л(Р р) вз /\ (Рк \ 1 /'(Рк) 4 /1(Рк )■ *р -Р4)РкРр /0(Рр) рЛ(Рк)], к Рк /0(Рк) РкЛ(Рк)■

Подставляя (16), (18) в уравнения динамики трехслойной пластины (11) с разложением оставшихся членов уравнений в ряды по собственным функциям,

получим

1 ш а w (к-1 ш Л

6 (а! ит & + 0к ) + а2 Фт Т + Тк ) - (Як0 + Як )# 6 йЦ + < + / йЦ

Я к=1 Я ^ р=1 р=к+1 у

/1(Рк 5) + Л(Рк 5) . Л(Рк) !>(Рк) .

+

+ итМ 0Ш2

¿¿Рк ^^^

к=1

к дт2

Л(Рк 5) + /1(Рк 5) Л(Рк) 10(Рк )

(19)

ш а w (к-1 ш

Е (а2 ит (0к0 + 0к ) + — Фт Т + Тк) - а5--* (Як0 + Як ))Рк Е < + + Е

Я к=1 Я

кр кк / ! кр ^ р=1 р=к+1 у

/1(Рк 5) , /1(Рк 5) /0(Рк ) 10 (Рк )

= 0,

1 ш а w

Е (-з ит (00+&)+а Фт (Тк0 + Тк) - (Я0 + Як ))Р;

Я к=1 Я

/0(Рк 5) 10(Рк 5) /0(Рк ) 10(Рк )

( ш я2

д2 Я,

дт2

/ 0(Рк 5) 10 (Рк 5)

/ 0(Рк ) 10(Рк )

= -ч

Таким образом, задаваясь количеством удерживаемых членов ряда и разрешая

систему уравнений (19) можно найти искомые коэффициенты Я0, 0°, Т° и функции

1

времени Я , 0 , Т тем самым, определив упругие перемещения трехслойной

Труды МАИ. Выпуск № 110 пластины.

Ьйр://1хиёуша1. ги/

В качестве примера, рассмотрим основную моду колебаний, т.е. ограничимся одним членом разложения. Тогда получим:

ц ит 0а° + 0) + «2 фт (т0 + т)-

Я

(я + Я ))р3 (а»(•м + ЫЫ1 (1 ^"(лфк) 10 (рк)

+

+ Я'ЫтМ 0Ш2Р:

д2а

дг2

•1(Р15), ш 5) Ш) Ш)

= -я2 ^ 1 дЯ1 (а11)^+^5)

т Р1 дг^ "1 • 0СР1) /0(Р1)

(20)

(а2 ит (0° + Ш + «4 Фт Т + Т1) -

Я

(Я0 + Я)) р3 (а+ ( 1 1)) 10(Р!)

= 0.

(аз ит 0 + б,) + а5 фт Т + Т1) - ^ (Я0 + Я1))Р4

К

•0(Р15) 10СР15)

ЛФ1) 10(Рх)

- Я^М 0Ш2

дг

•0(Р15) 10СР15) •0(Р1) 10СР1)

= -Я3( р0 + л(г))-

(Р0 Р1()) р! • 0(РХ)

• 0(р15) Ш5) Л^) /0СР1)

-12 Я3

р™,., Ы •/0(р15) 10(р15)

w

к у2 т дг^ ^гт) 10(Рх)

а w Я - а и 0 Я

Используя второе уравнение (20) находим связь т0 = 5 т 1—2 т01 ,

Фта4 Я

Т = «¿^Л—а2 ит01Я и, рассматривая установившиеся гармонические колебания, т.е. а4 ФтЯ

д2 Я,

дг2

д 20

учитывая, что —^ = -0, = -Я, определяем 0 , Я0, Я , что позволяет

дг а-

записать искомые радиальное перемещение и прогиб трехслойной пластины при ее колебаниях в виде

и = -

Р0 Я3

Р Я3

д(0,5) - Рт-Ли(ш,5)8Ш(Ш/ + Фи(Ш)) ,

21

ь

21

Р0 Я

РтЯ

w = -^ Лw (0,5) -^ Лw (ш, 5) в1п(ш г+Фw (ш)),

ь

ь

0

3

3

Труды МАИ. Выпуск № 110 A (ш,Ü) =

AK (ш, £) =

h212((h12)2 + (Киш)2) 2 J1(ß1)

(h11h22 - h21h12)2 + (Ь11К21ш - Ь21К11ш)2 ß3 Jo(ß1)

(h21hn)2 2 УЖ)

(h11h22 - h21h12)2 + (Ь11К21ш - Ь21К11ш)2 ß5 Уo(ß1)

. Jo(ßi) Io(ßi)

Jo(ßl S) Io(ßi S)

Jo(ßl) Io(ßi)

цф (ш) = К11Ш(Ь11Ь22 ~ b21b12) ~ Ь12(Ь11К21Ш ~ Ь21к11ш) ^ (ш) = Ь21К11Ш " Ь11К21Ш

h12(h11h22 " Ь21Ь12) + К11Ш(Ь11К21Ш " Ь21К11Ш) где введены следующие обозначения

Ь11Ь22 Ь21Ь12

2/ ч moq2 я2 , , m /m „ , PV R2

а2 /«4 )--ТТГ ' Ь12 — (a2aJ(a4R) " a3l R) , К11 = 6

h - (a - ava ) - m _

h11 — (a1 a2/ a4) ,11 R2 ' h12 (a2a5/(a4

au ß1

hoV ßl

4

h21 — ^a^ -a3), h22 — К/R - a7(a4R)) -^>2 RT , K21 — TV212RTan.

ß4 ho V ß

С целью иллюстрации полученных результатов выполним численное исследование поведения функций A (ш, О, A (ш, О рассматривая канал со следующими параметрами: R = 0,1 м, h0/R = 0,08, h1/R = 0,01, h2/R = 0,015, р0 = 103 кг/м3, р1 = р2 = 2,7 103 кг/м3, р3 = 103 кг/м3, K1 = К2 = 8 103 Па, Кз = 4,7109 Па, G1 = G2 = 2,671010 Па, G3 = 9107 Па, v = 10-6 м2/с. При расчетах введем безразмерные амплитудные частотные характеристики продольного перемещения и прогиба сэндвич пластины как отношения функций Аи (ш, £), Aw (ш, £) к их значениям при статическом давлении, т.е. коэффициенты динамичности, аи (ш) - A (ш, О/A (o, О, (ш) - A (ш, О/A (o, О. Данные характеристики позволяют определить резонансные частоты основной моды радиальных и изгибных колебаний и оценить амплитуду колебаний на данных частотах. Результаты расчетов представлены на рис.2 и рис.3.

Рис. 2

Рис. 3.

Заключение

Таким образом, в результате постановки и решения задачи гидроупругости найдено распределение гидродинамических параметров в слое жидкости как

функции прогиба и получена разрешающая система уравнения для определения

Труды МАИ. Выпуск № 110 Ьйр://1хиёуша1. ги/

упругих перемещений пластины. Проведенные расчеты показали, что на основной

моде колебаний пластины наблюдаются две резонансные частоты, что можно

объяснить перекрестным влиянием сил инерции и жесткости в радиальном и

нормальном направлении. Расчеты показали, что первая резонансная частота,

находящаяся в зоне низких частот, определяется силами инерции и жесткостью в

нормальном направлении, а вторая - указанными параметрами в радиальном

направлении. В работах [23-27] данного эффекта не обнаружено, так как в них не

учитывались силы инерции в радиальном направлении. Кроме того, расчеты

амплитуд изгибных колебаний (см. рис.3) позволили установить, что влияние сил

инерции в радиальном направлении на изгибные колебания пластины

незначительно, так как амплитуда колебаний на второй резонансной частоте мала по

сравнению с первой. С другой стороны, аналогичные расчеты для радиальных

колебаний (см. рис. 2) указывают на важность учета сил инерции, как в радиальном,

так и нормальном направлении, так в данном случае амплитуды колебаний на

резонансных частотах одного порядка. Таким образом, показано, что в отличие от

задач гидроупругости однородных упругих элементов, где традиционно

пренебрегают учетом сил инерции в радиальном направлении и ограничиваются

только исследованием изгибных колебаний [31], для трехслойных пластин важен

учет сил инерции в радиальном направлении, а также касательных напряжений в

слое вязкой жидкости.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-01-00127-а

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

Библиографический список

1. Carrera E. Historical review of zig-zag theories for multilayered plates and shells // Applied Mechanics Reviews, 2003, vol. 56, no. 3, pp. 287 - 308. DOI: 10.1115/1.1557614.

2. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. - М.: Физматлит, 2005. - 576 с.

3. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Bending of a sandwich beam by local loads in the temperature field // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18. № 1. С. 69 - 83.

4. Starovoitov E.I., Leonenko D.V. Deformation of an elastoplastic circular three-layer plate in a temperature field // Mechanics of Composite Materials, 2019, vol. 55, no. 4. pp. 503 - 512.

5. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Колебания круговых трехслойных пластин на упругом основании под действием параболических нагрузок // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53490

6. Бабайцев А.В., Бурцев А.Ю., Рабинский Л.Н., Соляев Ю.О. Методика приближенной оценки напряжений в толстостенной осесимметричной композитной конструкции // Труды МАИ. 2019. № 107. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 107879

7. Митин А.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарный контакт цилиндрической оболочки и абсолютно твердого эллиптического параболоида // Труды МАИ. 2019. № 107. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 107884

8. Lamb H. On the vibrations of an elastic plate in contact with water // Proceedings of the Royal Society, 1921, vol. 98, pp. 205 - 216. DOI: 10.1098/rspa.1920.0064.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

9. Amabili M., Kwak M.K. Free vibrations of circular plates coupled with liquids: revising

the Lamb problem // Journal of Fluids and Structures, 1996, vol. 10(7), pp. 743 - 761. DOI: 10.1006/jfls.1996.0051.

10. Kozlovsky Y. Vibration of plates in contact with viscous fluid: Extension of Lamb's model // Journal of Sound and Vibration, 2009, vol. 326, pp. 332 - 339. DOI: 10.1016/j.jsv.2009.04.031.

11. Добрянский В.Н., Рабинский Л.Н., Радченко В.П., Соляев Ю.О. Оценка ширины зоны контакта между плоскоовальными каналами охлаждения и корпусом приёмо -передающего модуля активной фазированной антенной решётки // Труды МАИ. 2018. № 101. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=98252

12. Lomakin E.V., Rabinsky L.N., Radchenko V.P., Solyaev Yu.O., Zhavoronok S.I., Babaitsev A.V. Analytical estimates of the contact zone area for a pressurized flat-oval cylindrical shell placed between two parallel rigid plates // Meccanica, 2018, vol. 53, no. 15, pp. 3831 - 3838.

13. Алексеев В.В., Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна с тяжелой жидкостью // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. № 8. С. 37 - 42.

14. Askari E., Jeong K-H., Amabili M. Hydroelastic vibration of circular plates immersed in a liquid-filled container with free surface // Journal of Sound and Vibration, 2013, vol. 332, no. 12, pp. 3064 - 3085. DOI:10.1016/j.jsv.2013.01.007

15. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Hydroelastic stability of a rectangular plate interacting with a layer of ideal flowing fluid // Fluid Dynamics, 2016, vol. 51, no. 6, pp. 821 - 833. DOI:10.1134/S0015462816060132

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

16. Velmisov P.A., Ankilov A.V. Dynamic stability of plate interacting with viscous fluid

// Cybernetics and Physics, 2017, vol. 6, no. 4, pp. 262 - 270.

17. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42 - 55.

18. Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Interaction dynamics of pulsating viscous liquid with the walls of the conduit on an elastic foundation // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2017, vol. 46, no. 1, pp. 12 - 19. DOI: 10.3103/S1052618817010113

19. Kondratov D.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Hydroelastic oscillations of a circular plate, resting on Winkler foundation // Journal of Physics: Conf. Series, 2018, vol. 944, 012057. DOI: 10.1088/1742-6596/944/1/012057.

20. Kramer M.R., Liu Z., Young Y.L. Free vibration of cantilevered composite plates in air and in water // Composite Structures, 2013, vol. 95, pp. 254 - 263. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.07.017

21. Akcabaya D.T., Young Y.L. Steady and dynamic hydroelastic behavior of composite lifting surfaces // Composite Structures, 2019, vol. 227, 111240. DOI: 10.1016/j.compstruct.2019.111240

22. Liao Y., Garg N., Martins Joaquim R. R. A., Young Y.L. Viscous Fluid Structure Interaction Response of Composite Hydrofoils // Composite Structures, 2019, vol. 212, pp. 571 - 585. DOI: 10.1016/j.compstruct.2019.01.043.

23. Могилевич Л.И., Попов В.С., Старовойтов Э.И. Гидроупругость виброопоры с

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

трехслойной круглой упругой пластиной с несжимаемым заполнителем // Наука и

техника транспорта. 2006. № 2. С. 56 - 63.

24. Ageev R.V., Mogilevich L.I., Popov V.S. Vibrations of the walls of a slot channel with a viscous fluid formed by three-layer and solid disks // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2014, vol. 43, no. 1, pp. 1 - 8. DOI: 10.3103/S1052618814010026

25. Popov V.S., Mogilevich L.I., Grushenkova E.D. Hydroelastic response of three-layered plate interacting with pulsating viscous liquid layer // Lecture Notes in Mechanical Engineering, 2019, pp. 459 - 467. DOI: 10.1007/978-3-319-95630-5_49.

26. Chernenko A., Kondratov D., Mogilevich L., Popov V., Popova E. Mathematical modeling of hydroelastic interaction between stamp and three-layered beam resting on Winkler foundation // Studies in Systems, Decision and Control, 2019, vol. 199, pp. 671 -681. DOI: 10.1007/978-3-030-12072-6_54.

27. Kondratov, D.V., Popov V.S., Popova, A.A. Hydroelastic Oscillations of Three-Layered Channel Wall Resting on Elastic Foundation // Lecture Notes in Mechanical Engineering, 2020, pp. 903 - 911. DOI: 10.1007/978-3-030-22041-9_96

28. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 105618

29. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Khristoforova A.V. Mathematical model of oscillations of a three-layered channel wall possessing a compressible core and interacting with a pulsating viscous liquid layer // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия

Труды МАИ. Выпуск № 110 Ьйр://1хиёуша1. ги/

Приборостроение. 2019. № 6 (129). С. 4 - 18. 001: 10.18698/0236-3933-2019-6-4-18

30. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

31. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. - М.: Физматлит, 1976. - 416 с.