ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СДАВЛИВАЕМОГО СЛОЯ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА С УПРУГОЙ ПЛАСТИНОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

УДК 531.383: 532.516 DOI: 10.34759/trd-2020-110-21

Задача динамики взаимодействия сдавливаемого слоя вязкого сжимаемого газа с упругой пластиной

Блинкова О.В.1*, Кондратов Д.В.2**

1 Саратовская государственная юридическая академия,

Вольская улица, 1, Саратов, 410056, Россия

2

Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина,

Московская улица, 164, Саратов, 410012, Россия *e-mail: oksana_parfilova@mail.ru **e-mail: kondratovdv@yandex.ru

Статья поступила 05.02.2020

Аннотация

Рассматривается задача моделирования течения вязкого сжимаемого газа в щелевом канале, состоящем из двух пластин. Первая пластина является абсолютно жесткой и совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости, вторая является однослойной упругой пластиной. Математическая модель в безразмерных переменных представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую динамику движения вязкого сжимаемого газа и упругой балки-полоски с соответствующими граничными условиями. Найдено выражение для амплитудно-частотной характеристики.

Ключевые слова: вязкий сжимаемый газ, щелевой канал, балка-полоска, упругая трехслойная пластина, уравнение Навье-Стокса, амплитудные частотные характеристики.

1. Введение

Современная авиационная и космическая промышленность активно применяет различные упругие элементы конструкции, такие как пластины, стержни и оболочки [1-4]. Такие упругие элементы конструкции могут использоваться как элементы двигателей, обшивки самолета, топливных элементов, конструкции шасси, приборов навигации и других [3, 5-7]. Причем упругие элементы конструкции могут взаимодействовать с вязкой жидкостью или газам. Это требует решения достаточно сложных задач контактного взаимодействия, влияния колебаний и волн на упругие элементы [7-12].

Вопросы моделирования поведения упругих пластин при динамическом взаимодействии с жидкостью или газом тщательно изучаются. Случаи, когда пространство между пластин заполнено вязкой несжимаемой жидкостью, исследованы в работах [11, 12], устойчивость нелинейных колебаний пологих оболочек двойной кривизны, нелинейные колебания и устойчивость оболочек и пластин рассмотрены в [13,14], нелинейная динамика аксиально движущихся пластин описывается в [15], динамика пластин при аэродинамическом воздействии рассмотрена в [16], вибрации упругой платины под значительной жидкой нагрузкой - в [17].

Наряду с исследованием однослойных тонкостенных конструкций, для конструирования современных изделий авиастроения и машиностроения характерно все более частое использование различных слоистых материалов и многослойных упругих конструкций. Например, механика слоистых вязкоупругопластических

элементов конструкций описана в работах [18], математическое моделирование

2

проводилось в [19], постановка задачи моделирования взаимодействия слоя вязкой

сжимаемой жидкости с упругим трехслойным статором и абсолютно твердым

вибратором опоры описывалась в работах [20, 21]. Линейный анализ вибрации

консольных пластин, частично находящихся в жидкости проводился в [22],

свободная вибрация консольных композитных пластин в воздухе и жидкости

рассматривалась в [23].

Несмотря на большое количество исследований, поведение однослойных пластин при динамическом взаимодействии с вязким сжимаемым газом, заполняющим пространство между ними, изучены пока еще недостаточно широко. Разработка агрегатов, состоящих из упругих тонкостенных конструкций в виде пластин, взаимодействующих с окружающим слоем вязкого газа, предусматривает исследование динамики механической системы пластина-слой вязкого газа. Это приводит к необходимости постановки и решения задач моделирования динамики взаимодействия однослойных пластин и пластин со слоем вязкого газа, находящегося в плоском щелевом канале, в котором поддерживается гармонически изменяющееся давление, с целью нахождения и изучения амплитудно-частотной характеристики модели, что позволит выявить режимы работы, при которых возникают резонансные явления.

2. Постановка задачи

Рассмотрим физическую модель механической системы, состоящую из абсолютно жесткой пластины I (вибратора) и однослойной упругой пластины II

3

(рис.1).

Рис.1 Физическая модель (Fig.1 Physical model)

Внутренняя поверхность вибратора считается плоской и является одной из стенок щелевого канала. Предполагаем, что вибратор имеет упругий подвес. В слое газа пульсирует давление, возникают гармонические колебания вибратора в вертикальном направлении относительно статора. Движение пластины I описывается гармоническим законом и имеет амплитуду zm.

Статор представляет собой упругую пластину. Длина и ширина статора (21 и b) аналогична длине и ширине вибратора. Ширина стенок считается значительно большей, чем их длина, то есть 2b >> 21. Предполагается, что жесткость пластины

производными по у можно пренебречь (т.е. далее рассматривается плоская задачу), так как плоскости данной модели в направлении оси у можно считать неограниченными.

Вязкий сжимаемый газ III полностью заполняет щелевое пространство, образованное вибратором I и упругим статором II. Толщина слоя заполнителя значительно меньше длины пластин: h0 << 2l.

Предполагается также, что в газе, заполняющем щелевой зазор, и вне его, поддерживается давление р0 + Ρ\(ωΐ), состоящее из постоянной составляющей р0 и гармонической по времени составляющей ρλ(ωΐ).

Температура газа, вибратора и упругого статора считается постоянной. Предполагается также, что возникающие при взаимодействия слоя газа со статором прогибы пластины II, и амплитуда колебаний вибратора являются намного меньшими средней толщины слоя заполнителя, т.е. zm << h .

Закон движения вибратора имеет вид: z = h(t) = h0 + zmf (ωΐ), где h0 - среднее значение ширины щелевого зазора h, zm - амплитуда колебаний вибратора в вертикальном направлении, ω - частота колебаний стенки верхней пластины, t -время.

Таким образом, физическая модель опоры представляет собой совокупность абсолютно жесткого вибратора и упругого статора, взаимодействующих друг с другом через сдавливаемый слой вязкого сжимаемого газа с пульсирующим в нем давлением.

Пусть X, z - декартовы координаты; Vx - проекция вектора скорости на ось x; Vz - проекция вектора скорости на ось z; t - время; p - давление; р - плотность; у -коэффициент кинематической вязкости газа.

Динамика движения вязкого сжимаемого газа, находящегося между пластинами, описывается уравнениями Навье-Стокса и уравнением неразрывности, которые в декартовых координатах имеют вид [24]:

dV dV dV

-vx + у x + у X = .

dt x dx z dz

1 dp+_d_

р dx dx

4

у

dV

2

у

3 dx 3 dz

dV } d( (dV dV ^

+— у

dz

x + z

dz dx

jj

dV dV dV

z + V z + V z

1 dp d

dt x dx z dz р dz dz

(4 dV 2 dV }

у z - — у x

3 dz 3 dx

V

+ ■

j

d

dx

( (dV dV

у

X + . z

dz dx

;(1)

jj

1 (dp dp dp\ dVx dVz

+ V + V +z = 0;

Р

dt x dx z dz

dx dz

Граничные условия системы уравнений (1) представляют собой условия прилипания вязкого газа к поверхностям абсолютно жесткого вибратора и упругого статора. Данные условия в рассматриваемом случае выражаются в совпадении скорости заполнителя со скоростями движения этих поверхностей:

Vx = 0 ’ ^ = Zp- ПрИ z = h> + ~mfz («*) + h;

(2)

тг du dw3

Vx=d · Vz=-ğT

h

при z = w3 + .

x

V

V

Здесь u - проекция упругого перемещения статора на ось x; w3 - упругое

перемещение статора по нормали (т.е. его прогиб).

Кроме того, для уравнений (1) ставятся условия свободного истечения газа на

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

торцах. Условия свободного торцевого истечения газа в направлении оси x и в

противоположном направлении принимают вид условий совпадения давления на

торце с давлением в окружающем газе. Данные условия записываются в виде:

p = p0 + pY (ωΐ) при X = l,

(3)

p = po + p (ωΐ) при X = -l.

Уравнение динамики однослойной пластины имеет вид [25]:

Eh3

д 4 w3

12(1 - (ур)2) дх

+ Ро h

2

д 2 w,

л

dt2

+

qzz

h

z=w3 + +2

(4)

дVv

h

где qzz =-p + 2ру - при z = w + .

dz r 3 2

Граничные условия принимают следующий вид:

dw3

w3 = 0, 3 = 0 при х = l;

(2Х

w3 = 0, = 0 при х = -l

дх

dw3

w3 = 0, 3 = 0 при y = 0;

(5)

л дw3

w3 = 0, -^3 = 0 при y = b.

X

Введем в рассмотрение следующие безразмерные переменные: τ = ωt, ξ = ,

ζ=γ, Ψ=^ «і, л=zm, Vx =

l

h

Σιηω1 Uξ(ξ,ζ,τ), Vz = z^U((ξ,ζ,τ),

h

0

P = P0 +рУ^Ρ(ξ,τ) + ρι(τ) Ma2 = l-^~ Ψ

ω2 P0 ho ωΡ00

c2 , C = P00 , Re = ру

4

к

у

переменных примут вид:

Re + ЛМа2 Р

(δυ

dU

dU Л

_+л_ _ + Л_ ξ

δτ ξ δξ ζ δζ

δ 2U

дР ξ 2

'^-__ +—υ + ψ

δξ δζ2

Г4д2и д2U ^

ξ+ ζ

3δξ

2 3δζδξ

ψ21 Re +ЛМа2P

(δϋ

dU

δϋ Л

О + Ли ^ + Ли ζ

δτ ξ δξ ζ δζ

δΡ , 2

= - +ψ2

δζ

f4δ2ϋ δ2ϋ ψ2δ2ϋ λ

ζ+---ξ_ + ψ ζ

3δζ2 3δζδξ δξ

2

Ma2 _P + ЛМй2 δτ

(

U

δΡ

+ U,

δΡ

л

ξ δξ ζ δζ

+1 Re + ЛМа2Ρ

(δυ δυ Л __ξ + __ζ δξ δζ

= 0.

(6)

Граничные условия (2) перепишутся в виде:

U(= 0, ϋζ= fT при ζ—1+fz (τ);

(7)

Uξ — 0, Uζ —

w _w w

m_W при ζ — Л mW3, Ζ δτ z

где W3 — wmW3 - прогиб пластины.

Граничные условия для давления (3):

Ρ — 0 при ξ — 1,

(8)

δΡ

— — 0 при ξ — 0.

δξ

Уравнение динамики пластины (4) примет вид:

С20 а2 δ 4W . δ W

12ω2 δξ4 δτ2 p0hwmwz

[p0+ν^ω\ρ+οψ21

ψ

— 0

(9)

Граничные условия жесткого защемления и условия симметрии задачи

1

Труды МАИ. Выпуск № 110 относительно оси Ox (5) запишутся:

W = 0 при ξ = ±1,

(10)

dW,

з

0 при ξ = 0.

9ξ

a

2

(ı -μ2) ’

E

где E, μ0 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона; р0 - плотность пластинки; c00 -скорость звука в материале пластинки.

Таким образом, построена математическая модель динамической задачи упругости виброопоры, состоящая из: уравнения динамики слоя вязкого

сжимаемого газа (6); уравнения динамики упругого однослойного статора (9); граничные условия на поверхностях пластин (7), граничные условия для давления на торцах и в торцевых щелях (8) и условия свободного опирания упругого статора

Для решения задачи будем использовать метод возмущений. Для этого разложим неизвестные параметры в ряд по степеням малого параметра: возьмем одночленное разложение по малому параметру ψ, а затем представим решение в виде ряда по малому параметру λ:

(10).

3. Метод решения

Uξ = Uξ0 + λυξ1 + ...,

Ur = UГ0 + λυη + .,

^ = υζ0

ζ1

Труды МАИ. Выпуск № 110 Р — Ро + λΡγ +

W3 — W30 + λWи + ....

Из системы уравнений и условий получим для одночленного разложения по ψ и по λ уравнения:

ReU0L + ВР> — о

δτ δξ δζ

2

δρο_

δζ

— 0.

(11)

Ma2 ВР0 + Re δτ

(δϋζ0 + Βϋξ0 Λ

V

δζ δξ

— 0.

Граничные условия:

ϋξ0 — 0, ϋζ0 — f при ζ — 1;

dt

ϋ — 0, ϋ —

ξ0

ζ0

wm dW30 zm ^

при ζ — 0;

Ρ0 — 0 при ξ—+1,

δΡ

ξ——0 при ξ—0.

δξ

Уравнение динамики пластины и граничные условия:

С020a2 δ4Ψ^ . δ2Ψ,

30

30

12ω2 δξ4 δτ2 ρ0h wmwx

Ρ0 + ^P<P — 0.

ψ

W30 — 0 при ξ — +1.

dW:зр

δξ

— 0 при ξ — 0.

1

Труды МАИ. Выпуск № 110

Решение будем искать в виде:

Uξ0 = a— cosτ+Cnξ sin τ,

P0 = Anp co^+Cnp sin^

W30 = A3 cosτ+Cз sin τ+A0,

f (τ)=α0 sin τ-ο0 cosτ.

Решая первое уравнение в (11), получим:

2

ЗС* - Re A -d-Cl Re Αηξ „ ^2

3ξ

дС

Βΐπτ +

Re С +

ηξ

dAnp З2 Αηξ

8ξ дС

2

0Θ8τ = 0.

Перепишем с помощью системы:

dCnp д2С^

- Re Αηξ+^Α-^2-=0~

3ξ дС

dAnp д 2 An-

Re Cn-+—-—ψ= 0·

д- дС

Выражая из первого уравнения системы An- и подставляя во 2 уравнение получим дифференциальное уравнение:

д 4Cn- 2 дА

-Ct+Re2 Cn-=-Re-Annp-

дС

д-

л 1 dA

Решение уравнение запишется в виде: Cn- =Σ4 = 1CiFi (εζ)-—, где

Re д-

F1 =οΗε—Ηεξ.

F2 =1 (οΗεξ sin εξ+ΞΗεξ cosεξ),

<

Труды МАИ. Выпуск № 110 F3 = 1 sh εξ sin εξ,

F4 =1 (οΗεξ sin εξ-ΞΗεξ οοΒεξ).

4

Выражая аналогично из второго уравнения Οηξ и подставляя в 1 уравнение получим дифференциальное уравнение:

д4 Αηξ 2 дС

-А^+Re2 Ant= Re

дζ

дξ

его решение запишется в следующем виде: Αξ = Ґ4=СА (εζ) +

1 дС,

np

Re дξ

Таким образом,

υξ0 =

E?=ıCiFi (εζ)+

1 dCnp''

Re дt

CQST +

Z4=iQF· (εζ)

1 дАпрЛ

Re дt

sınr.

Найдем коэффициенты Ci, i = 1,...4:

___ı_ С,

' 2ε2 д

_ ' ' дСпр п Fl п Ғз F4 ' '

2 2ε2 F2 дξ 1F2 3 F, F2 ε2 ί4F,2 + f2

дАт

дС

пР np

дξ

дξ

+

+

F4) 4С' ҒзF2 -F'F4 ^ F4 Сз (4ҒзF4 +F'F2).

F2

V 2 J

4F42+F2

F2 ί4F42+f22

' дАпр

Сз = ~2 ;

ε2 дξ

С

'

'

4 ε2 ί 4F42 + F22

F2 dAnF-lF, Се-V 4С'(ҒзF2 -F'F4) С3(4ҒзF4+F'F2)

дξ

4

дξ

4F42 + F22

4F42 + F22

Труды МАИ. Выпуск № 110 1

U =

ε

-Cnp -a -Cnp -a

-CtUO)+ -AtL2°) cosr+ l3(0)+ -APlo sinr

|_ -ξ -ξ _ -ξ 3V ' -ξ _

где

ио = — ((l-Fi (εζ))Α+BF2 (εζ)~ 4CF4 Ю);

2 A

12(ζ)=I (-CF2 (εζit AF3 ζ bf4 (εζ));

LO = h ((- Fi εεζ)Α + BF2 (εζ)- 4CF4 (εζ));

І4(0)=

ί λ

-CF2 ζA F3ζ- -bf4{o

2

J

Здесь A=4F42 + F22, B=F1F2 - F2 + 4F3 F4, C=F4 + F3 F2 - F1F4.

P0 и полученное ϋξ0 подставим в уравнение неразрывности (третье

уравнение) и используем граничные условия, получим систему уравнений для определения коэффициентов Anp и Cnp, приравнивая их при sin г и cosr.

При небольших λ:

Ma1 δΡ0+Re

дг

ϋξ0 =0, ϋζ0 =

-ϋξ0 + -ϋζ0

-ξ + -ζ dfz (г)

=0;

при ζ=1;

dr

Uξ0 =0, ϋζ0 = Wm dW30 при ζ=0;

ξ ° zm dr

J

к

- Ma2Â + 2ε1 ηζ + 2 пр δζ

22 ÖÇ, д C д

δξ

пр

2 3

(ζ)

L Ιζ)+ 2-

δξ

пр

2 4

L

ζ)=

0;

Ma2C + 2ε2 ^Αζ + 2--npL (ζ)

пр 2 1

d 2C

д 2 Â

L Ιζ)+ 2-

δζ δξΖ

δξ

пр

22

L

(ζ)=0·

Из граничных условий получаем значения коэффициентов Αζ и £ηζ в

'ηζ

граничных точках:

Αηζ= ao> ^ηζ =co при ζ=ΐ;

w„

w„

Αηζ=~*-03, Οηζ=--^Α3 при ζ=0

Ζ

m

Ζ

m

Проинтегрируем обе части системы от 0 до 1 и подставим полученные значения коэффициентов, получим:

д2С„п „ д2ΑηΡ ~ 2 2 wm л

ηρ ■ _2 p ■ а 'jpq =-2ε2ϋο -2ε2 тАз;

Zm

-Ma2 Αηρ + ηΡ Ρ +

дξ2 дξ

д2С

д 2 А.

Ma2Cnp + —d + — p = -2ε2α0 + 2ε2

ηρ 2

дξz

3;

Ζ„

<

где

1 _ 1 1 _ 1

1ρ = {Ьз(СЩ, 1 ρ ={,

2 ο 2 ο

1 ρ 1 1 ρ 1

1Ρ = ί Lı(ζ)dζ, 1ρ = { .

2 ο 2 ο

Уравнение колебания нижней пластины запишем следующим образом:

2 4

a а4 A

ко

A

Л)0 Zml

24

a а с

------4і -А

ко аξ

a 2 а4 A

Роh WmV Re А)0 Zml

Роh Wm^ Re Ро

A = о·

np

CnP=о;

ко аξ Роh ^ω

Получаем систему из 5 уравнений для поиска коэффициентов Anp, Cnp, A3,

Сз, Ao.

Применяя метод Бубнова-Галеркина, будем искать решение в виде:

Anp =(ΐ-ξ2]A, Cnp =[ 1-ξ |С

np

A3 =11-ξ І *

з,

Сз =11-ξ2 )сз,

An =-Ро—- , где ко = 1 ω

роh w24a2

соо

Подставим в систему уравнений:

- Ma2 (і-ξ2 )a - 2Cp - 2 Aq = -2ε% - 2ε2 Wm (l-ξ2 )2 a3;

zm

Ma2(l-ξ2C -2Cd -2Ap = -2ε2a0 + 2ε2 (l-ξ2j2c3;

m

a

τ 24a3

ко

24a3-(l-ξ2 )2 a3-рр^(l-ξ2 У=о; a 24c3-(і-ξ2 )2 c3-pоiРwmmk(і-ξ2 с=о;

ко 3

A =

Ро к

о

роh wmω2 24a2

Домножим левую и правую части первых двух уравнений системы на 11-ξ I,

2

2

<

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

а третьего и четвертого уравнений на (l-ζ21 , затем проинтегрируем все от 0 до 1:

16 2 8 8 2 2 wm 32

-—Ma A—Cp—Aq =-2ε c -2ε---a;

15 3 3 z 35

m

16

15

2 8 ~ 8 ~ 2 Ma C—Cd-—Af=-2ε a + 2ε

2 wm 32

33

384 a

2

256

-a3 ----a —

P00 Zml 32

z 35

A=0;

-c3;

15 k 315 pQhwmψRe 35

384 a

2

256

c3 -MM c3-_

P00 Zml 32

C=0;

15 k 315 p0hwmψ Re 35

A

Po

k

0 2 2' p0hwmw 24a

Решая систему, получаем, что

A

_ V

3 Q 3 2 a0 8 f 4S f

\( ~ \

3 2 a0 2

-ε 4rS-2ε c0

JV

4 f

J

Г3 1 8 A

QS—f 8f 3 ,

, 3 3 2 a0 2

—ε -°S-2ε c0

C =

V

4 f

j

^3 1 8 Л

-3J QS—f 8 f 3

f

a3 =

1 p00 zml 32

3 Q 3 2 a0

8 f 4 f

V

JV

- 3ε2 00 S - 2ε2ο

4 f

J

η p0hwmψRe 35

3 1 8 ~

s7qs - 3 p

<

С3

_ 1 А)0 -ml 32

-3 ε2 «0 S - 2ε2

4 f

'С0

η РоhWmWRe 35 f з i 8 J

0s - P

8f

3

Выражаем теперь коэффициенты Anp, Cnp, A3, C3:

Λ

np

( A)

з Q + з ε2 «0 8f 4 p

V

A

3 a

- 3ε2 aP S - 2ε 2 с

4 f 0

Ais - 8p

8f 3

Cnp = (l -i2)

- 3ε2 6~0S - 2ε%

4 f 0

^3 1 8 p^

fS - 3 p

^ _ I - ξ2У1 Pqq-ml 32

3 з 'η p0 h w^ Re 35

3 Q 3 2 «0

8f 4 f

V

A

3 ε2 «0 S - 2ε2^

4 f 0

^3 1 8 p^

-,JQS - 3 p

C _ (1 - A )2 1 M)0-ml 32

31 'η p0 hwψ Re 35

f ~ >

- 3 ε2 «0 S - 2ε2^

4 f 0

r3 1 8 p^

8fQS - 3P

Таким образом,

^0 4 -^2)

3 Q + 3 ε2 «0

8 f 4 f

V

A

3 9 a

ε

4 f

2 0 S - 2ε V

3i QS - 8 p 8 f 3

cosr + (1 -^2)

3 9 a

ε

4 f

2 0 S - 2ε2с

3i QS - 8 p 8 f 3

sinr

W30 = (-#2 А ^ Ц

3 о 3 2 Û0

8f 4 f

- 3ε2 a0S - 2ε2ν0

4 f 0

η ρ0hWnW Re 35

'1-І os -8 p' 8 f 3

cosr +

+((-#2)

2 2 ( P00-ml 32

f ~ 7

- 3 ε2 a0S - 2ε2ε0

4 f 0

η A)h wm¥Re 35 f 3U, 8~

8f0S - 3 P

Ч J

j · P0 ^0

- sınr + 0 0

A0hwmo>2 24a2

где

16 2 8 ~ 16 2 8 ~

Q=—Ma — d-χ, S=---Ma — q +χ, η=

Q 15 3 χ 15 3q χ 7

384 a2 256 15 k0 315

λ ί 32 ]

, χ = 35

J V J

A00l A0 hψη

Преобразовывая последнее выражение, получим:

λ

3 ε2 a0S - 2ε2c0 6

4 f 0

W

30

= i - p2 V2 ( A00-ml 32

η A0hwm¥Re 35 f 3 ( 8 ~

4°- 3 p

Λ

V

(+

2

3 о+3 ε2 asi

8 7 4 7,

'7

f

X sın

f

f 3 о 3 2 a0

gV8f 4 f

+ m

J J

4. Результаты

Из выражения выше получаем выражение для амплитудно-частотной

характеристики упругого статора:

АЧХ

( A00 -ml 32

i ~ 7

4 ε2 a0 S - 2ε2 c0

4 f

f

η A0hwm¥Re 35 f 31,8-

8f0S - 3 P

Ч J

7

( +

2

3 о+3 ε2 a4 8 f 4 f j

Λ

J

2

X

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

Таким образом, осуществлена постановка задачи в безразмерных переменных

для механической системы, состоящей из абсолютно жесткого вибратора, упругого

однослойного статора и движущегося между ними слоя вязкого сжимаемого газа.

Получено выражение для амплитудно-частотной характеристики, исследование

которой позволит определить режимы работы, при которых возникают резонансные

явления, учесть их при построения новых конструкций в современной

машиностроительной и авиакосмической промышленности.

Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014-а.

Библиографический список

1. Кондратов Д.В., Калинина А.В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=53453

2. Нуштаев Д.В., Жаворонок С.И., Клышников К.Ю., Овчаренко Е.А. Численноэкспериментальное исследование деформирования и устойчивости цилиндрической оболочки ячеистой структуры при осевом сжатии // Труды МАИ. 2015. № 82. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=58589

3. Агеев Р.В., Кондратов Д.В., Маслов Ю.В. Применение аддитивных технологий при проектировании и производстве деталей аэрокосмических объектов // Полет. 2013. № 6. С. 35 - 39.

4. Гаврилов Д.Г., Мамонов С.В., Мартиросов М.И., Рабинский Л.Н. Сравнительная характеристика прочностных свойств образцов с различными типами

19

http: //trudymai .ru/published.php?ID=22867

5. Кондратов Д.В. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового гироскопа с упругим корпусом при несимметричном истечении жидкости в торцы // Авиакосмическое приборостроение. 2007. № 11. С. 4 - 11.

6. Коровайцева Е.А. Смешанные уравнения теории мягких оболочек // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=109235

7. Antsiferov S.A., Kondratov D.V., Mogilevich L.I. Perturbing moments in a floating gyroscope with elastic device housing on a vibrating base in the case of a nonsymmetric end outflow // Mechanics of Solids, 2009, vol. 44, no. 3, pp. 352 - 360.

8. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А. А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID= 105618

9. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Движение вязкой

жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнирно опертой пластиной // Труды МАИ. 2014. № 78. URL:

http://trudymai.ru/published.php?ID=53466

10. Блинков Ю.А., Ковалева И.А., Кузнецова Е.Л., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в трех упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49679

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

11. Агеев Р.В., Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика

взаимодействия подвижных стенок плоского канала со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. Т. 4. № 1. С. 7 - 13.

12. Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. 2014. № 3. С. 17 - 35.

13. Amabili M., Garziera R., Mukharlyamov R.G., Riabova K. Stability of non-linear vibrations of doubly curved shallow shells // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2016. № 2. С. 53 - 63.

14. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. - М.: Физматлит, 2005. - 576 с.

15. Попов В.С., Христофорова А.В. Математическое моделирование динамических процессов в гидродинамической опоре с трехслойным статором // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 1. С. 38 - 45.

16. Кондратов Д.В., Блинкова О.В. Математическая модель взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой сжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной с легким несжимаемым заполнителем // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. № 1. С. 4 - 11.

17. Кондратов Д.В., Блинкова О.В. Задача моделирования сдавливаемого слоя

вязкой сжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной с легким

21

«Компьютерные науки и информационные технологии»: сборник трудов (Саратов, 2018). - Саратов: Наука, 2018. С. 56 - 59.

18. Бучной Н.В., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Задача моделирования взаимодействия сдавливаемого слоя вязкого газа с упругой пластиной // Прикладная математика и механика. 2017. № 11. С. 94 - 98.

19. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. Общий курс. - М.: Наука, 1964. - 815 с.

20. Chapman C.J., Sorokin S.V. The forced vibration of an elastic plate under significant fluid loading // Journal of Sound and Vibration, 2005, no. 281, pp. 719 - 741, DOI: 10.1016/j.jsv.2004.02.013.

21. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - 220 с.

22. Ergin A., Ugurlu B. Linear vibration analysis of cantilever plates partially submerged in fluid // Journal of Fnluids and Structures, 2003, vol. 17, no. 7, pp. 927-939. DOI: 10.1016/S0889-9746(03)00050-1.

23. Kramer M.R., Liu Z., Young Y.L. Free vibration of cantilevered composite plates in air and in water // Composite Structures, 2013, vol. 95, pp. 254 - 263. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.07.017.

24. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates // Cambridge University Press, New York, USA, 2008, 374 p.

25. Mergen H Ghaesh, Marco Amabili, Michael P Paidoussis. Nonlinear dynamics of axially moving plates // Journal of Sound and Vibration, 2013, vol. 332, issue 2, pp. 391 -406.