Численное моделирование поляризационных эффектов при взаимодействии коротких лазерных импульсов с вырожденным 0↔1 квантовым переходом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.2:621.373.826

А.В. Волков, О.М. Паршков ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КОРОТКИХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ С ВЫРОЖДЕННЫМ 0^1 КВАНТОВЫМ ПЕРЕХОДОМ

Численно исследуются процессы формирования и столкновения эллиптически поляризованных солитонов и бризеров, возникающих при воздействии лазерного излучения на неоднородно уширенный резонансный квантовый переход J = 0 ^ J = 1. Описана ситуация, когда достаточно простые с точки зрения экспериментальной реализации лазерные импульсы превращаются в среде в эллиптически поляризованные бризеры, каждая компонента поля которых является бризером теории самоиндуцированной прозрачности на невырожденном квантовом переходе. Показано, что столкновение бризеров в общем не упруго: оно приводит к возникновению более общих форм резонансных бризероподобных импульсов.

Бризер, эллиптическая поляризация излучения,

самоиндуцированная прозрачность.

A.V. Volkov, O.M. Parshkov POLARISATION EFFECTS’ NUMERICAL SIMULATION UNDER SHORT LASER PULSES INTERACTION WITH SINGULAR 0^1 QUANTUM JUMP

The authors study the numerical simulation results of formation and collision of elliptical polarized solitons and breathers which created at laser radiation effects upon inhomogeneous broadening quantum jump J = 0 ^ J = 1. Such a situation is described when the sufficiently simple for experimental realization laser pulses turn into elliptic polarized breather in the medium, where each field component is breather of nondegenerate quantum jump self-induced transparency theory. It is shown that such breathers ’ collision is not elastic in general case: it reduces to more general forms of resonance breather-like pulses.

Breather, elliptical polarization of radiation, self-induced transparency.

Введение

Поляризационные эффекты, возникающие при резонансном взаимодействии лазерного излучения с вырожденными квантовыми переходами, планомерно изучаются уже в течение нескольких десятилетий. Так, в работах [1-4] теоретически исследовались поляризационные эффекты при однофотонном и двойном резонансах, а в [5] такие эффекты наблюдались экспериментально. Интегрируемость систем уравнений

самоиндуцированной прозрачности (СИП) для некоторых типов вырожденных переходов установлена в работах [6-8], а явный вид К-солитонного решения для 0о-1 перехода приведен в [9]. Изучение СИП в вырожденных средах при невозможности формирования 2п-импульса проведено в работах [10-13], причем в [9-13] наряду с теоретическими представлены и экспериментальные результаты.

В данной статье представлены результаты численного моделирования резонансного взаимодействия когерентного лазерного импульса с вырожденным квантовым переходом между основным и возбужденным уровнями атома со значениями квантового числа I полного углового момента 0 и 1 соответственно. Такой квантовый переход называется 0о-1 переходом [1]. Импульс предполагается

квазимонохроматическим и достаточно коротким, чтобы не принимать во внимание процессы необратимой релаксации. Учитывается неоднородное уширение линии квантового перехода.

В работах [9-11,14] описано аналитическое решение данной задачи с помощью метода обратной задачи рассеяния (ОЗР). Согласно выводам этих работ, для возникновения (в пределе больших расстояний) многосолитонной импульсной структуры огибающая входного лазерного импульса должна обеспечивать наличие достаточного числа связанных состояний прямой задачи метода ОЗР. Конкретные формы огибающих входных импульсов, удовлетворяющих таким условиям, и процесс трансформации этих форм в асимптотические солитонные решения в этих работах не обсуждались. В нашей работе на этих аспектах эволюции импульса концентрируется особое внимание ввиду их решающего значения для экспериментальной проверки теоретических выводов. Полученные результаты согласуются с выводами работ [9-11, 14], а также содержат ряд новых сведений о поляризационных особенностях эволюции лазерных импульсов.

Наше моделирование основано на численном решении системы уравнений, самосогласованно описывающей взаимодействие поля и квантовой среды в приближении медленных огибающих. Отметим, что решение поставленных нами краевых задач методом ОЗР также требует применения численных методов. В связи с этим непосредственное численное интегрирование указанной системы уравнений представлено вполне оправданным.

1. Постановка краевой задачи

Пусть |1,М) - символ квантового состояния с определенными значениями квантовых чисел полного момента I атома и проекции этого момента М на ось квантования г. Тогда нижний уровень квантового перехода 0о-1 является невырожденным и ему соответствует состояние |0,0), обозначаемое далее символом |1). Верхний уровень квантового перехода вырожден трехкратно и ему отвечают состояния |1,М), М = -1,0,1, обозначаемые символами |2), |3) и |4) соответственно.

Пусть р = (I = 0| р || I = 1) - приведенный матричный элемент оператора электродипольного момента данного перехода. Полагая, что ансамбль атомов представляет собой разреженный газ, положим Г1=2/А, где А - ширина (по уровню в~ высоты) плотности распределения частот ш' квантовых переходов атомов за счет эффекта Доплера около центральной частоты ш0.

Напряженность электрического поля эллиптически поляризованного лазерного излучения, распространяющегося вдоль оси г, представим в виде

Е = д[1 ^соб (ш^ - кг + 81) + ] Е2 соб (ш^ - кг + 5 2)]. (1)

Здесь |д = л/3й/(7Цр|) - нормировочный коэффициент; к= ш/с; 1, ] - орт-векторы

осей х и у соответственно; Е1, Е2, 51, 52 - зависящие от г и I функции, описывающие амплитуды и фазы колебаний проекций вектора Е на оси х и у, причем полагается, что

Е1 > 0 и Е2 > 0.

Введем безразмерные независимые переменные 5 и w:

5 = г / г0, w = (^ - г/с)/Т1 , (2)

3кс

(3)

0 2пш|р|2Т|# ’

где # - концентрация атомов. Введем также комплексные амплитуды а1 и а2

а1 = (1/ - Л) (Е^'5 - /Е2е/52) , а = (1/ VI) (Е^-5 - /Е2е-'52)).

Перейдем от матричных элементов р/к оператора плотности в представлении Шредингера к величинам а/к с помощью формул

ай =рг, (/ = 1,2,4), о,2 = р^-),

\Р\

(4)

014 = ^Р14е"^-^ 042 = Р42 , Ок = °к,(/ = 1,2,4К

\Р\

и получим в первом приближении медленных огибающих систему уравнений, самосогласованно описывающую взаимодействие поля и среды:

да1 = /

-1 = -= | о12 ехр[- (в)2 ] ,

л/П -<°>

^ =* ^ ехр[- (8)2 ] ; л/ П -°

+ /ест21 =-'[(ап -а22) + а2а24], до41 • -г /■ \ * 1

—+ /804! = ' -^44) + а1^42 ], (5)

дw

д042 ' / \

= Т (а2°12 + а1°41) ,

дw 4

^ ' 1т(а2С14 +

дw 2

д°22 = - 11т(а1а21), дw 2 1 21

да44 1

1т'а2-41

44 = -^ 1т(а2°41) ,

дw 2

где 8 = Т1(ш'-ш). Отметим, что ввиду равенства нулю компоненты поля (1) вдоль

направления г состояние |3) не участвует в процессе взаимодействия и матричные элементы оператора плотности, связанные с этим состоянием, не входят в систему (5).

Анализ решения системы (5) удобно проводить в терминах параметров эллипса поляризации а, а, у. Здесь а - большая полуось эллипса, измеряемая в единицах д; а -угол между осью х и большой осью эллипса; у - параметр сжатия. Согласно обычным стандартам [15], а > 0, 0<а<п, -1 < у < 1. При этом |у| определяет отношение малой

полуоси эллипса к большой, условие у > 0 (у < 0) означает правую (левую) поляризацию излучения.

Параметры эллипса поляризации однозначно выражаются через Е1, Е2, 51, 52. Несложно показать, что задание а, а, у и одной из фаз 51, 52 полностью определяет весь набор величин Е1, Е2, 51, 52 , а, следовательно, и комплексные величины а1, а2. Формулы,

связывающие параметры a, a, у с функцией a1, a2, ввиду громоздкости опущены. Отметим, что все параметры эллипса поляризации представляют собой функции аргументов s и w.

Считая, что значение s = 0 соответствует входной поверхности резонансной среды, зададим граничные условия в виде:

a(s = 0,w) = a0(w), а(s = 0,w) = a0(w), у(s = 0,w) = y0(w), 5j(s = 0,w) = 810(w), w > 0, (6)

где a0(w), a0(w), у0(w), 510(w) - заданные функции аргумента w, причем момент w = 0

соответствует приходу переднего фронта импульса на входную поверхность. Начальные условия задаются соотношениями:

a11(s, w = 0) = 1, aik (s, w = 0) = 0, (i, к) ^ (1,1), s > 0, (i, к) = (1,1),

что соответствует нахождению всех атомов на нижнем энергетическом уровне до прихода лазерного импульса.

Для задания функций a0(w), a0(w), у0(w) мы будем использовать функцию f (w, т, w0) , определяемую формулой

f(^ т w0) = ^exp ^ w тw0 j + exp ^- 3 w w , (7)

в которой т и w0 являются параметрами. График этой функции имеет колоколообразный вид, причем скорость нарастания функции больше скорости убывания. Импульсы с подобной формой огибающей обычно используются в экспериментах по изучению СИП [16].

Важной для дальнейшего анализа характеристикой импульса служит его площадь, определяемая формулой

+ад ,______ +ад ______

00 = J VEj2 + E22 dw = J a^ 1+ У2 dw . (8)

—ад —ад

Отметим, что в теории СИП на невырожденных квантовых переходах площадь импульса определяется несколько другим способом [16].

2. Формирование эллиптически поляризованного солитона и бризера

Рассмотрим случай стационарного состояния поляризации входного лазерного импульса (a0(w) = const, у0(w) = const). На рис. 1 представлены результаты расчета при

п

a0(w) = 0,231- f (w, 14,40), a0(w) = — у0(w) = 0,5, 810 = 0 . В этом случае 00 = 1,3п.

Рис. 1. Огибающие входного импульса (а) и 2п-импульса на расстоянии 5 = 15 (б)

Покажем, что импульс на рис. 1 б = 15) является 2п-импульсом теории СИП для 0о-1 квантового перехода. В терминах характеристик эллипса поляризации такой

импульс, в рассматриваемом случае точного совпадения несущей частоты излучения и центральной частоты неоднородно уширенной линии квантового перехода, имеет вид [7]:

, w — s/к +ф0

a = amsech-----—------°, a = const , у = const , (9)

т1

am = V(T^ л/1+УГ) , (10)

„ w — s V 2 , 5- w — s V 2 . /ич

§1 =-----— + ф1, §2 = --------— + Ф2, (11)

Т2 Т2

где т1 и т2 - безразмерные временные параметры, определяющие все характеристики импульса, в том числе его групповую v1 и фазовую v2 скорости в системе отсчёта s, w, причем величина т1 является половиной длительности 2п-импульса по уровню sech 1 высоты. Параметры фг-, i = 0, 1, 2 представляют собой произвольные постоянные. В случае т2 = ад, а только такой случай встречается в наших расчетах, скорость v1 определяется формулой

*1=Л(т2• (12)

тогда как формулы (11) принимают вид 5г- = фг-, / = 1, 2.

Длительность т1 импульса на рис. 1 б (по уровню БесЬ 1 высоты) составляет 33,75 ед. времени w, тогда как его пиковое значение ат =5,3-10-2, а у = 0,5. При таких значениях величин т, ат и у соотношение (10) выполняется с точностью до четвертой значащей цифры. Расчет показал, что 51 и 51 не зависят от ^ и w. Это означает, что т2 = +го. Используя (12), при указанном значении параметра т1 находим у1 = 1,728-10-2, что с ошибкой менее 0,5% совпадает со скоростью движения импульса нашего расчета при ^ > 3. Сказанное позволяет, с одной стороны, заключить, что на рис. 1 б изображен 2п-импульс, а с другой стороны - подтверждает достоверность нашего моделирования. Результаты численного моделирования позволяют сделать размерные оценки для разных сред. Приведем размерные оценки для изотопа РЬ (Л, = 2833 А) в состоянии насыщенного пара при Т = 1000 К. Данный изотоп использовался в экспериментах, связанных с электромагнитно-индуцированной прозрачностью [17]. Используя значения сил осцилляторов [18], находим |р|2 = 1,2-10-35 ед. СГСЭ. При Т=1000 К имеем Т1 = 1,6-10-10 с

и N = 1,1 -1014 см-3, так что г0 = 0,011 см. Длительность т импульса (7) на рис. 1 а по полувысоте равна при этом 3,6 нс, а его пиковая интенсивность 1т = 28,3 Вт/см . 2п-импульс можно считать сформированным при ^ = 15 (рис. 1 б), что соответствует расстоянию 2 = 0,165 см, причём пиковая интенсивность этого импульса 1т = 4,6 Вт/см2, а длительность составляет т= 5,4 нс.

Положим теперь в (6)

а0 = а0т [f(w, ^ ^0) - f(w, ^ ^0 +А^)] . (13)

Амплитуда (13) описывает пару соприкасающихся импульсов, далее именуемых составляющими импульсами, полученную положением двух противофазных импульсов смещенных относительно друг друга на время Aw. Такая импульсная пара в случае волн линейной поляризации называется 0п-импульсом и была практически реализована в работе [19]. На рис. 2 представлены результаты расчета для а0т = 0,26, т = 14, Aw = 22, а0 = п/6, w0 = 40, у0 = 0,5, 510 = 0. В данном случае составляющие импульсы в (13) сдвинуты относительно друг друга на время, равное их длительности (по полувысоте). Вид графика функции а0^) на рис. 2 б позволяет предположить, что в среде на расстоянии ^ = 6 сформировался оптический импульс со свойствами бризера.

Рис. 2. Огибающие входного импульса (а) и бризера на расстоянии 5 = 6 (б).

Пунктиром показана вторичная огибающая бризера

Аналитические выражения, описывающие бризер на 0о-1 квантовом переходе, в литературе отсутствуют. Однако аналогия между теорией СИП на 0о-1 квантовом переходе [14] и теорией СИП на невырожденном переходе приводит к следующей форме амплитуды такого бризера:

а( = рт (

соб q - (т2 / т1) бій q ІапЬ р

1 + (т2/т1)2 бій2 q БесИр

а = сойбі , у = сойбі ,

(14)

рт К»=■

+ у2

^есЬ р.

- 5/V, ^V-.

р = ——+Po, q = ——+qo,

(15)

где т1 и т2 - временные параметры бризера; у1 и у2 - скорости, определяемые формулами

У1,2 =

I +°

л/я] т? |

qi ехр (—в2) ёв [(т:/т2)-вт1]2 +1

ql = 1, q2 = вт2 -1,

(16)

р0 и q0 - постоянные величины, фиксирующие положение бризера в пространстве и времени. Функция Ет(н) - огибающая амплитуды бризера, называется далее вторичной огибающей.

Для центрального пика импульса на рис. 2 б наибольшее значение ат равно

0,06594. Используя формулу (15), находим т = 4/ат = 54,257. Теперь, вновь используя (15), можно с точностью до положения на оси н построить график вторичной огибающей Ет(н) оптического бризера. Указанный график изображен на рис. 2 б пунктирной линией при совмещении его вершины с вершиной центрального пика цуга импульсов. Хорошее совпадение графика Ет(н) с огибающей функции а(н) указывает на то, что импульс на рис. 2 б является бризером. Параметр т1 можно оценить по формуле т2 = хт т1, где хт -наибольший корень уравнения

ео8(С/х) - х 8т(^/х) й ^ = 0 .

Здесь ^ = А^х1, где Ат - полуширина основания центрального пичка бризера на рис. 2,б. В данном случае Ат = 19,95, а С = 0,3677. Тогда хт = 0,248 и т2 = 13,456, и формула (12) дает: у1 = 1,0673-10-2, у2 = -5,1840-10-1. Согласно расчету, приведшему к рис. 2 б,

у1 = (3,8-6)/(367,2-572,8) = 1,0700-10-2. Близость значений групповой скорости у1,

4

т

і

2

О

полученных этими двумя способами, подтверждает, что на рис. 2 б представлен оптический бризер.

Для экспериментальной реализации рассматриваемого случая каждый составляющий импульс, входящий в формулу (13), должен иметь интенсивность 1т = 34 Вт/см2, длительность по полувысоте т = 3,6 нс, смещение Ан = 3,5 нс. Рис. 2 б соответствует расстоянию 0,066 см и пиковой интенсивности бризера 1т = 7 Вт/см2.

3. Столкновение солитонов

Положим в граничных условиях (6)

^) = 0,231 / (^,14,40) + 0,4738/ (^,14,700), а0 = П[[> - 400) +1]

а,

у 0(н) = ^ Мн) = °.

Эти граничные условия описывают поступление на входную поверхность резонансной среды (^ = 0) двух линейно поляризованных лазерных импульсов. Первый из них (импульс 1 на рис. 3 а) поляризован вдоль оси х, а второй (импульс 2 на рис. 3 а) - под углом 45° к этой оси. Для импульса 1 00 = 1,14п, а для импульса 2 00 = 2,34п. В среде каждый из этих импульсов превращается в 2п-импульс (импульсы 1 и 2 на рис. 3 б). Как показал расчет, для импульса 1 т1 = 66,1 и у1 =0,087, а для импульса 2 т1 =15,2 и у1 = 0,041. Импульс 1 по-прежнему поляризован вдоль оси х, а для импульса 2 а = 31,6°.

Рис. 3. Формирование и столкновение линейно поляризованных солитонов (толстая линия - огибающая а, пунктирная линия - угол а): импульсы на входе в резонансную

среду

(а), линейно поляризованные солитоны до столкновения (б), столкновение солитонов (в),

солитоны после столкновения (г)

Таким образом, в процессе образования второго 2п-импульса произошел поворот его плоскости поляризации в направлении плоскости поляризации первого импульса. Для обоих импульсов, изображённых на рис. 3 б, у = 0, и это условие сохраняется на всех расстояниях э, т.е. оба импульса в процессе распространения остаются линейно поляризованными.

Рис. 3 в соответствует расстоянию, на котором импульсы налагаются друг на друга. После столкновения (см. рис. 3 г) импульсы вновь преобразуются в солитоны с теми же значениями параметров т1 и у1, что и до столкновения. Однако ориентация их плоскостей поляризации меняется: а = 52,64° для импульса 1 и а = 21,06° для импульса 2. Расчет показал, что (с ошибкой около 0,1%) модуль разности между углами а первого и второго импульсов до и после столкновения имеет одинаковое значение, однако знак этой величины меняется на противоположный. Это обстоятельство согласуется с заключением работы [7] о характере столкновения линейно поляризованных солитонов.

Расчет показал, что вновь сформированный 2п-импульс 1 (рис. 3 г) выходит из области взаимодействия на 52 единицы времени н позже, чем предписывается скоростью его распространения до столкновения солитонов. Напротив, 2п-импульс 2 покидает эту область на 15 единиц времени раньше, чем предписывается его скоростью до столкновения. Эти временные сдвиги отражают существенную нелинейность взаимодействия излучения со средой.

Расчёты, детали которых мы здесь не приводим, показали, что в случае коллинеарных или ортогональных поляризаций сталкивающихся 2п-импульсов направление их поляризаций в процессе столкновения не меняются.

4. Столкновение бризеров

Положим в граничных условиях (6)

а0(н) = 0.2828[/ (,14,40)-/ (,14,62)] + 0.4738[/ (,14,700)- / (,14,722)], (17)

п

а0 = -[(н - 400) +1] У 0(н) = ^ Мн) = 0. (18)

Условия (17), (18) описывают поступление на входную поверхность образца (э = 0) двух импульсов вида (13), показанных на рис. 4 а. Эти импульсы линейно поляризованы под углом 45° друг к другу. Первый из них (импульс 1 на рис. 4,а) имеет площадь 00 = 1,8п, а второй (импульс 2 на том же рисунке) имеет площадь 00 = 3п. В среде импульс 1 превращается в оптический бризер с т1 = 54,208, т2 = 13,397, а = 0, у = 0 (см. рис. 4 б). Импульс 2 на рис. 4 б, подобно бризеру, распространяется без потерь энергии, периодически изменяя форму своей огибающей. Однако он не описывается формулами (14) и (15), поскольку основание его центрального пичка не лежит на оси абсцисс. Внутри этого импульса поле нигде не обращается в нуль, что существенно отличает импульс 2 от бризера. Будем именовать далее импульс 2 на рис. 4 б бризероподобным импульсом (БПИ). Причина, по которой из входного импульса 2 на рис. 4 а возникает БПИ, заключается в следующем: импульс 1 на рис. 4 а, не являясь бризером, оставляет после себя резонансный переход в когерентном возбужденном состоянии. Входной импульс 2 (см. рис. 4 а) эволюционирует, взаимодействуя с таким предварительно возбужденным квантовым переходом, и превращается в БПИ.

Рис. 4 в иллюстрирует стадию наложения импульсов. На рис. 4 г представлены импульсы 1 и 2 после столкновения. Каждый из этих импульсов представляет собой БПИ. БПИ распространяются в среде, как и бризеры, периодически меняя свою форму и не теряя энергии. БПИ, изображённые на рис. 4 г, линейно поляризованы, и плоскости их поляризаций вращаются в противоположных направлениях: у импульса 1 против, а у импульса 2 - по ходу часовой стрелки, если смотреть навстречу волне. Данное

обстоятельство иллюстрируется рис. 5, на котором представлены фрагменты рис. 4 г, содержащие огибающие 2 и 1, соответственно, вместе с графиками функции а(и’).

0.4

0.3

0.2

0.1

а

о II Ъ

2

500

юоо

а

1500 2000

0.4 2 8=2.4

0.3

0.2

0.1 I

W 0 I. ..... ....

500

1000

б

И-1

1500 2000

П’

в

Рис. 4. Формирование БПИ: импульсы на входе в среду (а), бризер и БПИ до столкновения (б), столкновение бризера и БПИ (в), БПИ после столкновения (г)

Рис. 5. Фрагменты рис. 4 г, содержащие БПИ 2 (а) и 1 (б), а также функции а(^/)

Расчёты, детали которых мы здесь не приводим, показали, что бризеры восстанавливают свою форму при столкновениях в случае коллинеарных или ортогональных линейных поляризаций входных излучений.

Заключение

Результаты расчетов показывают, что при наличии на входной поверхности эллиптически поляризованного 0п-импульса с фиксированными а и у в среде возможно возникновение бризера с теми же значениями а и у. После столкновения солитонов, линейно поляризованных в различных плоскостях, направления их поляризаций

меняются, но угол между этими направлениями остается тем же, что и до столкновения. В случае коллинеарных или ортогональных поляризаций сталкивающихся 2п-импульсов направление их поляризации не меняется в процессе столкновения. Бризеры восстанавливают свою форму при столкновениях в случаях коллинеарных или ортогональных линейных поляризаций входных импульсов. Однако в общем случае столкновение приводит к формированию двух БПИ, все параметры эллипсов поляризации которых довольно сложно зависят от времени и координаты. Размерные оценки для

2 3 3 208 1

перехода 6p23P0 о- 6p7s3P0 изотопа Pb показывают, что экспериментальная проверка

предсказанных в данном сообщении результатов возможна при использовании широко доступных в настоящее время частот и длительностей лазерных импульсов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев А.И. Влияние атомных столкновений на поляризацию лазерного излучения / А.И. Алексеев, В.М. Галицкий // Оптика и спектроскопия. 1969. Т. 57. Вып. 3. С. 1002-1011.

2. Аратюнян В.М. Поляризационные эффекты при прохождении излучения через резонансную среду / В.М. Аратюнян, Э.Г. Канецян, В.О. Чалтыкян // ЖЭТФ. 1972. Т. 62. Вып. 3. С. 908-917.

3. Аратюнян В.М. Когерентное пленение населённостей в резонансной системе J1 = 1 ^ J2 = 0 / В.М. Аратюнян, Г.Г. Адонц, К.В. Аратюнян // Оптика и спектроскопия. 1995. Т. 78, № 1. С. 10-13.

4. Адонц Г.Г. Взаимодействие трёхуровневого атома с эллиптически поляризованной волной / Г.Г. Адонц, Э.Г. Канецян // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 98, № 3. С. 368-371.

5. Резонансное вращение плоскости поляризации в парах калия / В.М. Аратюнян, Т. А. Папазян, Г.Г. Адонц и др. // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. Вып. 1. С. 44-50.

6. Маймистов А.И. Новые примеры точно решаемых задач нелинейной оптики / А.И. Маймистов // Оптика и спектроскопия. 1984. Т. 57. № 3. С. 564-566.

7. Башаров А. М. О самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней / А.М. Башаров, А.И. Маймистов // ЖЭТФ. 1984. Т. 87. Вып. 5. С. 1594-1605.

8. Башаров А.М. Самоиндуцированная прозрачность на переходе 1^1 - ещё одна точно решаемая поляризационная модель нелинейной оптики / А.М. Башаров, А.И. Маймистов, Ю.М. Скляров // Оптика и спектроскопия. 1987. Т. 63. Вып. 4. С. 707709.

9. Steudel H. #-soliton solutions to degenerate self-induced transparency / H. Steudel // J. Mod. Opt. 1988. Vol. 35. № 4. P. 693-702.

10. Rhodes C.K. The influence of level degeneracy of the self-induced transparency effect / C.K. Rhodes, A. Szoke, A. Javan // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 21. № 16. P. 1151-1155.

11. Rhodes C.K. Transmission of coherent optical pulses in gaseous SF6 / C.K. Rhodes, A. Szoke // Phys. Rev. 1969. Vol. 184. № 1. P. 25-37.

12. Hopf F.A. Influence of degeneracy on coherent pulse propagation in an inhomogeneously broadened attenuator / F.A. Hopf, C.K. Rhodes, A. Szoke // Phys. Rev., third ser. 1970. Vol. 1. № 7. P. 2833-2842.

13. Gibbs H.M. Near-ideal self-induced-transparency breakup in highly degenerate systems / H.M. Gibbs, S.L. McCall // Phys. Rev., A. 1975. Vol. 12. № 3. P. 2833-2842.

14. Present state of self-induced transparency theory / A.I. Maimistov, A.M. Basharov, S.O. Elyutin, Yu.M. Sklyarov // Phys. Rep. 1990. № 1. P. 1-108.

15. Борн М. Основы оптики / М. Борн. М.: Наука, 1970.

16. Slusher R.E. Self-Induced Transparency in Atomic Rubidium / R.E. Slusher, H.M. Gibbs // Phys. Rev. A. 1971. Vol. 5. № 4. P. 1634-1659.

17. Electromagnetically induced transparency: Propagation dynamics / A. Kasapi, J. Maneesh, G.Y. Yin, S.E. Harris // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74. № 13. P. 2447-2450.

18. DeZafra R.L. Lifetimes and oscillator strengths for 3P° atomic states of Pb and Sn / R.L. DeZafra, A. Marshall // Phys. Rev. 1968. Vol. 170. № 1. P. 28-36.

19. Diels J.C. Phase-modulation propagation effect in ruby / J.C. Diels, E.L. Hahn // Phys. Rev. A. 1974. Vol. 10. № 6. P. 2501-2509.

Волков Александр Валерьянович -

аспирант кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета

Volkov Aleksandr Valeryanovich -

Graduate Student

of the Department of «Higher Mathematics» of Saratov State Technical University

Паршков Олег Михайлович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета

Parshkov Oleg Mikhaylovich -

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Assistant Professor of the Department of «Higher Mathematics» of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 08.07.08, принята к опубликованию 05.09.08