CC BY
12
УДК 535.2:621.373.826 375.8:535.2
Н.А. Дружинина, О.М. Паршков
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В СРЕДЕ ТРЁХУРОВНЕВЫХ КВАНТОВЫХ ОБЪЕКТОВ
Представлены результаты численного моделирования эволюции коротких лазерных импульсов в условиях Л-схемы взаимодействия при наличии вырождения энергетических уровней в случае слабого входного низкочастотного (НЧ) излучения. Показано, что при линейной поляризации входных излучений плоскость поляризации НЧ-импульса в среде поворачивается в кратчайшем направлении до совмещения с плоскостью поляризации высокочастотного (ВЧ) импульса. При эллиптической поляризации входного ВЧ-импульса и линейной поляризации входного НЧ-излучения последнее приобретает в среде близкую к круговой эллиптическую поляризацию.
Л-схема, вырождение энергетических уровней, эволюция поляризации лазерных импульсов.
N.A. Druzhinina, O.M. Parshkov
NUMARICAL SIMULATION OF THE LASER PULSES' POLARIZATION PROPERTIES
IN THE MEDIUM OF THREE LEVELS QUANTUM OBJECTS
The numerical simulation results of short laser pulses evolution for the Л -scheme of interaction at energy levels degeneracy are presented here for the condition of low-frequency (LF) pulse weakness. It is shown, that in the case of input pulse linear polarizations the LF emission polarization plane in the medium turns in shortest-path to combination with high-frequency (HF) emission polarization plane. When input HF pulse has elliptic polarization whereas input LF emission has linear polarization the ultimate acquires in the medium elliptic polarization close to circular.
Л-scheme, energy levels degeneracy, laser pulses polarization evolution.
Введение
Ансамбли двух- или трёхуровневых квантовых систем без вырождения являются наиболее простыми и часто используемыми моделями теории резонансного взаимодействия лазерного излучения с веществом. В рамках таких моделей получены основные результаты,
связанные, например, с явлениями фотонного эха [1, 2], самоиндуцированной прозрачности СИП [3, 4], электромагнитно-индуцированной прозрачности [5, 6].
Однако обычно энергетический спектр квантового объекта (КО) состоит из вырожденных энергетических уровней. Специальный выбор состояния поляризации лазерного излучения часто, но не всегда, позволяет изучать его резонансное взаимодействие со средой в рамках моделей невырожденных энергетических уровней. При этом из поля зрения выпадают эффекты, связанные с изменением характера поляризации импульсов при распространении.
В данной работе представлены результаты численного моделирования эволюции двух лазерных излучений в случае Л-схемы их взаимодействия с ансамблем трёхуровневых КО при наличии вырождения энергетических уровней. Особое внимание уделяется при этом анализу изменений, происходящих с состояниями поляризации лазерных импульсов. Учитывается неоднородное уширение линий квантовых переходов. Считая время воздействия излучений на каждый КО достаточно малым, мы игнорируем процессы необратимой релаксации. Входное НЧ-излучение предполагается столь слабым, что в непосредственной близости от входной поверхности оно практически не влияет на эволюцию ВЧ-излучения. Моделирование выполнялось для Л-схемы уровней изотопа 208РЬ, в которой наблюдалась электромагнитно-индуцированная прозрачность поляризованных по кругу лазерных полей [7].
Постановка краевой задачи
Рассматриваемая Л-схема, состоящая из невырожденного нижнего уровня (1=0), пятикратно вырожденного среднего уровня (1=2) и трёхкратно вырожденного верхнего уровня (1=1), образуется, например, уровнями 6р23Р0 6р23Р2 6р7Б 3Р10 изотопа 208 РЬ. (Здесь I -
квантовое число полного момента импульса атома). Выберем ось г в качестве оси квантования и обозначим через М квантовое число проекции полного момента импульса на эту ось. Пусть фк (к = 1, 2 ...9) - ортонормированный набор общих собственных функций операторов Гамильтона, полного момента импульса и его проекции на ось г для изолированного атома. При этом ф1 является состоянием уровня 1=0, функции фк (к = 2, 3, 4) относятся к состояниям 1=1, М = -1, 0,1, а функции фк (к = 5, 6,.. .9) - к состояниям 1=2, М = -2, -1, 0,1, 2 соответственно. Пусть П1 и - приведённые электродипольные моменты переходов 1=0—>1=1 и 1=2—>1=1, соответственно, а ш1 и ш2 - частоты этих переходов для покоящегося атома. Предполагая, что резонансная среда является разреженным газом, введём обозначение Т = 2 / Д1, где Д)- ширина (по уровню е-1 высоты) плотности распределения частот ш^ квантовых переходов 1=0—1=1 ввиду эффекта Доплера.
Пусть ансамбль Л-схем подвергается воздействию двух лазерных импульсов в виде плоских произвольно поляризованных квазимонохроматических когерентных волн, распространяющихся вдоль оси г и имеющих частоты ш1 и ш2, так что полное электрическое поле
может быть представлено в виде:
2
Е = X ^ №х1 С08(ш $ - кг + 5 XI) + ]Еу1 8т(ш $ - V + 5 у1)]. (1)
1=1
Здесь ^ = 21 + 1Д|^г|Т|) - нормировочные постоянные; 1, ] - орт-векторы осей х и у; Ех1, Еу1, 5х1, 5у1 - зависящие от г и I функции, описывающие амплитуды и фазы колебаний х и у компонент полей, к1 = ш1 / с. Компоненты поля с частотами ш 1 и ш2 (ш 1 > ш2) являются, согласно нашей терминологии, ВЧ- и НЧ-излучениями соответственно.
Волновую функцию представим в виде:
4
Ck *Vk
k=2 J V k=5
4 = CA +f I ckФк I exp (-i^) + f IckФк I exp [- Ч2)], (2)
где ^ = aft - kjz, i = 1,2, а амплитуды вероятностей Ck являются функциями переменных z и t. Введём комплексные полевые переменные f и gl, l = 1,2, по формулам:
f = exP(j5xi) - Eyi exP(j5yi ))/V2 , gl = (Exi exp(-j5xi) - Eyi exp(-j5у,))/42 , а также модифицированные амплитуды вероятности:
c1 = -2c1 arg Д, c2 = C2, c4 = C4, c5 = -2C5 arg D2, c7 = (2/V6)c7 arg D2, c9 = 2C9 arg D2, где arg а - аргумент комплексного числа а. Определим нормированные независимые переменные ^ и w следующим образом:
3hC
s = z / z0 w = (t - z /c)/T1 z0 =-—5-, (3)
2rcN|A| T1a1
где N - концентрация атомов. Используя уравнения Максвелла и уравнения Шредингера для описания эволюции поля и квантовых объектов, получим в приближении медленных амплитуд следующую систему уравнений:
f = ^Т fC1C2 exp (- Sl2 ^ f =--Т= ^ f (C4C9 + C2C7 )exp (- ^ V81 ,
os V^ -» os tJk -ш
^T = ^T fC*C4 exp (- Sl2 ^ =--T= ^ f(C2C5* + C4C7 )exp(- Sl2 V81,
os v^-® os Vtc
oC1 2 oC2 i 2 2
= -j UC2 - g1 C4 ), -T2 + j81C2 = -tU C1 + g2C5 - f2 C7 ), (4)
ow oW 4
^W + iS1C4 = j (g1C1 - g2C7 + f2C9 ), °W + i81 (l - ß)c5 = -jg2C2 ,
ow 4 ow
^ + j 81 ß)c7 = j (/2C2 - g2C4 ) ^ + i81 ß)c9 = f2C4,
ow 6 ow
ß=oi_ 5= Зо^. (5)
®1 5o1 DJ
1
Для выбранных переходов изотопа 208 РЬ , Р = 0,7, £ = 2,11. Эти оценки получены при использовании данных работы [8].
Отметим, что амплитуды сз, с6 и с 8 не входят в систему (4). Их эволюция определяется замкнутой системой трёх дифференциальных уравнений, которая при принятых далее
начальных условиях сз = Сб = С8 = 0 имеет решение сз = Сб = С8 = 0 для всех ^ и н. Интегралы в правых частях первых четырёх уравнений системы (4), являющихся следствиями уравнений Максвелла, возникают в связи с учётом доплеровского неоднородного уширения линий квантовых переходов. При этом в1 = ^(ш^ -ш1) .
Анализ решения системы (4) проведём в терминах параметров а/, а/, у/ эллипса поляризации (ЭП) ВЧ (/ = 1) и НЧ (/ = 2) излучений. Здесь а/ - большая ось ЭП, измеренная в единицах а/ - угол её наклона к оси х, у/ - параметр сжатия. Согласно обычным стандартам [9] а/ > 0,
0 < а/ , -1 <у / < 1. При этом |у /| равен отношению малой оси ЭП к большой, условие 0 <у/ < 1 (-1 <у/ < 0) означает правую (левую) эллиптическую поляризацию, условие у/ = 0
соответствует линейно поляризованному излучению. При у г = 1 (круговая поляризация) угол а/
не определён, и мы формально приписываем ему отрицательное значение а/ = -0,2.
Параметры ЭП однозначно выражаются через функции // и g/. Задание а, а/, у/ и одной из фаз, например, 5х/, однозначно определяет величины _// и g/. Соответствующие формулы из-за громоздкости опущены. Параметры ЭП в общем являются функциями от э и н. Состояние поляризации с медленно меняющимися параметрами а/ или у/ естественно называть квазиэллиптическим, подобно тому, как гармоническое колебание с медленно меняющейся амплитудой называется квазигармоническим. Далее функция а/ (э, н) при / = 1 и / = 2 именуется огибающей ВЧ- и НЧ-излучения соответственно.
Начальные условия (н = 0) для системы (4) задаются в виде:
с1/2 = 1, с2 = с4 = с5 = с7 = с9 = 0, ^ > 0,
что соответствует нахождению всех атомов на нижнем энергетическом уровне в начальный момент времени. Граничные условия (э = 0) задаются так:
а/=а/0, У/=У/0, 5х/ = 0 1 = 1,2 н > 0, (6)
а1 = а10весЬ(н - 7), а2 = 10-10, (7)
где а10, у10, а10 - постоянные величины. Равенства (6) соответствуют входным лазерным импульсам с постоянной ориентацией большой оси и постоянным эксцентриситетом ЭП. Равенства (7) моделируют ситуацию, когда колоколообразный входной ВЧ-импульс имеет длительность, равную примерно 2Т1, тогда как входной НЧ-импульс имеет значительно большую длительность и настолько слаб, что вблизи входа в среду его наличие практически не сказывается на эволюции импульса накачки.
В качестве интегральных характеристик импульсов ниже используются величины Ж/ и ¡1, / = 1, 2, пропорциональные энергии и г-компоненте момента импульса ВЧ (/ = 1) и НЧ (/ = 2) излучения в расчёте на единицу площади поперечного сечения.
Задача о вырожденном 1=0—1=1 квантовом переходе (в нашем случае это переход, резонансный ВЧ-излучению, для которого / = 1) допускает решение в виде 2тс-импульса теории СИП [10]. Снабжая параметры 2тс-импульса нижним индексом 1, отметим, что для этого импульса а1 и у1 постоянны, а между величинами у1, а1т (пиковое значение огибающей), т1 (длительность по уровню БесЫ) и у1 (скорость в системе отсчёта э, н) имеется связь:
т1 = 2/ г, = л/к
_4_ +р ехр(-в2) ^
, + 42,2 > ^д/1^. (8)
г -ш 1 + 48! / г
Пусть в результате численного моделирования на частоте накачки обнаружен импульс с постоянными а1 и у1, с огибающей неизменной симметричной колоколообразной формы и постоянным пиковым значением а1т. Мы считаем данный импульс 2к-импульсом, если т1 и у1, вычисленные по этим значениям а1т и у1 с помощью формул (8), отличаются от полученных в результате моделирования не более чем на 2%.
В теории СИП на невырожденном квантовом переходе колоколообразный входной импульс преобразуется внутри среды в п 2к-импульсов, если площадь ©1 под его действительной огибающей заключена в интервале от (2п - 1)к до (2п + 1)к [3]. В случае СИП на вырожденном 1=0—1=1 квантовом переходе это условие справедливо при следующем введении понятия
площади колоколообразного входного эллиптически поляризованного импульса:
--
01 =| а^1 + у2 дн, (9)
-ад
где а1 и у1 - его огибающая и параметр сжатия. Для линейно поляризованного излучения и излучения, поляризованного по кругу, выражение (9) в случае колоколообразной огибающей
-1
а1 совпадает с площадью импульса в понимании теории СИП на невырожденных квантовых переходах.
Результаты расчётов
а) Представим результаты трёх расчётов, при проведении которых в (6) и (7) полагалось
а10 = 1,5 «10 = 0 У10 = 0 У 20 = 0, а параметр а20 последовательно принимал значения л/3, 2л/3, л/2.
Выбранные условия означают, что входное ВЧ-излучение линейно поляризовано вдоль оси х, а его длительность по уровню БесЫ высоты огибающей равна 2 при измерении времени в единицах Г1. При этом 01 = 1,5л. Входное НЧ-излучение представляет собой чрезвычайно слабую гармоническую волну, линейно поляризованную под одним из углов л/3, 2л/3 или л/2 к оси х.
Отметим, что для всех трех расчетов у1 = у2 = 0, а1 = 0 для любых ^ и w, так что ВЧ- и НЧ-волны в среде линейно поляризованы, а плоскость поляризации ВЧ-волны фиксирована в течение всего процесса взаимодействия. На рис. 1 представлены графики энергий Щ и Ж2. Графики функции как и графики функции Ж2, одинаковы для расчетов с а20 = л/3 и а20 = 2л/3. Они помечены на рис. 1 цифрами 1 и 2 соответственно. Данное совпадение иллюстрирует то обстоятельство, что эволюция энергии зависит только от значения острого угла между плоскостями поляризации входных ВЧ- и НЧ-излучений. При а20 = л/3 и а20 = 2л/3 этот угол одинаков и равен л/3. Кривые 3 и 4 на рис. 1 описывают Щ и Ж2 соответственно в случае а20 = л/2.
Рис. 1 показывает, что в пределе больших расстояний ВЧ-излучение исчезает, тогда как энергия НЧ-излучения стабилизируется на некотором постоянном уровне. Квантовый выход при преобразовании энергии входного ВЧ-импульса в энергию НЧ-излучения составляет около 86%.
Функции а^^) для расчетов с а20 = л/3 и а20 = 2л/3 практически неразличимы. Проверка с помощью соотношений (8) показала, что на расстояниях ^ от 2 до 15 ВЧ-излучение распространяется в виде 2л-импульса, впереди которого имеется небольшой импульс-предвестник. Плато кривой 1 на рис.1 как раз и объясняется наличием 2л-импульса, энергия которого при распространении остается неизменной. Возникновение 2л-импульса объясняется тем, что выбранное для расчетов значение 01(0) лежит в пределах от л до 3 л, а НЧ-излучение на малых расстояниях ^ практически не влияет на эволюцию ВЧ-излучения. В соответствии с теорией СИП на 1=0— 1=1 квантовом переходе [10] в таком случае должно происходить формирование одиночного 2л-импульса. При ^ > 15 происходит быстрое преобразование энергии 2л-импульса в энергию импульса НЧ-излучения (кривые 1 и 2 на рис. 1). В связи с этим 2л-импульс разрушается.
В случае а20 = л/2 на расстояниях ^ от 2 до 15 огибающие а1(^, w) практически не отличаются от соответствующих огибающих предыдущих расчетов. Однако теперь 2л-импульс остается стабильным на несколько большем расстоянии, примерно до ^ = 17 (см. кривую 3 рис. 1). Соответственно несколько позже, чем в предыдущих расчетах, происходит нарастание энергии НЧ-излучения (кривая 4 на рис. 1). Сказанное является иллюстрацией общей тенденции, проверенной в ряде других расчетов и заключающейся в том, что при приближении к
л V \ з\
\ /
\ 1 м 1 » и 11
2 \ 4, 1 / 1 \ 1 \
Рис. 1. Зависимости М1 и 1М2 от расстояния 5 в случаях а2о = л/3 и а2о = 2л/3 (кривые 1 и 2, соответственно) и при а20 = л/2 (кривые 3 и 4, соответственно)
прямому углу между плоскостями поляризации входных излучений эффективное нарастание энергии НЧ-излучения происходит на больших расстояниях 5. Однако в пределе больших 5 энергия НЧ-импульса от указанного угла зависит очень слабо (кривые 2 и 4 на рис. 1).
Для расчетов с а20 = л/3 и а20 = 2л/3 огибающие а2(5, н) практически неразличимы. Анализ показывает, что НЧ-импульс при а20 = л/2 имеет при любых 5 меньшее пиковое значение, но большую длительность, чем в случае двух предыдущих расчётов.
На рис. 2 представлены графики огибающих а2(5, н) (толстые линии) и углов а2 для случая а20 = л/3 (кривая 1) и а20 = 2л/3 (кривая 2). Напомним, что а1 = 0 при всех 5 и н. Рис. 2 а показывает, что на малых расстояниях, когда импульс НЧ-излучения слаб, плоскость его поляризации испытывает поворот в направлении уменьшения острого угла между плоскостями поляризации излучений. При этом в случае а20 = л/3 вращение происходит по ходу, а в случае а20 = 2л/3 - против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу волне. На больших расстояниях, как следует из рис. 2 б, в районе нахождения импульса НЧ-излучения а2 = 0 и а2 = л для расчетов с а20 = л/3 и а20 = 2 л/3. Это означает, что при больших 5 плоскости поляризаций обоих излучений совпадают. Другими словами, в случае линейной поляризации входных излучений плоскость поляризации НЧ-импульса в среде поворачивается в кратчайшем направлении до совмещения с плоскостью поляризации ВЧ-импульса.
Рис. 2. Графики зависимости от w огибающих а2 (толстые линии) и углов а2 (тонкие линии) для случая а20 = л/3 (кривая 1) а20 = 2л/3 (кривая 2) при 5 = 4 (а) и 5 = 25 (б)
В случае а20 = л/2, как показывает расчёт, угол а20 = л/2 для всех 5, н, т.е. плоскость поляризации НЧ-излучения сохраняет неизменную ориентацию на всех расстояниях. Это ожидаемо, поскольку при а20 = л/2 оба направления вращения этой плоскости приводят к уменьшению острого угла между плоскостями поляризаций.
Результаты расчетов при разных а20, детали которых мы опускаем, свидетельствуют о том, что расстояние, на котором достигается насыщение усиления НЧ-излучения, является наименьшим в случае, когда оба входных излучения поляризованы в одной плоскости. При приближении угла между плоскостями поляризации входных излучений к прямому, данное расстояние увеличивается.
б) Рассмотрим следующий случай. Положим в (6),
(7)
а
= 1,5/ д/125,
а10 = 0,5,
У10 = 0,5,
а 20 = л/2,
У 20 = 0.
Рис. 3. Зависимость от 5 энергий и (сплошные кривые) и моментов импульсов /1 и /2 (пунктирные линии)
В данном случае входной ВЧ-импульс имеет правую эллиптическую поляризацию, а его площадь и энергия такие же, как в предыдущих расчетах. Входной импульс НЧ-излучения линейно поляризован под углом примерно 61° к оси ЭП ВЧ-излучения. На рис. 3 представлены графики величин Ж/, I/, / = 1, 2. Плато графиков Ж1 и 11 при малых ^ объясняются наличием 2л-импульса ВЧ-излучения. Плато графиков Ж2 и 11 при больших ^ соответствуют свободному распространению НЧ-импульса после полного истощения энергии ВЧ-излучения. При этом 12 < 0, что означает левую эллиптическую поляризацию НЧ-излучения.
В канале ВЧ-излучения формируется 2л-импульс, предваряемый небольшим импульсом-предвестником. Расчет показал, что вплоть до расстояний, на которых 2л-импульс начинает разрушаться ввиду передачи его энергии импульсу НЧ-излучения, а1 и у1 сохраняют те же постоянные значения, которые они имели при ^ = 0. После разрушения 2л-импульса возникает достаточно сложная модуляция величин а1 и у1.
На рис. 4 представлены графики огибающих а2 (толстые линии), углов а2 (тонкие линии) и параметров сжатия У2 (пунктирные линии). Рисунок показывает, что в области расположения импульса НЧ-излучения а2 = 0,5, а у2 близко к -1. Это означает, что, начиная с ранней стадии усиления, импульс НЧ-излучения имеет близкую к круговой левую эллиптическую поляризацию, причем большая ось ЭП НЧ-излучения параллельна таковой для входного ВЧ-импульса.
Ж /
-2
-4
V_ IV,
\ IV,
I, "А
А
\ \
\ \
12
10
15
20
5 25
Рис. 5. Схема квантовых переходов
Рис. 4. Эволюция огибающих а2 (толстые линии), углов а2 (тонкая линия)
и параметров сжатия у2 (пунктир) ЭП НЧ импульса для 5 = 5 (а), э = 12 (б), 5 = 20 (в) и 5 = 25 (г)
Возникновение левополяризованного НЧ-импульса из входного линейно поляризованного излучения имеет следующее объяснение. ВЧ-импульс обладает правой эллиптической поляризацией (у1 > 0). Следовательно, в его разложении на составляющие с круговыми поляризациями преобладает правополяри-зованная волна. Правая и левая составляющие взаимодействуют с переходами 1-2 и 1-4, соответственно,
и изображены стрелками с наклоном вправо и влево на рис. 5, причем более интенсивная правополяризованная компонента представлена толстой стрелкой. (Цифры слева от горизонтальных линий на рис. 5 являются номерами состояний. Цифры над или под линиями задают значение квантового числа M). Учитывая, что модули p12 и p14 электродипольных моментов переходов 1-2 и 1-4 совпадают [11], можно заключить, что переход 1-2 играет главную роль в усилении НЧ-импульса. Линейно поляризованное на входной поверхности поле НЧ-излучения представимо в виде суммы право- и левополяризованной по кругу волн с одинаковыми интенсивностями. Переходы, вызванные этими компонентами, отмечены на рис. 5 короткими стрелками с правым и левым наклоном соответственно.
В связи с преимущественным возбуждением состояния 2 (толстая стрелка на рис. 5) наибольший вклад в усиление импульса НЧ-излучения вносят переходы 5-2 и 7-2, причем переход 5-2 обеспечивает нарастание левой, а переход 7-2 - правой круговой компоненты НЧ-излучения. Для модулей p52 и p72 матричных элементов электродипольных моментов этих переходов, согласно общей теории углового момента, верно соотношение p52 = 46p72 [11]. Ввиду этого поляризованная влево круговая компонента НЧ-поля, взаимодействующая с переходом 5-2, испытывает большее усиление, чем правополяризованная круговая компонента, взаимодействующая с переходом 7-2. В результате импульс НЧ-излучения приобретает левую эллиптическую поляризацию. Соответственно сказанному, как подтверждается расчётом, после прохождения импульсов ВЧ- и НЧ-излучений наиболее заселенным оказывается уровень 5.
Заключение
Результаты расчётов, представленные в данной работе, показали, что при линейных коллинеарных поляризациях обоих входных излучений расстояние, на котором достигается насыщение усиления НЧ-излучения, является наименьшим. Наибольшим это расстояние оказывается при ортогональных поляризациях входных излучений. В этом случае изменения ориентации плоскости поляризации НЧ-импульса в среде не происходит. Если угол между плоскостями поляризации входных излучений отличен от прямого, то внутри среды плоскость поляризации НЧ-импульса поворачивается по кратчайшему направлению до совмещения с плоскостью поляризации входного ВЧ-импульса.
Если входное ВЧ-излучение поляризовано эллиптически, а входное НЧ-излучение поляризовано линейно, то внутри среды НЧ-импульс приобретает близкую к круговой эллиптическую поляризацию. При этом направление вращения вектора напряжённости электрического поля НЧ-излучения противоположно таковому для входного ВЧ-импульса. Данное обстоятельство объясняется различием величин модулей электродипольных моментов квантовых переходов, участвующих в передаче энергии ВЧ-излучения к право- и левополяризован-ным круговым компонентам импульса НЧ-излучения.
Дальнейшее развитие исследований, представленных в данном сообщении, может состоять в изучении ситуаций, когда входной НЧ-импульс достаточно интенсивен, чтобы с самого начала взаимодействия волн в среде исключить возможность формирования 2л-импульса ВЧ-излучения. В связи с перспективой обнаружения новых эффектов следует также расширить представленную теорию учётом возможностей наличия отстроек от резонанса между частотами взаимодействующих импульсов и центральными частотами соответствующих резонансных квантовых переходов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Photon echoes in gases / J.P. Gordon, C.H. Wang, C.K. Patel et al. // Physical Review. 1969. Vol. 179. № 2. P. 294-309.
2. Маныкин Э. А. Оптическая эхо-спектроскопия / Э.А. Маныкин; под ред. С. А. Ахма-нова. М.: Наука, 1984. 270 с.
3. McCall S.L. Self-induced transparency / S.L. McCall, E.L. Hahn // Physical Review. 1969. Vol. 183. № 2. P. 457-485.
4. Lamb G.L. Analytical description of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium / G.L. Lamb // Reviews of Modern Physics. 1971. Vol. 43. №2. P. 99-124.
5. Marangos J.P. Topical review. Electromagnetically induced transparency / J.P. Marangos // Journal of Modern Optics. 1998. Vol. 45. № 3. P. 471-503.
6. Fleischhauer M. Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media / M. Fleischhauer, A. Imamoglu, J.P. Marangos // Reviews of Modern Physics. 2005. Vol. 77. № 2. P. 633-673.
7. Electromagnetically induced transparency: Propagation dynamics / A. Kasapi, J.M. Jain, G.Y. Yin, S.E. Harris // Physical Reviev Letters. 1995. Vol. 74. № 13. P. 2447-2450.
8. DeZafra R.L. Lifetimes and oscillator strengths for 3p0 atomic states of Pb and Sn / R.L. DeZafra, A. Marshall // Physical Review. 1968. Vol. 170. № 1. P. 28-36.
9. Борн М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф; под ред. Г.П. Мотулевич; пер. с англ. С.Н. Бреуса, А.И. Головашкина, А. А. Шубина. М.: Наука, 1979. 856 с.
10. Present state of self-induced transparency theory / A.I. Maimistov, A.M. Basharov, S.O. Elyutin, Yu.M. Sklyarov // Physics Reports. 1990. № 1. P. 1-108.
11. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров / И.И. Собельман; под ред. Е.Б. Кузнецова. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. 640 с.
Дружинина Надежда Александровна - Druzhinina Nadezhda Aleksandrovna -
аспирант кафедры Post-graduate Student of the Department
«Математика и моделирование» of «Mathematics and Modeling»
Саратовского государственного of Saratov State Technical University
технического университета
Паршков Олег Михайлович - Parshkov Oleg Mikhailovich -
кандидат физико-математических наук, доцент Candidate of Sciences in Physics кафедры «Математика и моделирование» and Mathematics, Assistant Professor Саратовского государственного of the Department of «Mathematics and Modeling»
технического университета of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 27.05.09, принята к опубликованию 09.09.09
