CC BY
45
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2010, том 53, №4_____________________________________
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624. 042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов,
А.А.Ходжибоев, О.А.Ходжибоев ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИКИ И ДИФРАКЦИИ ВОЛН
Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
В данной работе исследуются вопросы, связанные с распространением и дифракцией сейсмических волн. Разработана математическая модель численного решения задачи дифракции волн на основе метода Вольтерра.
Ключевые слова:плоская задача - дифракция волн - потенциал - волны Релея - волны Лява.
Рассмотрим упругое бесконечное полупространство с однородными начальными и граничными условиями под воздействием динамической нагрузки произвольного направления. Решение этой задачи сводится к системе дифференциальных уравнений Ламе, которая в векторной форме имеет вид
ЛАО + (л + Л)graddivU + ^ = рО, (1)
Воспользовавшись представлением Ламе [1], где вектор перемещений и вектор массовых сил представляются в виде
О = gradф + гв1А, ^ = gradщ + ШБ, (2)
здесь (р,у - скалярные потенциалы, А, Б — векторные потенциалы, из (1) получим
(Л + 2ц)АР + рщ = р—2 (3)
—
— А
/лАА + рБ = р—Г, (4)
—
Уравнение колебаний для векторного потенциала А в случае декартовой системы координат распадается на три скалярных уравнения
—А
/лААг +рБг = р—т, i = х, у, х. (5)
—1
Продольные и поперечные волны, исходящие из гипоцентра, порождают поверхностные волны Релея и Лява [2]. Независимость поверхностной волны Релея от переменной у является причиной
Адрес корреспонденции: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 121, Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: hojiboev@mail.ru
того, что мы будем иметь дело с плоским деформированным состоянием. Поэтому уравнения Ламе с учетом (2) записываются так
(6)
С2 А С2 А 1 С2 А
С
(7)
—р —А —р —А
где и =----------, и =------------, р и А — скалярные потенциалы.
х — — х — —
В неограниченном пространстве продольные (6) и поперечные волны (7) связаны между собой граничными условиями на поверхности х = 0 (стж (х,0, ?) = 0, тгх(х,0, ?) = 0 ).
Волны Лява, где частицы среды имеют перемещения и , возникают в упругом полупространстве с упругими свойствами, изменяющимися скачкообразно по оси г . При этом и = и2 = 0 и волновое уравнение приобретает вид
а и у а иу _ і а иу
а2 с2 с] а1
(8)
где и = и (х, х, ?) . Этот тип волн существует только в том случае, если скорость поперечных волн в
нижней области больше, чем скорость этих волн в верхнем слое [2].
Изучению распространения волн в сплошных средах с учетом явлений дифракции посвящено большое число теоретических и экспериментальных исследований [3-5]. Задача нестационарной дифракции волн связана с решением уравнений гиперболического типа при соответствующих начальных и граничных условиях.
В работе ставится цель исследовать задачу распространения волн от заданного источника и построить алгоритм решения задач нестационарной дифракции волн. Рассмотрим волновое уравнение
и) = .
а1 и
ка2 а2
а2
■ = -ь.
(9)
которое описывает распространение волны в акустических или упругих средах, где и является потенциалом скорости или перемещения соответственно. На основе этого уравнения будем исследовать решение задачи Коши по распространению волны от заданного источника и задачу нестационарной дифракции. Для двух непрерывных функций и и w со своими частными производными до второго порядка в некоторой области Т, границей которой является поверхность Е , формула Грина записывается в виде [6]
2
[ (wL(u) — uL(w))dxdydt = [ ^------------------------------------u —. (10)
* * ду ду
Решение задачи Коши методом Вольтерра [6] строится на основе фундаментального решения
= ІП
{і1 - І) + т1 С2 - І) -
2/, л2
1пг, (11)
которое удовлетворяет дифференциальному уравнению
/ \ ?Г —2 ™ —2 ™ ^ —2 2
д*') = с +—2Г—г =0' (|2)
Функция (11) обращается в ноль во всех точках поверхности нижней полости характеристического конуса, с вершиной (х:, у, ^ ) и имеет разрыв вдоль оси t, где г ^ 0.
Таким образом, формула (10) с учетом (9), (12) и предельного перехода приобретает вид
и
| Ь ■ 2йхйу& = — — и ~2) ^а — 2ж^и(х1, у1,1)&, (13)
Т ?0
откуда, беря производные по ^ от обеих частей, получим обобщенную формулу Вольтерра, которая при Ь = 0 записывается в виде
Формула (14) позволяет при заданных начальных условиях на поверхности Е1 определять искомую функцию в произвольных точках пространства (х, у, t) . Если начальные данные заданы на плоскости t = 70 = 0, то начальные условия записываются в виде
/ \ / \ —и 1 —и / ч и (х, у)
и( х, у,0) = и (х, у); — = ———со8(и, t ) = ——2—. (15)
Следовательно, формула (14) при заданных начальных данных на поверхности пространственной ориентации t = ^ = 0 с учетом (11), (15) записывается в виде
/ \ і а г(и, сіі +7с2^2-г2 и0 ^
и( *1, Уг, ^ )=^^~\\ _1п-------------+ I 22 2
2ЛС а1 I, \ С Г л/с І12 - Г2 у
йа. (16)
В результате решения задачи Коши (16) мы получим волновой процесс, который имеет передний фронт и распространяется в пространстве со скоростью с . Предположим, что фронт падающей волны на пути распространения наталкивается на препятствие и возникает явление дифракции и тем самым создается возмущенная область. Задача состоит в том, чтобы найти искомую функцию в
этой возмущенной области. При этом будут заданы направления волнового вектора, интенсивность падающей волны, а также начальные и граничные условия.
Вначале рассмотрим задачу нестационарной дифракции цилиндрической волны на основе уравнения (9) при заданных начальных и граничных условиях. Следуя работе [5], будем предполагать, что падающая волна интенсивностью является плоской и задана в виде разрывной функции
где ^ = х ■ соБа0 + у 8та0 , а0 — угол наклона волнового вектора к оси х . Если принять за начало отсчета время, когда падающая волна (17) наталкивается на препятствие, то в возмущенной области
где п - нормаль к контуру области О.
Учитывая, что при t > 0 решение u в возмущенной области состоит из суммы потенциалов падающей и отраженной волн, можно записать
где (Х,^ — углы наклона нормали п к контуру ю относительно осей х и у.
Временно фиксируем точку (х, у, ^) в возмущенной области и строим конус влияния, кото-
^ ^ ^ о* ^
рый отсекается характеристической поверхностью отраженной волны о и поверхностью временной ориентации Е . Применение метода Вольтерра для решения этой задачи при Ь = 0 сводится к формуле (14), где и надо заменить на V, а Е1 на Е0 (Е0, Е* — части поверхностей Е и О *, отсекаемые конусом влияния):
при % < сі; при % > сі,
(17)
и( х, у, і ) = и0 (*, У, і ) при і = 0.
(18)
Из условия непрерывности потенциала u на фронте отраженной волны можно написать
и(х, у, і ) = и0 (*, У, і ) на $ * при і > 0.
(19)
Если контур препятствия считать недеформируемым, то выполняется условие
Сі / а = 0 на О,
(20)
и( х, у, і ) = V (х, у, і ) + и0 (х, у, і ).
(21)
Подставляя (21) в (9) и (18)-(20), получим формулировку задачи дифракции относительно V:
(22)
^а/ і
/ \ 1 — г( —V —2}
^ у1-tl) = 2д— |г У '7 —) ^ (23)
1 ^0
Формула (23) не позволяет решать задачу дифракции, так как функция V на поверхности Е0 является неизвестной. Поэтому, используя предельный переход, получим граничное интегральное уравнение Вольтерра
^0(х^ л, ^(х1, у1 ;x, ^t) ■ VЕo (х y, t =
д 1 ^ сЕ (24)
= — — х1, у1, tl; х, у, t )~т_( х, у)<*<*.
д — ^ СП
Е0
Можно заметить, если контур ю имеет произвольное очертание, то аналитическое вычисление интегралов в (24) и получение решения в замкнутом виде сопряжено с большими трудностями математического характера. Поэтому возникает необходимость в применении кубатурных формул и численного решения интегральных уравнений теории дифракции.
Область интегрирования, которая является поверхностью полубесконечного цилиндра препятствия, разбиваем на регулярную сетку с шагами а? и А? и предположим, что функция V(s,t) в пределах каждой ячейки имеет постоянное значение V , где i- номера точек по оси t, ]- по оси s. Тогда уравнение (24) при д0 = 1 можно записать в дискретной форме:
д/шк + '^'^А%т,„К- + ^у,втк,V. -
тк і] ікт,іі і • і тк, і ті
і І І
- 2 Уі@тк,Лі = 22 Д Щткі?і - (25)
І і і
- 2 у і™тк,і?і + 2 у Л.іїі, і і
а м а а а?
где 7] = , 0 = --, щ = —-, ? = ——, Діі у і - числовые коэффициенты.
а аг а а аг 1 , і
Характерной особенностью системы алгебраических уравнений (25) является то, что она решается на каждом шаге по времени и при этом область интегрирования постепенно расширяется, так как точка (^, іх ) , которую мы временно фиксировали, является переменной.
Пусть на препятствие с контуром О падает плоская волна направленная вдоль оси у, где
а% / а = собЗ, /3 - угол наклона нормали п к оси у. Используя симметрию системы, разбиваем
половину контура на 10 равных отрезков [7]. На поверхность Е цилиндра Q наносим сетку, которую для удобства представим в развернутом виде на плоскости ts. При этом падающая волна двигается таким образом, что за время Аі проходит отрезок А . Следовательно, фронт падающей волны, начиная от точки 0 до точки 10, доходит за время і = 10Аі .
Таким образом, на основе метода Вольтерра получено решение задачи Коши, которое позволяет исследовать распространение цилиндрических волн от заданных источников. Это в конечным итоге дает нам возможность определять внешние воздействия на сооружения от взрывных и других
динамических воздействий. Получены граничные интегральные уравнения и разработан алгоритм решения задачи нестационарной дифракции волн и предложена схема его численного решения.
Поступило 17.03.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966, 443 с.
2. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. - М.: Госиздат, 1961, 219 с.
3. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. - М.: Наука, 1966, 455 с.
4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. - Киев: Наукова думка, 1978, 204 с.
5. Филиппов А.Ф. - ПММ, 20, вып.6, 1956, с. 688-703.
6. Гурса Э. Курс математического анализа, т.3, часть 1. - М.-Л.: Гостехиздат, 1933, 276 с.
7. Низомов Д.Н. Методы граничных уравнений и сплайн-аппроксимаций в решении статических и динамических задач строительной механики - Автореферат д.т.н. - М.: МГСУ, 1999, 322 с.
Ч,.Н.Низомов, А.АДочибоев, О.АДочибоев
МОДЕЛСОЗИИ АДАДИИ МАСЪАЛА^ОИ ^АМВОРИ ДИНАМИКАИ ГАЙРИСТАТСИОНАРЙ ВА ДИФРАКСИЯИ МАВ^О
Институти сохтмони ба заминчунби тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цум^урии Точикистон
Дар маколаи мазкур масъалахо вобаста ба пахршавй ва дифраксияи мавч^ои сейсмикй омухта шудаанд. Модели математикй доири х,алли ададии масъалаи дифраксияи мавч бо методи Волтерр кор карда шудааст.
Калима^ои калиди: масъалаи уамвор - дифраксияи мавц - потенсиал - мавщои Релей - мавщои Ляв.
J.N.Nizomov, A.A.Hojiboev, O.A.Hojiboev NUMERICAL MODELING OF A PLANE PROBLEM OF NONSTATIONARY DYNAMICS AND WAVE DIFFRACTION
Institute of Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
In this paper, we study issues related to the propagation and diffraction of seismic waves. Develop a mathematical model of the numerical solution of wave diffraction on the basis of the method of Volterr.
Key words: plane problem - wave diffraction - potential - Rayleigh waves - Lyav waves.
