Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 54-66

Механика =

УДК 539.3:534.26

Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями *

Л. А. Толоконников, А. Л. Логвинова

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, неоднородный упругий цилиндр.

Рассеяние звуковых волн неоднородными упругими круговыми цилиндрическими телами исследовалось в работах [1-11], при этом рассматривались одиночные неоднородные рассеиватели.

В настоящей работе изучается задача дифракции плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями. Эта задача представляет интерес не только с точки зрения изучения дифракции звука на решетке неоднородных цилиндров, но и служит необходимым элементом решения задачи о дифракции звука на одиночном неоднородном упругом цилиндре, находящемся вблизи идеальной плоской поверхности (акустически мягкой или абсолютно жесткой), методом мнимых источников.

1. Постановка задачи. Рассмотрим два одинаковых бесконечных радиально-неоднородных упругих цилиндра, оси которых параллельны. Радиусы цилиндров равны Т\. Внутри каждого цилиндра имеются абсолютно жесткие концентрические цилиндрические включения радиуса Т2.

Введем основную (х,у,г) и локальные (х+1, у+1, 2+1), (х-1,у-1, г-1) прямоугольные системы координат, связанные с цилиндрами. Оси локальных координатных систем одинаково ориентированы с соответствующими осями основной системы координат. При этом центры локальных систем координат 0+1 и 0-1 находятся на осях вращения цилиндров и г-\, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях (относительно оси х) соответственно, а оси у+1 и у-1 совпадают с осью у (рис. 1).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

ш 0+1 > у (г,ф) К, // / /

6 0 г / / /V /

6 Ш 0., /г"' / Щ 1

РИС. 1. Геометрия задачи

Свяжем с основной и локальными прямоугольными системами координат цилиндрические системы координат (г, (г+1,^+1,2:+1),

В локальных цилиндрических координатах уравнения внешней поверхности 1-го цилиндра и его включения имеют вид п =г\ и п = 7*2 (/ = ±1).

Полагаем, что модули упругости А и /х материала 1-го неоднородного цилиндрического слоя описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты 77, а плотность р — непрерывной функцией координаты 77 (/ = ±1). Окружающая цилиндры жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны р\ и с.

Пусть из внешнего пространства на цилиндры падает плоская звуковая волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора к, который лежит в плоскости ху и образует угол (ро с положительным направлением оси х.

Потенциал скоростей падающей волны в системе координат х, у, г

Ф0 = А) ехр[г(к • г) - и;£)],

где Ао~ амплитуда волны; и— круговая частота; t— время; к = {ксоБ(ро; кБикро] 0}; г = {х,у, 0}— радиус-вектор; к = и/с— волновое число внешней среды. В дальнейшем временной множитель будем опускать.

Падающая плоская волна будет рассеиваться цилиндрами. При этом будет иметь место многократное переотражение между телами.

Определим акустическое поле, рассеянное цилиндрами.

В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.

2. Аналитическое решение задачи. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [12]:

ДФ(г, ф) + й2Ф(г, ф) = 0,

где Ф — потенциал скоростей полного акустического поля.

При этом скорость частиц v и акустическое давление p в жидкости определяются по формулам

v = gradФ, p = гр^Ф.

В силу линейности рассматриваемой задачи потенциал Ф представим в виде

Ф = Фо + Ф*, (1)

где Ф* — потенциал скоростей рассеянной волны.

Потенциал скоростей рассеянной волны является решением уравнения Гельмгольца и должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Учитывая, что

r = ri + roí (l = ±1),

падающую волну запишем в виде

Фо = Ao exp[i(k • roí)] exp[i(k • ri)],

где roí = {0, ld} — радиус-вектор, соединяющий точку O с точкой Oí (l = = ±1). При этом k • roí = kdl sin ф0.

Представим потенциал скоростей падающей волны в локальных цилиндрических координатах в виде разложения [13]

те

Фо(п,ф) = AoeikldísinY, inJn(krí)ein(vi-V0) (l = ±1), (2)

где Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n. Потенциал Ф* будем искать в виде суммы двух слагаемых

Ф* = Е Ф*1), (3)

í=±i

каждое из которых представляет собой рассеянную l-м цилиндром волну.

Функции Ф(1) являются решениями уравнений Гельмгольца, которые в локальных цилиндрических координатах имеют вид:

д2Ф*1) 1 дФ(!) 1 дФ , 2 (í)

-*—I___*—|___*—+ ь2ф(1) =0, l = ±1.

drf rí drí rf дф2 *

С учетом условий излучения на бесконечности функции Ф^ будем искать в виде

те

Е A^Hn(kri)ein(pi-po), l = ±1, (4)

где Hn(x) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п.

Коэффициенты АП (l = ±1) разложений (4) подлежат определению из граничных условий на цилиндрических поверхностях тел.

Волновые поля в упругих цилиндрических слоях описываются уравнениями движения упругой среды [14], которые в локальных цилиндрических координатах имеют вид

ß-(i) ß-l .0) —(i)

UUrr -L д—гю —rr — ЮЮ 2 (l)

-x--1---^ +--— = -ш2риГ1);

dri ri dpi ri

(5)

dß + 1 dß + - = i = ±1,

dri ri dpi ri * *

(i) (i) (i) где иГ , ир — компоненты вектора смещения u(i) в l-й цилиндрической

(i)

системе координат; — компоненты тензора напряжений в l-й системе координат; р = p(ri).

Используя соотношения, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука) [14], а также соотношения, связывающие компонентов тензора деформаций с компонентами вектора смещения [14], из уравнений (5) получаем следующие уравнения движения, записанные через компоненты вектора смещения в локальных цилиндрических координатах:

(А + 2t dU) + А+t д2иР + Ü + (А' + V + А + 2ß \ диГ) +

drf ri dridpi rf dpf V ri J dri

+ ^ (-' - ^dlt)^ + (- - ^ + ufp)4) =0; (6) ri \ ri ) dpi \ri rf

д2и$ + А + ц 32u(r) + А + 2p д2и$ + ( , + t N ди() + P drf ri dridpi rf dpf \ r) dri

+ i L' + iHlt) ^ + (- t - Jf + ,4) =0; l = ±1, (7)

ri \ ri ) dpi V ri rf ) p

где А = \{г\); ц = ); штрих означает дифференцирование по г\.

Компоненты вектора смещения и(1) в упругом слое 1-го цилиндра являются периодическими функциями координаты р\ с периодом 2п. Поэтому

функции и)г (тг) и иУр'(тг,фг) (I = ±1), удовлетворяющие системе уравнений (7), будем искать в виде рядов Фурье:

,(г)

и

(г)

(п) = £ иЦту^-^;

и

(г)

п=-ж оо

(тг) = Ё и(2)п(п)егп(р1-ро).

(8)

Подставляя выражения (8) в уравнения (6, 7), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций иЩ(тг) и и2П(тг) для каждого п:

АП)иП)'' + Б^' + ¿«и =0; I = ±1,

(9)

\ т

где и„ = 1и\«(тг),и:2п)(тг М ; А«), Б«,Сп) — матрицы второго порядка,

а?= ( ЛV« 0);

/,/ / А + 2« Л +« \

Л + 2« +-- П--

тг П

\

. Л + «

гп-

СП) =1

/ , Л + (2 + п)« 2

Л'----— + и2 ртг

п

. ( , + Л + 3«\

гп \ « +--

т

т

гп

т

«

0 +- I

т

Л'-

Л + 3« тг

«

— 11 —

п2 Л + (2п2 + 1)« 2

---— + и2 ртг

т

Искомые функции —^), и)), ир) (I = ±1) должны удовлетворять граничным условиям на поверхностях упругих цилиндрических слоев.

Граничные условия на внешних поверхностях цилиндров заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения; на внутренних поверхностях упругих слоев должен быть равен нулю вектор смещения частиц упругой среды:

при т = т\

-гииГ) = у) ); о)) = -р(г); о)р = 0;

при т = т2

( ) П)

0; и(р

0, I = ±1,

где у)) = д— и р(г) = —гр(тг)иФ — радиальная компонента вектора скорости дтг

частиц жидкости и акустическое давление во внешней среде в I - ой локальной системе координат.

Подставим в первое граничное условие выражения для — и и)). Воспользуемся теоремой сложения для волновых цилиндрических функций, которая позволяет волновую функцию Нп(ктг)егпр1, записанную в 1-й

р

п= —оо

локальной системе координат (I = 1 либо I = —1), выразить через волновые функции, но записанные уже в другой, (—1)-й системе координат. Теорема сложения [13] имеет вид

те

Нп(кп)вт^ = £ Ип^-т(2кй)Зт(кт-1)ег(п-т^^1-1+гт^-1, 2й>Т-1. (10)

m=—oo

Здесь через р\-\ обозначена полярная координата начала 0-\ (—1)-й локальной системы координат в 1-й локальной системе координат с началом в 0\. П 2 +1 При этом р1,-1 = -п.

Итак, используя выражения (1) - (4), (8) и (10), из первого граничного

условия для определения коэффициентов АП разложения (4) получаем следующую бесконечную систему уравнений:

те

АП + Е 1)А-) = Fnl) (п = 0, ±1, ±2,...; I = ±1), (11)

где

m=

(-l,l) _ J'n(kri) H (or,J\pi(m-n)(v-i,i-vo). anm — (kri) 1 -n\ i 1d)e ,

F (l) _ _ A in Jn (kri) eikdl sin <p0 _ i(¿ull,(rl)

n 0 НП (kri) кНП (kri)'

Здесь штрихи означают дифференцирование по аргументу функций.

Решение бесконечной системы линейных уравнений может быть найдено методом усечения [15]. При этом приближенные значения неизвестных

оП (l _ ±1) находятся с заданной точностью путем сопоставления последовательных решений конечных систем, получаемых из системы (11) ее усечением с различными возрастающими значениями порядка усечения N.

Для регуляризации системы (11) сделаем в ней замену неизвестных аП новыми неизвестными оПП), положив [13]

4° _ Jn(kri)o(n), l _ ±1. (12)

В результате система N-го порядка усечения будет иметь вид

N

оП + Е а{~т1)о{-1) _ ál) (n _0, ±1, ±2,...,N; l _ ±1), (13)

m= N

где а—'1) = ^(кп) а(-Ц) П = Р{1)/,]' (кгЛ

где апт — (кгх) апт , ¿п — Гп / "п\кТ 1) ■

Система (13) является системой (4Ы + 2) уравнений с (4Ы + 2) неизвест-

(+1) (-1) ными аП и аП .

Неизвестные аП можно найти лишь после определения поля смещений в

неоднородном слое.

Проведем преобразования, позволяющие понизить вдвое порядок системы (13) (при неизменном значении порядка усечения N) без усложнения вычислений матричных элементов и правых частей системы.

Учитывая, что ^>+1,-1 = 3п; = п, , получаем

Л-1,+1) = (_ 1)т-п ^(+1,-1) = а (14)

апт ~ V -V апт ~ апт■

Согласно (14) система (13) принимает вид

а(+1) + V а а-1) = ^

ап т аптат — /п )

т=-И

а( ) + £ (—1)т паптаат ) = /п ).

т=-И

Умножим второе уравнение последней системы на (—1)п и осуществим почленное сложение и вычитание уравнений полученной системы. В результате приходим к двум независимым системам линейных уравнений порядка ^ + 1):

N

У! |^ит + ( 1) апт\Хт — Хп; m=-N

(15)

N 4 У

У! К^пт ( 1) апт\ут — ^п m=-N

(п = 0, ±1, ±2,...,

с неизвестными

Хп — ап+ ) + ( 1) ап ); уп — ап+ ) ( 1) ап )

и правыми частями

Хп = /,(+1) + (—1)п /(-1); Уп = /(+1) — (—1)п /(-1),

где 5пт — символ Кронекера. Тогда

а(+1) = Хп+Уп; а(-1) = (—1)п Хп—Уп ■ (16)

В матричном виде системы (15) запишутся следующим образом: Бхх = Е (+1>-1) + ди(+1) + ди1-1);

Б, у = Е(+1,-1) + ди1+1) — ди1-1), где т

Бх = ($пт + ( — 1)тапт)^+1)х^ +1) ; Бу = ($пт — ( —1) аnm)(2N+1)х(2N+1) ;

т

х = (x-N,x-N+1, ■ ■ ■ ,Х0,Х1, ■ ■ ■ ,xN)т; У = (У-N ^-N+1, ■■■,У0,У1,■■ ■,УN)Т;

Е(+1,-1) = (E-N, E-N+l, ■ ■ ■, Ео, Е1, ■ ■ ■, EN) Е(+ ' ) = (Е—N, Е-N+1, ■ ■ ■ , Е0, Е1, ■ ■ ■ , ЕN)Т;

ди1+1) = (g-N (т1), ■ ■ ^дои^11^, ■ ■ ■ ,gN и1+г1)(т1))Т; ди1-1) = и1--м (тl), ■ ■ ■ ,gоu1-1)(тl), ■ ■ ■,gN и1-у1)(т1))Т;

Еп = еп+ ) + ( —1) еп ); Еп = еп+ ) — ( —1) еп );

епг) = — Аог" 1 ) егШ81пр0 (I = ±1);

Нп(кт1)

= ги д = ( 1)п

дп = — кнп(кп).1'п(кп); дп = (—1) дп (п = 0, ±1,..., ±N )■ Методом обратной матрицы найдем решения систем (17). Будем иметь

х = (Бх)-1(Е(+1'-1) + ди1+1) + ди1-1)) ; У = (Бу )-1 (Е (+1,-1) + ди1+1) — ди1-1))

или в координатной форме

N

Хп= ^ Ьпт Ет + дти1т1)(т1) + ( —1)тдти1т1)(т1) ;

ьп — / у ипт m=—N N

Уп = ^ ЬУпт Е т + дти1+т1(т1) — ( —1)тдти1т Ы

m=—N

где Ьх т и ьпт — элементы обратных матриц (Бх) 1 и (Бу) 1 соответственно. По формулам (16) с учетом (12) находим

) п / 'М г — (+1)

Аг^) = "2 (кт1) ^^ (ЬптЕт + 1ЬУптЕт) + (Ьпт + 1Ь%пт)дти1т (т1) +

m=—N

+ (ЬХпт — 1ЬУпт)( — 1)тдти1-т1)(т1)] (I = ±1). (18)

Теперь обратимся ко второму граничному условию. Из этого граничного условия, используя теорему сложения (10), получаем следующую бесконечную систему уравнений:

А(г) + в^А- = СЦ) (п = 0, ±1, ±2,...; I = ±1), (19)

т=

где

в(-1'1) = ^п(кп) н ( г1)рг(т-п)(<р-1!1-<р0); впт — н (кТ\) Пт-п\^ 11и)е ,

в" = —А«** Шё)) е'к"*Г° + мТ^ [(А(Т1) +2ц(Т1)) «£'(Т1)+ +^ «12 (Т1) +«!£)(Т1>].

Для регуляризации системы (19) сделаем в ней замену неизвестных а2 новыми неизвестными а2, положив [13]

АП) = МкТ^аЛ, I = ±1. (20)

Проводя преобразования системы (19), аналогичные преобразованиям системы (11), приходим к системе

N _

У! |^пт + ( 1) Рпт]Хт — Х п; т=—N

N _

Ху К^пт — ( —1) Рпт ]ут = 1п

(21)

m=-N

(п = 0, ±1, ±2,..., ±Ж)

с неизвестными

Х,п = ^ + ( —1) ап ); Уп = ап+ ) — ( —1) а

и правыми частями

_ Уу(+1) | / (Мл (—1).у _ УУ(+1) ( 1 ( — ^

п = ^п + ( —1) ип ; 1 п = ^п — ( —1) ип ,

где а = о(-1'+1) = / 1)т-по(+1,-1); -?(-М) = Зт(кп) Й(-Ц); ^(1) = 1де 1впт — нпт — V нпт нпт — Зп(кг1) впт ^п —

Г(1) ^п

■1п(кТ1)

При этом _ _ _ _

а(+1) = Хп + Уп ; а(~1) = (—1)п . (22)

В матричном виде система (21) запишется следующим образом: СхХ = Е (+1-1) + ди+У + ви[+1] + 1и2+1) + ди[-1У + 8и[-1) + Ц-1);

Суу = Е (+1'-1) + и+У + ви1+1) + ^^ — ди{-1)' — ви{-1) —

где т

Сх = ($пт + ( —1) вnm)(2N +1)x(2N +1) СУ = ($пт — ( —1) вnm)(2N+1)х^+1)

х _ (x-N^-N+1 ,...,хо Х1,. . ,xN )Т;

У _ (У-N^-N+1 ,...,Уо, У1,.. ,УN)Т;

-п1+1)' _ (-- (+1)' (+1) '(т1), . . , ^пN ) (т1))Т

зп^ _ (в- N (т1),... (+1 , воп10 (т1),. ••,вN пN (т1))Т;

Ьп2+1) _ (Ь- N n2+-1N ы^.. , ¿оп2+1 (т1),. ••,tN п^1 ) (т1))Т;

- (-1)' -Щ _ (-- N п1--1^ (т1)>... - (-1 -0п10 'Ы, ••,-NпШ] (т1))Т

- (-1) вЩ _ (в- NпЦ^(т1), . . . - (-1 , воп10 (т1),. ••,вN п— (т1))Т;

Ьп2-1) _ (г- N п2Д ы,... До4-1 (т1),. п—) (т1))Т;

-и

г\(т1)

г[Л(п) + 2^(г1)] _ 5 _ _

р\{т{)ш^{кт{) ' и р1(т1)ит1,1,п(кт1)''

_ пЛ(п) _

ги — " '

Р1(т1 )шт^и(кт1)'

-и _ ("1)и9и; 5и _ (-1)и5и Ьи _ (-1)иЬи

(п — 0, ±1,..., ). Решения систем (23) найдем методом обратной матрицы. Получаем

х _ (Сх)-1 (Е(+1'-1) + -п^1' + вп^1 + 1п2+1) + Яи1-1)' + +вп1-1) + ¿п2-1)) ;

у _ (Су)-1 (Е(+1'-1) + -п+у + вп^1 + — -п1-1)'—

или в координатной форме

N

хи ^ ^ Сит m=-N

-вп1 1) — Ьп 2 1)

Е + п п (+1)' + в п (+1) + / п (+1)+

Ет Т —тп1т Т втп1т \ Ьтп2т '

Е + Я п(+1)' + в п(+1) + г п(+1)-

Ет\ -тп1т Т втп1т \ Ьтп2т

+ ( —1)т-тп1т1)' + ( —1)твтп1т:) + ( —1)тЬтп2т1)_

N

у и ^У ^ с

m=-N

— ( —1) —тп1т ) — ( —1) втп1т ^ — ( —1) Ьтп2т ' , где сит и суат — элементы обратных матриц (Сх)-1 и (Су)-1 соответственно.

По формулам (20) и (22) находим

) п N _ _____ _ ,

Агп = "2 Лп(кт1)^ [(сптЕт + 1с_птЕт) + (спт + 1сг1т)^ти-^т (т1) +

m=—N

(спт + 1спт)вти1т ^(т0 + (спт + 1сг1т)^ти2т ^(т1) +

+ (спт 1спт)( 1) Цти1т ^ (т1 ) + (спт 1спт)( 1) вти1т^(т0 +

(-1),

+ (.СТпт — 1спт)( — 1)ттиЖ Ы] (I = ±1). (24)

Приравнивая правые части уравнений (18) и (24), получаем соотношение

N

Е

т=—N

Лп(кт1) (ь_ Е + 1Ь_ Е ) - (С_ Е + 1с_ Е )

'птЕт 1 1ЬптЕт) \сптЕт т 1сптЕт)

^п(ктг)

+

Лп (кт1)

,1п(ктх)

(спт + 1сп,т)Ути1т ^ (т1) +

Ьпт + 1ЬЬпт)9т (спт + 1спт)вт

(спт + 1сг1т)^ти2т ^(т0 т

и

1т1)(т1)—

(спт 1спт)( 1) Чти1т ) (Т1) + Л (кп) (Ьпт — 1Ьпт)9т — (спт — 1спт)вт

+( 1)

и

1~т1)(Т1) —

_(с_ —1с_ )(_1)т/ и(-1) \спт 1спт! V >~) ьти2т

= 0 (1 = ±1).

(25)

Теперь рассмотрим оставшиеся граничные условия. Из третьего граничного условия получаем

Т1и(Т1) + гпи^ (Т1) — и® (Т1) = 0 (1 = ±1). (26)

Подставляя выражения (8) в четвертое и пятое граничные условия, получаем следующие равенства:

и£ (Т2) = 0 (1 = ±1);

и£ (Т2) = 0 (1 = ±1).

(27)

(28)

Таким образом, для нахождения искомых функций иЩ(т)) и и2пп(т)) (1 = ± ±1) при п = 0, ±1, ±2,..., ±К следует найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9), удовлетворяющих краевым условиям (25) - (28).

Построенная краевая задача решается каким-либо численным или аналитическим методом. Затем по формулам (18) вычисляются коэффициенты А<п) (п = 0, ±1, ±2,..., ±М; 1 = ±1).

В результате на основании (3) и (4) получаем аналитическое описание

акустического поля, рассеянного цилиндрами

N

Ф* = £ £ A$Hn(kri).

l=±1 n=-N

Список литературы

1. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами //Акустический журнал. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

2. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле //Акустический журнал. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

5. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

6. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости //Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 61-70.

7. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

8. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

9. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

10. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

11. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

12. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

13. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

14. Новацкий В. Теория упругости. Т.2. М.: Мир, 1975. 872 с.

15. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

Толоконников Лев Алексеевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Логвинова Анна Леонидовна ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of a plane sound wave on two non-uniform cylinders

with rigid inserts

L.A. Tolokonnikov, A.L. Logvinova

Abstract. The analytical solution of a problem about diffraction of a plane sound wave on two non-uniform elastic cylinders with rigid inserts is received.

Keywords: diffraction, sound waves, non-uniform elastic cylinder.

Tolokonnikov Lev ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Logvinova Anna ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 17.12.2014