Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 76-83 Механика

УДК 539.3:534.26

Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими

границами *

Л. А. Толоконников

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное покрытие, плоский волновод.

Исследованию распространения звуковых волн в волноводах, содержащих упругие цилиндрические тела, посвящен ряд работ. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном изотропном упругом цилиндре в плоском слое жидкости с абсолютно мягкими границами изучена в [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [2]. В работах [3,4] найдены приближенные аналитические решения задач дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в плоских волноводах с акустически мягкими и жесткими стенками при произвольном расположении тела и произвольном распределении источников звука в волноводе. Дифракция звука на однородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами исследована в [5]. Дифракция звуковых волн на упругих цилиндрических телах с непрерывно-неоднородными покрытиями рассматривалась в работах [6,7]. Задача дифракции звуковых волн на сплошном упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами решена в [8].

В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

Полагаем, что в плоский волновод с абсолютно жесткими границами помещен бесконечный однородный изотропный упругий цилиндр радиуса Го, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными А0 и ц0. Ось цилиндра параллельна плоским границам волновода. Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен Т\. Плотность р и модули упругости А, ^ материала неоднородного покрытия являются функциями радиальной координаты. Волновод заполнен идеальной сжимаемой жидкостью. Ее плотность и скорость звука соответственно равны pi и с.

Систему прямоугольных координат x,y,z выберем так, чтобы ось x была направлена по нижней стенке волновода, ось y — перпендикулярно стенкам, ось z — параллельно оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости y = 0, верхняя — y = d, где d — ширина волновода. Положение оси цилиндра определяется уравнениями x = X0, y = Y0, —œ < z < œ. Введем цилиндрическую систему координат т, ф, z так, чтобы координатная ось z являлась осью вращения цилиндра.

В волноводе вдоль оси x распространяется гармоническая звуковая волна давления p0 с круговой частотой —, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенном на расстоянии X0 от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель в-гш* будем опускать.

Определим акустическое поле в волноводе, а также найдем поля смещений в однородном упругом цилиндре и неоднородном покрытии.

Рассматриваемая задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.

В области x > 0 давление первичного поля возмущений может быть представлено совокупностью распространяющихся в направлении оси x собственных волн волновода [1]

P0(x, y) = J2 Anélnx sin An y, (1)

n=0

где Yn = л/k2 — АП ; An = —j ; k = — — волновое число жидкости в волноводе; An — заданные амплитуды.

В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:

<х

imф

Р0(т,ф)= am Jm(kT)eim

m=—oo

œ ( A \

где am = imJ2 AneiYnXo sin ( AnY0 — m arcsinj ; Jm — цилиндрическая

k

n=0 k функция Бесселя порядка m.

Распространение малых возмущений в идеальной жидкости, заполняющей волновод, в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [9]

Ар + к2р = 0,

где р = ро + р3 — давление полного акустического поля в волноводе, р3 — давление рассеянного цилиндром акустического поля.

Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном цилиндре, в случае установившегося режима движения имеют вид [9]

АФ + к2Ф = 0, АФ + к2 Ф = 0, ё1уф = 0,

где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; к\ = и/с\ — волновое число продольных упругих волн; кт = и/ст — волновое число поперечных упругих волн; с = л/(А0 + 2^0)/р0 и ст = л/ц0/р0 — скорости продольных и поперечных волн соответственно.

При этом вектор смещения частиц упругого изотропного однородного цилиндра и(0) = gradФ + го1Ф.

Так как Ф = Ф(т,^)ег, где ех — единичный вектор координатной оси г, то от векторного уравнения относительно потенциала Ф приходим к одному скалярному уравнению относительно функции Ф(т, ф):

АФ + к2тФ = 0.

Распространение упругих волн в неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды, которые для установившегося режима движения имеют вид [10]

до„ , 1 , &тт т

--1---я +--= -и риг,

ОТ Т дф т

, 1 , 2 т

+---+ -^ = -Штри^,

от т дф т

где иг ,и<р — компоненты вектора смещения и в неоднородном слое в цилиндрической системе координат; а^ — компоненты тензора напряжений.

Используя обобщенный закон Гука [10], последнюю систему уравнений запишем через компоненты вектора смещения и [11]:

и) d2ur + Л + V d2uv + д2Ur + Л, + 2 , + dur +

дг2 r дгдф r2 дф2 \ r J дг

1 / . Л + 3и \ ди^ (Л Л + 2и 2 \

+ - [Л--^ +---^ + u = 0,

r \ r J дф \ r r2 )

д2uv Л + v д2ur Л + 2« д

I / V \ дuv

V дr2 r дrдф r2 дф2 v r) дr

1 ( , Л + 3и\ c)u,r ( и! V 2 \

++ ^^) — + (— - - + ^p)^ —

(2)

г V г ) дф V г г

Здесь и далее штрихами обозначено дифференцирование по аргументу.

При этом полагаем, что плотность материала неоднородного покрытия цилиндра р = р(г) описывается непрерывной функцией радиальной координаты г, а модули упругости Л = Л(г) и ц = ц(г) — дифференцируемыми функциями координаты г.

Искомые функции р3(г,ф), Ф(г, ф), Ф(г,ф),иг(г,ф),и^(г,ф), являющиеся решениями соответствующих дифференциальных уравнений, должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях неоднородного слоя.

Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости. Учитывая, что нормальная по отношению к границам волновода скорость частиц жид-1 др

кости уу = -—, получаем следующую запись граничных условий:

гр\ш ду

др(х,у) ду

° др(х,у)

= (3)

y=d

y=0 дУ

Граничные условия на внешней поверхности упругого покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения

r — r\ : —шщ — vr, orr — -р, arv — 0, (4)

1 др

где vr — -— — радиальная компонента вектора скорости частиц жид-

шр\ дr

кости.

На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения

r — r0 • ur — ur ) uty — u[p) Orr — &ГГ, — Ortp ' (5)

Кроме того, давление ps должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси x, а потенциалы Ф и Ф — условию ограниченности.

Граничные условия (4) и (5) запишем через компоненты вектора u и потенциалы Ф, Ф [8].

Давление рассеянного акустического поля ps будем искать в виде потенциала простого слоя:

p.s(x,y) = J vi(xo,yo)G(x,y\xo,yo)dlo, (6)

Lo

где vi(xo,yo) — неизвестная функция, описывающая распределение источников поля ps на внешней поверхности неоднородного покрытия; G(x,y\x0,y0) — функция Грина; L0 — окружность радиуса г1 с центром в точке (X0,Y0); dl0 = rld^0 — элемент контура интегрирования L0. Функция Грина является решением краевой задачи

AG + kjG = -S(x - x0)S(y - y0), (7)

д д

dyG(x, 0\x0,y0) = —G(x,d\x0,y0) = 0, (8)

lim - ikiG ) = 0, (9)

\ dr )

где r = \J(x — x0)2 + (y — y0)2 — расстояние между точкой наблюдения (x, y) и источником поля (x0,y0) на контуре L0; S — дельта-функция.

Краевые условия (8) для функции Грина вытекают из граничных условий (3) с учетом разложения (1). Условия (9) получаем из условий излучения на бесконечности для давления ps.

Решения задачи (7)—(9) получено в [4]. Функция Грина имеет вид

<х

G(x,y\x0,y0) = £ d(1+ S ) cos(Aray)cos(Aray0) eiYnlx-Xo1, (10)

n=0 d(1 + S0n)Yn

где S0n — символ Кронекера.

Вводя обозначение v(x0,y0) = rlvl(x0,y0) и переходя от декартовых координат x,y к полярным координатам r, ф, выражение (6) запишем в виде

2п

ps(r,<p)= v (ip0)G(r,ip\ri,(p0 )dp0- (11)

При этом функция плотности распределения источников V на внешней поверхности цилиндра зависит только от одной угловой координаты.

Благодаря представлению функции Грина в виде (10) функция р3, определенная формулой (11), удовлетворяет уравнению Гельмгольца, граничным условиям (3) и условиям излучения на бесконечности.

Таким образом, задача определения рассеянного поля р3 сводится к нахождению функции распределения источников V(фо), обеспечивающей выполнение граничных условий (4) и (5) на поверхностях неоднородного цилиндрического слоя.

Потенциалы Ф и Ф в однородной части тела, удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца, с учетом условия ограниченности будем искать в виде:

Ф(г,ф) = £ ВтЗт^гУ™*, (12)

т=-те те

Ф(г,ф)=£ СтЫКт)егт*. (13)

т-те

Вектор смещения и в неоднородном слое является периодической функцией ф с периодом 2^. Поэтому функции иг(г, ф) и и^(т, ф), удовлетворяющие системе уравнений (2), представим рядами Фурье:

те те

Пг (Г,ф)= £ ЩтМе^, П1р(т,ф)= П2т(т)вгт^. (14)

т=-те т=-те

Подставляя выражения (14) в уравнения (2), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций п1т(г) и и2т(г) для каждого т (т = 0, ±1, ±2,...):

Атит + Втит + Стит =

0, (15)

где Ит = (П1т(г),П2т(г))Т; А m, Bm, Ст матрицы второго порядка [8].

Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье:

те

V(Ф)= £ Ьтегт*. (16)

т= -те

Коэффициенты Вт, Ст, Ьт разложений (12), (13), (16) и четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (15) подлежат определению из семи граничных условий (4) и (5).

Из граничных условий находим коэффициенты Вт

и Ст, выраженные

через величины п1т(г0) и и2т(г0), и бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ьт, правые части которых выражены через величины и1т(г1) [8]:

Вт = [кг гот (кг Го)и1т(Го) + %тЗт(кг Го)П2т(Го)]го/Д, (17)

Ст = \%тЗт(к\го)п1т(го) - кгго3'т(к1То)п2т(го)]го/Д, (18)

те

^ аптЬп = 1т (т = 0, ±1, ±2,...). (19)

п=-те

Здесь

А — kikT rl.J'm (ki ro )J'm (kT ro) — m2Jm(hro )Jm(kT ro),

2n 2n

ri 2n2

о 0

anm — 5nm — -V M (ф,ф0

ri д fm —--[u2piuim(ri) — amkJ'm(kri)] ; M(ф, фо) — д-0^, v\ri,Po) •

П <^r r=r\

Кроме того, из граничных условий находим краевые условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (15) [8].

После решения каким-либо аналитическим или численным методом построенной краевой задачи по формулам (17) и (18) вычисляются коэффициенты Bm и Cm, а бесконечная система (19) решается методом усечения [12].

В результате получаем аналитические описания волновых полей в волноводе, в однородном цилиндре и его неоднородном покрытии.

Список литературы

1. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов, С.М. Горский, А.Ю. Зиновьев, А.И. Хилько // Акуст. журн. 1994. Т.40. Вып. 4. С. 548-560.

2. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12. Вып. 5. С. 208-216.

3. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161-176.

4. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 1-2. С. 3-10.

5. Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163.

6. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

7. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192.

8. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами //

Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 43-53.

9. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

10. Новацкий В. Теория упругости. Т.2. М.: Мир, 1975. 872 с.

11. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

12. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

Толоконников Лев Алексеевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with a non-uniform coating in a plane waveguide with absolutely rigid boundaries

L. A. Tolokonnikov

Abstract. The analytical solution of the problem of the diffraction of sound waves by an elastic cylinder with a non-uniform coating in a plane waveguide with absolutely rigid boundaries is obtained.

Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, non-uniform coating, plane waveguide.

Tolokonnikov Lev ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 18.01.2015