CC BY
11
странством через слои вязкоупругого покрытия // Системы. Методы. Технологии. 2011. №2(10). С. 10-14.
16. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Контактирование жесткоИ шероховатой поверхности с через слои упругопластического покрытия // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3. С. 42-45.
17. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Развитие инженерных расчетов характеристик контакта жесткоИ сферы с упругопластиче-
ским полупространством // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1(33). С.80-87.
18. Турченко А. В. Особенности расчета характеристик контакта жесткой сферы с упругопла-стическим полупространством // Тр. Братск. гос. ун-та. Сер.: Естественные и инженерные науки - развитию регионов Сибири. 2012. № 1.С. 176183.
19. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М. : Мир, 1989. 510 с.
УДК 621.81 +539.4.013 Федотов Павел Константинович,
к. т. н, доцент ИрГТУ, тел. 89149278978 Пыхалов Анатолий Александрович,
д. т. н., профессор ИрГУПС, тел. 89641145025
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И НАГРУЗКИ В АНАЛИЗЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОРОДЫ В ПРОЦЕССЕ ЕЁ ДРОБЛЕНИЯ МЕЖДУ ВАЛКАМИ В РОЛЛЕР-ПРЕССЕ
P.K. Fedotov, A.A.Pykhalov
NUMERICAL SIMULATION OF BOUNDARY CONDITIONS AND LOAD IN ANALYSIS OF A BREED'S STRESS-STRAIN WHEN SPLITTING IT BETWEEN ROLLERS IN ROLLER PRESS
Аннотация. Работа посвящена решению задачи анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) горной породы в технологическом процессе ее дробления в валках под давлением. Математическое моделирование проводится на основе метода конечных элементов (МКЭ) с применением в модели внешней нагрузки специального типа конечного элемента большой жесткости (жесткого элемента).
Ключевые слова: горная порода, напряженно-деформированное состояние, метод конечных элементов, жесткий элемент.
Abstract. The work is dedicated to the task of analyzing the stress-strain state (SSS) of the rock in the process of its crushing with rollers under pressure. Mathematical modeling is based on the finite element method (FEM) using the model of the external load of a high rigidity finite element (rigid element).
Keywords: rock, stress-strain state, finite element method, rigid element.
Одним из эффективных способов разрушения горных пород с целью извлечения полезных ископаемых является использование валковых мельниц (роллер-прессов). Технологически это
весьма сложный и энергоемкий физический процесс. Фактически, от оптимизации его параметров зависит рентабельность добычи полезного ископаемого.
К настоящему времени накоплен значительный материал по экспериментальному изучению физики разрушения горных пород [1]. Вместе с тем решение проблемы его интерпретации с целью дальнейшего совершенствовании технологических аспектов процесса дробления породы остается актуальным. В этих условиях для реализации представленной задачи необходимо изучение напряженно-деформированного состояния (НДС) породы и, соответственно, определение условий её разрушения. Успешность этого изучения во многом зависит от развития процесса интеграции имеющегося экспериментального материала с компьютерным моделированием, построенным на современных подходах численного решения физической задачи и, в частности, наиболее эффективного из них - метода конечных элементов (МКЭ).
МКЭ хорошо зарекомендовал себя при изучении деформируемых механических систем. Его применение здесь можно сравнить с тестированием изделия. Процесс проектирования и доводки
его в этом случае проводится без создания ряда промежуточных физических прототипов. Однако применение МКЭ в анализе процессов механики горных пород изучено достаточно мало, и это научное направление имеет актуальность и практическую значимость [2].
В работе [3] представлено одно из решений МКЭ для определения НДС горной породы в слое, расположенном в области I (рис. 1) между валками цилиндрической формы под давлением. Решение получено для фрагмента слоя (рис. 2). Его конечно-элементная (КЭ) модель (рис. 3) построена с применением КЭ объёмного напряженно-деформированного состояния, где толщина фрагмента (в направлении оси Т) равна 1 мм. Свойства материалов, используемых в модели, также представлены в работе [3].
Рис. 1. Схема силового воздействия в технологическом процессе дробления горной породы в валках под давлением
Рис. 2. Схема слоя и анализируемый в нем фрагмент дробления породы
Рис. 3. КЭ-модель фрагмента слоя разрушаемой породы в технологическом процессе ее дробления в валках под давлением
Одной из особенностей решения задачи МКЭ для рассматриваемого объекта является задание здесь граничных условий и нагрузки, определяемых в глобальной системе алгебраических уравнений
[к ]{5}={ ^ }, (1)
где [ К ] - глобальная матрица жесткости деформируемой системы, {3 } - вектор-столбец неизвестных перемещений, {Е } - вектор-столбец известных сил.
Проблема заключается в том, что узлы КЭ-модели фрагмента, расположенные по его границе, имеют различные и нерегулярно изменяющиеся параметры жесткости, что определяется спецификой физических свойств рассматриваемой деформируемой системы (среды). Поэтому прямое задание нагрузки в векторе {Е }, то есть приложение её к узлам боковой поверхности фрагмента слоя, приведет к искажению формы модели, что, соответственно, противоречит физике процесса.
Для решения представленной проблемы используется известный математической принцип [4] модификации глобальной системы уравнений (1). В этом случае вектор нагрузки определяется через некоторую задаваемую величину перемещения всех узлов нагружаемой (граничной) поверхности. Для этого модификация системы (1), например, для первой степени свободы проводится ниже следующим образом. Первый член столбца неизвестных перемещений {3 } определяется (задается) некоторым значением 31 = а . Далее вектор столбец нагрузки видоизменяется таким образом [4], что
Е1 =а где г = 2, N.
Е, = Е - киа, (2)
и
Кроме того, диагональный член матрицы [ К ] становится единичным, а соответствующие ему строка и столбец нулевыми. Таким же образом задается перемещение для узлов (степеней свободы) всей области приложения нагрузки.
Когда необходимо иметь по данной степени свободы нулевое перемещение (защемление), тогда имеем
¥ 1 = X = 0. (3)
Нулевые граничные условия для рассматриваемой КЭ-модели фрагмента (рис. 3) определяются во всех узлах верхней и нижней его границы, где равны нулю перемещения в направлении оси У. Также равны нулю перемещения в направлении оси X на левой боковой стороне фрагмента. Дополнительно нулевые граничные условия в модели используются на поверхностях ортогональных осей валков для выделения симметричной части деформируемого фрагмента в направлении оси Z , толщина модели слоя 1 мм [3].
Ненулевые граничные условия, представляющие собой нагрузку, определяются в узлах правой боковой границы модели слоя, где перемещения в направлении оси X (рис. 3) задаются некоторой величиной, например порядка X = 2 мм.
Этот способ задания нагрузки на фрагмент слоя можно условно определить как деформирование породы «без модели валков». Он дает вполне адекватные по качественной и количественной характеристике результаты (рис. 4) [3]. Однако его применение ограничено по ряду обстоятельств, главным из которых является то обстоятельство, что по технологии дробления породы в валковых мельницах не всегда известна величина представленного перемещения, определяющего нагрузку, тогда как всегда известны (рис. 5)
сила ¥ и момент Мкр , приложенные к валкам.
Как показано выше, прямое приложение
этих силовых факторов в виде распределенной нагрузки на границах модели деформируемого слоя приведет к его искажению. Кроме того, ¥ и Мкр могут варьироваться в технологическом процессе вне зависимости друг от друга, то есть определение величины и направления векторов их распределенной по поверхности слоя нагрузки (рис. 5) также затруднено.
Рис. 5
В рассматриваемой работе для решения представленной проблемы предлагается способ (подход), который условно можно назвать «с моделированием валков». Он основан на использовании специального типа жесткого (rigid) конечного элемента (рис. 6). Его допустимо сравнить с невесомым стержнем с большой жесткостью (на 1 -2 порядка большей по сравнению с исследуемой породой). Эта жесткость задается по определенной степени свободы, при этом матрица жесткости стержня для неё имеет вид
[ K 'Т ] =
k 0
0 0
0 - k 0
00 - k 0
0 0
00 00 0k 00 00
0 0 0 0 0 0
(4)
Рис. 6
Процедура получения матрицы жесткости стержня рассмотрена в работе [4]. Формула (4) демонстрирует ее конечное выражение, где к -коэффициент большой жесткости. Применение представленного типа конечного элемента достигается суммированием [ K' }к^ с глобальной матрицей жесткости по данной степени свободы в узлах.
Представленный способ позволяет объединять (не сшивая) несколько узлов. При этом в самом конечном элементе должен быть указан один узел, принимаемый в качестве независимого. Иными словами, этот узел может совершать независимые (задаваемые) перемещения, либо к нему может быть приложена задаваемая нагрузка.
Термин «жесткий элемент» (rigid) следует понимать не в буквальном смысле, а по отношению к связываемым степеням свободы. Эти жесткие связи и используются для создания недефор-мируемых участков границ, передачи через них нагрузки на отдельные части рассматриваемой деформируемой области, а также для сопряжения конечных элементов различных типов [4].
На рис. 7 представлена схема применения конечного элемента типа rigid, который используется в данном случае для моделирования силового
воздействия со стороны правого валка на КЭ-модель слоя породы. Связь между независимым и зависимыми узлами в этом случае осуществляется по трем степеням свободы: ТХ, TY и Т2. В качестве независимого взят узел на опоре. Приложение к нему нагрузки в виде Мкр и Росев позволяет моделировать силовое воздействие на ось валка. Зависимые узлы расположены по его наружному (рабочему) контуру.
Жесткий элемент, моделирующий второй (левый, рис. 1) валок, полностью идентичен предыдущему, отличие состоит только в том, что жесткая связь между независимым и зависимыми узлами осуществляется только по двум степеням свободы: TY и Т2. Такой подход позволяет моделировать силовое воздействие на ось валка только в виде МКр.
На рис. 8 представлена полная КЭ-модель процесса дробления горной породы в валках под давлением. Определение величин F и Мкр представлено в работе [2]. Сила F является определяющим силовым фактором, составляющим 60-70 % энергоемкости, необходимой для обеспечения технологического процесса дробления породы в валках под давлением.
Дополнительно, для рассматриваемой КЭ-модели (рис. 8) используются нулевые граничные условия. Они определяются по вышепредставлен-ному математическому принципу во всех узлах верхней и нижней границы модели, где равны нулю перемещения в направлении оси У. Также в модели используются граничные условия выделения в модели симметричной части деформируемого слоя породы, где равны нулю перемещения узлов в направлении оси Z , на поверхностях толщины модели слоя в 1 мм [3].
Рис. 7
Элементы объемного НДС
Рис. 8. КЭ-модель с граничными условиями и условиями нагружения для решения задачи анализа НДС породы в процессе её дробления в роллер-прессе
На рис. 9 представлена сетка КЭ-модели слоя породы [2].
Рис. 9. Конечноэлементная сетка модели слоя породы, расположенного между валками
Форма разрушаемых объемов взята в виде куба. Это упрощение принципиального значения для МКЭ и рассматриваемого физического процесса не имеет, однако для интерпретации результатов дает существенные преимущества, в частности при анализе силового воздействия и энергоемкости деформирования вокруг отдельно взятого объема породы. Сетка конечных элементов рассматриваемой модели построена с применением двух типов [4] конечных элементов изопараметри-ческого гексаэдра, который используется для моделирования разрушаемых объемов породы, и призматического, с треугольным основанием, конечного элемента, используемого для моделирования пространства между разрушаемыми объемами. Сетка конечных элементов каждого из представленных объёмов породы построена на основе анализа точности и сходимости результатов численного решения МКЭ. Сетка КЭ, моделирующая пространство между объемами в модели, адаптировалась относительно сеток КЭ разрушаемых объемов. Материал объемов породы соответствует породе «диабаз» [1]. Материал пространства между объемами - песок с прочностными характеристиками на порядок меньшими, чем характеристики объемов породы.
На рис. 10 и 11 представлена визуализация результатов анализа в виде картин касательных
(сдвиговых) напряжений (рис. 10) и нормальных напряжений вдоль оси X (рис. 11) в исследуемом слое породы в валках под давлением. На рисунках показана картина напряжений как в слое породы в целом, так и во фрагменте его нижней части.
Рис. 10. Величина сдвиговых напряжений
Рис. 11. Величина сжимающих напряжений вдоль оси X
На рис. 12 представлена диаграмма изменения величин напряжений вдоль кромки валка по высоте деформируемого слоя, где штриховыми линиями показаны зона разброса всплесков напряжений в местах их концентрации в узлах КЭ-модели, принадлежащих валку и объемам породы. Если провести между штриховыми линиями срединную линию для каждого из напряжений, то можно увидеть следующую картину: средний уровень напряжений не достигает предела прочности (Ттах =150 МПа, ах = 300 МПа), в то время как в зонах концентрации этот уровень достигается примерно на одной трети высоты слоя дробления.
На рис. 13 по результатам расчетов НДС представлена картина распределения удельной потенциальной энергии деформации в слое породы. Эти результаты хорошо согласуются с данными натурного процесса дробления [2]. Среднее значение величины удельной потенциальной энергии деформации при разрушении здесь находится в пределах 0,15-0,2 Дж/мм3 [1]. Этот диапазон ле-
жит примерно на том же уровне по высоте слоя дробления, что и появление предельных сдвиговых напряжений, то есть момента начала активного разрушения объёмов породы.
Таким образом, представленный способ моделирования на основе МКЭ с применением в модели внешней нагрузки специального типа конечного элемента большой жесткости (жесткого элемента) показывает качественную и количественную картину процесса дробления породы в валках под давлением (роллер-прессе), и эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, приведенными в работе [1].
Практическая значимость представленной работы заключается в теоретическом обосновании возможности оценки параметров технологического процесса разрушения горной породы, например в рассмотренном нагружающем комплексе, с точки зрения его оптимизации по силовым и другим параметрам, а следовательно, предварительной
теоретической оценки себестоимости его использования при извлечении полезных ископаемых.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ставрогин А. Н., Тарасов Б. Г. Экспериментальная физика и механика горных пород. -СПб. : Наука, 2001. 342 с.
2. Федотов П. К. Разрушение руды в роллер-пресе. М. : ООО Геоинформмарк, 2006. 128 с.
3. Федотов П. К., Пыхалов А. А. Численное моделирование процесса дробления породы в слое между прокатными валками под давлением // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. №3 (35). С. 21-26.
4. Зенкевич О. С. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир. 1975. 542 с.
