Численное моделирование флуктуации параметров луча в ионосфере с регулярными и статистическими неоднородностями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Всероссийская открытая научная конференция «Современные проблемы дистанционного зондирования, радиолокации, распространения и дифракции волн» - Муром 2023

УДК: 537.87 DOI: 10.24412/2304-0297-2023-1-30-40

Численное моделирование флуктуации параметров луча в ионосфере с регулярными и статистическими неоднородностями

Д. С. Лукин

Российский новый университет

105005, г. Москва, ул. Радио, 22.

E-mail: luknet1@yandex. ru

Рассчитываются флуктуации параметров луча в ионосфере. Численный расчет основывается на известном соответствии между аппаратом стохастических дифференциальных уравнений и уравнением Эйнштейна-Фоккера. Непосредственное интегрирование уравнений луча методом бихарактеристик в предположении о марковости процесса позволяет найти моменты второго порядка и функцию распределения случайных отклонений параметров луча от среднего значения

Ключевые слова: флуктуации, луч, бихарактеристики, статистические моменты, ионосфера

Numerical simulation of ray parameter fluctuations in a medium with regular and statistical inhomogeneities

D.S. Lukin

Russian New University.

The fluctuations of the ray parameters in the ionosphere are calculated. The numerical calculation is based on the well-known correspondence between the apparatus of stochastic differential equations and the Einstein-Fokker equation. Direct integration of the ray equations by the bicharacteristics method under the assumption that the process is Markovian allows us to find the second-order moments and the distribution function of random deviations of the ray parameters from the mean value.

Keywords: fluctuations, ray, bi-characteristics, statistical moments, ionosphere

Введение

Лучевое приближение является одним из основных и наиболее эффективных методов исследования распространения и рассеяния радиоволн в неоднородных средах. Решение многих задач по моделированию характеристик волны в земной ионосфере с учетом случайных неоднородностей, в том числе и расчет флуктуации направления распространения волны в статистически-неоднородной среде, целиком базируется на численном решении бихарактеристической системы [1,2]. Идея этого метода заключается в замене реального случайного процесса рассеяния лучей на неоднородных образованиях среды процессом марковского типа и применении эффективного математического аппарата теории марковских процессов.

Известны два различных подхода к описанию процесса рассеяния в марковском приближении. Один из них опирается на аналогию с хорошо известной статистической схемой, описывающей движение броуновской частицы - уравнение Эйнштейна-Фоккера [3]. Этот подход был предложен в монографии Л.А. Чернова [4] и дальнейшее развитие по лучил в работах С.М. Рытова [5,6], В.Д. Гусева [7,8] для среды в среднем однородной, а также в работах Н.Г. Денисова [9-13], В.М. Комиссарова [14-15], В.Д. Гусева и С.М. Голынского [16-18] для неоднородной в среднем среды. При таком

подходе до конца не определенными остаются условия применимости уравнения Эйнштейна-Фоккера.

Второй подход, развитый В.И. Татарским и В.И. Кляцкиным, является математически более строгим. Переход к марковскому процессу базируется на следующих предположениях [19-24]:

• флуктуации диэлектрической проницаемости среды являются гауссовым однородным и изотропным случайным полем со средним значением, равным нулю;

• компоненты корреляционного тензора, описывающего статистические характеристики флуктуации диэлектрической проницаемости, дельта-коррелированы вдоль направления распространения волны. В этом случае показано, что в приближении малоугловых флуктуации уравнение Эйнштейна-Фоккера является логическим следствием лучевых уравнений [ 19-24].

Круг вопросов, решаемых лучевым методом необычайно широк. В данной работе мы сосредоточим внимание на учете совместного влияния регулярных и статистических неоднородностей на флуктуации параметров электромагнитных волн. Предлагается свести решение ряда задач для широкого класса параметров неоднородной среды к единому численному методу, аналогичному методу характеристик, который бы позволил наряду с численным расчетом регулярного изменения фазы и напряжённости поля на характеристиках (вдоль лучей) определять и статистические параметры волны, не вводя существенных изменений в методику численного расчета.

Для случая плоскослоистой среды учет совместного влияния регулярных и случайных неоднородностей на параметры луча проводился в работах [9-16]. Однако решение ряда задач, таких как учет влияния рефракции в атмосферах Земли, планет и солнечной короне на статистические характеристики излучения космических радиоисточников, расчет флуктуации доплеровского сдвига частоты коротких радиоволн в сферически-слоистой и регулярно-неоднородной ионосфере, требует обобщения результатов на случай трехмерно-неоднородной среды.

В данной работе рассчитываются флуктуации параметров луча в ионосфере, средние характеристики которой зависят от двух координат. Численный расчет флуктуации основывается на известном соответствии между аппаратом стохастических дифференциальных уравнений и уравнением Эйнштейна-Фоккера. Непосредственное интегрирование уравнений луча в предположении о марковости процесса позволяет найти моменты второго порядка и функцию распределения случайных отклонений параметров луча от среднего значения.

Флуктуации угла прихода

Пренебрегая влиянием магнитного поля Земли, бихарактеристическую систему уравнений для лучевой траектории можно представить в виде [ 1 ]:

,1г ^ (¡[пЁ]

аа аа

Здесь г - радиус-вектор, определяющий траекторию луча, а - путь вдоль луча, Л -единичный вектор касательный лучу, п - показатель преломления [4].

Пусть п = + , где - регулярное значение показателя преломления,

//(г) - случайные отклонения, причем |//(г)| « п{Т"}. Предположим, что траектория луча мало отличается от своего среднего значения

Я = г=г0+г1. (2)

Отклонения ^ и гх того же порядка малости, что и /./. Подставляя (2) в (1) и собирая члены одного порядка малости, получим две системы уравнений

^ _ о А _ /„ о -О , к гл,

ао ао ао / ао

где //0 ^ =

о 'Ч'оУ' 1 7 по ■

П ао /

Система уравнений (3) определяет траекторию луча в среде при отсутствии

случайных неоднородностей. Решив её и подставив значения г0 (о) и (<т) в (4),

получим:

(5)

а о а о

где

Рассмотрим стохастическую задачу, определяемую системой дифференциальных стохастических уравнений (5) без последнего слагаемого в правой части второго уравнения системы. При учете этого члена процесс, определяемый системой (5), не является марковским, но как показано в [14], при достаточно плавной зависимости средних параметров среды от координат можно пренебречь значением этого члена в системе по сравнению с воздействием «случайной силы» /(с). Если мы хотим ограничиться марковским процессом, необходимо сделать предположение о том, что

а

/(сг) - дельта-коррелированный случайный процесс. Тогда импульс Р(о~) = |/(7)бЙ

0

будет случайным процессом с независимыми приращениями. Допущение независимости приращений справедливо при условии, что весь путь о можно разбить на малые по сравнению с о интервалы Ао такие, что на пути Ао луч испытывает много некоррелированных случайных поворотов: Ао >> I, где I - масштаб случайной неоднородности. В то же время, отрезки Ао должны быть достаточно малы и по сравнению с расстоянием на которых луч существенно искривляется: Ао >> I, где I -

масштаб регулярной неоднородности.

Решение второго уравнения системы (5) можно записать по компонентам в виде:

о

^ = (?,)а=0 '1<о)+ еа(о)\Р(и)(и)аи, (7)

0

о

где а (о) = | Q (/) Л .

0

Подставляя значения Q и P из (6) в (7) и считая для определённости, что начальное отклонение от среднего равно нулю, получим

1 а

5, = - \ /, (и) аи . (8)

П0 0

Из (8) легко найти моменты второго порядка для отклонений луча от среднего направления

1 а а

(БаБК1) = -Ц(и (и)/к (и1))аиаи. (9)

П0 0 0

В силу предположения о дельта-коррелированной случайной силе имеем

{/, (п)/к (и1 )) = С1К (и)5(и-п) . (10)

Подставляя (10) в (9), получим

1 а

(¿Ал) = — |СК (П)аП . (11)

П0 0

Таким образом, определение моментов второго порядка угловых отклонений сводится к нахождению коэффициентов С , которые можно найти, проинтегрировав (10)

К Ъ (и )/к (и') = С К (и ). (12)

—да

Учитывая (6), уравнение (12) можно переписать в виде

3 3/ л 3 й

I К

3 й

({мом0>) $0)+ й ± ((мом0>) $ о 5К о |йи1.

(13)

В силу того, что функция корреляции заметно отлична от нуля на

расстояниях порядка масштаба случайной неоднородности, искривлением луча на этом расстоянии можно пренебречь и проводить интегрирование при постоянном значении

, то есть вдоль прямой. Вводя коэффициент корреляции и относительные координаты х, - х\ = х*;

п — П =и , получим

Ск = №) | Я3*Яг* 8к0

з аы а2 N1 *

50 ~ут + 5ю¿к0~7"г гаи ■ 3хк„ аи аи I

з2 N „ 3 аы _

(14)

* * к 0*

3х*3х* 3х* аи

I К I

Запишем уравнение прямой в относительных координатах

х* = 50и ^ х*2 = и 2 ^ (15)

Будем считать, что среда статистически изотропна: N = N (и*) . Опуская индекс (*) у относительных координат, имеем

дх и ёи '

д2N дх 1 ёЫ хгхк ёЫ хгхк ё2N

дх дхк дхк и ёи и ёи и ёи

Учитывая (5) и (6), для первых трёх членов под интегралом получим:

д2N е ё2Ж {31К — Б г 0^0) ёЫ

— Бпдгп Г^Г" н

- - ЛО^К 0 У 2 1

дх дхг ёи и ёи

■ К

д ёЫ_ д ёЫ ё2 N

(17)

К 0 0 0 К 0 2

дх.

0 0 К 0 2

дх ёи дх^ ёи ёи

здесь ¿х — —■— символ Кроннекера.

дхК

Подставляя выражения (17) в (14), получим:

С'К — (¿к —Б'оБко) |1 ёNëu (18)

—ад

или

С'К — 2 (¿к — ЗДто )• В, (19)

где D - коэффициент диффузии

В — -и\11 ^ёи. (20)

х ' I и ёи

Подставляя найденные значения коэффициентов Сх в формулу для моментов второго порядка (11), получим:

(БкБкд — -2 ¡(¿.к — Б0Бк0)В ёа. (21)

по о

Отклонения £ —подчинены нормальному закону распределения, функция распределения IV (Д, сг) стандартно выражается через найденные моменты второго

порядка (21). Переходя в пространстве ^ к сферическим координатам, легко получить угловое распределение Ж(вх, ф, а).

Представляет интерес найти значение среднего квадрата угла отклонения луча от регулярного направления. При малых углах квадрат угла отклонения от регулярного

направления определяется квадратом перпендикулярной к Л'(1 составляющей

= 1 имеем

(22)

вектора ^ . Учитывая, что Откуда

И = (^2)-((ЗД)2}- (23)

Используя (21), найдём и П )

а 3

\ 1=1 / "0 0 ,=1 П0 0

ч 2 *

(¿05:) ) = 5,05,

2 3 3 а

5к0\($,к - 505к0)Б аа

10 1 =1 К =1

(25)

2

п

0

3 3

|Б 5к0|5,05К0Б аа

_ 0 1 =1 К =1 0 _

Подставляя (24) и (25) в (23) для среднего квадрата угла отклонения от регулярного направления распространения получим формулу

е2) =

2

п

3 2

|Б аа + ХЁ5105К01505К0Б аа

1=1 К=1

(26)

Значения компонент средней скорости £г0 (а) и (а), как отмечалось выше,

определяется из численного интегрирования бихарактеристической системы уравнений для регулярного луча.

В отсутствии регулярной рефракции, когда среднее направление луча не меняется,

вынося произведение 5Ю5К0 из-под интеграла и учитывая, что = 1, для среднего

квадрата угла отклонения получим известную формулу [4]

/ 2\ 4Б (е ) = —а.

(27)

В случае нормального падения на неоднородный слой = (0,0,5^) причем

4

80г = 1 , имеем

е2 =

(г) о

| БЖ.

(28)

Формула (28) с учетом различия в коэффициенте диффузии, совпадает с

полученной в работе [9]. Вдоль лучевой траектории бихарактеристической системы

средний квадрат угла отклонения луча от регулярного направления в трёхмерном

случае можно записать в виде

2с I' 3 3 ( 1

(е2^ = — \ |Бпа& + ^^со8ф со^ф х|Б■п0 соэф соБф • а Г, (28')

"0 [ 0 ,=1 } =1 0 I

где фу - углы направляющих косинусов луча, с - скорость света, а t - групповое время распространения сигнала.

В двумерном случае полная система уравнений для численного расчета (е2^ в ионосфере имеет вид:

^ = cn0 (r,e) cos^,

de cn0 (r,e) . ^

— =---- sin ф,

dt r

dф c d( n0 r) c d( n0 r) .

-ф = — -Шcos ф---ш sin ф, (29)

dt r de r dr

f t t

c

^ = 2 r ,

L о

J 3D ■ n0dt + cos 2 (ф + e)JDn0 cos2 (ф + e) dt

t

+ sin 2{ф + e) JDn0 sin 2 (ф + e)dt

о

Численное интегрирование бихарактеристической системы позволяет получить зависимость среднего квадрата угла отклонения луча для любой глобально

неоднородной модели ионосферы.

На рис. 1, в качестве примера, приведены графики зависимости среднего квадрата угла отклонения луча от высоты для различных углов выхода ф0. Модельный расчет

проводился для сферически-слоистой модели ионосферы с бипараболической зависимостью электронной концентрации от высоты при следующих параметрах однослоевой модели: = 300км (высота максимума слоя), /0//раб = 0,3, D = const.

Средний квадрат смещения луча

Проинтегрировав второе уравнение системы (5), мы определили угловые отклонения луча от регулярного направления. Интегрируя первое уравнение этой системы, можно найти пространственные отклонения

Ъ = J S„da. (30)

о

Компоненты вектора S1 определяются формулой (18), тогда

о ^ u

rn =J—р:J f (t)dtdu . (31)

0 n0 (u ) 0

Интегрируя по частям, получим

dt О U dt

Г, = J f(u)du ■ J—ъ - JJ-(-) f(u)du = 0 0 n0() 0 0 n0 ( )

(32)

о

= {[ф)-L(u )]f (u )du,

где L (u) = J—— - групповой пусть в плазме.

о no (t)

0

Ь, км ' 500

400

300

200 100

10°

60° 70°

80°

Фо=0 ° И

III///

ш/ ^______

/¡И 90°

...........

км

0 5000 10000 15000

Рис. 1. Зависимость среднего квадрата угла отклонения луча от высоты для различных

углов выхода луча из точечного источника

Для моментов второго порядка имеем

(ГЛ1> = Я[1 М)-1 (и)][1 М)-1 Ю](/ (п)/ (и'))йпйп'.

0 0

Учитывая (10) и интегрируя один раз, получим

а

(№1) = 1 (а)-1 (п)]2 ск (п)ёп.

(33)

(34)

Коэффициенты определяются по формуле (19).

Найдём средний квадрат полного смещения луча

РР = (Iг?) = 4|[1 (а)-1 (п)]2 О йп . (35)

Для случая плоскослоистой среды аналогичный результат был получен в [15]. Для горизонтально-неоднородной ионосферы с учетом её сферичности из (35) получим зависимость среднего квадрата полного смещения луча вдоль групповой траектории, определяемой при численном решении системы (29) в виде:

{г г г Л

г21 Щй - ?г | Бгп0йг +1 Ог\йг \ (35')

0 0 0 ]

Графики зависимости среднего квадрата смещения луча от высоты для различных углов выхода ф0 и сферически-слоистой модели ионосферы приведены на рис. 2. Параметры модели ионосферы те же, что и на рис. 1.

0

Ь, км

500

400

300

200

100

0

10° 70° 80°

Фо=0° !////; / / /

J У// / /

90°

у \

¡л III: _............- Х

Б

КТ'.клГ

Ю"5 10" Ю"3 Ю"2 10"1 1 Ю

Рис. 2. Зависимость среднего квадрата смещения луча от высоты для различных углов

выхода

Область применимости полученных результатов ограничивается условиями применимости геометрической оптики для расчета статистических характеристик поля при учете регулярной рефракции [19]

Л<<I; ЛЬ <<12, (36)

где Л - длина волны, I - масштаб случайной неоднородности, Ь - групповой путь луча в плазме. Кроме этого, предположение о марковости процесса распространения луча влечёт за собой требование плавности изменения средних характеристик среды

I << ¡1, (37)

где 11 =

п

IV.

п

- характерный масштаб изменения регулярной неоднородности.

Выводы

В заключении ещё раз отметим, что средние характеристики луча ¿'„(с) и Л(<т),

входящие в выражения (21), (26), (34), (35) определяются из системы уравнения для регулярного луча (29). Таким образом, расчет флуктуации параметров луча в трехмерно неоднородной среде сводится к расчету траекторий в регулярно неоднородной среде. При зависимости характеристик среды более чем от одной координаты система (29) может быть решена лишь численным методом.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 20-12-00299.

Литература

1. Казанцев А.Н., Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Метод исследования распространения радиоволн в неоднородной магнитоактивной ионосфере. // Космические исследования, 1967. Т. 5. Вып. 4. С. 593-600.

2. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Кирьянова К.С. Метод расширенной бихарактеристической системы при моделировании распространения радиоволн в ионосферной плазме. // Радиотехника и электроника, М.: Наука. 2012. Т.57. № 9. С. 1028-1034.

3. Эйнштейн А., Смолуховский М., Броуновское движение. ОПТИ, 1936. С. 148.

4. Чернов Л.А. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями. М.: АН СССР, 1958. С. 159; ЖЭТФ, 1953. Т.24. № 2.

5. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. 403 с.

6. Рытов С.М. Дифракция света на ультразвуковых волнах. // Изв. АН СССР. Сер. физич. 1937. № 2. С. 223.

7. Власова О.К., Гусев В.Д. Флуктуации направления распространения электромагнитных волн в турбулентной гиротропной среде. // Геомагнетизм и аэрономия. 1969. № 5.

8. Власова О.К., Гусев В.Д. Статистика лучей в однородной изотропной турбулентной среде с эллипсоидальными неоднородностями. // Геомагнетизм и аэрономия, 1971. № 3; 1971. № 4.

9. Денисов Н.Г. Рассеяние воли в плоскослоистой среде. // Изв. вузов. Радиофизика, 1958. Т. 1. № 5-6. С.34.

10. Денисов Н.Г. О флуктуациях амплитуды и фазы волны, прошедшей через слой со случайными неоднородностями. // Изв. вузов. Радиофизика, 1959. Т.2. №2. С. 316.

11. Денисов Н.Г. Дифракция электромагнитных волн в гиротропном слое, содержащем статистические неоднородности. // Изв. вузов. Радиофизика, 1960. Т. 3. №3. С.393; 1960. Т.3. № 4. С. 619.

12. Денисов Н.Г. О влиянии области отражения на рассеяние радиоволн в ионосфере. // Изв. вузов. Радиофизика, 1960. Т. 3. №2. С.208.

13. Денисов Н.Г. О рассеянии волн в условиях полного отражения. // Изв. вузов. Радиофизика, 1964. Т. 7. С.378.

14. Комиссаров В.М. // Изв.вузов. Радиофизика, 1966. Т.9. № 2. С.292.

15. Комиссаров В.М. Кандидатская диссертация. М.: Акустический институт АН СССР. 1966.

16. Гусев В.Д. Рассеяние волн в неоднородном турбулентном слое в геометрооптическом приближении. // Радиотехника и электроника, 1973. Т.18. № 12.

17. Голынский С.М., Гусев В.Д. Статистика лучей в неоднородной изо фон ной среде. // Радиотехника и электроника, 1976. Т.21. № 3. С.630.

18. Голынский С.М., Гусев В.Д. Траектории лучей в рефрагирующей рассеивающей среде. // Радиотехника и электроника. 1976. Т.21. № 6. С.1303.

19. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967, 548 с.

20. Татарский В.И. Распространение коротких волн в среде со случайными неоднородностями в приближении марковского случайного процесса. Препринт ООФАГ АН СССР, M., 1970.

21. Татарский В.И. Распространение света в среде со случайными неоднородностями показателя преломления в приближении марковского случайного процесса. // ЖЭТФ,

1969. Т. 56. С. 2106.

22. Кляцкин В.И., Татарский В.И. О приближении параболического уравнения в задачах распространения волн в среде со случайными неоднородностями. // ЖЭТФ,

1970. Т.58, С. 624.

23. Кляцкин В.И., Татарский В.И. Новый метод последовательных приближений в задаче о распространении волн в случайных средах. // Изв. вузов. Радиофизика, 1971, Т. 14, С. 1400.

24. Кляцкин В.И. О пределах применимости приближения марковского случайного процесса в задачах, связанных с распространением света в среде со случайными неоднородностями показателя преломления. // ЖЭТФ, 1969. Т.57, С. 25.