CC BY
8
РАДИОФИЗИКА УДК 550.388.2
ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ЛУЧЕВОГО ВЕКТОРА В ПРИБЛИЖЕНИИ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
О. К. Власова*), Л. И. Приходько
(.кафедра физики атмосферы)
Рассмотрены флуктуации луча и амплитуды волны вдоль луча в случайной в среднем однородной среде в приближении геометрической оптики. Решение задачи основано на представлении процесса рассеяния в виде динамических стохастических уравнений типа уравнения Ланжевена. В предположении, что радиус корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости мал по сравнению с расстоянием, рассеяние можно рассматривать как процесс Маркова и перейти от динамических уравнений к уравнению Эйнштейна-Фоккера [1]. В результате решения уравнения Эйнштейна-Фоккера получена плотность вероятности положения и направления луча и амплитуды волны.
Решение задачи диффузии луча е помощью представления флуктуационного процесса марковским рассматривалось в целом ряде работ (см., напр., [1-3]), однако для полного описания рассеяния волны необходимо учесть и флуктуации амплитуды вдоль луча.
Рассмотрим уравнение эйконала и уравнение переноса для амплитуды нулевого приближения геометрической оптики [4]
(Уг¥>)2 = £, 2(Уг<р УгА)+АА<р = 0,
(1) (2)
где А — амплитуда, <р — фаза волны, поле имеет в каждой точке структуру плоской волны
и=Ае
е = п2 — диэлектрическая проницаемость среды, которую представим в виде суммы регулярной и случайной составляющих
£ = £0+ £[.
Уравнению эйконала (1) эквивалентны уравнения луча [4]
йг
= 5,
с1{пБ)
= Угп,
(3)
(1а ' (1а где 5 — единичный вектор касательной к лучу, который для среды в среднем изотропной является также и нормалью к фазовому фронту, а — длина дуги, пройденной лучом,
V
л/ё '
(4)
Уравнение переноса (2) можно записать в виде динамического стохастического уравнения для амплитуды. Из определения (4) следует
= А93 = сНУ .
Учитывая, что 5УГЛ = (1А/(1а, получим вместо (2)
Представим теперь уравнения (3), (5) в виде динамических уравнений вида с
йБ
= 5) + 5),
(6)
где £>г-(А,5) — детерминированные, а /¿(А, я) — случайные функции. Если случайные функции обладают следующими свойствами: 1) /¿(А,«) — гауссово случайное поле в пространстве (к, я); 2) т,8)}= 0, 3) (Нк,8)Ш,8'))=26(8-8')х А',«), то плотность вероятности для системы (6), т.е. функция
Р8(х) = {8пШ - х)} (здесь — решение (1), соответствующее определенной реализации /(&, я), а усреднение проводится по множеству всех реализаций /), удовлетворяет уравнению Эйштейна-Фоккера
дР8(х) , а
Эх,
д2
дхкд%1
В уравнении (7) введено обозначение
~дРш(х,у,з
Ры(х,х,8)Р3(х)]= 0. (7)
дх,
у=х
Центр гидрофизических исследований.
Для реальных задач корреляционная функция не удовлетворяет условию ¿-корреляции, в этой связи под у, я) следует понимать величину
(8)
Для больших по сравнению с радиусом корреляции я, я^яо, можно использовать формулу
Ры(х,у) =
1
(Мх,8Шу,8>)ё8>.
О)
Для представления уравнений (3), (5) в виде уравнения (6), как показано в работе [1], следует от переменной а перейти к переменной г, вдоль которой первоначально направлен луч, иначе условие 3 не может быть выполнено. Этот переход требует ограничения флуктуаций направления луча, а именно:
<4>«1- (Ю)
Из решения задачи диффузии луча [1] следует, что (10) можно представить в виде
О
Го
< 1,
(11)
где Го — радиус корреляции флуктуаций неоднород-ностей диэлектрической проницаемости.
Помимо перехода от а к г, как показано в работах [3, 2], для записи уравнений луча в виде (6) целесообразно воспользоваться методом последовательных приближений. Поскольку
2 >г0, (12)
то из неравенства (11) следует
(13)
и диэлектрическую проницаемость можно записать следующим образом:
£ = £о + аеа, а< 1. (14)
Итак, перейдем в уравнениях (3) от длины дуги к координате г, вдоль которой первоначально направлен луч, и представим решение в виде ряда по степеням а. С точностью до 0(а2) уравнения, описывающие диффузию луча
йг± йБ± а
~с =—Vr±£a,
йг
йг 2е
получим 2]:
(15)
о
где г± = г±{х,у}, 5± = 5±{3х,3у}.
Остановимся подробнее на получении динамического уравнения типа уравнения Ланжевена (6) для амплитуды волны исходя из выражения (5).
Как и в случае решения задачи диффузии луча, переходим сначала от длины дуги а к координате г, вдоль которой первоначально направлен луч:
^ Л (16)
йг
1
I 2\/ё
Очевидно, что выражение (16) также справедливо, если выполнено условие (10). Далее воспользуемся методом последовательных приближений, предполагая, что малым флуктуациям диэлектрической проницаемости (13) соответствуют малые флуктуации амплитуды и луча:
А = А0 + аАа + О(а2),
Г, ~Г|и + пГ|„+0(п2).
5± = -$±о + «5±а + 0(а2).
Получим из (16) в нулевом и первом приближении по а уравнения для амплитуды
с1А0
йг ЗАа йг
= 0,
2е0 (Ну $±а
Умножая второе уравнение на а и складывая с первым, представим уравнение для амплитуды
с точностью до 0(а2
йА аАо деа йг 4ео дг
получим из решения луче
^ (Ну
(17)
Выражение для (Ну вых уравнений (15)
а
2Ёо
тогда
(Ну 5] =
а
2£П
д2еа Эх2
д2£а\ .
В результате динамическое уравнение для амплитуды имеет вид
йА йг
аАо I 1 деГ
2е0 I 2 дг
\дх>2
д2е'
ду-
А
йг' > (18)
Уравнение (18) вместе с уравнениями (15) можно представить как систему уравнений типа уравнения Ланжевена, если ввести случайный пятимерный процесс к = к{х,у,8х,8у,А} в соответствии с обозначениями (6). Далее следуем вышеописанной схеме перехода от динамического уравнения к уравнению Эйнштейна-Фоккера для плотности вероятности решения к(г) системы (15), (18). Коэффициенты уравнения Эйнштейна-Фоккера для первых четырех координат случайного процесса к = к(х,у,8х,8у,А) уже были получены в [1,2]:
2 9
р р п £а
где О — коэффициент диффузии луча при распространении в случайной в среднем однородной среде.
Остается вычислить коэффициенты, связанные с амплитудой.
В соответствии с (6) и (18) иА = 0. Найдем коэффициент РА,4 по формулам (8), (9):
PAA(x,y,z) =
_ (У2Al
—¡4
и " 1 д£а
Л 2 dz .
(d2gá , д2е'а » , , W2 ду'2 1
2 dz'
(92£g 92е" i dx"2 ду"2
dz'. (20)
Представим (20) в виде суммы интегралов:
f^ = ^(i/i+2/2+2/3+2/4)'
Дадим определения и вычислим эти интегралы.
д2Р
h =
d£a<K\d,= / 2 dz dz'/ Va
dzdz'
dz',
где
Р(г-п = £а{Г)-а{Г')
— функция корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Предполагая далее, что неоднородности изомерны и р = р(г2) = р[(х — х')2 + + (У ~~ У')2 + (z — z')2) [5], вычислим соответствующие производные
д2Р = 4 d2P {z _ z>f _ dzdz' d(r2)2 dr2'
Пусть функция корреляции имеет вид гауееоиды р = е-
го — определяет радиус корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Тогда
h = 24
е r'2/ro г2 dr ■
~r'2/r° dr 1=0,
поскольку вычислять коэффициенты уравнения Эйншейна-Фоккера следует в точке х = у, где
х = х', у = у'.
Рассмотрим теперь интеграл ¡2
h =
d2p"
dz" I dz'
Вводя относительные координаты х' — х" = х, у' —у" = у, z' — z" = z и координаты центра тяжести
±(х' + х") = х0, ¡(y' + y")=yo, ¡(z' + z") = z0, получим
h = el
dztfi
crp dzdx2
dz.
о о
В выбранных переменных р = р(х2 + у2 следовательно,
dx2dz В результате
(Х = у = 0) = 4e-'W
4'
'2=44-2-
г0
Интеграл /3 имеет вид
/я =
dz'
dx>2
Г d2e
а dz'dz" ) =
dx"2
= e2
ca
dz'
dzQ • 2
л
- a*p
dx4
dr.
о 0
Поскольку ¥§(x = y = 0)= 12e^r2/ro \, то
h =
dx4'
12z2e2
'0
r4 ro
e-r 'ro dr = 6e2\/n-iT.
rö
Последний интеграл
/4 =
dz'
dx'2
PßpH \
a dz' dz"
dy
//2
хо о 0
вычислим, производя те же операции, что и при вычислении двух предыдущих:
h = el
zdz-2
л
• diP d2xd2y
dr
= ^z2-r4 r0
x=y=0
1 ^
Таким образом, коэффициент Faa удовлетворяет следующему выражению:
£¡r0
Z г, Г- / 2
— + 2у/тг[ -
ro Vo
Поскольку должно быть выполнено условие (12), то первым членом в квадратных скобках можно пренебречь. В итоге получим
£0го \го/
или Од =ОА^- 16(г/го)2, т.е. диффузия амплитуды значительно больше, чем диффузия направления луча (16).
Нетрудно показать на примере вычисления
F,\s,(x.y. z) =
о
а2А0 деа 4е2 дх
х
1 де'а
2 дг>
Г
\дх"2
д2е"
" са
ду"2
dz"
dz'
что коэффициенты уравнения Эйнштейна-Фоккера РлБг = ^АБц = 0, поскольку соответствующие производные
сРр
( д2р \
= 0,
х=х', у=у
d2xjdx;
= 0,
/ Х:=Х,= 0
где Х(,X] = х,у.
Таким образом, уравнение Эйнштейна-Фок-кера для плотности вероятности решения системы (15), (18) с учетом (19) имеет вид
д2Р
^±^г±Рг = 0А5±Рг+0А- 7
dPz(r±,S±,A,z)
Ог ' г±' ' " а±' * ' дА2
(21)
с начальными условиями
Рг=о(г±, Л) = 5(г±) ¿(¿х) 8(А - Л0).
Для решения уравнения (21) воспользуемся методом разделения переменных и представим решение в виде Рг(г±,5±,А) = У(г±,8±)и(А). Тогда У(гх,5х) удовлетворяет уравнению
8V
— + S±Vr±V = DAs±V, ог
V(z = 0) = S(r±)S(S±),
решение которого при выбранных начальных условиях хорошо известно [6, 1]:
F(r±,S±) =
3 f J_
4n2D2z4 6XP I D
S2
ZÄ,
z
3 S±r± 3 r2
(22)
Очевидно, что II(Л) удовлетворяет уравнению и начальным условиям:
ои д2и
dz ~ а0А2'
U(z = 0) = S(A-A0),
(23)
где DA = DA(z) = \6DA2(z/r0)2.
Решение уравнения (23) получено в работе [7]:
иш =
1
4vrJ16 DA2 (ff dz
1/2
x
x exp
(Л-Л0)2
4J16M 2{ff dz, 0
V3
64vr D*A2(foY
1/2
exp
З(Л-Лр)2 64 D*A2(foy
(24)
где О* = Ог0 = у^т а2е2а/{Ае1).
Итак, получен совместный закон распределения флуктуаций луча и амплитуды вдоль луча. Флуктуации амплитуды не зависят от флуктуаций положения и направления луча. Дисперсия амплитудных флуктуаций равна
32
(Л-Л0)2 = у£>*Ло
Го
Поведение дисперсии амплитуды определяется отношением (г/го)3. Поскольку для перехода от динамических уравнений к уравнению Эйнште-йна-Фоккера необходимо выполнение ограничений (10), (12), то из решения (22) следует, что флуктуации положения луча ограничены пройденным расстоянием гораздо слабее флуктуаций направления [1], а именно
г2 < г2.
Дисперсия амплитудных флуктуаций, как следует из решения (24), ограничена, очевидно, еще более слабым условием
(Л-Л0)2<—.
го
Заметим, что выражения для дисперсии флуктуаций амплитуды в приближении геометрической оптики получены другими методами в работах [4, 5] и имеют тот же характер зависимости от величины z/го, что и в настоящей работе. Укажем также, что в [8] величина дисперсии амплитудных флуктуаций пропорциональна первой степени z/r, что существенно отличается от приведенных выше результатов.
Литература
1. Кляцкин В.И., Татарский В.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1971. 14, № 5. С. 707.
2. Власова O.K. Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. МГУ, физический факультет, 2004.
3. Комиссаров В.М. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. 9, № 2. С. 292.
4. Рытое СМ., Кравцов ¡O.A., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. И. Случайные поля. М., 1978.
5. Чернов J1.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М., 1975.
6. Фейнберг E.J1. Распространение волн вдоль земной поверхности. М., 1961.
7. Чандрасекар С. Стохастические процессы в физике и астрономии. М., 1947.
8. Гусев В.Д., Куницын В.Е. // Докл. РАН. 2000. 372, № 4. С. 476.
Поступила в редакцию 25.11.05
