CC BY
13
Совместная диффузия лучей в однородной среде со случайными
неоднородностями
O.K. Власова112, Л. И. Приходько26
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, 1 Центр гидрофизических исследований; 2 кафедра физики атмосферы.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: 11 vlasovaok@mail.ru, ь l.prikhodko@mail.ru
Статья поступила 01.03.2009, подписана в печать 21.04.2009.
Рассмотрены флуктуации направления и амплитуды двух лучей, распространяющихся в среде в среднем однородной со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости. Решение задачи основано на методе диффузии луча, позволившем получить плотности вероятностей распределения для относительной амплитуды и относительного направления лучей.
Ключевые слова: случайно-неоднородные среды, диффузия луча, уравнение Эйнштейна-Фоккера.
УДК: 550.388.2. PACS: 41.20.Jb.
Введение
Исследование рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями представляет интерес для многих областей физики, включая, например, физику электромагнитных волн в плазме и ионосфере, физику звуковых волн в газах и жидкостях, атмосфере и морской среде. Метод диффузии луча, предложенный в работе [1] (см. также [2]) и используемый в настоящей работе, заключается в представлении уравнений для направления и положения луча в виде динамических уравнений типа уравнения Ланжевена, от которых возможен переход к уравнению Эйнштейна-Фоккера для плотности вероятностей состояния луча. Теория броуновского движения, основанная на решении уравнения Ланжевена, и современная теория дифференциальных стохастических уравнений используют переход от динамического уравнения (уравнения Ланжевена) к уравнению Эйнштейна-Фоккера (диффузии), поскольку решать уравнение Эйнштейна-Фоккера с граничными или начальными условиями предпочтительнее, чем уравнение Ланжевена. Однако стохастическая задача полностью определена динамическим уравнением и предположениями о характере случайных воздействий, поэтому при получении уравнения Эйнштейна-Фоккера следует исходить из динамических уравнений и условий, накладываемых на случайные функции, важнейшим из которых является ¿-корреляция по времени. Авторы работы [1] показали, что уравнения луча можно представить в виде уравнения Ланжевена, если в уравнениях луча перейти от длины дуги, играющей роль времени, к координате радиус-вектора, вдоль которой первоначально направлен луч. Заметим, что такой переход возможен лишь при малых отклонениях луча от невозмущенного направления и позволяет предположить, что размер неоднородностей диэлектрической проницаемости много меньше пройденного лучом пути.
В работах [1,3] была рассмотрена задача о совместной диффузии двух лучей, однако решить уравнение для плотности вероятностей относительной диффузии двух лучей не удалось, ясно лишь, что при переменном коэффициенте диффузии решение не является гауссовым распределением. В связи с этим нами предпринята попытка изучения диффузии двух лучей без учета флуктуаций положения лучей. Проведенное в настоящей работе исследование позволяет перейти к рассмотрению совместного рассеяния N лучей для получения закона
распределения параллельного пучка лучей, распространяющегося в случайно-неоднородной среде.
В работе [4] решена задача диффузии луча с учетом флуктуаций амплитуды плоской волны вдоль луча и получен совместный закон распределения плотности вероятностей амплитуды вдоль луча, положения и направления лучевого вектора. Флуктуации амплитуды вдоль лучей исследуются и в настоящей работе.
1. Вывод уравнения Эйнштейна-Фоккера
Запишем уравнения двух лучей и амплитуд вдоль лучей в виде динамических стохастических уравнений типа уравнения Ланжевена [3, 4]:
dS_li,2 а
— = —Vr±1Jtea(r±Uiz),
dr
±1,2
dz
>±1,2»
dA
1,2
dz
cxAQ
1 dea(r±h2,z)
2 dz
d2£a(r'±l2,z') d2ea(r'±l2,z')
(1)
dx'2.
1,2
dy'2
1,2
dz'
где 1,2 — номера лучей, г — координата, вдоль которой первоначально направлены лучи, —
координаты направления и положения луча, А,Ао — амплитуда вдоль луча и амплитуда вдоль луча на входе в случайную среду.
Уравнения (1) получены при условии, что отклонения луча от первоначального направления малы; кроме того, предполагается, что радиус корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости го <С г. Эти предположения возможны, если флуктуации диэлектрической проницаемости малы, а именно
е = ео + аеа, а <С 1.
Теперь процесс рассеяния луча можно считать марковским случайным процессом и перейти от уравнений (1) к уравнению Эйнштейна-Фоккера для плотности вероятностей Рг(г±и 5±ь Аи г±2,5±2,Л2, г). Однако поскольку подобное уравнение невозможно решить даже без учета амплитуды [1], то ограничимся рассмотрением плотности вероятностей лишь для направления лучей
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
39
и амплитуды вдоль лучей, не интересуясь флуктуациями Здесь Я2 = Ах2 + Ау2 — расстояние между лучами
положения лучей: Рг(5±иАи5±2,А2,г) =
Ниже приведены ранее вычисленные [2, 4] и используемые в рассматриваемой задаче коэффициенты уравнения Эйнштейна-Фоккера:
- Ъ^г ~ Р.ДА, - - Раа.2 - Раа.2 - О,
= ^г^г = = ^^ = А
Здесь О = — коэффициент диффузии луча для
гауссовской корреляционной функции р = =
= р\(г' — г")2} = р(г2) = [5], го — радиус корре-
ляции неоднородностей диэлектрической проницаемости.
Уравнение Эйнштейна-Фоккера с учетом (2) приобретает вид
дРг п(д2рг д2рг д2рг д2ял
:Д[ --А---А---А---14-
+ + + а^Г
д д _ (Рз^Рг) + 2ос (РзхА2Рг) +
дг
<95х1<95х2
■2+ 2—4—, Рг) +
дБ^дБуг
'д2Р2 д2Р2
'°Ах 8А2 ' 8А2) ' "ВА1дА2
д2
-V
(РафА) +
д д
, д2
дА 1д8у2
ЙА, Рг) + 2 -т^т- (РлА, Рг) ■ (3)
дл2дзх14 " дА2дзу1
Вычислим оставшиеся коэффициенты:
=
5?2 44
' деа(г±и г) деа(г'±2,г')
дх\
ду'2
а24 44
а24
4е2
а24 - г0 ,
4^
й2р
-Ит - у2)(х\ -4)-
йг'
с1(г2)2_
4(г/1 х
х ~
4
-2Д
в плоскости (х,у). Остальные коэффициенты, связанные с диффузией двух лучей, таковы:
/х,*.--« 1
2 Д.г
-Я Л5
■
По определению и в соответствии с (1) коэффициент (2) РД\А2 Равен выражению
Рал
а2А2
йА\деа(г^г)
дг
д2£'1(г",,г") , д2е>1
дх"\ ду
„2
йг" > х
1 де'(г'±2,г О
2
Принимая во внимание результаты вычисления коэффициентов, входящих в уравнение Эйнштейна-Фоккера и связанных с амплитудой в работе [3], и учитывая, что
у 1, получаем
РА,А-2
а2А&2
Ч
йг'
йг''
йг"
ООО д^р
д^р
дх"\дх"'1 д^р д^р
ду"\дх'"| ду'"\дх"\ ду"\ду'"1) ' В качестве примера рассмотрим интеграл
йг'
йг"
д*р
д2х"д2х"'
йг"
йг' г' х
ООО оо
х 2
й(г2)4 ' й(г2)^ й(г2)2
йг ■■
■■ г 4
1 „ 1
4 Ах -г- - \2Ах + 3—г
6 1 "4 Г0 Г0
-(Дх2+Ду2)/гс2
х е
/г° ¿г :
'о 'о
В результате получим
Легко убедиться в том, что имеют место соотношения
Р,
аа,
(5)
Подставим вычисленные коэффициенты в уравнение (3) и перейдем, как это сделано в работе [1], к переменным
А_ =Ах - А2,
Sx- =SX 1 — Sx 2,
V
с
¿i +A2
2
Sxi + Sx 2
2
Syl + Sy 2
9Pz(A-,S±-,z)
dz
Wl-2^?.«
2D
82PZ
ds2±_
-2D [1-2
Ax'
,2 ,,2 d2P2
-R /r¿
-RVrjd2Pz <onAxAj/^2/r2
■2D,
82PZ
ШУ
2 F,
А,А ,
мГ2
о
<92А
asi д2рг 8Sx-dSv.
dsx^dA д2рг
-{РА^:Л + Pa2Sx i)
(Í4,S„2+Í42S„,)- (6)
Из (5) следует, что два последних члена уравнения (6) равны нулю, и тогда уравнение для плотности вероятностей относительного направления и относительной амплитуды двух лучей имеет вид
dz
2D
1
■2D
1 -
А У2
-Я7г|
д2рг щ:
+ 8 De^R2/r¿
АхАу д2Рг г2 dSx^dSy
+ 2 (Da-FA.A2)
д2Рг dSL
д2Рг OA_2'
(7)
дРг(А.,г)
■ 2 (DA-FAlA2)-,
(8)
дг 'ЯхЯ2'дА^
и начальным условиям
Рг(А.,г = 0) = 5(А.).
Выражение (Од — Рд^,-,) является функцией г (2), (4).
Решение (8), как известно [6], является нормальным распределением с нулевым средним значением и дисперсией
о*А.
64D*A2 f z
R
,R2
— — 4— + 2
L Г0 Г0 •
i, (9)
где £>* = £>г0.
Заметим, что когда Я = 0, то Д4 = Рд]д2, относительная диффузия отсутствует. Если — 1, то Рд]д2=0.
В этом случае относительная диффузия амплитуды двух лучей соответствует удвоенной диффузии амплитуды одного луча, т. е. флуктуации амплитуд вдоль лучей независимы.
Перейдем к рассмотрению плотности вероятности 1-,г), которая подчиняется уравнению, следующему из (7):
<92Л
dpz(s±.,z) ,, d2pz п д2рг п
= .„,., + D< .„,., + Ds. s„.
¿te
as?
dSx^dSv
что позволяет после интегрирования по 5+,Л+ получить уравнение, описывающее относительную диффузию двух лучей:
(10)
и начальным условиям Рг(5_|__,г=0) = где вве-
дены обозначения
Dsx- = 2D
°ss-=2D Ds:í_s„
1-2
Ax2
r$
А у2
-R 1ч
(И)
SD^Le-Mo.
Из этого уравнения следует, что если расстояние между лучами много больше радиуса корреляции неоднородно-стей, то происходит относительная диффузия с удвоенным по сравнению с диффузией одного луча коэффициентом диффузии, что говорит о независимом движении лучей. Эти выводы совпадают с результатами работы [1,3].
Решение уравнения (10) известно, если равен нулю коэффициент при смешанной производной. Последнее возможно, если или Ах, или Ау равен нулю. Пусть, например, Дх = 0, Ау ф 0, тогда получаем решение уравнения (10)
Р-у
1
8irDz\/1 -
где выражения для Од и Рд1д2 определяются из (2) и (4) соответственно.
2. Решение уравнения Эйнштейна-Фоккера
Из уравнения (7) очевидно, что распределения относительной амплитуды двух лучей и относительного направления лучевого вектора независимы. Распределение относительной амплитуды подчиняется уравнению
д2Р2
х ехр<
S2
8Dz(l
-А уУгЦ
Sy-
Для решения (10) при произвольных Ах, Ау перейдем к новым переменным S'x_, поворотом Sx-, Sy_ на угол tp:
S'x_ = Sx_ cos ip+Sy- sin tp, = —Sx— sin ip+Sy- eos tp. В новых переменных уравнение приобретает вид
т =
dz
82Рг
dS't д2рг
■ [DSx_ COS2 tp + DSy_ Sin2 tp + DSx_sy_ cos tp sin tp] + [DS:t_ sin2 <p + DSy_ cos2 <p - DS:t_Sy_ cos tp sin tp] +
Я2 p
' ■ [(~DSx. + DSl_) sin 2tp + Ds:t_Sy_ cos 2tp].
dS'x_dS'y_
Угол поворота определяется равенством нулю коэффициента при смешанной производной:
— Дч. ) = ^Д&.я^ со
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
41
Поскольку случай = 0 уже рассмотрен нами
ранее, то полагаем Дч- / 0. В результате поворота находим решение для переменных . Возвраща-
ясь вновь к переменным , получим двумерный
нормальный закон распределения со следующими дисперсиями и коэффициентом корреляции:
4х_ =2В8х_г,
а%_=20$я_г, (12)
Заметим, что дисперсии относительных флуктуаций направления лучей, коэффициент корреляции между ними и дисперсия относительной амплитуды вдоль лучей (12), (9) зависят от расстояния между лучами.
Заключение
Проведенное в настоящей работе исследование совместной диффузии двух лучей позволило получить закон распределения плотности вероятностей относительного направления лучей и относительной амплитуды вдоль лучей при произвольном расстоянии между лучами. Оба распределения подчинены нормальному закону, дисперсии и коэффициент корреляции которых определяются выражениями (9), (11), (12). Отметим, что дисперсии
относительных лучевых направлений пропорциональны величине ^, дисперсия относительной амплитуды подчинена кубической зависимости [4].
Решение получено без учета диффузии положения лучей. Показано, что характеристики описанных выше распределений являются функциями расстояния между лучами.
Проведенное в работе математическое описание совместной диффузии лучей на основе стохастического метода можно использовать для исследования распространения параллельных пучков лучей в случайно-неоднородных средах.
Список литературы
1. Кляцкин В.И., Татарский В.И. 11 Изв. вузов. Радиофизика. 1971'. 14, № 5. С. 707.
2. Власова O.K. Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. МГУ, физический факультет, 2004.
3. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения. Теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике. М., 2008.
4. Власова O.K., Приходько Л.И. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 5. С. 18.
5. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М., 1975.
6. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М., 1947.
The rays diffusion in a random medium O.K. Vlasova 1 . L.I. Prikhod'kcr'
1 Center of Hydrophysical Research; 2Department of Physics of Atmosphere, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: 11 vlasovaok@mail.ru, b l.prikhodko@mail.ru.
Fluctuations of the directions and the amplitudes along two rays, propagating in a medium with random inhomogeneous of dielectric permittivity, are considered. The probabilities density of distribution of the relative directions and amplitude are obtained making use the method of ray diffusion.
Keywords: random media, ray diffusion, Einstein-Fokker equation. PACS: 41.20.Jb. Received 1 March 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2009).
Сведения об авторах
1. Власова Ольга Кузьминична — канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр.; e-mail: vlasovaok@mail.ru.
2. Приходько Лидия Ивановна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр.; e-mail: l.prikhodko@mail.ru.
