Исследование флуктуаций положения лучей при совместной диффузии в однородной среде со случайными неоднородностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА

Исследование флуктуаций положения лучей при совместной диффузии в однородной среде со случайными неоднородностями

O.K. Власова1,а, Л.И. Приходько2,6

1 Центр гидрофизических исследований МГУ.

2 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики атмосферы. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила 02.05.2010, подписана в печать 17.12.2010

Рассмотрены флуктуации положения двух лучей, распространяющихся в среде со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости. Решение задачи основано на методе диффузии луча. Получена плотность вероятностей для разности положения лучей в случае, когда начальное расстояние между лучами много меньше радиуса корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости.

Ключевые слова: случайно-неоднородные среды, диффузия луча, уравнение Эйнштейна-Фоккера.

УДК: 550.388.2. PACS: 41.20.Jb.

Введение

Исследование совместной диффузии двух лучей, распространяющихся в случайно-неоднородной среде, можно использовать для описания совместной диффузии N лучей. Такая постановка задачи позволяет подойти к вопросу о флуктуациях интенсивности волны из чисто геометрических соображений [1].

Метод диффузии луча, используемый в настоящей работе, основан на представлении в приближении геометрической оптики уравнений для положения и направления лучевого вектора в виде уравнений Ланже-вена [2]

¿6

ds

(i)

где — детерминированные функции, —

случайные функции, обладающие следующими свойствами:

а) //(£, з) — гауссово случайное поле;

б) </,(£.*)> = 0; (2)

В) (Ш,я')) = я) = 5г*(£,я,я').

В этом случае плотность вероятностей для решения системы (1) Р8(х) = {5(£ - х)) удовлетворяет уравнению Эйнштейна-Фоккера

дР8(х) д ГГ , . „ , ~^1 + 0^Шх,8)+Ак(х,8)}}^

д2

dxkdxi

В уравнении (3) введено обозначение

~dFki(x,x',s)

Fkl(x,x,s)Ps(x)} = 0. (3)

Ak(x,s) =

dxi

(4)

x'=x

является приближенным, понимать величину

Fki(x,x',s) =

под Fki(x,x',s) следует

Bki(x, x',s,s') ds'

радиус корреляции

предполагая, что я » во - Здесь яо -функции /(*,я) по переменной я.

Запись уравнений луча в виде уравнений Ланжевена подробно исследуется в [3]. Уравнения луча, следующие из принципа Ферма для изотропной среды, имеют вид

(1г И

_ = 5, - = ^5(5^,), (5)

где г, 5-векторы положения и направления луча, т]=1пп, п = я (г) — показатель преломления среды, а — длина дуги, пройденной лучом.

Поскольку случайной силой в лучевых уравнениях (5) является функция от показателя преломления, зависящего от г и не зависящего от а, то условия (2в) не могут быть удовлетворены. В работе [1] предлагается способ перехода к уравнениям Ланжевена, заключающийся в замене в лучевых уравнениях длины дуги а на координату г, вдоль которой первоначально направлен луч и от которой зависит показатель преломления. Такой переход возможен при условии, что отклонения луча от первоначального направления малы -с 1. В предположении, что флуктуации диэлектрической проницаемости малы:

а -С 1,

£ = £q ■

■ as о

В реальных задачах корреляционная функция В;к не может быть записана в виде (2в). Для случая, когда условие ^-коррелированное™ нарушено, уравнение (3)

применяется метод малых возмущении в уравнениях луча, следующих из принципа Ферма (5). В результате получаем уравнения луча, соответствующие уравнениям (1):

dr± dz

S"4T ^VMr..,). (6)

г — координата, вдоль которой первоначально направлен луч, г±{х,у}, — векторы, обозначающие положение и направление луча в плоскости, перпендикулярной г. Решение задачи рассеяния луча на основании уравнений (6) и в предположении, что радиус корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости г0 •«г, позволило вычислить средний квадрат флуктуаций направления луча:

^ = 2 Ог, О =

а2е2л/п

4 е20г0

йг

а

±1,2.

йг

(8)

где 1,2 — номера лучей,

Как уже говорилось, решить уравнение Эйнштей-на-Фоккера, следующее из уравнений (8), не удается [2]. В связи с этим запишем (8) в виде уравнений лишь для положения луча, а именно

йг

-1-1,2

йг

а

2ёо

(9)

т_

дг

д дШ

д2

дх1дхк где г = 1,2.

[р^т

д2

ду{дук

д2

дХгдук

Вычисление коэффициентов (см. введение) рассмотрим на примере вычисления РХ]Х> в предположении, что функция корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости является гауссоидой:

р(г) =

(еа{г')еа{г"))

= е"^ =

= -у"?+(г'-г")2\/г1

(7) Рх1х'](г±1,г'±1,г) =

О — коэффициент диффузии луча, который возникает при вычислении коэффициентов уравнения (3). Таким образом, представленные выше условия

-с 1 или Вг ~ а2е2— -С 1 го

предполагают, что флуктуаций диэлектрической проницаемости малы, что позволяет использовать метод малых возмущений.

В работе [2] была рассмотрена задача о совместной диффузии двух лучей, однако решить уравнение для плотности вероятностей ^(г_|_ьг_|_2,5_и,5_|_2,г) не удалось. В связи с этим нами уже была предпринята попытка изучения диффузии двух лучей без учета флуктуаций положения лучей [4]. В настоящей работе предложено описание совместной диффузии двух лучей плотностью вероятностей №(г±1,г±2,г) и получено решение уравнения Эйнштейна-Фоккера для закона распределения расстояния между лучами в случае, когда начальное расстояние много меньше радиуса корреляции неоднородностей.

1. Уравнение Эйнштейна-Фоккера

Представим уравнения двух лучей в виде динамических стохастических уравнений типа уравнения Ланжевена (1), позволяющих перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера (3):

а

ч

йг'

деа{г"г")

дх['

■йг"

деа(г'",г'")

дх["

■ йг'" =

аЬ|

И

йг'

д2р

о

о о

дх\'дх'{"

йг" йг'".

Дифференцирование функции корреляции и переход к переменным разности и полусуммы при интегрировании г = г" - г'", 2 следующее выражение:

ровании г = г" - г'", го = г"+2г"' позволяет получить

/V; =Ог2е-Аг^/го(1 - 2(*' )

го

Аг2±1 = (х1-х[)2 + (у1-у[)2,

а2е2л/п

(10)

о =

4 е20г0

Вычисляя по аналогии остальные коэффициенты и полагая в них г = г' в соответствии с уравнением (3), получим

Рх\х\ = 1*У\У\ = 1*Х2Х2 = ^ИоИо = Ог , ц, = Рх,,и,, = О,

У2У2

•«2 У2

РХ]Х2=Ог2е^Аг^ |1—2

Д*2

'о

р -р - 2Рг2с^Аг2>/г"АхАу

1 Х\Уо — 1 У 1*2 — ¿-Ь^ & 9 ,

Г,

О

Ах = х\ - Х2, Ау = г/1 — г/2> Аг\ = Ах2 + Ау2. Согласно (4) коэффициенты АХ„АУ, равны

АГ1 = 40г2е^А^

Ах

Предполагаем далее, что (9) в результате описанных выше условий удовлетворяет требованиям (2), позволяющим перейти от динамического уравнения к уравнению Эйнштейна-Фоккера для плотности вероятностей ^(г±1,г±2,г) (3):

А, =4Пг2е^/го^ 2

Дг2

Дг2

Ах 2 — —Ах

Ау2 ~~ АУ1 ■

Уравнение Эйнштейна-Фоккера приобретает вид йг(г_|_1,г_|_2,,г) = Ог2

■ 2£>22е^/г«

2 , <921Г <921Г <921Г <921Г

'--1---1---1--

I дх\ ду2 дх\ ду\

' / 0\\ _ (Ж \ Дг / Аг2Л 4^1 дх2) г2 \ г2 I

2 idW_ _ dW\ Ay | 2 \dyi ду2J

1-2

Ду2

(11)

Предположим, что при г = О лучи расположены вдоль координаты лс, координаты первого луча {0,0}, второго {хо2,0}, тогда начальные условия решения уравнения (11) таковы:

ЧГ(г = 0) = 6(г±1)6(х2-хО2)6(у2).

2. Решение уравнения Эйнштейна-Фоккера

Для решения уравнения (11) перейдем к переменным разности и полусуммы

г±1 +Г± 2

Г-—Г±1—Г±2, г I -2-

и проинтегрируем полученное уравнение по у+,х+. В результате получаем уравнение для плотности вероятностей распределения расстояния между лучами г):

_ .. / с^Г \ _

дг \дх^2 ду^2)

~2Dz2e^r-2/r<-

о-2' \ d2W

1 By-'

\У~ (

г02 1

лх-

-4ТГ 'о ГТ

с начальными условиями

Щг.,г = 0) = - г^о) = %-) 6(х- - х02).

Очевидно, что решить уравнение (12) в общем случае не удается. Из (12) следует, что, когда начальное расстояние между лучами много больше радиуса корреляции неоднородностей, относительная диффузия происходит с удвоенным коэффициентом диффузии по отношению к диффузии отдельного луча, что соответствует статистической независимости каждого луча. Поскольку в настоящей работе рассматривается случай малых флуктуаций положения луча, то в предположении, что начальное расстояние между лучами мало по сравнению с радиусом корреляции неоднородностей, будет справедливо и условие

г-2 1 7Г«1-

'о

В этом случае уравнение (12) приобретает вид

dW dz

= 2 Dz

d2W ,x-u---h 4-—

dyJ r2

О У- 9W

r2 dy_

d2W dx- dy_

g X— dW dx-

(13)

Для решения (13) перейдем к полярной системе координат:

x-=pcosip, г/_ = р sin </?,

Р = УХ

■У-

ip = arctg .

Получим для функции W(p, 95) уравнение

1 d2W

dW{p, ip) _ 6Dz2 f 2d2W d~z 7T\P

dp2 3 d<^2 W(p,ip,z=0) = S(p^p0) S(cp),

о 9W

sp-w

(14)

где ро = х02 ■

Применяя далее метод разделения переменных, перейдем от (14) к следующим уравнениям:

U(ip,z=0) = <%>),

дU(tp,z) _ 2Dz2 d2U dz dip2'

dV(p,z) _ 6Dz2 f 2d2V dV dz rfi t dp2 P dp

V(p,z=0) = S(p^p0).

Решением первого уравнения является нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией сг2 = Щ- [5].

Переходя в уравнении для V(p,z) к переменной и = \пр, получим для V(u) уравнение

dV(u,z) _ 6Dz2 fd2V 2dV dz r^ V

и начальные условия

V(u,z=0) = 8(u — щ), u0 = lnpQ. Решение последнего уравнения известно [6]: 1 Г (и - щ + а2)2 '

V(u,z) =

\/2тт a(z)

exp

2 а2

4 Dzd

а =

В результате получаем для У(р,г), учитывая якобиан преобразования, следующее выражение:

т/, . 1 ( [Ыр^Ыръ + а2}2'

1/(р,г) = —=—ехр >

л/2к ар

2а2

или, вводя безразмерную переменную х = , получим

V(x,z) =

\/2ттах

ехр

(In л; + а2)2 2^

(15)

так называемое логарифмически нормальное распределение, т.е. нормальное распределение для \пх с дисперсией а2 и средним значением —а2.

Исследование логнормальных процессов и их отношение к марковским процессам подробно описывается в работах [7, 8].

Графики логнормального распределения (15) представлены на рис. 1, 2. Поскольку распределение (15)

m

30 25 20 15 10

5

0

0.8 0.9 1.0 1.0 х 1.2

Рис. /. Логарифмически нормальная плотность вероятностей расстояния между лучами (15) при распространении в тропосфере для различных значений z. Графики соответствуют значениям <j| =0.013, z | = 10 км; <72 =0.024, z» = 15 км; <73 =0.038, Z3 = 20 км

V(x) 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0 0.5 1.0 1.5 2.0 ж 2.5

Рис. 2. Логарифмически нормальная плотность вероятностей расстояния между лучами (15) при распространении в Е-слое ионосферы для различных значений z. Графики соответствуют значениям а\ =0.119, z | = 10 км; <72=0.219, Z2 = 15 км; <73 =0.335, Z3 = 20 км

характеризуется лишь одним параметром а2 = = v/tts2^)3. то рассмотрим зависимость распределения от пройденного лучами пути г, полагая остальные параметры фиксированными.

Рис. 1 иллюстрирует распределение (15) при рассеянии лучей в тропосфере [9]: s- = Ю^10, го = 0.1 км, ,?i = 10 км, ¿'2=15 км, ^з = 20 км; рис. 2 — при рассеянии в £-слое ионосферы: s- = 10^6, г0 = 0.5 км, ^1.2.3 = Ю, 15, 20 км. Как видно из графиков, плотность вероятностей резко возрастает в диапазоне от 0 до 1 по оси абсцисс, где х = а затем убывает, сремясь к нулю. Чем больше пройденный лучом путь z, соответственно и а, тем ниже уровень плотности вероятностей. Кроме того, с ростом г максимум плотности вероятностей все дальше отодвигается от 1 в сторону 0. Так, например, на рис. 2 для ,?i = 10 км, ^ = 0.97; ¿■9=15 км, ^ = 0.90; г3 = 20 км, £^=0.79.

' Pl) ' Л ' Pl)

Первые два момента распределения (15) равны р = р0е^/2, ]Р = р20.

Таким образом, с увеличением пройденного лучами пути уменьшается среднее расстояние между лучами. Для малых значений а, характерных для условий тропосферного распространения (рис. 1), очевидно, не просходит заметного уменьшения среднего расстояния между лучами. В случае больших значений а (рис. 2) наблюдается уменьшение среднего расстояния между лучами. Так, для п\ 9,3 соответствующие

~Р\ = Ро ■ 0.99, р9 = ро ■ 0.98, рз = ра ■ 0.94.

Последнее обстоятельство можно объяснить статистическим влиянием лучей друг на друга при при-хождении ими достаточно большого пути в £-слое ионосферы, где дисперсия флуктуаций диэлектрической проницаемости значительно превосходит соответствующую дисперсию тропосферы.

Заметим, что более высокие моменты распределения (15) растут с увеличением пройденного расстояния, например:

Экспоненциальный рост моментов высших порядков объясняется в работе [7] наличием редких, но сильных выбросов на кривой реализации процесса p(z).

Заключение

Представленное в виде уравнения Ланжевена уравнение луча (9) позволило решить задачу о совместной диффузии двух лучей в среде со случайными неодно-родностями диэлектрической проницаемости для случая, когда расстояние между лучами значительно меньше радиуса корреляции неоднородностей. Полученное в результате решения уравнения Эйнштейна-Фоккера логарифмически нормальное распределение расстояния между лучами проанализировано для конкретных случаев рассеяния в атмосфере.

Список литературы

1. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М., 1980.

2. Кляцкин В.И., Татарский В.И. 11 Изв. вузов. Радиофизика. 1971. 14, № 5. С. 707.

3. Власова O.K. Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М„ 2004.

4. Власова O.K., Приходько Л.И. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2009. № 4. С. 38.

5. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М., 1947.

6. Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 1. Случайные процессы. М., 1976.

7. Кляцкин В.И., Саичев А.И. // Успехи физ. наук. 1992. 162, № 3. С. 161.

8. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения. Теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике. Т. 1,2. М„ 2008.

9. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М., 1961.

The study of fluctuations of the rays positions at the mutual diffusion in a medium with random inhomogeneities

O.K. Vlasova1 й, L.I. Prikhod'ko26

1 Center of Hydrophysical Research, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. 2Department of Physics of Atmosphere, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

Fluctuations of the positions of two rays, propagating in a medium with random inhomogeneities of dielectric permittivity, are considered. The probabilities density of the relative distance between the positions are obtained for a case when an initial distance between rays is much smaller than the correlation radius of fluctuations of dielectric permittivity.

Keywords: random media, ray diffusion, Einstein-Fokker equation. PACS: 41.20.Jb. Received 2 May 2010.

English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2011).

Сведения об авторах

1. Власова Ольга Кузьминична — канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр.; e-mail: [email protected].

2. Приходько Лидия Ивановна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр.; e-mail: [email protected].