CC BY
8
УДК 550.388.2
ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ С РЕГУЛЯРНОЙ РЕФРАКЦИЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
О. К. Власова, Л. И. Приходько
(Центр гидрофизических исследований; кафедра физики атмосферы)
Рассмотрены флуктуации лучевого вектора и амплитуды волны вдоль луча в случайной среде с регулярной рефракцией в приближении геометрической оптики. Решение задачи основано на описании процесса рассеяния динамическими стохастическими уравнениями типа уравнения Ланжевена. В предположении, что радиус корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости мал по сравнению с расстоянием, пройденным лучом, рассеяние можно рассматривать как процесс Маркова и перейти от динамических уравнений к уравнению Эйнштейна-Фокке-ра [1]. Решением уравнения Эйнштейна-Фоккера является плотность вероятности амплитуды волны вдоль луча.
Задача диффузии луча во флуктуирующей среде е регулярной рефракцией решена в работе [2] путем перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера. Переход от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера не является тривиальным, поскольку уравнения луча отличаются от динамических уравнений типа уравнения Ланжевена тем, что случайные флуктуации диэлектрической проницаемости в уравнениях луча не зависят от длины дуги, пройденной лучом, а определяются координатами заданной точки. Последнее обстоятельство делает невозможным непосредственный переход от уравнений луча к уравнению Эйнштей-на-Фоккера, поскольку для этого требуется ¿-корреляция случайной силы по пройденному лучом пути. В связи с этим затруднением в работе [1] было предложено в уравнениях луча перейти от длины дуги к координате, вдоль которой первоначально направлен луч. Для среды в среднем однородной при условии малых флуктуаций направления луча относительно невозмущенного направления подобный переход означает переход к новой переменной, указывающей положение луча на невозмущенной траектории и являющейся при этом одной из координат радиус-вектора. Очевидно, что для этого достаточно, чтобы одна из координатных линий совпадала с невозмущенной траекторией луча, и, следовательно, нужно знать невозмущенную траекторию луча.
Рассмотрим линейный слой, диэлектрическая проницаемость которого в системе координат (x,y,z) имеет вид
ep(z) = n2(z) = 1 -—, (1)
р ZQ
zq = const характеризует размер слоя. Невозмущенная траектория луча является в этом случае
параболой
z(y) = --^+yctg<&°, (2)
so = sin , i9° — угол падения луча на слой.
Введем систему координат параболического цилиндра таким образом, чтобы одна из координатных линий описывала невозмущенную траекторию (2). Для этого рассмотрим новую декартову систему координат x,y,z, начало которой совпадает с фокусом параболы (2), т.е. связанную с первоначальной системой x,y,z соотношением
r = r-r¡, f[{0,2zoCoSo,zo(4-4)}, C0 = COS1?0.
В системе координат без черты уравнение невозмущенной траектории имеет вид
^ = -2 Z + t¡, T20 = 2Z0S¡. (3)
Координаты параболического цилиндра х, т, а [3, 4] определим следующим образом:
1/2 2ч
х = х, у = ^ат, z = -(t —а).
Новые координатные поверхности предсталяют собой системы еофокуеных цилиндрических параболоидов с осью вдоль оси х
y- = -2z + r2, y-2=2z + a2 T¿ a¿
и плоскостей х = const. Таким образом, если задать две следующие координатные поверхности: т2 = т|, х = 0, — то получаемая при их пересечении координатная линия будет совпадать с невозмущенной траекторией (3), а координата а будет указывать положение луча на ней. В работе [2] подробно описан вывод уравнений положения и направления луча
в приближении малых флуктуаций диэлектрической проницаемости, когда
е = £р + аеа, а< 1, (4)
где Ер удовлетворяет соотношению (1) и как функция переменных параболического цилиндра имеет вид
— пр —
_1_
20
1
а
Поскольку в уравнение переноса для амплитуды волны входит лучевой вектор 5, то необходимо использовать уравнения луча, полученные в работе [2] и записанные с точностью до 0(а2):
х = Бх
о*-
■ Т,
5<т- - *5<т-
"О «О,
"о"
о. т =
а 1 деа п0 2«0 дх
а*-
(5)
а
7Г'£" "о
щ
' По
с "О
■ 4сгга —
точка означает дифференцирование по а и а2 + б2 1
По
По
/е» —
П0
}_ д£а
2 дт
о"-
Коэффициенты уравнения Эйнштейна-Фоккера получены из (5) при выполнении условий
Го
2г0
< -г?0
го 2г0
«502,
(6)
Ух = ^'а2+ Т2БХ, ит = Зт,
- у =--5Т,
по 5т По
Рхх> ~ Ртт> ~ ^х ~ ^т = Рхт>= 0,
(7)
о
о*-
£> =
2 2 (у. еа
ж
4 го
го характеризует радиус корреляции неоднородно-стей диэлектрической проницаемости, коэффициент корреляции имеет вид р = е^г2//го.
Уравнение для амплитуды волны вдоль луча, полученное в работе [5], следует из уравнения переноса и уравнения эйконала нулевого приближения геометрической оптики:
йА _ А (
с!]'V 5+5-
2е /
(8)
где I — длина дуги вдоль луча. Для представления уравнения (8) в виде уравнения Ланжевена в рассматриваемой среде с регулярной рефракцией следут записать его в выбранной параболической системе координат и перейти от дифференцирования по длине дуги к дифференцированию по координате а, используя следующие выражения:
йА йА Б«
И
йа л/,
о*-
„ де .
Уге = —I,
дх
де
де
да л/о5 + т
¡Ну 5 =
1
■2 'д8а
дх лУд-2 + т2 \да
дт^ + т дБт
•2'
•ЯтП + Бгт
В результате получим
йА йа
_А_
' 23п
2е
дБх , V 1
дх
де дх
а2 + т2
дБа дБт —-Н---
да дт
, де
(у^
а2 + т
дт) _
(9)
В приближении малых флуктуаций (4) запишем решение уравнения (9) в виде А = Ло + аАа + ... . При а = 0 имеем ^ - —
а^+Тп
Уравнение для Аа имеет вид
Объединяя оба уравнения, получим с точностью до 0(а2) уравнение для амплитуды в виде уравнения Ланжевена
йА _ п0 Лооч/2хр
—— — —/г- — (X--- X
йа п0 2
х
д^ха дЗта дх дт
1
г0
а2 + т!
а"
деа да
поскольку ^ = +т.
г и уравнение для амплитуды
в нулевом приближении можно представить в виде
-^-(А0п0) = 0, АоПо=Аоо,
(10)
где Лоо — амплитуда вдоль луча на входе в среду. Воспользуемся теперь выражениями, полученными при выводе уравнений для направления луча в [2], которые при выполнении условий (6) имеют вид
= \f2zp дх 2 по
Таким образом
дх>2
йа' ^™ — ^ дт 2по
<7,1
<7,1
1 д2е' 4- йа'. п'о дт'1
йА = пр аАооУ^о I \f2zp йа по 2 | 2«о
дх>2
йа'
(70
Г 1 д2е'
а*-
г2 2 По
п'о дт'2
<1о>-
го
<70
о"-
_ д£а
3 да
(11)
Найдем теперь коэффициенты уравнения Эйнштей-на-Фоккера, связанные с амплитудой. Из (11) следует
Раа —
а2А2ж 2г0
2 по
д2е" а с1а"
дх"2
<70 <т
0*0
^аЧт2 2"0 / х/2^"
Г 1 д2е"2
° с1а"
го
деГ
<?о
< дт"2 ( да
уг+тЛ
• X
2га'
<92е'"
" са
дх'"2
йа"
О0
а'2 + г02Ч
X
1 д2Еш по дт'"2
г0
а'2 + Тг
з д(Т, ( аа-
При вычислении коэффициента Рдд рассматривается ряд интегралов, например
/ =
2£о
4 гап
Г йа'
<?о
йа"
2£О 4 га0
р Я2е// Л2е///
оо
<7
дх"2 дх'"2 йа"
га0 °
дх"2дх"'2
йа'".
Поскольку в параболической системе координат расстояние между точками имеет вид
г2 = (х" - х"Г + (Тст"т" ± (7"'г"')2 •
+ 1-[(т"2 -а"2)- (г'"2 -а'"2)]2,
а коэффициенты в уравнении Эйнштейна-Фоккера должны быть определены в точке, где х" = х'",
т" = г'" = го, то
дх"2дх"'2 __ Введем переменные
с „н „ш
£ = а —а
= 12-
¿2р ¿(г2)'
= 12Ле^г2/го.
а" + а'"
Г)»
Тогда рассматриваемый интеграл имеет вид
/ =
2£о 4га0
йа'
йг/ 2
12-^ ехр
<?0
е2(г02+^2)
с
Проинтегрировав по получим
/ =
4«о г| ^
Г ¿а'
Вычисляя подобным образом остальные члены Рдд и учитывая, что го <С ^о > имеем з
^дд —
А2
2гп £1
«О^о
31; + —
п0
„/2
с1(/ п'0
О0
О0
¿а'
1, (12)
^¡2zo ] га'о /
<70
<7
= \72io ^с/ = \/2го + \/2^о со)
О0
¿т =
<7
Г йа'
т = \/2го
(Т •
оо
\/2^о(1 - с0)
Из соотношений (5), (11) найдем следующие коэффициенты, входящие в уравнение Эйнштейна-Фок-кера:
по А Р Аоо^о
УД =--А Р45 =
По
2га2
оо
В результате получаем уравнение Эйнштейна-Фок-кера для плотности вероятности состояния системы Ш{А,$х,$т,х,т,а)
дШ да
а*-
—ядШ Ш дх дт
5,
ш
ш Ж
А—\
дА )
_ По ^ _
по с^т ол) щ
■ го (д2Ш д2Ш\
д2Ш д2Ш
-^Ш-^ЖдА^- (13)
Для решения (13) введем функцию х следующим образом:
ш = 4х.
Кроме того, как показано в работе [6], в качестве новых переменных следует выбрать независимые интегралы уравнений луча (5) и амплитуды (11), а именно
Рх = х- 5хп0Ьх, рх = га05х,
Рт = т — 5тщЬт, рт = гао5т,
а = щ А.
В результате в новых переменных уравнение для х имеет вид
дх(рх,Рт,Рх,Рт,а,а)
да
х
(°2х о $2х , $2х $2х
л I п £ ~ - "Г" о ' <г\ о
\Ф1 дрхдрх Ф1 Фг
о 02Х ь °22)<1<
дрТдрТ Т др2 ''
■ + 0 Х 3 Х
Ц=0. (14)
фртда дртда
Уравнение (14) указывает на зависимость флуктуа-ций амплитуды и флуктуаций положения и направления луча. Проинтегрируем (14) по переменным Рх'Рх* РпРт и получим уравнение для плотности вероятности переменной а в виде
0у(а.<т) _ Р 2°2Х
Решение этого уравнения приведено в [6]: 1
I РААп2 йст\ V Сто '
1/2
X
х ехр
-(а-аоГ 4
Рллп0 (Iа
<то
а0 = а(а = а0). Возвращаясь к переменной А =
п0
и функции
^/ = поХ' получим, учитывая (10) и условие нормировки, выражение для плотности вероятности амплитуды
«о
Ш7 =
1/2
X
4тг $ /"ллПд (1<т
х ехр —(А — Д0)2
РЛЛп0 с1ст
его
(15)
Таким образом, дисперсия амплитуды, как следует из (15), определяется выражением
- 2
м2=4
ч
Рллп0 ¿(7.
(16)
0*0
Подынтегральное выражение в (16) следует из уравнения (12). Поскольку проинтегрировать (16) не удается, запишем выражение для дисперсии амплитуды как функцию безразмерной переменной У
для численного вычисления
771 _ Л0(Я24у^ {2гр\\,
" Ч(У)
У
-Со
у'2 1п2
у'2 + 4
1 - Со
и' /- 3 и'
а гс Щ—ууу'2 + 5п + о агс^
2«0 «о
, Зяо
/2.
* у\ у
— агс1:р — п---
2 ь 50 1 - Со
+ у'2 + агс1§ — + у'\/у'2 + агс1§
Со «о
' \/у'2 + «о агс^ — + у'
У'2 + 4
1 - Со
, У'+^У'2 + 4 ( Зяо , со
■ 1п-^- Со + — агс^ —
1 - Со V 2
+ (17)
2 J
Графики функции /(¿/), представляющей интеграл в выражении (17), для различных углов падения на слой изображены на рис. 1.
п—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 у
Рис. 1. Графическое представление функции ¡(у) (17), полученной с помощью численного интегрирования для различных углов падения волны на слой
Сравним дисперсию амплитуды в среде с регулярной рефракцией с дисперсией амплитуды в среде в среднем однородной, которая определяется кубической зависимостью отношения пройденного лучом пути вдоль невозмущенной траектории к величине радиуса корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости [5]. Запишем дисперсию амплитуды в среде с регулярной рефракцией через отношение пройденного лучом пути к радиусу корреляции. Записывая пройденный лучом путь от начала слоя до заданной точки траектории в виде
йа'^2
Со
ст\/ст2 + то + (2го)2со + То 1п
а ■
^ + То
и переходя к безразмерной переменной у, представим дисперсию амплитуды следующим образом:
^42 = Аоо(у24\/к {Цу)\3 !(у)
2 п1
Го
X
(18)
где
X =
I (у\]у2+4 + + 41п
Графики функции определяющей отклонение
,!0
дисперсии (18) от представленного выше кубического закона, изображены на рис. 2. Из графиков следует, что если угол падения волны на слой больше 45°, то поведение дисперсии амплитуды практически такое же, что и в среде в среднем однородной. Для малых углов падения (меньше 45°) поведение дисперсии резко меняется, флуктуации амплитуды сильно увеличиваются вблизи точки поворота луча (сг = 0). Объяснить подобное поведение дисперсии можно, если обратить внимание на условия применимости метода диффузии луча, которые также зависят от угла падения на слой. Помимо условий (6) существует условие Го<С^, которое на выходе из слоя можно записать в виде
го 2гп
<с0
с0
1 - Со'
ЯУ)/(П$Х) 50 п
40
30"
20-
ю-
-1,0 -0^8 -0,6 -0,4 -0,2
0 0,2 0,4
Ну)
—1—I—1—I
0,6 0,8 у
Рис. 2. Графики функции ^, определяющей
ппл
отклонение дисперсии в рассматриваемой среде с регулярной рефракцией (18) от дисперсии в однородной в среднем среде для различных углов падения
Нетрудно убедиться в том, что приведенные выше условия с большей точностью выполняются для углов больших 45°.
Найдем далее относительную дисперсию ампли-
туды волны, которую с учетом записать в виде
„272
Лоо _ А
^ - 'ч
«о
0 можно
5Л2
«М^аду/М (19)
Численный расчет функции ^ представлен в виде графиков на рис. 3. Из полученных графиков следует, что относительная дисперсия амплитуды (19) в большей степени соответствует кубической зависимости отношения пройденного лучом пути вдоль невозмущенной траектории к радиусу корреляции неоднородностей, а рассеяние в среде с градиентом е происходит как в квазиоднородной среде.
ЯУ)!Х
25 п
20- -30
---45
15 - •--•60
10-
5-
1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 у
Рис. 3. Графики функции Щ^-, определяющей отклонение относительной дисперсии амплитуды в среде с регулярной рефракцией (19) от дисперсии в однородной в среднем среде
Использование метода перехода от уравнений Ланжевена к уравнению Эйнштейна-Фоккера возможно лишь в том случае, когда невозмущенная траектория луча является координатной линией. Поскольку невозмущенной траекторией луча в линейном слое является парабола, то, осуществляя переход к системе координат параболического цилиндра, можно решить задачу рассеяния в плоскослоистой среде с учетом полного отражения и найти закон распределения и дисперсию амплитуды волны вдоль невозмущенного луча в любой точке траектории (включая точку поворота луча). Это принципиально новый результат, так как в традиционной геометрической оптике невозмущенная амплитуда и флуктуации амплитуды обращаются в бесконечность вблизи точки поворота луча. Однако решить данную задачу для произвольной зависимости регулярной диэлектрической проницаемости от координат не удается, что создает трудности в установлении общих закономерностей рассеяния.
Отметим, что при сопоставлении экспериментальных данных с теоретическими наряду с распределением Гаусса используют и другие виды распределений, корректно описывающие слабые флук-
туации амплитуды и интенсивности, в частности распределение Накагами [7].
Литература
1. Кляцкин В.И., Татарский В.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1971. 14, № 5. С. 707.
2. Гусев В.Д., Власова О.Л. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 1984. № 5. С. 74.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных сотрудников и инженеров. М., 1973.
4. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М., 1960. '
5. Власова O.K., Приходько J1.И. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 5. С. 18.
6. Чандрасекар С. Стохастические процессы в физике и астрономии. М., 1947.
7. Хи Z-W., Wu J., Wu Z-S. 11 Waves Random Media. 2004. 14. P. SI89.
Поступила в редакцию 07.11.2007
