Численное исследование вязкого ударного слоя в окрестности критической точки при наличии вдува газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XVI 1985

№ 4

УДК 532.526.011.6:533.694.71/72

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ПРИ НАЛИЧИИ ВДУВА ГАЗА

В. П. Провоторов, Э. А. Степанов

Проведено численное исследование уравнений тонкого вязкого ударного слоя в окрестности критической точки (линии) при наличии вдува газа. Расчеты проведены в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха, а также температурного фактора. Получена единая для всего исследованного диапазона параметров задачи зависимость относительного теплового потока от предложенного в работе обобщенного параметра.

Известно, что влияние вдува газа на теплообмен уменьшается с уменьшением числа Рейнольдса [1—4]. Однако в отличие от случая больших чисел Рейнольдса, когда справедлива теория пограничного слоя, систематические исследования влияния вдува на теплообмен и другие характеристики течений разреженного газа отсутствуют.

В настоящей работе проведено такое исследование в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя в совершенном газе. В области слабого вдува газа можно рассчитывать на справедливость этой модели, поскольку при отсутствии вдува она приводит к удовлетворительному согласованию (в первую очередь для теплообмена) с результатами расчетов по полным уравнениям Навье—Стокса [5, 6], а также с имеющимися экспериментальными данными.

Расчеты проведены для случая вдува газа, однородного с внешним потоком, при числах Маха набегающего потока Моо = 6,5; 13; 26; числах

Рейнольдса Re0 = —'■ц°°Г- =2-+- 1000, температурных факторах tw =

_ {^0

= TJT0 = 1,79-10~3 — 0,9, где [Д.0= ja (Го); Т0, и — соответственно температура торможения, плотность и скорость невозмущенного потока, Tw — температура поверхности, г—радиус затупления сферы (цилиндра). Здесь, как и ниже, размерные величины обозначены черточкой.

В отличие от работ [1—4] в настоящей работе использована иная зависимость вязкости от температуры. Кроме того, учтено условие скольжения и скачка температуры на стенке. Необходимость такого учета подтверждается сравнением расчетных и экспериментальных данных [6].

1. Рассматривалась следующая система уравнений тонкого вязкого ударного слоя в ортогональной системе координат, ось у которой направлена по нормали к поверхности тела [6]:

Здесь и ниже используются следующие обозначения: е= (х— 1)/2х; х—-отношение удельных теплоемкостей газа; лт, гуг — координаты,связанные с поверхностью тела (ось у направлена по нормали к телу, а координата х выполняет роль параметра, определяющего задание формы поверхности обтекаемого тела); hiy h2 — коэффициенты Ляме; k/r — кривизна поверхности; иих, — соответственно составляющие скорости вдоль касательного и нормального к поверхности направлений; рроо/е — плотность; /?Ро, «L/2 — давление; Ли1/2 — энтальпия; Н = h -f и?— безразмерная полная энтальпия; p.¡x0— вязкость; Рг — число Прандтля; х —(®Reo)-1-

При описании течений около охлажденных поверхностей, т. е. при /и,=0(е)<1, система уравнений (1.1) удовлетворяет условиям прилипания. Однако в общем случае необходимо, особенно при малых и умеренных числах Рейнольдса Reo, использовать на поверхности тела (т. е. при у=0) граничные условия скольжения и скачка температуры [6]

В этих соотношениях аир — коэффициенты аккомодации, которые во всех расчетах полагались равными единице; ^ = 0,988, а2=0,827, /гю = /г(Тг№). Предполагается, что вдувается однородный газ с заданным расходом тю= (pv)w. Граничные условия на внешней границе вязкого ударного слоя (при у — ув) соответствуют обобщенным условиям Ренки-на—Гюгонио:

полная энтальпия в невозмущенном потоке.

Безразмерные коэффициенты трения и теплообмена определялись следующим образом:

(1.2)

рг» = — sino, р — 2sin2о, sin о (coso — и) = ц>-,

где о — угол наклона скачка к оси тела, //«> — 2Hoo¡u¿0— безразмерная

cf~ 2х«/(Роо и») = ХР- ,

(1.4)

St — 2qwf[px, Meo [Н0 hw)\ — _ _

2ср Г0 О — <»)Рг ду '

“оо______________п dfl

Для окончательного замыкания системы уравнений (1.1) необходимо задать зависимость коэффициента вязкости от температуры. Эта зависимость бралась согласно аппроксимации, предложенной в работе [6]:

¡Г =0,0688-10“6 Т Н-с/м2, 0<f<125K, jT= l,47.10-eTa/2/(f+ 144) 125 К <Г< 1000 К,

^=0,419.10-6Г0’666 ^ , 1000 К <Г< 4000 К,

}Г = 0,0911-10-6 Т0'85^- , Т > 4000 К.

Применим к системе уравнений (1.1) и граничным условиям (1.2), (1.3) преобразование Дородницына — Лиза

у

? = ■>) = А, Э* jVy/Ф*.

0

■гм г df “ р

/— Ф/**, а, - Ps ’

N = w> Р* = М0, Ф.-М«)-

Здесь ¡3*=coso/Aj, ф* Afp*x)1/2> Д^—нормирующая функция,

которую выбираем из условия ч\ = kj4 = const при y = ys; ys и ps — соответственно значения у и р на внешней границе вязкого ударного слоя. Тогда для рассматриваемого случая тепло- и массооб-

мена в окрестности критической точки (линии) затупленного тела

получим следующую автомодельную систему уравнений:

(Nf'Y + 2(1+ j)ff" - 2/2 + 2?Я = 0,

IN V , (1-5)

Н J + 2 (1 +/)/Я == 0, ъ = А/'\

. 2k где p = -2eAj<plw, = Л = —з (2х)1/2, N=\xj2M,

^S

/ = 0 и 1—соответственно для плоского и осесимметричного течений.

Граничные условия на поверхности тела (при rj = 0) преобразуем к виду

/=/. = const, Г = Ы, Я-А. + РгЯ'. (1.6)

Здесь

Параметр fw, характеризующий интенсивность вдува газа, определяется соотношением

Граничные условия (1.3) на внешней границе вязкого ударного слоя (прит^г^) примут вид:

2 VxO + /)/= A?

Ноа-Н=^Н', 9i = 0.

(1.7)

Первое условие (1.7) служит для определения нормирующей функции д8.

Для определения физической координаты внешней границы ударного слоя необходимо после решения соответствующей системы уравнений вычислить интеграл

1/— ^

У* = -^г I Ыт1-

о

Формулы (1.4) для определения коэффициентов местного напряжения трения и теплообмена приводятся к следующему виду:

2; 1^7 N м2 Уч N

/ А* У 7*0 (1 - <„) РгЛ*

2. Система уравнений (1.5) с граничными условиями (1.6), (1.7) решалась численно неявным конечно-разностным методом, развитым в работе [7]. При этом каждое уравнение системы (1.5) представляется в векторном виде:

(Аи)’ + Ви + с = 0. (2.1)

Здесь, как и выше, штрих обозначает производную по переменной г]. Кроме того, введены обозначения

А = г 1-2, в=\Ь 1 6Л, С=(М, и = ( Щ

oí/ V1 о у \ о / v«2

Система (2.1) дополняется граничными условиями Pouo==F0, Qnun~Fn+\> 1

Ро = (Ки^), *Wio, <2-2>

Qn = (^21) ^22)» ^ЛГ-Н = ^20- J

Конечно-разностную аппроксимацию системы (2.1), (2.2), предложенную в работе [7], можно представить в форме

P¡+1 *¿+i Qi 4i=z Fii-f i, 0<¿<7V 1,

где элементы матриц/? i+1, Q¿ и вектора Fi+1 выражаются через элементы матриц Л, Z? и вектора С.

Таким образом, получим двухточечную векторную систему уравнений с краевыми условиями первого рода, которую в общем случае можно записать следующим образом:

р0 и0 — F0, Р1+1иш — Q,ut = Fl+l, 0 < г < TV— 1, QN uN = FN+l .

Для решения этой системы можно использовать один из вариантов метода прогонки [8]. В настоящей работе использовался алгоритм прогонки, разработанный в работе [7]. Отметим, что основные преимущества двухточечных разностных схем заключаются в следующем: а) граничные условия любого типа «аппроксимируются» точно; б) просто реализовать переменность шага в направлении прогонки. Другие преимущества используемой конечно-разностной схемы отмечены в работе [7].

Во всех вариантах полагалось г|в= 1 и выбирался равномерный шаг по т], равный Лг] = 0,025. Нормирующая функция Дв подбиралась согласно первому условию (1.7) с использованием метода Ньютона. Сходимость процесса контролировалась по вычислению относительной погрешности величины Дв, которая в рассмотренных вариантах не превышала 61= 10~2. При этом остальные характеристики течения в вязком ударном слое ВЫЧИСЛЯЛИСЬ С относительной погрешностью 62=10~3.

Ниже приведены результаты расчетов напряжения трения и теплового потока, полученные при следующих значениях характерных параметров: Рг = 0,71; М00 = 6,5; 13 и 26; /„= 1,79-10-*-*-0,9; Яе0=2, 10, 100, 1000.

3. В исследованиях пограничного слоя в качестве определяющих параметров, от которых зависят относительные значения теплового по-? . т с1

тока — = -от— и напряжения трения — = — (индекс * здесь и ниже Я* ^ ^ ^ # сf *

означает отсутствие вдува газа), обычно применяются параметры

В =

Я*

fwtl

[р. ае

due

dx

1/2

На зависимость относительного теплового потока от этих и аналогичных им параметров число Маха набегающего потока и температурный фактор оказывают слабое влияние.

Из имеющихся результатов для течений разреженного газа отметим данные работы [4], в которой приведены расчеты для окрестности критической точки сферы при числах Рейнольдса Re0= 10-ь2500, температурных факторах íw = 0,03 и 0,3. Оказалось, что результаты расчетов теплового потока и напряжения трения могут быть представлены в виде

*1 /~ Re0

~Рсо«оо ' 1+У’

единых приближенных зависимостей от параметра F

Re ц = 10

— tw = 1,79-10'

— О,К

— 0,30

М„=13

M„=2S

М„ = 6,5 {без сколь/нения)

к tw = із ■ Ю3 'Atw=2 l0j *tw = 1,73-ю 3

OfiS

0,37

0,5

1,0

Рис. 1

0,45

0,30

Этот вывод, полученный без учета условий скольжения и скачка температуры на поверхности, подтверждается аналогичными расчетами настоящей работы при Кео=10 в более широком диапазоне изменения температурного фактора. Соответствующие результаты (при Мх = 6,5, 7 = 0 и 1) наряду с расчетными данными при М<х> = 6,5; 13 и 26 (с условиями скольжения и скачка температуры) приведены на рис. 1 с указанием принятых обозначений (как и на всех последующих рисунках). Использование точечных обозначений на рис. 1 и 4 связано с необходимостью различать близкие или практически совпадающие результаты, полученные при различных сочетаниях определяющих параметров.

Однако при учете скольжения и скачка температуры, как это видно из результатов расчетов 51/51^. и представленных на

1,0

st/st.

0,6

1.0

0,6

0.6

М„ = 6,5 Сфера (j=1)

— tu~1J9-10

— 6,45

— о,SO

100 то

I

х

0,5 1,0

Рис. 2

1,5

4—«Ученые записки» .№ 4

49

рис. 1—3, указанная выше корреляция отсутствует *. С уменьшением числа Рейнольдса и ростом температурного фактора соответствующие зависимости теплового потока и напряжения трения от параметра Р проходят выше. При Ке0 = 2 получено даже увеличение напряжения трения в результате вдува газа. Отметим, однако, что случай Ке0=2, возможно, лежит вне границы применимости уравнений Навье—Стокса.

Анализ результатов расчетов по теплообмену показал, что во всем исследованном диапазоне интенсивности вдува газа, чисел Рейнольдса и Маха, а также температурного фактора и в плоском и осесимметричном течениях относительный тепловой поток можно представить в виде единой корреляционной зависимости от комбинированного параметра

Re"

0,5

(l+/)1/4(l+2,2^3/Re'/2)

,7 = 0 или 1.

Примечательно, что зависимость StlSt%(F0) (рис. 4) удовлетворительно совпадает с результатами расчетов по существующим приближенным соотношениям для пограничного слоя в окрестности критиче-

ской точки (линии). В качестве примеров на рис. 4 приведены расчетные данные, полученные с помощью формул из работ [9, 10], записанных в преобразованном виде

St/St* = [1 + 1pFq + 3 (Tf F0)T\ (3.1)

UF F° „ ,

St/St* = -----• С3-2)

e F - 1

* Число St вычислялось по тепловому потоку к поверхности qw, а не по тепловому потоку внутрь стенки qs = qw—mw (h—hw).

Значения коэффициентов чР—щв и ар=аав[где ув = 0,56, ав = = ! ,3(0,4ср//?)1/2, ср и — удельная теплоемкость и газовая постоянная] зависят от отношения параметров вдува газа а = 5//70. Это отношение определено ниже в приближении пограничного слоя, когда можно принять /^ = яг® Иео2/[роо Иоо(1 + У)1/4] • Тогда, используя широко известную формулу Фэя и Ридделла [11] для расчета <?*, получим

(1 + У)1/4 Рг0-6 /_^у/4

0,763 \ 2ро / ’

где ро — плотность заторможенного потока за прямым скачком уплотнения.

Если принять, что число Прандтля Рг = 0,72, то величина коэффициента а изменяется от (1+/)14/2,35 до (1 + /)1,4/1,73, где нижняя граница соответствует равновесному воздуху при скоростях порядка первой космической, а верхняя — совершенному газу (х=1,4).

При проведении расчетов принято среднее значение а= (1+/)1/4/2,04, в соответствии с которым у^=0,275(1+/) 1/4, ар=0,75(1 +/)1/4 . Как видно из результатов, представленных на рис. 4, эти значения коэффициентов уР и аР могут быть рекомендованы для приближенных расче-

Рис. 5

тов относительного теплообмена по формулам (3.1), (3.2) при слабом вдуве однородного с внешним потоком газа (при 1,5-н2,0), числах Рейнольдса Не0>2, температурных факторах 0 < ^ ^ 1 . Удовлетворительное согласование численных результатов настоящей работы с расчетами по приближенным формулам для пограничного слоя, полученным при различных предположениях относительно физических свойств потока, позволяет надеяться на справедливость полученной корреляционной зависимости от и в случае более полного учета реаль-

ных свойств газа при гиперзвуковых скоростях полета.

При практическом использовании данных, приведенных на рис. 4, необходимо знать теплообмен при отсутствии вдува газа. Этот теплообмен при больших числах Рейнольдса, когда справедлива теория пограничного слоя, можно определить, например, по формуле Фэя и Ридделла [11], а в случае умеренно малых чисел Рейнольдса — по данным, приведенным на рис. 5 или в работе [6].

1. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового ударного слоя с подводом массы при умеренно малых числах Рейнольдса. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 3.

2. С hen S. Y., Baron G., M o b 1 e у R. Stagnation region gas injection in low Reynolds number hypersonic flow. — The Rand Corporation, RM—5273—PR, Febryary, 1967.

3. Емельянова 3. М., Павлов Б. М. Вдув с поверхности сферы навстречу разреженному гиперзвуковому потоку. — В сб. Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд. МГУ, 1981.

4. Гершбейн Э. А., Колесников А. Ф. Численное решение уравнений Навье — Стокса в окрестности притупления тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа при наличии вдува. — В сб. Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. — М.: Изд. МГУ, 1979.

5. Гусев В. H., П р о в о т о р о в В. П., Рябов В. В. О роли физико-химических процессов в задачах моделирования гиперзвуковых течений разреженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 4.

6. Гусев В. H., Провоторов В. П. Моделирование натурных условий высотного полета в аэродинамических трубах.—Ученые записки ЦАГИ, т. XII, № 3, 1982.

7. Денисенко О. В., Провоторов В. П. Исследование течений газа при умеренных числах Рейнольдса. — В сб. Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. — Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2269.

8. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

9. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита.—М.: Энергия, 1976.

10. Mills A. F., Wortman A. Two-dimensional stagnation point flows of binary mixtures. — Internat. Journ. of Heat and Mass Transfer, vol. 15, N 5, 1972.

11. Фэй Дж., Риддел л Ф. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом. — В сб. Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. — М.: Изд. иностр. лит-ры, 1962.

Рукопись поступила 17)1 1984