Тонкий вязкий ударный слой около вращающегося затупленного тела, расположенного в дальнем следе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989

№ 2

УДК 532.526 : 533.694,71/.72

ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ДАЛЬНЕМ СЛЕДЕ

С. В. Пейгин, С. В. Тимченко

В рамках теории тонкого вязкого ударного слоя рассматривается обтекание затупленного вращающегося тела с проницаемой поверхностью потоком типа дальнего следа. Получено численное решение в широком диапазоне определяющих параметров задачи. Выявлен как количественный, так и качественный характер совместного влияния на течение в ударном слое около вращающегося тела с проницаемой поверхностью неравномерности набегающего потока и закрутки тела.

Для решения ряда прикладных задач необходимо учитывать эффекты неравномерности в набегающем потоке газа. К ним, в частности, относится задача обтекания тела, движущегося в дальнем следе за другим телом. С практической точки зрения представляет также интерес изучение обтекания вращающегося тела. Ранее вопрос обтекания затупленных тел неравномерным потоком типа дальнего следа рассматривался в работах [1—6]. При этом если в [4] решение получено в рамках классической модели разбиения возмущенной области на невязкий ударный слой и вязкий пограничный слой, то в [1—3] рассматривалось обтекание сферического затупления на основе уравнений Навье —Стокса. Наряду с теоретическими имеются также экспериментальные работы [5, 6^. В работах [7—9] в рамках тонкого вязкого ударного слоя рассматривалось обтекание вращающихся затупленных тел.

1. Математическая постановка задачи. Безразмерные уравнения тонкого вязкого ударного слоя в неподвижной системе координат (х, у, г), связанной с поверхностью тела, имеют вид [9]:

+т,}+Мж£)- ■ с-»

Здесь оси х, у, г направлены соответственно вдоль образующей тела, в окружном направлении и по нормали к поверхности, им соответствуют физические компоненты вектора скорости е~'р*Р> е-1 р+рТоТ+',

7о7\ ЦоЦ, Я,—соответственно плотность, давление, температура, коэффициенты вязкости и теплопроводности, х/?-1—продольная кривизна поверхности тела, а—угол наклона контура к оси симметрии, г — расстояние от оси симметрии. Все линейные размеры отнесены к /? — радиусу кривизны тела в критической точке, а нормальная координата — к е/?. Индексы оо, ш, * относятся соответственно к значениям параметров в набегающем потоке, на поверхности тела и на оси симметрии течения перед ударной волной.

В качестве граничных условий для системы (1.1) на ударной волне используем обобщенные соотношения Ренкина — Гюгонио, записанные в гиперзвуко-вом приближении:

г==г${х)\р

1+е

2 и дъи

^оо ) Роо Уоо ^ ^ ^

Р и ^ ^оо , Роо Vоо (м Мое] у

Р„ у» (Г — + ш2 + (“ — ы”) )) = ~дГ-

(1.2)

На поверхности тела, пренебрегая эффектами скольжения и скачка температуры, несущественными, как показано в [10], при режимах течения с большими сверхзвуковыми скоростями, ставим условия:

2 = 0: ыш = 0, Т=ТШ, (ри)ш=С(*).

(1.3)

Для решения краевой задачи (1.1) — (13) конкретизируем выражения для плотности и компонент вектора скорости перед ударной волной. Согласно [3] в области дальнего следа выполняются эмпирические соотношения:

иоо = V| соэ а, У» = — 1Л а, р„ = (1 + с( 1 — К?)) ', 1Л= (1 — а)-1 (1 — аехр ( — Ьг2)), а< 1.

(1.4)

Неравномерность потока определяется тремя параметрами а, с, Ь, которые соответственно определяют дефекты скорости и плотности на оси симметрии и характерный размер следа. Как показано в [4] эти параметры неравномерности зависят от размеров тела, образующего след, расстояния до него и параметров набегающего потока. Важной особенностью течения в следе является то, что величина полного давления в нем зависит от г и имеет минимум на оси симметрии, монотонно возрастая с увеличением г.

Для численного решения системы (1.1) — (1.4) осуществим переход к переменным типа А. А. Дородницына:

В результате (опуская индекс 0) получим систему уравнений и ничных условий:

— Du +. «I и2 — 02 W2 + Озр-1 Я,

(lwdt — Dw + CI4UW, /75 = Р|Ы2 + Р2Ш2,

(а~‘ /0ё)с = £>8 + Об Ы0 — / [ Об (uj)2 4- щ (ш')2] — Об ар-1 Я,, (Л)5 = М“і+ Р4 + feu2 + Реш2, р = -f^- Р0• D ^ ('“ Ж ~ -Й"^) - <*>f-k'

S = 0 : « = 0, 0 = 0В1, ®„ = 1, P7/+“oJi = ~‘ff’ g = 1 : /Фы^ + u= 1, /Ф»5 + ® = 0,

а-:1 / Ф Є; + 0 = 1 + O.Scts (и - 1 )2 + 0,5с% w2,

„ р7/ + и0>/І = ф-1, /?=0,5(1+е)г4,

Р, = P,s = (1 +е)р00у^0 (r£_1A sin а—х|_| sin 2а).

Коэффициенты в уравнениях (1.6) и граничных условиях (1.7) — имеют следующий вид:

дУ' 2е і

оц = хК, sin а + -sp- cos а, аз =

ag ’ ^ 1+Є V, COS О ’

ц дд V, cos а с»

«0=0,+— —+ _|_( as = 2ctgair,

Оі = г К;-1 Q2 ctg а, = К, г-1 sin 2а, а7 = 2ш2у-2, «в = 2 ctg а,

Р, = 0,5(1 +е) хДV\r~x I cos2 а, 02 = 0,5(1 +e)A|Q2 cos а,

Рз = 2Г‘Рь Р4 = 2Г'Р». Р5 = 0,5Г'(ЭзЕ)1е, Рб = 0,5Г'(р4І)^

р ,, cos а Л . d |п , d In Д \ ф _ Д£

Iі+~?1ЇГГ+оТЇГГІ* ф- Гр.*.-

А (г) = 2а6(1 —а)-1 ехр(— Ьг3) (ер» У,— КГ1) ■

гра-

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.8)

(1.9)

В критической точке дг=г = 0 система (1.6) — (1.9) имеет особенность,

разрешая которую получим следующие выражения для коэффициентов (1.9): «оо = 0. у»= — 1. Рос = 1. а— 0,5л, а,= 1, о£о == а4 = р7 = 2,

<%=&, «3 = 2е(1 +е)_‘, о£5 = сх6=а7==о£8=р1 = Р2=Эз=Р4 = 0, (1.10) Р5 = (1 + е)А, ^6=02^5, Л(0) = Л° = 2а6(1 —а)-1 (1 +с)

Р,5 = (1+е)(Л°-1), Ф==Д.

Важно отметить, что анализ (1.6) — (1.10) показывает, что при использованном обезразмеривании в переменных (1.5) влияние неравномерности набегающего потока в окрестности критической точки определяется лишь одним параметром Л°, входящим в граничное условие для градиента давления на ударной волне и представляющим собой комбинацию параметров а, Ь, с.

Из физических соображений, подтвержденных результатами расчетов [1—3], следует, что наличие положительного градиента полного давления в набегающем потоке может привести к появлению в ударном слое возврат-но-циркуляционной зоны. Следуя [4], в качестве критерия образования отрыва при Йе->-оо будем рассматривать условие Р\ш = 0, где Р\т—значение градиента давления на теле, найденное из невязкого решения. Используя асимптотический подход Буземана — Хейза [11] для вычисления Р\т, найдем критическое значение параметра Л£, при котором в окрестности критической точки возникает возвратно-циркуляционная зона.

я1и=(1+е)(л° -|), лг=4-

2. Обсуждение расчетов. Система (1.6) — (1.9) решалась численно с использованием неявной четырехточёчной конечно-разностной схемы [12] с точностью аппроксимации 0(Д14)+0(Д£). Рассматривалось обтекание сферы, а определяющие параметры задачи варьировались в следующих пределах:

1< Ие<105; е = 0,1; 0Ш = О,25; м = 0,5; 0<й< 1,5; с = 3; 0,5<6<20; 0<Л°<Л°; о = 0,71; 0<С<0,8.

В процессе расчетов определялись профили искомых функций поперек ударного слоя, толщина ударного слоя г5, а также коэффициенты трения и теплообмена на поверхности тела:

с„ = —-------—

8

л/Йег дг 4 естл/иё

_о _ С^(Л0) „о СМ°^ ,о гДл°> /« п

сх(0) ’ Я г (0) ’ 2 2,(0) ' 1 '

Остановимся теперь на анализе полученных численных решений.

2.1. Течение в окрестности критической точки. Как показали расчеты, неравномерность набегающего потока и вращение тела оказывают достаточно существенное влияние на характер течения. Вследствие вращения тела в ударном слое возникают центробежные силы, приводящие к увеличению интенсивности растекания газа и, как следствие, к уменьшению отхода ударной волны и увеличению коэффициентов трения и теплообмена на поверхности тела. Неравномерность набегающего потока наоборот приводит к ослаблению растекания в ударном слое, увеличению отхода ударной волны, уменьшению теплового потока и коэффициента трения на поверхности тела.

Необходимо отметить, что критическое значение параметра А*, при котором в ударном слое возникает отрыв, полученное с учетом эффектов молекулярного переноса, является функцией числа Рейнольдса и параметра

4

вращения тела О. При этом, как показали расчеты, Пт Л£(1?е, £2) =-~-,

Ие—*-оо о

что соответствует результатам асимптотического анализа задачи при больших числах Рейнольдса. На рис. 1 приведены зависимости Л* от числа Рейнольдса для различных значений £2 (линии 1,2,3 — £2 = 0; 0,5; 1,0). Видно, что наличие закрутки практически не влияет на значение Л£ при Ие^Ю3 и может значительно увеличивать область безотрывного обтекания при малых значениях числа Рейнольдса. Далее будем рассматривать только область безотрывного обтекания.

Анализ полученных численных расчетов позволил сделать ряд выводов относительно влияния неравномерности набегающего потока на основные характеристики течения. Прежде всего необходимо отметить, что это влияние существенным образом зависит от других определяющих параметров задачи. В частности, расчеты показали, что при фиксированном числе Рейнольдса усиление неравномерности набегающего потока приводит к тому, что профили скорости и температуры становятся менее наполненными. При больших числах Рейнольдса ударный слой разбивается на невязкий ударный слой и вязкий пограничный слой. При этом константа, на которую выходит решение в пограничном слое и которая определяется решением в невязком ударном слое, с ростом неравномерности падает. При уменьшении числа Рейнольдса увеличивается влияние эффектов молекулярного переноса и, начиная с некоторого Ие*. процессы вязкости и теплопроводности являются определяющими во всем ударном слое. Однако пренебрегать продольными градиентами давления, как это делается в теории гиперзвукового обтекания равномерным потоком при малых числах Рейнольдса, можно только при значениях параметра Л°, существенно менвших критического. На рис. 2 приведены профили и поперек ударного слоя в критической точке на непроницаемой поверхности. Здесь £2 = 0; 1,5—линии а, б; Ие=104—линии 1, 2, 3; Ие= 10—линии

4, 5; А0 = 0 — линии 1, 4; А° = -|---линия 2, Л° = -^- — линия 3, 5. Видно, что

вращение тела приводит к усложнению характера течения в ударном слое. При больших числах Рейнольдса вращение локализуется в области примыкающей к поверхности тела, а усиление неравномерности набегающего потока приводит к появлению в профиле и двух характерных экстремумов. При малых числах Рейнольдса вызванные вращением тела центробежные силы полностью или частично компенсируют влияние положительного продольного

л

г

о

В,5

и

О

Г

Рис. 3

Рис. 4

градиента давления, обусловленного неравномерностью набегающего потока, что ведет к значительному увеличению области безотрывного обтекания при малых числах Рейнольдса и больших значениях параметра £2.

Вдув с поверхности тела приводит к дальнейшему усложнению характера течения. При больших значениях числа Рейнольдса и сильном вдуве пограничный слой оттесняется от поверхности и превращается в слой смешения. При этом в окрестности слоя смешения возникают два характерных локальных экстремума в профилях и, причем интенсивность слоя смешения растет с увеличением Л°. Это хорошо видно из рис. 3, на котором приведены профили и

. 4

поперек ударного слоя при Ие=10 ; £2=1,5 (А° = 0; у — линии а, б; 6 = 0;

0.1; 0,4—линии 1, 2, 3).

Совместное влияние неравномерности набегающего потока на коэффициенты трения и теплообмена и относительный отход ударной волны показывает рис. 4, на котором представлены зависимости т° (линии а), <7° (линии б) и г° (линии В) от параметра А0 при 1?е=104; 6 = 0; £2 = 0; 0,5; 1,0—линии

1, 2, 3 соответственно. С ростом А° отход ударной волны монотонно возрастает, а коэффициенты трения и теплообмена монотонно падают. При этом увеличение параметра вращения О приводит к ослаблению зависимостей т° и <7° от Л° и делает их более близкими к линейным. На зависимость отхода ударной волны от неравномерности набегающего потока вращение влияет значительно слабее.

2.2. Течение на боковой поверхности. Анализ полученных численных решений показывает, что наличие неравномерности в набегающем потоке газа может приводить по сравнению с равномерным обтеканием к качественному изменению характера течения в ударном слое на боковой поверхности тела. В частности, возможны режимы, при которых характерное местное число Рейнольдса, вычисленное по параметрам за ударной волной, значительно меняется по обводу тела с ростом продольной координаты |, вследствие чего режимы течения в ударном слое на боковой поверхности и в окрестности критической точки могут существенно различаться. Этот вывод хорошо иллюстрирует рис. 5, на котором приведены зависимости профилей и поперек слоя от

продольной координаты £. Здесь Ие= 104; 6 = 0; £2 = 0; А° = 0; у — линии

а., б; |=0; 0,2; 0,41; 0,62; 0,94—линии 1, 2, 3, 4, 5. Видно, что если при равномерном обтекании режим течения не меняется по всей его длине, то при наличии неравномерности в набегающем потоке в окрестности критической точки реализуется режим вязкого ударного слоя, в то время как на боковой

поверхности при достаточно больших £ уже ясно вырисовывается зона невязкого течения, примыкающая к ударной волне, и вязкий пограничный слой вблизи поверхности тела.

Влияние параметров, определяющих неравномерность потока на интегральные характеристики течения, характеризует рис. 6, на котором приведено распределение коэффициента теплообмена сч вдоль непроницаемой поверхности сферы для различных значений угловой скорости тела £2 (£2 = 0; 1 —линии а, б) и параметров А° и Ь. Здесь Ие= 104; 6=10; А° = 0; 0,5; 1,0; 1,33—линии

1, 2, 3, 4; А°=1; 6=1; 20—линии 5, 6. Видно, что неравномерность потока приводит к тому, что распределение коэффициента теплообмена по поверхности теряет свою монотонность и приобретает характерный максимум, расположенный на боковой поверхности. При этом абсолютная величина максимума практически не зависит от дефекта скорости в следе, а его положение для случая, когда размер следа меньше характерного размера тела, с хорошей точностью определяется границей следа. С увеличением размера следа, при фиксированных прочих параметрах, этот максимум смещается дальше от критической точки, а его значение в сильной степени зависит от параметра вращения тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Головачев Ю. П., Леонтьева Н. В. Вязкий ударный слой перед затупленным телом в неравномерном сверхзвуковом потоке. Препринт № 751—Л.: ФТИ АН СССР им. А. Ф. Иоффе, 1982.

2. Головачев Ю. П., Леонтьева Н. В. Численное исследова-

ние обтекания затупленного тела, расположенного в области сверхзвукового следа. Препринт № 918. —Л.: ФТИ АН СССР им. А. Ф. Иоффе, 1984.

3. L i п Т. С., Reeves В. L., S i е g е 1 m a n D. Blunt-body problem

in nonuniform flowfields. — AIAA J. 1977, vol. 15, N 8.

4. Еремейцев И. Г., Пилюгин Н. Н. Теплообмен и сопротив-

ление тела, расположенного в дальнем сверхзвуковом следе. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 2.

5. Кудрявцев В. Н.. Черкез А. Я., Ш и л о в В. А. Исследование сверхзвукового обтекания двух разделяющихся тел. — Изв. АН СССР,

МЖГ, 1969, № 2.

6. Хлебников В. С. Осесимметричное обтекание пары тел сверхзвуковым потоком газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 6.

7. Марков А. А. Влияние вращения тела и внешней завихренности на теплообмен около критической точки затупленного тела в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, № 3.

8. К р а с и л о в Н. А., Л е в и н В. А., Юн и цки й С. А. Иссле-

дование гиперзвукового вязкого ударного слоя на вращающихся осесимметричных телах при наличии вдува, — Изв. АН СССР. МЖГ. 1986, № 1.

9. Г е р ш б е й н Э. А., П е й г и н С. В. Гиперзвуковой вязкий ударный слой в закрученном потоке газа. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 6.

10. Street R. Е. A study boundary conditions in slip-flow aerodynamics.—Rarefied gas dynamics, London, e. a.: Pergemon Press, 1960.

11.Хейз У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд.-во иностр. лит., 1962.

12. Петухов И. В. Численный расчет двухмерных течений в пограничном слое. — В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. — М.: Наука, 1964.

Рукопись поступила I3/XI 1987