Численная оценка времени обслуживания в задачах сетевого планирования и управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЗАДАЧАХ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ С.А. Олейникова

Предложен метод для поиска численного значения оценки длительности обслуживания в задачах сетевого планирования и управления

Ключевые слова: сетевое планирование и управление, математическое ожидание

Рассматривается задача сетевого планирования и управления со случайным временем обслуживания заявок. Важной проблемой является поиск эффективной оценки длительности обслуживания. Существует достаточно большое количество методов, каждый из которых предлагает свою формулу для оценки данной величины. Наиболее распространенные методы основываются на следующих предположениях [2]:

1. Случайная величина, описывающая длительность обслуживания, имеет бета-распределение.

2. Размах распределения равен шестой части стандартного отклонения с.

Однако при одних и предположениях оценки разных получаются разными. Поэтому задача детального анализа предположений с целью получения в дальнейшем наиболее эффективной оценки. Рассмотрим данные гипотезы более подробно.

Общий вид бета-распределения определяется формулой [3]:

- а )р-1 (ь -1 )-1 11-----------—,а < 1 < Ь, (1)

тех же методов возникает данных

В(р,д) 0,1 < а, 1 > Ь.

Основной числовой характеристикой, позволяющей оценить ожидаемое значение любого распределения (в данном случае длительность обслуживания) является математическое ожидание. Для случайной величины, распределенной по закону бета в интервале (а,ь) оно определяются по формуле:

МЕ = а + (Ь - а)-

Р

Р + Я

(2)

Поскольку размах бета-распределения будет определяться разностью верхней и нижней границы области определения, второе предположение для оценки математического

Олейникова Светлана Александровна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, osa@vmail.ru

ожидания можно переписать следующим образом:

Ь - а (3)

*

а 1 = -

6

Поскольку дисперсия определяется как квадрат среднего квадратического отклонения, условие (3) можно переписать следующим образом:

(Ь - а)2

щ = -

36

(4)

Так как дисперсия бета-распределения выражается формулой [3]:

(Ь - а)2рд

ОЕ=-

(5)

(р + д)2 (р + д +1) то на основе предположения о размахе распределения можно сформировать следующее уравнение:

(Ь - а Урд (Ь - а)2

(р+а)2(р+д+1) 36 ( )

Для решения этого уравнения можно воспользоваться одним из двух подходов. Первый заключается в нахождении параметров р и д, а затем - оценке математического ожидания на основе формулы (2). Второй подход основан на определении дисперсии, определенной формулой (5), на основе моды и математического ожидания. Воспользуемся вторым подходом. Для этого выразим дисперсию через математическое ожидание и моду. Мода для бета-распределения находится по формуле:

т = а + (Ь - а)

Р -1 Р + д - 2'

(7)

Рассмотрим систему, составленную из уравнений (2) и (7). Решив ее, получим:

р + д =

МЕ- т Ь - 2т + а

(8)

Из первого уравнения системы можно выразить д через р следующим образом:

д = Р

ь - ме

МЕ- а'

(9)

Подставив выражения (8) и (9) в формулу (5), будем иметь:

Бп =

(Ь - меХме- а Хме - т)

(10)

а - 3т+Ь + МЕ Решив данное уравнение относительно математического ожидания, получим формулу, выражающую зависимость математического ожидания от дисперсии и моды. Заменив математическое ожидание на х и подставив в формулу (10), получим:

х3 - х2(Ь + т + а) + х(ат + Ьт +

(11)

+ аЬ + БЕ) - аЬт + (а - 3т + Ь)Е = 0.

Из-за сложности аналитического варианта получения решения уравнения (11),

воспользуемся численным подходом для оценки неизвестного математического ожидания. Этот подход будет основываться на следующих положениях [1]:

1. Поскольку необходимо найти корни полинома третьей степени, в результате получим не более трех корней.

2. Для того чтобы воспользоваться

каким-либо методом нахождения корней уравнения, необходимо сначала отделить

корни. В этом не будет необходимости, если использовать итерационный метод, но в этом случае требуется следить за сходимостью процесса нахождения корня.

3. Для отделения корней достаточно

найти точки экстремума. Поскольку уравнение третьей степени будет иметь не более двух точек экстремума, в результате получим три возможных интервала для оценки ма-

тематического ожидания.

Рассмотрим эти этапы более подробно.

Исследуем уравнение (11) как функцию от неизвестного математического ожидания.

Найдем промежутки монотонности функции. Для этого найдем точки экстремума. Производная функции (11) будет определяться формулой:

(12)

f '(х)= 3х2 - 2х(Ь + т + а) +

+ (аЬ + ат + Ьт + БЕ± = 0.

Найдем дискриминант уравнения:

Б/4 = (Ь + т + а)2 - 3(аЬ + ат + Ьт + БЕ± = 0. (13) Корни уравнения (12) будут определяться формулой:

х12 =<Ь + т + а>±7ЇЇ71 (14)

Точки х1 и х2 делят весь интервал возможных значений на промежутки монотонности. Таким образом, получили следующие возможные

интервалы поиска оценки математического ожидания: (-к, х^, (хьх2) и (х2, к).

Следующим этапом является поиск численного значения математического ожидания. В качестве метода решения задачи (11) можно предложить метод половинного деления [1]. Достоинством данного метода является гарантия его сходимости. В связи с относительно небольшим размахом

распределения можно предполагать, что

скорость сходимости будет достаточно

быстрой. В качестве исходных данных будут выступать:

- границы интервала а и Ь;

- мода т;

- дисперсия (предполагается, что она определяется формулой (4)).

Промежуточными данными будут

являться значения XI и х2, которые определяют промежутки монотонности функции, а, следовательно, области определения математического ожидания. На выходе получим кандидаты на численное значение математического ожидания на каждом из интервалов.

Следующей важной задачей будет являться определение, какой из трех корней будет являться численным значением математического ожидания. Рассмотрим подходы, которыми можно воспользоваться для удаления из рассмотрения значений, которые не являются оценкой

математического ожидания. Во-первых, уравнение третьей степени может иметь не более трех корней. Поэтому перед использованием метода половинного деления необходимо проверить, существует ли на данном интервале корень. Это можно сделать, сравнив знаки функции (11) на концах каждого из рассматриваемых интервалов.

Во-вторых, мода и математическое ожидание связаны между собой определенной зависимостью. В [4] было доказано, что математическое ожидание удовлетворяет следующему неравенству:

а+Ь Г а+Ь

т < МЕ<-

2

а + Ь

2

< МЕ < т, т є

а,-2

а + Ь 2,

Ь

(15)

Поскольку значение моды и границы (а также середина) интервала известны, то после нахождения значения - претендента на оценку математического ожидания, его можно

проверить с помощью условия (15). Очевидно, что если будет доказано, что меньший из

корней не превосходит моды и середины отрезка, а больший, наоборот, превосходит, то это автоматически будет означать единственность найденного решения. В частности, в этом случае из трех интервалов достаточно рассмотреть один интервал [хьх2].

Покажем, что условие (15) позволит из трех интервалов, полученных для поиска неизвестного математического ожидания, оставить лишь один.

Рассмотрим случай, когда интервал [х2,к) будет допускать возможность попадания в него корня уравнения (11). Это произойдет в том случае, когда х2 не будет больше наибольшего из значений моды и середины отрезка [а,Ь]. Условие непопадания математического ожидания в данный интервал можно переписать следующим образом:

а+Ь

а+Ь

>-----, т є

2

х2 > т, т є

2

а + Ь

(16)

Пусть т<(а+Ь)/2. Докажем неравенство:

-у/а2 + Ь2 + т2 -аЬ-ат-тЬ-3а

3

а+Ь + т а+Ь +------->-

где

а =

2

(Ь - а±

36

(17)

(18)

Упростив (17), получим:

д/а2 + Ь2 + т2 - аЬ - ат - тЬ - 3а >

а+Ь-2т >----------.

2

Возведя обе части в квадрат будем иметь:

(19)

а2 + Ь2 + т2 - аЬ - ат - тЬ - 3а >

а + Ь - 2т

2

Упростив (20), получим:

3(Ь - а±8 > 0. У 7 9

(20)

(21)

В силу истинности неравенства (21), неравенство (17) доказано.

Рассмотрим, в каких случаях будет справедливо второе неравенство системы (16).

л/а2 + Ь2 + т2 - аЬ - ат - тЬ - 3а

а + Ь + т +-------------------> т.

(22)

Данное неравенство можно переписать в

д/а2 + Ь2 + т2 - аЬ - ат - тЬ - 3а > > 2т - а - Ь.

(23)

Возведя обе части в квадрат и упростив, получим следующее неравенство:

- т + ат + тЬ - аЬ -

(Ь - а±

36

> 0. (24)

Решив данное уравнение относительно т, получим следующие корни:

т = а + Ь ± (Ь - а)>/2 (25) т12 = ± • (25)

1,2 2 3

Таким образом, в интервале (т2,Ь) неравенство (24) не выполняется. Это означает, что теоретически корень уравнения (11) может оказаться в данном интервале. Но на практике оказалось, что на данном интервале корней нет. Это произошло по следующим причинам. Во- первых, ширина интервала (т2,Ь) составляет лишь 3% от длины данного интервала. В силу малой величины данного интервала по сравнению с интервалом (т2,к) вероятность нахождения корня именно на нем достаточно мала. Во-вторых, уравнение третьей степени не всегда имеет три корня. В частности, на практике было показано, что когда мода принадлежит интервалу (т2,Ь), интервал (х2, к) не имеет корней. Таким образом, интервал (х2, к) не может содержать математического ожидания.

Рассмотрим интервал (- к, х1). Для него в случае, когда мода меньше середины интервала необходимо доказать неравенство:

л/а2 + Ь2 + т2 - аЬ - ат - тЬ - 3а

а + Ь + т +-------------------< т.

Упростив, получим:

2 Ь Ь (- а ±

т - ат - тЬ + аЬ + ----------—

36

< 0.

(26)

(27)

виде:

Поскольку данное неравенство идентично неравенству (24), получим аналогичные корни. Поэтому аналогично предыдущему случаю можно сделать вывод о невозможности попадания математического ожидания в интервал (- к, хД Таким образом, интервальная оценка (15) позволяет сузить число интервалов для поиска неизвестного математического ожидания до одного.

Таким образом, получены следующие результаты.

1. На основании предположения (3) получено уравнение для поиска неизвестного математического

ожидания.

х

2

Ь

2

+

3

+

3

3

2

>

+

3

3

2. Была проведена процедура

разделения корней, а затем -

последующего решения уравнения (11)

(т. е. кандидатов на значение

математического ожидания).

3. С помощью интервальной оценки математического ожидания (15), полученной в [4], можно из трех значений выбрать единственное.

Целью дальнейшего исследования является сравнительный анализ

существующих оценок с полученным численным решением для выбора наиболее оптимальной аналитической оценки

математического ожидания.

Воронежский государственный технический университет

NUMERICAL ESTIMATION OF DURATIONS OF WORKS IN NETWORK PLANNING

AND MANAGEMENT PROBLEMS

S.A. Oleynikova

Approach for searching numerical estimation of durations of servicing in network planning and management problems is

offered

Key words: network planning and management, average of distribution

Литература

1. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2005. - 840с.

2. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления / Д.И. Голенко М.: Наука, 1968. - 400с.

3. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика/ А.И. Кобзарь М.: Физматлит, 2006.

- 816с.

4. Олейникова С.А. Модификация метода PERT

решения задач сетевого планирования и управления // Системы управления и

информационные технологии. № 4 (З4). Москва

- Воронеж: «Научная книга», 2008. с.42-45.