Вероятностные неравенства чебышевского типа в одной задаче робастного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

X ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

УДК 519.71

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВСКОГО ТИПА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

К. Р. Чернышев,

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

Рассмотрена одна постановка задачи робастного управления по вероятностному критерию, предложенная сравнительно недавно в литературе. В ее рамках анализируется проблема существования робастного управления, для решения которой построены критерии, основанные на применении вероятностных неравенств чебы-шевского типа.

Ключевые слова — вероятностный критерий, робастное управление, неравенства Чебышева и Гаусса, плотность распределения.

Введение

В работе [1] предложен метод нахождения робастного управления техническим объектом (ТО), сущность которого состоит в предположении

о принадлежности распределения выходной переменной ТО некоторому классу (априори не известного) распределений. В данном контексте под термином «робастное управление» подразумевается управление с гарантированным качеством в условиях априорной неопределенности [2]. При этом ставится задача уменьшения мощности такого класса (числа входящих в него плотностей распределения выходной переменной). В свою очередь для выбора этих распределений в работе [1] используются энтропийный подход и метод дисперсионного анализа (критерий Фишера).

Общая постановка задачи [1] может быть ассоциирована как со многими содержательными задачами по гарантированию точности управления, где требуется удерживать ошибку управления в требуемых приемлемых границах (например, [3]), так и с концептуально близкими задачами финитного управления (наведения), где важна высокая вероятность попадания в заданный интервал.

Как будет показано ниже, в рамках постановки задачи [1] естественным образом возникает также вопрос о наличии достаточных условий существования решения такой задачи робастного управления. В настоящей работе в рамках постановки задачи робастного управления построены достаточные условия существования ее решения.

Предварительный анализ

В работе [1] сформулирована следующая постановка задачи нахождения робастного управления ТО. Математическая модель выходной переменной у ТО представляется в виде

f = М{у/и, X = Xо}= Пиу,ит), (1)

где М{./.} — символ условного математического ожидания; и = (ир ..., ит)Т — вектор переменных управления; X = (х1, ..., хп)Т — вектор входных управляемых переменных.

Сущность метода состоит в предположении, что плотность распределения вероятностей выходной переменной объекта у принадлежит некоторому классу распределений К, состав которого априори не известен. Данный класс представлен условными плотностями распределения р(у, f, ф), ] = 1, ..., k, чьи параметры определяются на каждом шаге (временном интервале формирования управления) на основе экспериментальных данных. Здесь ф — условное среднеквадратическое отклонение (СКО). «Целевое условие функционирования объекта оценивается вероятностным неравенством

Р {у е[А, £]}> Ро, (2)

в котором Р0 — приемлемое с технологической точки зрения заданное значение вероятности; [А, В] — технологический допуск на выходную переменную у, распределение которой принадлежит классу К распределений» [1, с. 125]. Для каждого представителя р(у, f, ф) класса К в соответствии

с вероятностным критерием (2) определяется область допустимых управлений. «Для каждого представителя рассматриваемого класса распределений относительно f (в предположении, что j = const) решается уравнение:

B

JPj(У, f, ?)dy = Po, j = 1,k. (3)

A

Для унимодальных, симметричных или асимметричных плотностей распределения вероятностей, традиционно используемых для описания вероятностных свойств выходных переменных ТО, каждое из уравнений (3) имеет два корня f1j < f2j, которые ограничивают интервал [f1j, f2j] значений условного математического ожидания f, в котором для j-го представителя выполняется целевое условие (2)» [1, с. 125].

Далее строится пересечение этих интервалов k

F = П [fij, f2j]■ (4)

j=i

Отображение пересечения (4) с помощью регрессии (1) в пространство управлений с учетом технологических ограничений на управления образует в этом пространстве область 5р робастных управлений [1, с. 125-126].

В такой постановке существование области 5р робастных управлений определяется существованием пересечения F в (4), которое может быть пусто. Действительно, пусть 4j(f) — набор функций от переменной f для нескольких плотностей Pj(y, f, j) при фиксированном j: в

4j (f) = J Pj (У, f, 4>)dy> j = 1,•••, k. (5)

A

График функций 4j(f) в (5), полученных для гауссова (линия 1) и лог-нормального (линия 2) распределений при следующих данных: A = 10-3, B = 0,5, j = 0,1, представлен на рис. 1. Легко ви-

■ Рис. 1. О возможности пустоты пересечения (4)

деть, что для уровня Р0 = 0,980 пересечение Р в (4) непусто, для уровня Р0 = 0,985 пересечение Р в (4) пусто при непустых интервалах [У. f2j], и решение задачи робастного управления не существует, для уровня Р0 = 0,990 уже один из двух интервалов [У., У2.] пуст, для уровня Р0 = 0,995 оба интервала [У. У2.] пусты.

Достаточные условия для плотностей общего вида

Построим достаточные условия непустоты пересечения Р в формуле (4) для плотностей распределения общего вида. В связи с этим прежде всего следует заметить, что ширина интервалов [у., У2.] в формуле (4) и, в конечном итоге, непу-стота их пересечений определяются двумя «параметрами» исходной постановки задачи, а именно вероятностью Р0 и СКО ф. Как наглядно продемонстрировано выше, увеличение вероятности Р0 и/или увеличение СКО ф приводят к пустоте пересечения Р в формуле (4). Тогда было бы естественно предположить существование определенного «баланса» между значениями Р0 и ф, причем поддержание такого баланса гарантировало бы непустоту пересечения Р в формуле (4).

Пусть сначала класс распределений К формируется из представителей, являющихся симметричными унимодальными плотностями распределения. Тогда на основании неравенства Чебышева, принимая в рассмотрение вышеприведенные обозначения и учитывая формулу (2), можно записать

2

1-Ро < Ф ,2 ■ (6)

(В - А Г

При этом в контексте настоящей работы особый интерес представляет именно условие достижения равенства в формуле (6). Таким образом, величина

Фшах = ^В-А) (1- Р0) (7)

является максимальным значением дисперсии, при котором можно гарантировать непустоту интервалов [У., У2.] в формуле (4) при заданных вероятности Р0 и ширине интервала [А, В]. Для любого СКО ф < фтах непустота пересечения Р в формуле (4) тем более обеспечена, причем как для симметричных, так и для асимметричных плотностей распределения. На рис. 2 приведен соответствующий пример для плотности распределения Гумбеля

(у - а

у — а

--------exp

в Р

в

где а и в являются параметрами распределения.

Рис. 2. «Вложение» интервалов [f■, f2] в формуле (4) при уменьшении СКО j для распределения Гумбеля при A = 10, B = 20: 1 — j = 2; 2 — j = 2,5; 3 — j = 3

Пусть теперь класс К представлен как симметричными, так и асимметричными унимодальными плотностями распределения. Тогда, основываясь на неравенстве Чебышева, можно записать [формально более строгое, чем в формуле (6)] условие

\2

(8)

1 — Ро <-

M(y — q)2

(шт{<; - А, В-ф2

где М(.) — символ математического ожидания; д — произвольная точка из интервала [А, В]. При этом, аналогично предыдущим рассуждениям, в контексте рассматриваемой задачи именно достижение равенства в формуле (8) представляет главный интерес. В свою очередь минимизация выражения, стоящего в правой части неравенства (8), только бы способствовала достижению равенства. Из свойств функции ц(д) = (тт{д - А, В - д})2 и ввиду равенства М(у - д)2 = ф2 + (М(у) -:следует, что

- q)2'

M(y — q )2

(min{q — A, B — q})

Ф

(9)

( В - Л I

I 2 )

причем равенство в формуле (9) достигается тогда и только тогда, когда д = (А + В)/2 и М(у) = д. Таким образом, условие

Фшах =1 (B — A)2 (1 — Ро) 4

Ф2 < Фшах

(10)

является достаточным для непустоты пересечения Р в формуле (4) как для симметричных, так

■

и для асимметричных плотностей из класса К [благодаря тому факту, что в силу условия (10) все интервалы [у., У2.] содержат середину интервала [А, В]]. 1. 2.

Более того, поскольку при выполнении условия (10) середина интервала [А, В] всегда «захватывается» интервалами [У1., У2.], условие унимодальности может быть опущено. При этом, конечно, для заданного распределения должны выбираться только два корня уравнения (3), ближайшие к точке (А + В)/2 слева и справа.

Представленный в разделе «Предварительный анализ» пример наглядно иллюстрирует, что при нарушении условия (10) середина интервала [А, В] может не принадлежать интервалам [У1., У2.] в формуле (4). В условиях данного примера условие (10) влечет следующую (верхнюю) границу для СКО: ф А ^(1 = 0,030561 при

Р0 = 0,985 и ф (В - А )4 (1-Ро) = 0,017635 при

Р0 = 0,995, что противоречит рассматриваемой величине СКО ф = 0,1.

Таким образом, построенное условие (10) никак не ограничивает (даже не принимая во внимание условие унимодальности) формирование гипотетического класса распределений выходной переменной объекта, если принять во внимание, что численное (а другое и не требуется) решение уравнений (3) не представляет никаких трудностей для любой явно заданной плотности распределения р.(у, У, ф).

Уточнение достаточных условий для унимодальных распределений

Несмотря на универсальную форму, которая подходит для всех типов плотностей распределения, условие (10) выглядит достаточно «грубым» и налагающим чрезмерно строгое ограничение на допустимое СКО в случаях, связанных только с унимодальными плотностями распределения. В предположении унимодальности плотности распределения условие (10) может быть улучшено с использованием методологии, рассмотренной выше и дополненной некоторыми результатами в области вероятностных неравенств, а именно целесообразно привлечь следующее обобщение неравенства Гаусса [4]:

Р{|^-*о| > й0}<—2^к > 0, (11)

9к2

где 92 = М(| - х0)2, х0 — произвольное действительное число и | — произвольная случайная величина, имеющая унимодальную плотность рас-

пределения (в традиционном неравенстве Гаусса предполагается, что х0 является модой распределения случайной величины £). Неравенство (11) также называется неравенством Высочанского— Петунина. В контексте данной работы необходимо отметить еще одно обобщение неравенства Гаусса [5], допускающее привлечение информации о моментах более высокого порядка данной случайной величины.

Пусть, подобно выражению (8), д является произвольной точкой из интервала [А, В]. Полагая

т( йА А , ш1п{^ - А, В-<;}

в (11) с,=у, х0 = с и k =--. =-г-, из выра-

у]М(у - <;)2

жения (11) можно непосредственно получить

1-*0 <Г

М(у - с)2

(12)

9 (шт{с - А, В - с})2

При этом, аналогично рассуждениям предыдущего раздела, в рамках настоящей постановки задачи именно достижение равенства в формуле (12) представляет особый интерес. В свою очередь минимизация выражения, стоящего в правой части неравенства (12), только способствовала бы достижению равенства. Действуя аналогичным предыдущему разделу образом, получаем, что минимум правой части формулы (12) достигается тогда и только тогда, когда д = (А + В)/2 и М(у) = д. Таким образом, из (12) и представленных рассуждений вытекает следующее достаточное условие, которое должно быть наложено на допустимое значение дисперсии ф

2

Фшах = ^ (В - А)2 (1-Ро ) 16 .

Ф2 < ФШах

(13)

Возвращаясь к рассмотренной выше численной иллюстрации из примера (1), можно заключить, что при нарушении условия (13) середина интервала [А, В] может не принадлежать всем интервалам [У1., У2.] в формуле (4). Условие (13) влечет следующую верхнюю границу для СКО: ф < 0,045842 при Р0 = 0,985 и ф < 0,026453 при Р0 = 0,995, что также противоречит рассматриваемой величине ф = 0,1.

Заключение

Таким образом, полученные условия (10) и (13) предоставляют возможность выбора внутри класса К не более двух (в случае асимметричных распределений) или одной (в случае привлечения только симметричных распределений) «наихудших» плотностей распределения выходной переменной объекта и гарантирование существования соответствующей этим плотностям (этой плотности) области допустимых робастных управлений.

Кроме того, условия (10) и (13) очевидным образом можно переписать в формах, определяющих соответствующие предельные допустимые значения величин Р0шах и Д^п вероятности Р0 и ширины Д = В - А интервала [А, В] соответственно:

Ротах = *(ф, А); Дт^ = g2(ф, Рс),

удовлетворение одной из которых (величин) при заданных двух других величинах также является достаточным условием непустоты пересечения (4).

Литература

1. Бернацкий Ф. И., Добродеев Д. Л., Пащенко Ф. Ф.

Об уменьшении мощности класса распределений при робастном управлении технологическим объектом // Автоматика и телемеханика. 2000. № 6. С. 124-132.

2. Бесекерский В. А., Небылов А. В. Робастные системы автоматического управления. — М.: Наука, 1983. — 240 с.

3. Небылов А. В. Гарантирование точности управления. — М.: Наука, 1998. — 304 с.

4. Высочанский Д. Ф., Петунин Ю. И. Обобщение неравенства Гаусса для унимодальных распределений // Теория вероятностей и математическая статистика. 1984. Т. 31. С. 26-31.

5. Небылов А. В. Обобщение одного неравенства, выведенного Гауссом для одновершинных распределений // Математические заметки. 1986. Т. 40. № 3. С. 423-425.