Численная оценка параметров бета-распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С.А. Олейникова, А.А. Кирилов

В работе проанализирован наиболее распространенный подход к оценке длительности обслуживания заявок PERT. С учетом его недостатков предложен метод, основанный на численной оценке параметров бета-распределения на основании решения уравнения третьей степени. С помощью вычислительного эксперимента из трех возможных корней уравнения был выбран единственный

Ключевые слова: бета-распределение, PERT, математическое ожидание

Рассматривается задача оценки длительности обслуживания для сложных систем со случайным временем обслуживания. Важность данной задачи продиктована в первую очередь необходимостью повышения качества планирования работы любых обслуживающих комплексов. Наличие точных оценок, позволяющих, оценить длительность работ с минимальной погрешностью, позволит составлять расписания работ, в максимальной степени приближенные к реальному графику. Это позволит избежать дополнительных очередей и сделает работу системы более рациональной.

целесообразным законом, длительность выполнения закон бета. Его плотность

Наиболее описывающим работ, является имеет вид [2]:

f 5(t ) =

(t - a)p-1 (b -1)q-1 B(p,q)

0, t < a,t > b.

a < t < b,

(1)

Оценка длительности может быть получена с помощью математического ожидания, которое для бета-распределения определяется формулой:

M§ = a + (b - a)-

Р

p+q

(2)

Как видно из формулы (2), математическое ожидание зависит от четырех параметров: а, Ь, р и д. Параметры а и Ь означают наименьшее и наибольшее значение случайной величины и могут быть достаточно просто оценены с помощью статистической информации. Таким образом, можно сказать, что математическое ожидание зависит от двух неизвестных параметров р и д.

В настоящее время существует достаточно много подходов, позволяющих с помощью

Олейникова Светлана Александровна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: osa@vmail.ru Кирилов Александр Александрович - МИКТ, аспирант, e-mail: 1koval1@gmail.ru

аналитических формул оценить

математическое ожидание. Наиболее

распространенным из них является метод PERT, расчетные формулы которого имеют вид [1]:

a + 4m+b

M l=-

6

(3)

Здесь m-мода бета-распределения, которая

рассчитывается по формуле:

m = a + (b - a)

Р -1

Р + q - 2

(4)

Данные формулы предположении о том, определяется формулой:

36

основаны на что дисперсия

(5)

Данное предположение имеет право на существование, поскольку основано на известном правиле трех сигм.

Для анализа бета распределения выразим математическое ожидание через моду. Несложно показать, что математическое ожидание и мода находятся в следующей зависимости:

а + Ь + т(р + q - 2)

M§ = -

p+q

(6)

Исходя из формулы (6), а также принимая во внимание формулу (3), можно сделать вывод о том, что для метода PERT справедлива следующая система уравнений:

M£ = a + (b - a)—!—

p+q

m = a + (b - a)—p—1—

p+q - 2

(7)

pq

1

36

(+д )2 (+д+1)

р + д = 6

В системе (7) известными являются а, Ь и т, а неизвестными - М^, р и д. Таким образом, получили систему из четырех уравнений для нахождения трех неизвестных.

Очевидно, что данная система будет

избыточной. В частности, в [3] показано, что данная система будет справедлива лишь для двух значений моды:

т = -

а + Ь Ь - а

2

4

VI.

Эти оценки получаются при решении следующей системы относительно р и д.

а + 4т+Ь

і + (Ь - а)-

і + (Ь - а)

Р = Р + q Р-1

р+q - 2

6

• = т

pq

(р+q)2 (р+q+1) 36

Таким образом, в системе (7) необходимо оставить лишь три уравнения. Из четырех уравнений два уравнения основаны на характеристиках бета-распределения, и поэтому не вызывают сомнений. Остальные два уравнения являются предположениями. Однако, предположение о размахе распределения имеет под собой более твердую основу (в виде правила трех сигм), тогда как предположение о сумме параметров р и q -предположения, полученные разве что опытными данными и случаями, которые имели место наибольшее число раз.

В связи с этим, для оценки длительности воспользуемся системой из трех уравнений:

М§ = а + ( - а)

р

р + q

т = а + (Ь - а)—р—1— (8)

р + q - 2 ' '

pq

1

(р + д)2 (р+д+1) 36

Решив эту систему, получим не только параметры р и д, но и значение

математического ожидания.

Данная система является системой нелинейных уравнений. Рассмотрим

вспомогательную систему:

т = а + (Ь - а)

pq

р -1 р+q - 2 1

(9)

к(р+д)2(р + д+1) 36

В системе (9) неизвестными являются лишь р и д. Решив данную систему относительно этих неизвестных, а затем, подставив найденные значения в формулу (2), найдем оценку математического ожидания.

Выразим из первого уравнения р:

р = (т - а)(д - 2) + Ь - а . (10)

Ь - т

Подставив это значение во второе уравнение и упростив его, получим следующее равенство:

(т - а)а + а + Ь - 2т

— и---------------д =

Ь-т

= 1 ( д(( - а) + а + Ь - 2т^2 ^

36 ^ Ь - т

- а)+а + 2Ь - 3т'

Ь-т

Сделаем замену переменных. Пусть:

(11)

^ = q(Ь - а) + а + Ь - 2т Ь - т

(12)

Тогда уравнение (11) перепишется в виде: ^) = 0, (13)

где

f(t) = г3 + г2

1 - 36

(т - а ХЬ - т)

Л

(ь - а )2

36(а + Ь - 2т)2 36(а + Ь - 2т)2

-1 (Ь - а )2 + (( - а )2

Уравнение третьей степени можно решить аналитически, например, с помощью формулы Кардано. Однако, применение данной формулы показало неэффективность нахождения аналитического решения в виду большого числа проверок, имеющих место при использовании данной формулы. В связи с этим, было предложено численное решение данного уравнения.

Таким образом, численный подход к решению задачи оценки математического ожидания будет основан на следующих этапах:

- решить уравнение (13), найти все возможные 1 и выбрать из данного множества единственное;

- из формулы (12) найти д;

- подставив полученное значение в формулу (10), найти р;

- с помощью формулы (2) оценить ожидаемую длительность.

С помощью формулы (12) д будет определяться следующим образом:

1( - т)-а - Ь + 2т

q = -

Ь - а

(14)

Основная сложность при решении данного уравнения заключается в том, что многочлен третьей степени может иметь три корня. Следовательно, следующей задачей является выбор такого из трех корней, на основании которого можно получить оценку математического ожидания.

1

Будем искать корни с помощью дихотомии. В качестве заданной точности выберем 8=0.001. Для отделения корней найдем точки экстремума функции. Для этого приравняем к нулю производную:

312 + 21

1 - 36

(т - а)(( - т)

(Ь - а)2

36(а + Ь - 2т)2 =

( - а )2 =

(14’)

Решив квадратное уравнение, получим точки 11 и 12.

Для определения одного из трех корней, который является основой для получения математического ожидания,

проведем следующий эксперимент.

Зафиксируем значения а и Ь и будем изменять последовательно моду от а до Ь. Для каждого значения моды найдем корень уравнения (13) на каждом из интервалов (-да,10, (11, 12), (12, да). Далее, для каждого из корней 1 определим соответствующее ч и р, а потом с помощью формулы (2) найдем математическое ожидание. Проанализировав полученные

значения, выберем один из трех корней, использование которого приводит к оценке математического ожидания.

Эксперимент проводился для а=0; Ь=1. Шаг изменения моды равен 0.1.

Результаты эксперимента в интервале (-да,10 приведены в табл. 1.

Таблица 1

Оценки параметров и математического ожидания для первого корня

т 1 Ч р М

0,1 -4,436 -4,684 0,3684 -0,085

0,2 -2,491 -2,593 0,1017 -0,041

0,3 -1,293 -1,305 0,0123 -0,01

0,4 -0,509 -0,505 -0,003 0,007

0,5 -0,001 -0,005 -0,005 0,5

0,6 -0,509 -0,003 -0,505 0,9932

0,7 -1,293 0,0123 -1,305 1,0095

0,8 -2,491 0,1017 -2,593 1,0408

0,9 -4,436 0,3684 -4,684 1,0854

Очевидно, что этот корень не может быть основой для поиска математического ожидания. Это связано, в первую очередь, с тем, что значение математического ожидания, полученные на основании данного корня, выходят за пределы интервала [0,1]. Также следует отметить отрицательные значения р и

Ч, что на практике бывает крайне редко.

Проведем эксперимент на втором интервале. При этом получены следующие значения.

Таблица 2

Оценки параметров и математического ожидания для второго корня

т 1 Ч р М

0,1 0,9541 0,0587 0,8954 0,9385

0,2 0,8053 0,0442 0,7611 0,9451

0,3 0,6142 0,03 0,5843 0,9512

0,4 0,3559 0,0135 0,3424 0,962

0,5 0,0052 0,0026 0,0026 0,5

0,6 0,3559 0,3424 0,0135 0,038

0,7 0,6142 0,5843 0,03 0,0488

0,8 0,8053 0,7611 0,0442 0,0549

0,9 0,9541 0,8954 0,0587 0,0615

Анализ данных значений показывает, что второй корень также не будет являться основой для вычисления математического ожидания. Это связано в первую очередь с тем, что при небольших значениях моды математическое ожидание относительно велико, а при больших значениях моды математическое ожидание достаточно мало. Однако, мода и математическое ожидание должны быть достаточно близки и изменяться в одном направлении. Поэтому данный корень также не может быть математическим ожиданием.

Рассмотрим полученные результаты для третьего корня в интервале (12, да). Результаты приведены в следующей таблице.

Таблица 3

Оценки параметров и математического ожидания для третьего корня

т 1 Ч р М

0,1 5,6178 4,256 1,3618 0,2424

0,2 6,4609 4,5687 1,8922 0,2929

0,3 7,2499 4,675 2,575 0,3552

0,4 7,8092 4,4855 3,3237 0,4256

0,5 8,0039 4,002 4,002 0,5

0,6 7,8092 3,3237 4,4855 0,5744

0,7 7,2499 2,575 4,675 0,6448

0,8 6,4609 1,8922 4,5687 0,7071

0,9 5,6178 1,3618 4,256 0,7576

Проанализировав третье из полученных значений математического ожидания, придем к следующим выводам:

- оно изменяется в диапазоне от 0 до 1;

- оно изменяется коррелированно с

модой;

- его значения не сильно отстают от значений моды.

Следовательно, именно этот из трех корней будет являться оценкой математического ожидания.

Для того, чтобы убедиться, что получена оценка математического ожидания, проведем еще один эксперимент, целью которого будет являться сравнительный анализ полученных результатов и оценки метода PERT. Оценки по двум методам приведены в таблице.

Таблица 4 Оценки метода PERT и полученного метода

мода PERT Разраб. метод

0,1 0,2333 0,2424

0,2 0,3 0,2929

0,3 0,3667 0,3552

0,4 0,4333 0,4256

0,5 0,5 0,5

0,6 0,5667 0,5744

0,7 0,6333 0,6448

0,8 0,7 0,7071

0,9 0,7667 0,7576

Из данной таблицы окончательно делаем вывод о том, что полученные значения соответствуют оценке математического ожидания. Таким образом, экспериментально был обнаружено, что из трех корней уравнения лишь наибольший корень позволяет найти математическое ожидание.

В связи с этим, метод оценки математического ожидания можно свести к следующему:

- найти корень уравнения (13) в интервале (12,да);

- найти параметр д с помощью формулы

(14);

- подставив полученное значение в формулу (10), найти р;

- с помощью формулы (2) оценить математическое ожидание.

Выводы.

В ходе работы были получены следующие результаты.

1. Проанализирована оценка длительности операций с помощью метода PERT, в результате чего сделан вывод об избыточности системы при предположениях PERT.

2. Было получено уравнение, на основании которого можно численно определить параметры бета-распределения.

3. Поставлен эксперимент, на основании которого из трех претендентов на решение было получено единственное.

Полученные результаты можно использовать для оценки длительности любых операций, которые могут быть описаны с помощью закона бета. Результаты также могут использоваться для получения различных характеристик бета-величины (например, для нахождения асимметрии, эксцесса и т.д.).

Литература

1. Ахьюджа Х. Сетевые методы управления в проектировании и производстве. Пер. с англ. /Под. ред. В. Н. Калашникова. М.: Наука, 1979. - 640с.

2. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М.: Наука, 1968. - 400с.

3. Олейникова С.А. О недостатках оценок

математического ожидания и дисперсии, используемых в методе ПЕРТ// Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: труды Всерос. конф. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский

государственный технический университет», 2008. с.11-12.

Воронежский государственный технический университет Международный институт компьютерных технологий, г. Воронеж

NUMERICAL ESTIMATE OF THE PARAMETERS OF BETA DISTRIBUTION

S.A. Oleynikova, A.A. Kirilov

In this paper the most common approach PERT to estimating the time of requests are analyzed. On bases of its shortcomings a numerical evaluation of the parameters of beta distribution is proposed. With the help of a computational experiment of the three possible roots of the equation was chosen as the only one

Key words: beta-distribution, PERT, expectation