CC BY
50
УДК 519.8
УПРАВЛЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК С ЦЕЛЬЮ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОПРОФИЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО КОМПЛЕКСА
С.А. Олейникова, А. А. Кирилов
В работе приведен анализ входного неоднородного потока заявок и его классификация на категории, позволяющая определить влияние на загрузку обслуживающего комплекса. На основании этого сформирована целевая функция, позволяющая обеспечить равномерную загрузку системы, и приведена математическая модель, описывающая процесс обслуживания в данном комплексе
Ключевые слова: управление, неоднородный поток, оптимизационная задача
Рассматривается задача оптимизации функционирования многопрофильного
обслуживающего комплекса с неоднородным входящим потоком заявок и случайным временем их обслуживания. Одним из важных показателей оптимизации является соответствие
запланированного и фактического времени
обслуживания заявок. Запланированное
расписание, максимально соответствующее реальному, позволит не только сделать загрузку специалистов, выполняющих обслуживание, более сбалансированной, но и уменьшить время
ожидания заявок в очереди.
Среди средств достижения данной цели можно выделить упорядочение потоков заявок и оптимизация графика работы специалистов. Это две взаимосвязанные задачи, решаемые на основе построения эффективной математической модели, учитывающей максимально приближенную к реальной длительность обслуживания, режима предварительной записи заявок, а также автоматизации процесса регистрации заявок.
В общем случае данную задачу можно сформулировать следующим образом [2]. На вход системы поступает поток заявок, требующих определенного вида обслуживания. Обслуживание выполняют специалисты, каждый из которых имеет определенную специализацию и может оказывать определенный перечень услуг. Пусть в общем случае комплекс состоит из п отделений, каждое из которых выполняет работы определенного типа. Каждая заявка проходит свой «маршрут» обслуживания, состоящий в общем случае в выполнении определенного количества взаимосвязанных операций. Необходимо таким образом составить расписание обслуживания, чтобы загрузка всего комплекса в целом была бы оптимальной с точки зрения некоторого критерия. В качестве критерия оптимальности выберем достижение равномерной загрузки всей системы.
Олейникова Светлана Александровна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, Е-шаЛ osa@vmail.ru Кирилов Александр Александрович - МИКТ, аспирант, Е-шаП 1koval1@gmail.com
Этот критерий не только позволит увеличить резерв производительности всего комплекса в целом, но и позволит в наилучшей степени адаптироваться к появлению внеплановых заявок.
Определим основные особенности данного комплекса [1]. Во-первых, это неоднородность входящего потока. Это означает, что каждая заявка имеет свой собственный маршрут обслуживания, зависящий лишь от ее особенностей. Следует также отметить нестационарность входящего потока. Другими словами предполагается, что интенсивность поступления заявок определенного типа будет зависеть от времени. Во-вторых, время обслуживания заявок также является случайным. Данный фактор создает определенные сложности при планировании большого числа заявок. Использование неточных оценок в этом случае может привести к значительному несоответствию реального расписания и запланированного. Большое число выполняемых услуг и поступающих заявок можно также отнести к особенностям данной задачи, требующих определенных подходов для учета данных факторов.
Для эффективного управления потоком заявок, проанализируем основные их категории.
1. Поток заявок, реально поддающийся упорядочению. К этой категории относятся все те случаи, когда объем потока в целом известен, а дату и время поступления каждой заявки можно запланировать. Следует также отметить, что для данной категории заявок важно лишь время их обслуживания. Специалист, выполняющий каждую из операций, может быть произвольным.
2. Поток заявок, упорядочение и
прогнозирование которого возможно. Эту
категорию составляют заявки, для которых объем потока приблизительно известен и постоянен. Это может быть повторное обслуживание запланированных заявок, направления на
выполнения вспомогательных операций и т.д.
3. Поток заявок, прогнозирование
размеров которого возможно на уровне
тенденций. Эту категорию составляют оценки объемов заявок для каждого из рассматриваемых периодов. Важной особенностью этой категории является то, что изменениям объема потока заявок
должно соответствовать изменение численности обслуживающих их специалистов.
4. Поток заявок, слабо поддающийся упорядочению. В эту категорию входят заранее не планируемые случаи поступления заявок.
Как было отмечено выше, предполагается, что входящий поток заявок является нестационарным. Это создает существенные трудности при управлении потоком. Поэтому разобьем весь рассматриваемый период времени (например, календарный год) на интервалы, внутри которых интенсивность потока постоянна (или ее изменение невелико). Далее будем решать задачу для каждого из данных временных интервалов.
Заметим, что варьирование даты начала обслуживания в пределах некоторого временного периода вполне допустимо лишь в первом варианте, а в остальных оказание своевременного и качественного обслуживания требует точного планирования даты и времени выполнения работ.
Пусть в некотором отделении существует Г специалистов (]=1,...,Г). Пусть в некоторый день 1 специалист ] должен принимать в течение времени йц. На основании уже составленного расписания для данного специалиста можно описать запланированное время в день 1:
нач _ і] ’ нач _ і]
+
d. )
(1)
запланированных данному
где і-множество всех специалисту заявок;
- ^ач_у - время начала обслуживания для і-й заявки;
- йщ - длительность обслуживания.
Таким образом, необходимо так
запланировать время начала обслуживания заявки специалистом (а для некоторых категорий - и выбора специалиста), чтобы запланированная длительность обслуживания для любого
специалиста каждый день была бы максимально приближена к нормативу йц. Обозначим через |Я^| суммарное время, которое к настоящему моменту запланировано для специалиста і в день 1.
\я.
]t
(2)
Тогда математически указанное выше требование можно будет записать следующим образом:
t j
R, - d.
(з)
Таким значений d
jt
образом, на основании заданных необходимо для пришедшей заявки таким образом выбрать специалиста (для заявок, принадлежащих к потокам третьего и четвертого типа) и время обслуживания, чтобы
минимизировать целевую функцию (3). Очевидно, что для этого необходимо решить две задачи:
- предложить наиболее оптимального (с точки зрения целевой функции) специалиста;
- предложить оптимальное время обслуживания.
Рассмотрим, каким образом можно обеспечить оптимальное значение целевой функции, управляя потоками заявок.
На основании статистического анализа потока заявок первого типа можно достаточно точно оценить их объем за некоторый общий период (например, за год) Vi и самостоятельно выбрать время их обслуживания. Таким образом, в данном случае необходимо решать задачу распределения известного объема в течение периода таким образом, чтобы доставить оптимальное значение целевой функции. Отметим, что в данном случае можно управлять не только временем
обслуживания, но и выбором специалиста. Исходя из этого, оптимальное распределение заявок именно данной категории позволит оптимизировать целевую функцию.
Вторая категория заявок будет отличаться тем, что варьирование временем обслуживания
возможно лишь в пределах двух-трех дней и зачастую отсутствует возможность выбора специалиста. Однако, преимуществом этой категории с точки зрения управления является то, что необходимость выполнения определенной
услуги известна заранее. Это дает возможность определить предварительную загрузку
специалистов. Таким образом, в результате учета всех заявок второй категории заранее известны загрузки каждого специалиста в ближайший исследуемый период времени. Обозначим через V2jt загрузку j-го специалиста в день t на основании объема второго потока заявок.
На основании статистической информации о потоке заявок третьей группы имеется возможность предварительной оценки объема оказываемых
услуг по каждой специальности в течение каждого интервала общего периода. Таким образом, для определенной специальности на основании сведений о данной группе будем иметь оценки v3l общего объема заявок в интервале 1. Заявки этой
категории также предоставляют возможность
выбора специалиста для минимизации целевой функции.
Таким образом, первая и третья категории заявок дают возможность оценить примерный объем заявок в каждый момент исследуемого периода. Заявки второй категории позволяют заранее знать общий объем (в пределах данной группы) загрузки каждого из специалистов в ближайшее время.
Оценка общего времени обслуживания для j-го специалиста в течение рассматриваемого периода volj будет определяться формулой:
volj = Vl j • 7 j + v2 j • T2 j +
(4)
+ V3 j • T3 j + V4 j • T4 j •
Здесь Tij - время обслуживания специалистом j заявок категории l.
В формуле (4) предполагается, что значения v2j известны для каждого специалиста, а значениями Vij и V3j можно управлять для достижения
равномерной загрузки. Таким образом, V! и VзJ -это неизвестные, которые удовлетворяют условию:
I
j=i
vi j = vi
I
j=i
v3 j = v3.
(5)
(6)
Отличие двух этих категорий (кроме того, что первая категория содержит более точные значения, а вторая - оценки) заключается в том, что общий объем в течение периодов для первой категории заявок также можно перераспределять. Таким образом, статистические сведения об объеме заявок третьей категории позволяют управлять выбором специалиста для достижения равномерной загрузки, а заявки первой категории позволяют управлять также и общим объемом загрузки в пределах двух-трех периодов.
Значения v4J - это случайный фактор, влияющий на загрузку специалистов, слабо поддающийся прогнозированию.
С учетом того, что общая длина периода Уь в течение которого проводится анализ поступления заявок, известна, общую длительность для j-го специалиста можно представить в следующем виде:
(7)
Подставив значение (7) в формулу (4), получим уравнение относительно неизвестных Vlj и Vзj:
volj = ^ • Vt.
vi j • Ti j + v2 j • T2 j +
+ v3 j • T3 j + v4 j • 74 j = djt • Vt.
(8)
Таким образом, задача управления потоками заявок сводится к распределению общего объема прогнозируемых заявок по специалистам таким образом, чтобы для всех специалистов 1,. ,Г выполнялось условие (8) совместно с условиями (5) и (6).
Таким образом, процесс управления потоком заявок включает в себя распределение общего объема заявок первого типа по стационарным периодам и распределение объема работ для первого и третьего потоков по специалистам таким образом, чтобы сделать загрузку системы равномерной. Выполнение равенства (8) при условиях (5) и (6) позволит достичь этой цели. Случайный фактор можно учесть лишь непосредственно при поступлении заявки. В этом случае для оптимизации целевой функции должна быть решена задача выбора специалиста и времени обслуживания. Среди всех специалистов необходимо выбрать такого, у которого в настоящий момент разность между запланированной и фактической нагрузкой наибольшая.
Следующей важной задачей является определение времени обслуживания. Для этого необходимо предложить метод, позволяющий
получить наиболее точную оценку длительности обслуживания.
В большинстве случаев при планировании обслуживания заявок длительность обслуживания полагают постоянной. Однако зачастую реальная длительность обслуживания отличается от запланированной. Это приводит к увеличению очередей и значительному несоответствию фактического и запланированного расписания (т.е. отклонению значения целевой функции от оптимального). В связи с этим возникает задача оценки длительности обслуживания. В [3] выявлены факторы, влияющие на длительность обслуживания. Там также показано, что длительность обслуживания - это случайная величина, закон распределения которой имеет вид:
< 1 < ь.
f Д1 ) = | В(р^) (9)
0,1 < a, 1 > Ь.
Здесь a и Ь - параметры, оценивающие наименьшую и наибольшую длительность выполнения данной работы; р и q - параметры бета-распределения, влияющие на характер данной случайной величины (на моду, дисперсию и т.д.).
Основной числовой характеристикой, позволяющей оценить ожидаемое значение любого распределения (в данном случае длительность обслуживания) является математическое ожидание. Для случайной величины, распределенной по закону бета в интервале ^,Ь) оно определяются по формуле:
M§ = a + (b - a)-
Р
p+q
(i0)
В данной задаче предполагается возможным оценить предварительно a и b на основании статистических данных предыдущих периодов. Поскольку p и q неизвестны, предлагаются различные методы оценок как этих параметров, так и непосредственно математического ожидания. В частности, метод PERT, который является наиболее распространенным методом оценки случайной длительности работ, предлагает следующую
оценку:
м. a+4m+b.
6
Однако, на основании анализа, проведенного в [4], было выявлено, что оценка метода PERT близка к математическому ожиданию лишь в случае, когда мода m близка к границам интервала [a,b]. Поэтому в [4] была предложена численная оценка математического ожидания:
x3 - x2 (b + m + a)+ x(am + bm + )
+ ab + D|) - abm + (a - 3m + b)D| = 0.
В [4] было также проведено отделение трех корней уравнения (i2) и доказано, что оценка математического ожидания - это корень, который
и
функции) специалиста при поступлении случайной заявки, а также выбрать
оптимальное время обслуживания.
Литература
1. Зимарин Г.И., Кравец О.Я. Особенности управления процессом выбора лечебных воздействий в системе неотложной помощи// Врач-аспирант, 2005.
2. Олейникова С.А., Абсатаров Р.А. Оптимизация потоков в многопрофильном медицинском учреждении// Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах: труды Всерос. конф. Воронеж, 2002. С. 139-140.
3. Олейникова С.А., Кирилов А.А. Оценка длительности обслуживания пациентов в лечебнопрофилактических учреждениях// Управление в социальных и экономических системах: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 2008. С. 111-117.
4. Олейникова С.А. Численная оценка времени обслуживания в задачах сетевого планирования и управления// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2009. Т. 5. №3.. С.111-115.
Воронежский государственный технический университет Международный институт компьютерных технологий, г. Воронеж
HETEROGENEOUS FLOW MANAGEMENT WITH AIM OF OPTIMISATION OF THE WORKING OF MULTI-DISCIPLINARY SERVICE KOMPLEX
S.A. Oleynikova, A.A. Kirilov
In this work the analysis and classification of heterogeneous input flow is given, which allows to define influence of it on a load of service complex. On the basis of it the aim function, which allows providing uniform load of system is formed and the mathematical model which describing the process of servicing in this complex is offered.
Key words: management, heterogeneous flow, optimization problem
лежит в интервале [х1,х2], где х1и х2 - границы интервала, определяющиеся формулами:
х ,2 = (Ь + ш+а)±Ур74., (13)
где
Э/4 = (Ь + ш + a)2 - 3(Ь + am + Ьш + Щ)= 0. (14)
Таким образом, в ходе работы были получены следующие результаты.
1. Проведен анализ входящего потока заявок.
2. Описан подход управления потоком для оптимизации целевой функции
3. Приведена оптимизационная задача функционирования многопрофильного комплекса.
4. Составлена математическая модель, позволяющая описать процесс обслуживания заявок.
5. Описан подход для оценки длительности обслуживания заявок.
Следующим этапом является разработка
алгоритма, позволяющего выбрать наиболее
оптимального (с точки зрения целевой
i72
