CC BY
98
УДК 519.8
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА СОСТАВЛЕНИЯ
РАСПИСАНИЯ ДЛЯ МУЛЬТИПРОЕКТНОЙ СИСТЕМЫ С ВРЕМЕННЫМИ И РЕСУРСНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ И КРИТЕРИЕМ РАВНОМЕРНОЙ ЗАГРУЗКИ
С.А. Олейникова
В работе произведен анализ особенностей системы, предназначенной для формирования план-графиков проектов с ограничениями на объем используемых ресурсов в каждый момент времени и директивный срок выполнения каждого проекта. Проект представляет собой последовательность взаимозависимых работ со случайной длительностью. В результате получены зависимости, позволяющие описать математическую модель данной системы и сформулировать оптимизационную задачу планирования работы системы
Ключевые слова: математическая модель, план-график, временные ограничения
1. Постановка задачи и ее особенности
Рассматривается задача оптимизации сложной системы, предназначенной для обслуживания проектов, каждый из которых включает в себя определенный перечень взаимозависимых работ. Каждая работа определяется своей длительностью и требует некоторого объема ресурсов определенного типа (одного или нескольких). Существует зависимость между работами с ограничениями типа «финиш» - «старт». Это означает, что работа не может начаться до того, как будут выполнены все предшествующие ей работы. Предполагается, что длительность любой работы является случайной величиной. Предполагается также наличие в системе нескольких типов ресурсов, каждый из которых имеет определенный объем. Под ресурсами могут пониматься специалисты, выполняющие работу, оборудование, на котором она выполняется, и т.д. Специфика таких ресурсов заключается в том, что при выполнении некоторой работы их невозможно использовать для других работ. Однако по завершении очередной работы они вновь могут быть доступны. Существует также другая категория ресурсов, используемых в системе. Особенность данной категории заключается в том, что они расходуются прямопропорционально с выполнением работы и после ее завершения не восполняются. К ресурсам такого типа относятся материалы, предназначенные для выполнения работ, финансовые ресурсы и т.д. Любая работа требует некоторого объема ресурсов некоторых типов (возможно, нескольких). Необходимо описать функционирование такой системы математически, а также составить задачу для оптимизации ее функционирования.
Очевидно, что наиболее эффективным инструментом оптимизации таких систем является построение план-графика, который удовлетворяет целям планирования и всем необходимым ограничениям. Для постановки оптимизационной задачи проанализируем все зависимости между
Олейникова Светлана Александровна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: osa@vmail.ru
отдельными параметрами работ и проектов и, на основании этих зависимостей, разработаем математическую модель.
2. Построение математической модели системы
Сформируем математическую модель системы. Определим совокупность проектов, для которых необходимо в данный момент формировать план-график, с помощью следующего вектора:
Р = (Р1,...,Рп ) (1)
Каждый проект Р1, 1=1,...,п, характеризуется перечнем своих работ, а также имеет директивный срок своего окончания:
Р1 = р (Т^11,...^1 к1) (2)
Здесь к1 - количество работ для данного проекта, к1 - полный перечень этих работ,
Т1 - срок окончания проекта. Предполагается, что одна и та же работа может присутствовать в разных проектах.
Любая работа №] характеризуется длительностью обслуживания и требуемыми ресурсами. Для ее описания введем в рассмотрение векторы ресурсов. Как было сказано ранее, все ресурсы системы разделим на две категории. К первой категории будут относиться ресурсы, которые возобновляются после выполнения работы и доступны для других работ. Это, например, оборудование, используемое для выполнения работы, специалисты и т. д. Пусть имеется к различных ресурсов такого типа:
Я = (Я1,...,Як) (3)
Здесь Я - общее количество ресурсов типа ^ которым располагает система.
К другому типу относятся такие ресурсы, которые после расходуются в процессе выполнения работы, и после ее окончания уже не могут быть восстановлены. Без ограничения общности, будем называть этот вид ресурсов материалами и обозначим его через М. Пусть система располагает т видами ресурсов данного типа:
М = (М,.....Мт ) (4)
Здесь MJ - объем ресурсов, которым к началу процесса планирования располагает система. Предполагается, что до окончания выполнения
i) (5) kj -
работ данный вектор не будет пополняться новыми объемами. Следовательно, необходимо составить расписание с учетом тех значений вектора, которые имеются к началу планирования.
Исходя из этого, работу можно определить следующим образом:
Wik = Wik (dlit1,rll,...,r1 kl,mll,...,m1 здесь dlitj - длительность работы j; количество видов ресурсов, которые требуются для ее выполнения; rj1 - количество ресурсов типа 1, ..., rj kj - количество ресурсов типа kj; lj - количество типов материалов, необходимых для выполнения работы; mj1 - объем материалов типа 1;.; mj lj -объем материалов типа lj.
Рассмотрим отдельно параметр работы, который определяет ее длительность. Специфика рассматриваемой задачи заключается в том, что длительность работ предполагается случайной. Обозначим случайную величину, описывающую длительность i-й работы через Х1.
Проанализируем данной случайной величины. Очевидно, что эта величина будет иметь непрерывный закон распределения. В подавляющем большинстве практических задач имеется возможность задать нижнее и верхнее значение такой длительности. Также вполне очевидно, что закон распределения будет одномодальным, т. е. будет иметь одну явно выраженную точку своего максимума.
Анализ существующих законов распределения, удовлетворяющих вышеперечисленным свойствам, показал, что наиболее целесообразно длительность обслуживания описать с помощью случайной величины, распределенной по закону бета [1]. Плотность этого закона распределения имеет вид:
f x(t)=
(t - a Г1 (b - t)
q-1
B(p,q)(b - a)p+q-1 0, t < a, t > b.
,a < t < b,
(6)
Здесь р и д - параметры закона, а а и Ь -границы, в пределах которых плотность распределения будет ненулевой (можно также считать параметрами распределения), В(р,д) - бета функция от параметров р и д.
В общем случае она определяется формулой:
j xp-1(l - x )
iq-1
В(РЛ) = I х
0
В формуле (7) Г(х) - это аргумента х.
Тогда оценкой будет являться случайной величины
dx =
r(p)r(q)
(7)
Г(р + q)
гамма-функция
длительности обслуживания математическое ожидание распределенной по закону бета с неизвестными параметрами р и д и известными параметрами а и Ь.
ШЙ; = МХ; . (8)
Как известно, математическое ожидание бета-распределения вычисляется по формуле [1]:
Р
MX = a + (b - a)-
С учетом того, что параметры р и д в данном случае будут неизвестны, возникает задача нахождения математического ожидания как оценки длительности выполнения отдельных работ по известным значениям минимального и максимального возможного срока их выполнения.
Как было сказано ранее, между работами существует взаимная зависимость типа «финиш» -«старт». Это означает, что работа Wkl с номером к проекта 1, 1=1,...,п, не может начаться, пока не завершатся все предшествующие ей работы. Будем предполагать, что взаимная зависимость функционирует в пределах одного проекта, т. е. одной и той же работе в разных проектах могут непосредственно предшествовать разные работы. Для описания зависимости между работами проекта введем в рассмотрение множество Бк1, содержащее все работы, непосредственно предшествующие работе wkl. Это удобно сделать, определив каждую работу начальным и завершающим событием:
1 = (11,12), (10) здесь 1 - идентификатор некоторой работы, а 11 и 12 - идентификаторы событий (начального и конечного соответственно), которые однозначно эту работу определяют.
При взаимной зависимости между работами должны выполняться следующие ограничения:
tki нач — tkj нач + dlitkj
(11)
Здесь tkl нач - время начала i-й работы k-го проекта, tkj нач - время начала непосредственно предшествующей ей j-й работ проекта k, dlltkj -длительность j-й работы.
Для решения оптимизационных задач планирования взаимозависимых работ потребуется также наличие следующих характеристик работ:
- раннее время начала работы;
- позднее время начала работы.
Эти характеристики составляют основу всех известных методов планирования взаимозависимых работ [2,3] и определяются через аналогичные соответствующие характеристики для событий. Пусть dlltl - длительность работы l=(lbl2). Тогда раннее время наступления события l2 будет определяться формулами:
ti=0; (12)
t р = max (t р + dlltj); (13)
l2 р l=(ll,l2) l1 р
Момент наступления последнего события называется критическим временем проекта. Позднее время начала всех событий определяется, начина с последнего события, у которого оно совпадает с ранним моментом:
tK п = tKр . (14)
Для остальных событий оно будет рассчитываться следующим образом:
р+q
(9)
t п = max (t п - dliti).
* П i=(i1,i2) i2 П
(15)
Под ранним временем начала работы понимают самый ранний момент времени, в который может начаться данная работа. С учетом наличия зависимостей (11) и (12), эта величина будет определяться по формуле:
1. р = 1_1 р =,1 = (11,12). (16)
Время завершения последней работы проекта будет называться критическим временем Ткр. Поздние моменты начала каждой работы рассчитываются, начиная с последнего этапа и заканчивая самыми первыми работами. Формула расчета следующая:
1, п = 112 п - ¿1111,1 = (11,12) (17)
На основании этих значений можно определить резервы работ как разность между поздним и ранним временем:
Я^ = 1 п -1 р . (18)
1 |п |р
Зависимости (1)-(17) составляют основу математической модели, описывающей функционирование сложной системы,
предназначенной для обслуживания проектов с взаимной зависимостью между работами.
3. Постановка оптимизационной задачи
Составим оптимизационную задачу для формирования план-графика работ [5]. В качестве критерия оптимизации рассмотрим достижение системой равномерной загрузки в течение всего рассматриваемого срока. Такая целевая функция выбрана по следующим причинам. Во-первых, для целого ряда задач необходимо выполнить проект в заданный срок. При этом, выполнение проекта в минимально возможные сроки (в пределах заданных ограничений) не только не является наилучшим вариантом планирования, но и не всегда целесообразно. Во-вторых, чем более равномерной будет загрузка системы, тем больше резерв ее производительности в целом. Следует также допустить появление новых внеплановых проектов, требующих скорейшего обслуживания в сжатые сроки. При формировании расписания для проектов, поступивших ранее, с точки зрения скорейшего завершения, система в данный момент может не располагать достаточным резервом свободных ресурсов, который позволит обеспечить своевременное выполнение нового проекта. В связи с этим, может потребоваться перераспределение работ, которым уже назначено плановое время начала, на более поздние сроки, т. е. внесение изменение в существующее расписание. При наличии взаимной зависимости между работами, а также временных и ресурсных ограничений, данная задача может потребовать существенных временных и алгоритмических затрат.
В связи с этим, наиболее эффективной альтернативой описанному выше критерию будет являться использование критерия равномерной загрузки системы с точки зрения ресурсов, а также использование временных ограничений на длительность выполнения проекта в целом [4].
Загрузку будем смотреть по всем восполняемым ресурсам. Предположим, что по каждому виду ресурсов i рассчитано наиболее рациональное значение объема Яфавн в течение всего планового срока. Это может быть среднее значение, рассчитанное по предыдущим периодам либо любое другое значение, которое руководители считают наиболее целесообразным.
В этом случае критерий будет иметь вид: k
II(Rj(t)-Ядаавн)2 ® min. (19) t j=1
Здесь Rj(t) - объем используемых ресурсов типа j в момент времени t; k - общее число всех ресурсов; Rp^ - объем ресурсов типа j, при котором загрузка системы была бы равномерной.
Критерий (18) отражает необходимость в каждый момент времени планировать расписание таким образом, чтобы при этом объем задействованных ресурсов каждого типа был близок к эталонному значению.
Рассмотрим дополнительные ограничения, которые возникнут в процессе планирования. В первую очередь, это ограничения на объем используемых ресурсов. Составленный план-график должен быть таким, чтобы в каждый момент времени t количество используемых ресурсов каждого типа Rj(t) не превышало объем имеющихся ресурсов Rj:
Rj(t)< Rj, j = 1,...,k. (20)
Аналогичным образом можно определить ограничения на используемые материалы:
Mj(t)< Mj, j = 1,...,m. (21)
Одним из важнейших ограничений, определяющих специфику задачи, является ограничение на время выполнения проекта. Как следует из формулы (2), для каждого проекта Pi задан директивный срок его окончания Ti. Решение оптимизационной задачи предполагает нахождение времени начала t нач_у каждой работы j каждого проекта i. В этом случае, время начала должно быть таково, чтобы для каждого проекта выполнялось условие:
Тфакт i < Ti,i = 1,...,n. (22)
Здесь Тфзхт i - фактическое время завершения проекта i с учетом составленного расписания; Ti -директивный срок завершения проекта.
Анализ методов управления проектами, которые используются для построения план-графиков при наличии взаимной зависимости между отдельными работами проекта, говорит о том, что длительность проекта представляет собой сумму длительностей отдельных работ, стоящих на так называемом критическом пути проекта [3].
Под критическим путем понимается такой путь графа (т.е. последовательность ребер (работ) от начального события до конечного), у которого каждая работа имеет нулевой резерв.
Pathi = {wlk,k = 1,...koli : (k-1)2 = kj. (23)
В формулировке (22) символом (к-1 )2 обозначено конечное событие работы к-1, а символом к1 - начальное событие работы к.
Формально критический путь можно определить следующим образом:
К = ^ е W : uw1 = РаЛ1;Яе81 = 0}. (24)
Таким образом, длительность выполнения всего проекта можно определить следующим образом [2, 3]:
Тфакт 1 = ^^ , (25)
WkеK
Здесь к1 - 1-я работа к-го проекта (при условии, что она стоит на критическом пути).
Таким образом, оптимизационную задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть имеется несколько проектов, представляющих совокупность взаимозависимых работ. Необходимо определить для каждой работы каждого проекта такое время начала, чтобы при выполнении ограничений (20)-(22) критериальная функция (19) достигала бы своего минимального значения.
Выводы
В данной работе проанализированы особенности функционирования сложных систем, предназначенных для обслуживания проектов, включающих в себя перечень взаимозависимых работ. На основании специфики работы системы была построена ее математическая модель, учитывающая зависимости между работами проектов, ограничения на ресурсы, а также директивные сроки завершения проектов. С использованием данной модели была сформулирована оптимизационная задача формирования план-графиков работ.
Следующим этапом является разработка алгоритмов и программного средства, позволяющего составлять расписание систем с
отмеченной спецификой, реализующих решение данной оптимизационной задачи.
Литература
1. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: Физматлит, 2006. - 816 с.
2. Олейникова, С. А. Критический анализ метода PERT решения задачи управления проектами со случайной длительностью выполнения работ [Текст] / С. А. Олейникова // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - № 1(51). - С. 2024.
3. Олейникова, С. А. Оценка критического времени в задачах управления проектами [Текст] / С. А. Олейникова // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т.7. - № 2.- С.106-109.
4. Олейникова, С. А. Сравнительный анализ задач планирования работ с критериями скорейшего завершения проекта и равномерной загрузки системы [Текст] / С. А. Олейникова // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4 (42). - С.44-48.
5. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации/ А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов, В.В. Федоров - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 368 с.
6. Подвальный, С. Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов. Воронеж: научная книга. 2010. -163 с.
7. Подвальный С. Л., Бурковский В.Л. Имитационное управление технологическими объектами с гибкой структурой. Воронеж: ВГТУ. 1988. - 168 с.
8. Абсатаров Р. А. Оптимизация организационного управления распределенными системами [Текст] / Р.А. Абсатаров, О.Я. Кравец, А.Д. Поваляев // Системы управления и информационные технологии. - 2004. -№ 2(14). - С. 24-28.
Воронежский государственный технический университет
MATHEMATICAL MODEL AND OPTIMIZATION PROBLEM OF SCHEDULING FOR MULTI - PROJECT SYSTEM WITH TIME AND RESOURCE CONSTRAINS AND CRITERIA OF UNIFORM DOWNLOADS
S.A. Oleynikova
In thls work the analysls the features of the system for formmg schedule with restrictions of the resources and the due date of each project ls constructed. The project ls a series of mterrelated activlties wlth random duration. As a result, the dependences whlch allow describmg a mathematical model of the system and formulating an optimlzation problem of the plannlng system are consldered
Key words: mathematical model, schedule chart, time constrams
