Оценка критического времени в задачах управления проектами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.8

ОЦЕНКА КРИТИЧЕСКОГО ВРЕМЕНИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ

С.А. Олейникова

В работе проанализированы существующие подходы к оценке критического времени для задач управления проектами, а также предложен новый подход, учитывающий ранее и позднее время наступления событий. Этот подход отличается повышенной точностью по сравнению с существующими подходами

Ключевые слова: управление проектами, критическое время

Рассматривается задача планирования работ с ограничениями «финиш»-«старт» на взаимную зависимость операций, а также ограничениями на объем используемых ресурсов. Существуют различные разновидности данной задачи в зависимости от критерия оптимальности. Так, наиболее распространенным является критерий скорейшего завершения работ при ограничениях на объем имеющихся ресурсов. Используются также критерии минимизации стоимости проекта или равномерной загрузки всей системы. В этом случае могут налагаться ограничения на время выполнения проекта. Таким образом, одной из важнейших задач является оценка критического времени.

В настоящее время наиболее изученным является критерий

минимальной стоимости. Решение задачи основывается на хорошо известных методах CPM и его модификации для вероятностных длительностей операций PERT [1]. Данные методы не ставят своей целью изначально оценить длительность всего проекта. Критическое время рассчитывается как момент завершения последней работы, причем моменты начала и окончания работ рассчитываются без учета ограничений на объем используемых ресурсов. Однако при решении задачи работы могут сдвигаться на более поздние сроки и, следовательно, критическое время может увеличиться. Таким образом, величина критического времени, рассчитанная с помощью метода CPM, является приближенной

характеристикой и может впоследствии

увеличиться в процессе решения задачи. Следует также отметить, что решение, полученное данным методом, является приближенным. Несмотря на то, что эффективность данного метода достаточно высока, в настоящее время отсутствуют механизмы, позволяющие оценить оптимальность каждого конкретного решения. В первую очередь это связано с тем, что в настоящее нет точных подходов к оценке критического времени, которое можно было бы взять за эталонное значение, и затем сравнить полученный результат с этим эталоном.

Проблема оценки критического времени в задачах с временными ограничениями является еще более актуальной. Это связано с тем, что расписание, при котором время выполнения проекта превысит заданные временные ограничения, будет являться уже не плохо составленным, а просто недопустимым. Поэтому более точная оценка критического времени позволит избежать данной ситуации.

Наибольшую важность точность оценки критического времени приобретает в задаче с критерием равномерного распределения ресурсов и ограничениями на длительность проекта. В данном случае необходимо не только учесть временные ограничения, но и определить такой уровень ресурсов, при котором загрузка системы была бы равномерной. Очевидно, что определение такого уровня будет также зависеть от критического времени.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что разработка подходов, позволяющих получить наиболее точную оценку критического времени, является

Олейникова Светлана Александровна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, е-шаП: [email protected]

весьма актуальной задачей для любых критериев оптимальности.

1. Анализ существующих

подходов к оценке критического

времени

Проанализируем подход к оценке критического времени, применяемый в СРМ. Критическое время определяется как момент завершения последнего события (событие определяет начало или

окончание некоторой работы).

Время раннего начала любого события ] можно определить формулой:

- нет возможности проанализировать качество полученной оценки времени (это можно сделать лишь с помощью полного перебора, что крайне неэффективно).

Известен также геометрический подход к оценке длительности проекта [2, 3]. В этом случай длительность определяется как отношение общего объема выполняемых работ к их количеству. Общий объем работ может быть определен формулой:

V = Ъ<3 • гг (3)

0, р = 0; таХ(Ґ* + Іг] X Р

(1)

где Р] - множество всех событий, непосредственно предшествующих

событию ]

Критическое время будет

определяться как время начала последнего события:

ткр = С. (2)

Здесь п - событие, завершающее проект.

Основным недостатком данного подхода является то, что время

рассчитывается без ограничений на

ресурсы. Метод СРМ не ставил своей

задачей нахождение точной оценки

критического времени перед началом работы алгоритма. Это некоторая

характеристика, позволяющая рассчитать резервы и изменяющаяся в процессе решения задачи. То значение, которое получится на последнем этапе, и считается окончательной оценкой критического

времени. Рассмотрим данный подход с точки зрения оценки критического

времени. В этом случае он обладает следующими недостатками:

- предварительное значение критического времени весьма условно;

- окончательное значение критического времени будет известно лишь при завершении работы алгоритма, что весьма трудоемко с точки зрения вычислительной сложности;

Пусть в наличии имеются ресурсы объема К Тогда очевидно, что длина данного прямоугольника, которая будет представлять собой нижнюю оценку длительности обслуживания, определяется формулой:

Т = —

кр Я

(4)

Преимуществом данного подхода относительно имеющегося способа оценки критического времени в СРМ является то, что он уже пытается учесть общий объем выполняемых работ и ограничения на ресурсы. Однако, недостатком является то, что формула (4) распределяет этот объем равномерно по всему интервалу. К сожалению, в подавляющем большинстве случаев это невозможно. Рассмотрим в качестве примера диаграмму Гантта (составленную по раннему времени работ). Она представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Диаграмма, составленная по раннему времени начала работ По оси абсцисс отложено время, по оси ординат - объем используемых

ресурсов при выполнении работ в данное время. Здесь цифрами 1 и 4 отмечены площади, показывающие, какой объем ресурсов потребуется в каждый момент времени при условии, что все работы будут начинаться в свое «ранее время». Пунктирная линия показывает объем имеющихся ресурсов. Из рисунка наглядно видно, что задачи общим объемом, отмеченным цифрой 4, должны быть переопределены. Т.к. график

формировался на основании самого раннего времени начала каждой работы, то площадь, обозначенная цифрой (2), заполнена быть не может. Следовательно, этот объем возможно перераспределить

лишь на площадь, обозначенную цифрой 3.

Таким образом, предложенный

алгоритм не учитывает невозможность перераспределения работ таким образом, чтобы на начальных этапах общий объем выполняемых работ совпадал с

ограничениями на ресурсы.

Аналогичные выводы можно

сделать, если построить диаграмму по

поздним моментам начала работ. Рассмотрим рисунок 1 как такую диаграмму. В этом случае цифрой 3 обозначена площадь, которую невозможно заполнить работами, поскольку график построен по поздним моментам времени.

Таким образом, при построении

диаграмм не всегда время работ можно запланировать таким образом, чтобы в максимальной степени использовать имеющиеся ресурсы. А формула 4 ориентирована именно на такую ситуацию. Следовательно, оценка, полученная с

помощью данной формулы, будет практически всегда ниже реального

критического времени.

2 Модификация существующих подходов

На основании анализа

существующих алгоритмов разработаем модификацию к оценке критического времени. Целью является получение более точной оценки по сравнению с рассмотренными выше алгоритмами. В основе подхода будет лежать геометрический подход, рассмотренный

выше, поскольку он позволяет учесть объемы выполняемых работ.

Модификация требуется для учета тех площадей, которые не могут быть заполнены работами. Другими словами, необходимо учесть, что в начальные и в конечные моменты времени объем используемых ресурсов будет ниже допустимого уровня. Следовательно, необходимо найти:

- момент времени То, начиная с

которого объем используемых ресурсов может превысить имеющиеся

ограничения;

- момент времени Т1, начиная с которого объем используемых ресурсов будет опять меньше имеющихся ограничений;

- способ определения ширины интервала для работ, которые могут выполняться в моменты от Т0 до Т1.

Для определения момента времени Т0 необходимо рассчитать раннее время начала всех работ с помощью формулы (1) (где событие определяет начало работы). Тогда момент Т0 будет определяться как минимальный момент времени, на котором нарушены ограничения на ресурсы.

Одновременно определяем объем работ, выполненных на данном интервале.

V,,, = 2 к.' К. (5)

Ч+1-Т0

где ^ - ширина полученных

временных интервалов;

К = - и. (6)

^ - это суммарный объем ресурсов, который будет использоваться при выполнении всех работ на данном интервале:

Определим поздние моменты начала работ. Далее, начиная с момента критического времени, определим такой момент Т1, начиная с которого выполняются ограничения на ресурсы (до момента Ткр). Введем в рассмотрение величину:

нко, = Ткр - г, (7)

Она будет определять величину интервала времени, в котором будут выполняться работы, завершающие

проект, которые не требуют

перераспределения в силу выполнения ограничений на ресурсы.

Одновременно определяем объем работ на данном временном интервале:

Ко, = 2 к.' К,' (8)

Ч+1-г1

Нераспределенный объем работ определяется по формуле:

V = V - V - V . (9)

ост нач кон V /

Найдем ширину временного

интервала, в котором могут быть выполнены данные работы при ограничении на объем ресурсов Я.

V

Т =-°1^. (10)

пром ^ V /

Получив необходимые

составляющие, можно получить общую формулу оценки критического времени:

Ткр = Т0 + Тпром + Н кон , (1 1)

где Тпром определяется формулой (10), а Нкон - формулой (7).

Рассмотрим достоинства данного подхода. Во-первых, он учитывает не только объем выполняемых работ, но и невозможность использования ресурсов в полной мере в начале и конце временного интервала. К недостатку можно отнести то, что он не учитывает специфику

распределения работ внутри основного интервала (шириной Тпром). Однако, следует отметить, что ни один из

имеющихся методов на данный момент не учитывает такой специфики. Это может увеличить величину критического пути.

Таким образом, величина

критического пути может увеличиться

лишь за счет увеличения ширины интервала Тпром.

Также к достоинствам данного метода можно отнести то, что он может использоваться в качестве основы для любых модификаций классической задачи планирования работ. В частности, с небольшими модификациями его можно использовать при планировании работ при существующем расписании, а также при наличии нескольких видов ресурсов.

3. Основные результаты

В ходе работы были проведен детальный анализ существующих подходов для оценки критического времени, оценены основные их

недостатки. На основании анализа была предложена модификация оценки критического времени, учитывающая ранние и поздние моменты событий, объемы работ и специфику сетевого графика и диаграммы Гантта. Согласно данному подходу критическое время определяется по формуле (11). В работе также проанализированы достоинства и недостатки данного подхода.

Литература

1. Ахьюджа Х. Сетевые методы управления в проектировании и производстве. Пер. с англ. /Под. ред. В. Н. Калашникова. М.: Наука, 1979. - 640с.

2. Баркалов П.С., Колпачев В.Н., Остапенко М.Д. Задачи оптимального распределения ресурсов по комплексу независимых работ// Современные сложные системы управления. - Воронеж, ВГАСУ, 2003. с.183-187.

3. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Котенко А.М., Семенов П.И. Модель минимизации комплекса работ в календарном планировании строительного проекта// Современные сложные системы управления. - Воронеж, ВГАСУ, 2003. с.215-219.

Воронежский государственный технический университет

ESTIMATE OF THE CRITICAL TIME IN THE PROJECT MANAGEMENT PROBLEMS

S.A. Oleynikova

In this paper the existing approaches to evaluating the critical time for the problems of project management are analyzed. After that new approach which bases on the earlier and later time of on events is proposed. This approach has high accuracy compared with existing approaches

Key words: project management, critical time