Быстрый и эффективный метод оценивания барьерных опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

О.Е. Кудрявцев

БЫСТРЫЙ И ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ БАРЬЕРНЫХ ОПЦИОНОВ В МОДЕЛЯХ ЛЕВИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ РЕЖИМОВ ПО ПАРАМЕТРАМ ПРОЦЕССА

Начально-краевые задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными имеют большое значение для необозримого числа приложений. В последние годы большой интерес привлекают подобные задачи, возникающие в финансовой математике при оценивании производных финансовых инструментов - опционов.

С практической точки зрения хорошо себя зарекомендовали негауссовские процессы Леви, позволяющие моделировать скачки в поведении цены финансового актива. Моделирование поведения цены акции с помощью таких процессов в рамках задачи оценивания опционов приводит к необходимости решения достаточно сложных интегро-дифференциальных уравнений.

Если модель Леви зависит от марковской цепи с конечным числом состояний, то задача усложняется - мы получаем систему интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. С экономической точки зрения моделирование процесса цены с помощью переключения режимов представляет большой интерес, поскольку позволяет учитывать изменения параметров модели в зависимости от состояний финансового рынка.

Существующие численные методы решения подобных задач (Монте-Карло, конечно-разностные схемы) зависят от конкретной модели Леви и требуют длительных расчётов для достижения хорошей точности, что делает их практически бесполезными. Актуальной задачей финансовой математики является построение эффективного численного метода решения задачи оценивания опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса. Обзор последних результатов в этой области можно найти в [2].

Барьерные опционы в моделях Леви

Рассмотрим быстрый и точный численный метод решения начально-краевых задач для си-

стем интегро-дифференциальных уравнений, возникающих при оценивании барьерных опционов для широкого класса негауссовских моделей Леви для цены финансового актива, зависящих от марковской цепи.

Напомним, что процесс Леви X - это процесс с независимыми стационарными приращениями (подробнее - [8]). Известно, что процесс Леви полностью определяется своей характеристической экспонентой которая находится из соотношения:

М [еггх<] = е-*®, £ е Я.

Согласно формуле Леви-Хинчина, характеристические экспоненты процессов Леви допускают следующее представление:

у© = I2 - № + |(1 - е^ + /№](х)) Я(сХ)

где о > 0, ц е Я - константы, а Я(ССх) - мера на Я\{0}, удовлетворяющая свойству ]тт(1, х2)

я

Я(сСх) < да. Параметр о2 называется гауссовским коэффициентом, а мера Я(Сх) - мерой Леви.

Известно, что инфинитезимальный генератор Ь процесса Леви X допускает представление в виде интегро-дифференциального оператора:

+ /(/(*+у)~ № - /Ь)У ■ /^»адх

я

Отметим, что генератор Ь играет важную роль в решении задач оценивания опционов и тесно связан с характеристической экспонентой процесса Леви. Оператор Ь может быть представлен в виде псевдодифференциального оператора (ПДО) с символом -у(£). Напомним, что ПДО А с символом а(£) действует по формуле:

—оо

-Ко

где /(£) = ^e~b^f(x)dx - преобразование Фурье

функции Ах).

Обозначим через 1,2,..., Ь возможные состояния финансового рынка и введём случайный процесс 2,, который указывает текущее состояние в момент времени Пусть процесс , представляет собой марковскую цепь с непрерывным временем и матрицей интенсивностей Л = (^к),

где Я,деЛДд>0

Напомним, что вероятность перехода из состояния у, соответствующего моменту времени ?1 в состояние к, соответствующее моменту времени ,2 равна

р(га = к I = У) = {ехр((?2 - ,1)Л)}у

Возьмём модель цены финансового актива вида 5", = 80ехр X , где процесс доходности (логарифма цены) Х1 будет построен на основе конечного набора процессов Леви следующим образом. Рассмотрим множество независимых процессов Леви Ук (относительно выбранных рынком эквивалентных мартингальных мер О), перенумерованных индексами к = 1,2,..., Ь. Приращения процесса X , будут переключаться между Ь процессами Леви, в зависимости от состояния 2 : = ёУ,'. Характеристические экспоненты и инфинитезимальные генераторы процессов У к обозначим и Ьк, соответственно; тк — без-

рисковая процентная ставка по облигациям в состоянии рынка к. В силу требования мар-тингальности эквивалентных мер О. (подробнее — [1]), должны выполняться соотношения Ук + = 0, к = 1,..., Ь.

Рассмотрим контракт, по которому выплачивается определённая сумма 0(8Т) в момент окончания срока действия контракта Т, зависящая от финальной цены финансового актива БТ, при условии, что в течение срока действия контракта цена актива не упадет ниже определённого барьера или не поднимется выше определённого барьера. Когда барьер Н пересекается, опцион обесценивается; иногда владелец получает некоторую компенсацию. Мы остановимся на случае барьерных опционов без компенсации в описанной выше экспоненциальной модели Леви 8, = 80ехр X с переключениями режимов по параметрам процесса. Для удобства изложения положим 80 = Н.

Обозначим через f (Xt, t, к) цену барьерного опциона с барьером снизу H и окончанием срока действия T в состоянии к и момент времени t. Согласно формуле Фейнмана-Каца, цена f (Xt, t, к) может быть найдена, как решение следующей системы интегро-дифференциальных уравнений [3] с определенными начально-краевыми условиями

(Э, +А.л-тк +Lk)f{x,t,k) + YlKjf(x,t>j) = 0,

. j*k

x>0,t < Т,к - 1,...,L. (1)

Зададим начальные и краевые условия, исходя из определения барьерного опциона:

f(x, t, к) = 0, x < 0,t < T, к = 1,..., M; (2) f(x, T, к) = G(Hex), x > 0, к = 1,...,M (3)

В частности, если рассматривается барьерный опцион вида put (право продать по фиксированной цене K), то функция выплат имеет вид G(S) = max{K - S,0}.

Для решения поставленной задачи нами была разработана универсальная вычислительная процедура решения специального класса систем интегро-дифференциальных уравнений. Предлагаемый алгоритм обобщает метод быстрой факторизации Винера-Хопфа, описанный в [6] для случая моделей Леви без переключения режимов.

Методы решения интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для оценивания барьерных опционов

Рассмотрим сначала случай без переключения режимов. Общую теорию и обзор методов решения интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для оценивания барьерных опционов можно найти в [1] и [4].

Основными численными методами являются метод Галеркина и конечно-разностные схемы. Первый метод основан на вариационной формулировке интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Главными недостатками этого подхода является сложность его практической реализации и необходимость использования специализированных математических пакетов. Конечно-разностные схемы, с другой стороны, не требуют специальных навыков программирования и просты в реализации.

Отметим два метода конечных разностей, применённых в [5] для вычисления цены барьерных опционов, и [7] для оценивания американских

опционов. Построение любой конечно-разностной схемы для случая моделей Леви включает в себя дискретизацию в пространстве и времени, усечение больших скачков и аппроксимацию малых. В результате для каждого шага по времени получается система линейных уравнений. В [5] используется явно-неявная схема, согласно которой происходит сведение к трехдиагональной системе, поэтому теряется точность и метод медленно сходится. Схема, построенная в [7], является неявной и более точной, но решение соответствующих систем происходит методом простой итерации, что существенно уменьшает скорость вычислений. Кроме указанных недостатков существующих конечно-разностных методов, следует отметить отсутствие универсальной процедуры вычисления коэффициентов схемы для разных моделей Леви.

Отметим, что известны сложные аналитические формулы для барьерных опционов в моделях Леви, основанные на методе Винера-Хопфа [1], но не была предложена эффективная численная реализация этих формул в общем случае. Дело в том, что явная факторизация интегро-дифференциального оператора, возникающего в задаче, возможна только в частных случаях.

В [6] была предложена эффективная универсальная процедура решения специального класса интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для оценивания барьерных опционов. Разработанный метод получил название "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ). Метод БФВХ, основанный на численной факторизации Винера-Хопфа, по простоте реализации близок к конечно-разностным схемам, но существенно выигрывает в скорости и точности. Результаты численных экспериментов, доказывающие преимущества этого метода по сравнению с конечно-разностными схемами из [5,7] могут быть найдены в [6].

Таким образом, наиболее целесообразным является обобщение метода БФВХ на случай систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, связанных с переключением между различными моделями Леви.

Метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа". Модель Леви без переключения режимов

Рассмотрим основные идеи метода БФВХ для решения задачи оценивания барьерных опционов

в модели Леви без переключения режимов по параметрам процесса. В случае одного состояния финансового рынка, задача для цены барьерного опционаД(х^) примет вид:

(5 г - г + Г) Дх,0 = 0, х > 0^ < Т;

Дх,0 = 0, х < 0^ < Т; Дх, Т) = 0(Ивх), х > 0.

Метод начинается с рандомизации Карра (подробнее - [6]), которая включает дискретизацию задачи только по временной переменной. Пусть

Г

N - число периодов времени длиной Дг = —.

Обозначим через tj = jДt иД(х) = Дх,/р,= 0,...,К По условию Д (х) = С(Яех)/(0;+ю)(х). Далее введём параметр q = г + (Д^Т1 и заменим производную по времени конечной разностью. В результате получим последовательность стационарных задач на вещественной прямой для j = N-1,N -2,...0:

q 1(q - Г) Д(х) = ^Д0-1 Д+(х), х > 0;

Д(х) = 0, х < 0.

Для решения такого рода задач применяем метод Винера-Хопфа (подробнее - [6] и библиография к ней). Введём оператор А - взаимно обратный к оператору q~1(q - Г). Следовательно, как

ПДО, оператор А имеет символ---. В основе метода Винера-Хопфа лежит факторизация символа оператора А , которая в вероятностной формулировке выглядит следующим образом:

-= ф+© ф-йХ где ф+© ф-© - характеристические функции безгранично делимых распределений, имеющих носители на правой и левой полуосях, соответственно. Обозначим через А+, А- - ПДО с символами ф+(£), ф-(£), тогда в операторной форме факторизация Винера-Хопфа будет выглядеть следующим образом: А = А+А-=А-А+.

Используя свойства операторов А+, А-, решение задачи находится по формулам [6]:

Д = №УА-1(0++т)(х)А+Д+,, = N-1,...,0.

Отметим, что операторы А+, А~ действуют на функции как операторы свертки с плотностью вероятности, поэтому их нормы в пространстве ограниченных непрерывных функций С(К) равны единице. Поскольку аналитические формулы для

символов операторов Л+, Л- достаточно сложны для практического применения [1], в [6] были разработаны приближенные формулы для функций Ф+(£), ф"(£). На основе этих формул и быстрого преобразования Фурье (БПФ) для вещественно-значных функций, в [6] была предложена эффективная численная реализация операторов Л+, Л". Параметрами алгоритма БФВХ, разработанного в [6] являются: количество шагов по времени N и шаг дискретизации по пространственной переменной ё. При увеличении N и уменьшении ё метод сходится к цене опциона.

Метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа". Модель Леви с переключением режимов

Рассмотрим теперь обобщение метода БФВХ на случай модели Леви с переключением N режимов по параметрам процесса. Обозначим через /.(х,к) = /(х,?.,к),. = 0,...Д и чк = г + (Д?)-1 -к = 1,..., Ь Как и ранее,/¿х, к) = /(0;+ю)(х)0(Нех), х > 0, к = 1,..., М Далее, применим к системе (1)-(3) рандомизацию Карра и получим семейство систем:

Чк~1 (Як - ьк )/, (*. к) = АО"1 (X,к) +

+ ])) = 0, х>0,к = 1 ,...,М.

]*к

/Х(х,к) — 0,х< 0, к — \,...,М.

Введём следующие обозначения:

Ь =

ц о о

о

ь2 о

о о

Ч0 0 0 ... ЬМ;

Чг

Ао =

о Л/12 К ••• ^

^22 О А, 23 ...

^МЗ

\Чм у \

ш

Рх(х) =

'/,(*Д) л № 2)

Тогда в матричной форме наша задача примет

(ОКО - Ь) - Л0^1) Г(х) = ©ДО^^х), х > 0, (4)

Г(х) = 0, х < 0. Для решения полученной задачи фактори-зуем оператор обратный матричному оператору О1(О - Ь). Сначала мы факторизуем операторы на главной диагонали по формулам Винера-Хопфа:

= а: А:

<1к

Чк~ьк

А =

Далее, вводим оператор Л по формуле: ^АГ/^МА/ 0 0 ... О Л

0 А2-7(0;^,)«А2+0 ... 0

0

О

0 - АМ~7(0;-н»)О)Л

вид:

у _ ... --м у

Для операторов на главной диагонали оператора Л имеются эффективные формулы численной реализации их действия, полученные методом БФВХ [6]. Применяем оператор А к обеим частям (4) и получаем:

(I - ЛЛ©-1) Г(х) = ОДО-Л^х), х > 0, (5)

Г(х) = 0, х < 0. (6)

В силу свойств операторов Лк+, Лк-, норма оператора А в пространстве непрерывных ограниченных вектор-функций на положительной полуоси равна единице. Следовательно, при достаточно малом значении Д? оператор ЛЛ©и является сжимающим отображением. Таким образом, для решения задачи (5),(6) мы можем применить метод последовательных итераций:

Гт)(х) = ©ДО-Л^х) + ЛЛО1 Я-«(х), х > 0,

где т — номер итерации, а Г(0)(х) = Г+1(х). Чем меньше норма матрицы Л0©~1, тем быстрее итерационный процесс достигнет заданной точности е.

Результаты численных экспериментов

Рассмотрим данные численных экспериментов, демонстрирующих точность и высокую скорость обобщенного метода БФВХ на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам процесса. В качестве базы сравнения будем использовать результаты, полученные методом Монте-Карло. Хорошо известно, что при вычислении барьерных опционов методом Монте-Карло необходимо использовать большое количество симуляций траекторий, построенных с помощью достаточно малых шагов по времени.

В представленных экспериментах использовалось n = 500000 траекторий с шагом по времени равным Дт = 0,000001.

Рассмотрим барьерный опцион put с барьером снизу H = 90 с ценой исполнения K = 100 и сроком действия T = 0,1 в модели KoBoL с переключением трёх режимов по параметрам процесса. Процесс KoBoL(CGMY) является ярким представителем чисто негауссовских процессов Леви, привлекающих интерес практиков при моделировании финансовых рынков. Характеристическая экспонента процесса KoBoL [1] имеет следующий вид:

=--us+сц-уэд - +©v+w - (-*._- т

где c > 0, це R, Х < -1 < 0 < Х+, v £ (0;2), v ф 1.

Для симуляции траекторий модели KoBoL с переключением режимов был модифицирован программный код метода Монте-Карло для процесса KoBoL без переключений [6]. Параметры модели указаны в табл. 1, матрица интенсивно-стей имеет вид:

Д =

'-0,8 0,5 0,3Л 0,2-0,7 0,5 ОД 0,4-0,6

Для расчёта цен опционов использовался компьютер со следующими характеристиками: Intel Core(TM)2 Due CPU, 1,8 GHz, RAM 1024 Mb, under Windows Vista.

Таблица 1

Параметры модели KoBoL с переключением режимов

Параметры модели

Состояние Г V К с

z, = o 4,879% 0,5 -7 9 1

Z,= 1 4,879% 0,6 -11 8 1

Z,= 2 4,879% 1,4 -10 12 1

С помощью метода Монте-Карло и БПВХ были вычислены цены опционов для трёх случаев начальных состояний финансового рынка и четырёх значений цены акции: 5" = 91,96,101,106. Результаты численных экспериментов (табл. 2 и 3) демонстрируют быструю сходимость метода БФВХ и высокую согласованность с методом Монте-Карло. В частности, разница между значениями, полученными методом Монте-Карло и методом БФВХ, не выходят за пределы погрешности метода Монте-Карло. Под относительной ошибкой метода Монте-Карло будем понимать

Таблица 2

Цены барьерного опциона put с барьером снизу в модели KoBoL с переключением режимов по параметрам процесса

Метод Монте-Карло БФВХ

Параметры п=500000 Дт = 0,000001 ¿ = 0,001 N= 1600 d = 0,0005 N= 800 d = 0,0005 N= 1600

Цена акции Цена опциона в состоянии Z0 = 0

91 1,90584 1,89343 1,90033 1,899

96 2,71715 2,71483 2,71577 2,71566

101 1,13496 1,13453 1,13294 1,13327

106 0,43446 0,434303 0,43381 0,433893

Время 52000 13,5 13,5 27

вычислении, с

Цена акции Цена опциона в состоянии Z0 = 1

91 1,71527 1,70807 1,71423 1,71316

96 2,00268 2,0049 2,00562 2,00526

101 0,959067 0,961104 0,959708 0,959935

106 0,445013 0,444509 0,44385 0,443969

Время 52000 13,5 13,5 27

вычислении, с

Цена акции Цена опциона в состоянии Z0 = 2

91 0,0234225 0,02275 0,02254 0,02252

96 0,0902634 0,0904366 0,0902231 0,0901428

101 0,135412 0,135173 0,134905 0,13479

106 0,164802 0,164077 0,163752 0,163628

Время 200000 13,5 13,5 27

вычислении, с

Таблица 3

Относительные ошибки вычисления цены барьерного опциона put с барьером снизу в модели KoBoL с переключением режимов по параметрам процесса

Метод Монте-Карло БФВХ

Параметры п = 500000 ¿=0,001 ¿ = 0,0005 ¿ = 0,0005

Ах = 0,000001 W=1600 N= 800 N= 1600

Цена акции Цена опциона в состоянии Z0 = 0, %

91 0,5% -0,7% -0,3% -0,4%

96 0,3% -0,1 % -0,1 % -0,1 %

101 0,5% 0,0% -0,2% -0,1 %

106 0,9% 0,0% -0,1 % -0,1 %

Время 52000 13,5 13,5 27

вычислении, с

Цена акции Цена опциона в состоянии Z0 = 1, %

91 0,5% -0,4% -0,1 % -0,1 %

96 0,4% 0,1 % 0,1 % 0,1 %

101 0,6% 0,2% 0,1 % 0,1 %

106 0,9% -0,1 % -0,3% -0,2%

Время 52000 13,5 13,5 27

вычислении, с

Цена акции Цена опциона в состоянии Z0 = 2, %

91 4,3% -2,9 % -3,8 % -3,9 %

96 2,1 % 0,2% 0,0% -0,1 %

101 1,7% -0,2% -0,4% -0,5%

106 1,6% -0,4% -0,6% -0,7%

Время 200000 13,5 13,5 27

вычислении, с

отношение длины половины доверительного интервала к его середине.

В статье предложено обобщение быстрого и точного метода БФВХ вычисления барьерных опционов на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам процесса. Задача сводится к последовательности систем интегро-дифференциальных уравнений, которые решаются методом последовательной итерации с

помощью метода БФВХ. Метод программно реализован. Результаты численных экспериментов согласуются с методом Монте-Карло и подтверждают высокую эффективность разработанного подхода. Более того, построенный алгоритм может быть легко распараллелен, что позволит ещё в несколько раз повысить скорость вычислений.

Работа выполнена в рамках исследований научно-образовательного центра Южного федерального университета "Диалоговый Высокоуровневый Оптимизирующий Распа-раллеливатель программ и его приложения".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Boyarchenko S. I., Levendorskii S. Z. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory. 2002. World Scientific.

2 Boyarchenko S.I., Levendorskii S.Z. Pricing American options in regime-switching models // SIAM J. Control Optim. 2009. Vol. 48. P. 1353-1376.

3. Chourdakis K. Levy processes driven by stochastic volatility, Asia-Pacific Finan. Markets. 2005. № 12. P. 333-352.

4. Cont R., Tankov P. Financial modelling with jump processes. 2004. Chapman & Hall/CRC Press.

5. Cont R., Voltchkova E. A finite-difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Levy

models, SIAM Journal on Numerical Analysis. 2005. Vol. 43. № 4. P. 1596-1626.

6. Kudryavtsev O., Levendorskii S. Fast and accurate pricing of barrier options under Levy processes, J. Finance and Stochastics. 2009. Vol. 13. № 4. P. 531-562.

7. Levendorskii S., Kudryavtsev O., Zherder V. The relative efficiency of numerical methods for pricing American options under Levy processes, Journal of Computational Finance, Winter 2005/06. Vol. 9. № 2. P. 69-97.

8. Sato K. Levy processes and infinitely divisible distributions. 1999. Cambridge University Press, Cambridge.