Расчёт справедливой цены барьерного опциона в модели (b,s)-рынка с переключением параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Б01 10.18522/0321-3005-2016-1-11-16

РАСЧЁТ СПРАВЕДЛИВОЙ ЦЕНЫ БАРЬЕРНОГО ОПЦИОНА В МОДЕЛИ (В,8)-РЫНКА С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ*

© 2016 г. Г.И. Белявский, Н.В. Данилова

Белявский Григорий Исаакович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: beliavsky@hotmail.com

Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: daniloval98686@mail. ru

Belyavskii Grigorii Isaakovich - Doctor of Technical Science, Professor, Head of High Mathematics and Operations Research Department, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: beliavsky@hotmail. com

Danilova Natalia Viktorovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: danilova198686@mail.ru

Рассматривается модель (Б^)-рынка со случайным переключением параметров, которые изменяются при достижении стоимостью акции некоторого барьера. В качестве задачи рассматривается расчёт справедливой цены барьерного опциона входа, который имеет ненулевую выплату, если цена акции не достигла фиксированного барьера. Получены аналитические формулы для расчёта справедливой цены в случае как непрерывного, так и дискретного времени.

Ключевые слова: случайное блуждание, винеровский процесс, мартингальная мера, барьерный опцион, момент остановки, рынок, теорема Гирсанова, принцип отражения, модель Блэка - Шоулса, формула Ито.

The (B,S)-market model with stochastic changing ofparameters is presented. The parameters of the model change when the price of the stock becomes more than the given barrier. For this model the problem of the fair price calculation in the case of the barrier option is considered. This option does not equal to zero, if the price of the stock is greater or equal then given barrier. The analytic formulas are obtained for the cases of continuous and discrete times.

Keywords: random walk, Wiener process, martingale measure, barrier option, stopping time, market, Girsanov theorem, reflection principle, Black-Scholes model, Ito formula.

Одна из основных тем финансовой математики -анализ производных ценных бумаг, или платёжных обязательств, т.е. активов, выплаты по которым зависят от первичных активов и в некоторых случаях от других факторов. В статье в качестве производных ценных бумаг рассматриваются барьерные опционы. Выплата по барьерному опциону зависит от того, достигнет ли цена акции определённого уровня до момента погашения. Большинство барьерных опционов - это либо опционы входа, либо опционы выхода. В статье рассматривается барьерный опцион входа, который имеет ненулевую выплату, если цена акции достигла фиксированного барьера.

В качестве задачи рассматривается расчёт справедливой цены барьерного опциона входа. Оцениванию цены барьерных опционов посвящена об-

* Работа поддержана грантом 213.01-07-2014/07 ПЧВГ.

ширная литература, в которой исследуются различные модели поведения рискового актива и различные вычислительные методы, связанные с конкретными моделями, например, в [1] приводится алгоритм оценивания барьерных опционов в моделях Леви с помощью быстрой факторизации Винера - Хопфа, в [2] - аналитическая формула для справедливой цены барьерного опциона в бинарной модели (В,8)-рынка. При выводе формулы использован принцип отражения П. Андре [2]. В статье также используется принцип отражения для диффузионной и бинарной моделей (В,Б)-рынка с переключением параметров и выводятся формулы для расчёта справедливой цены барьерного опциона. Основная особенность класса моделей с переключением параметров заключается в том, что для непрерывного времени коэффициенты стохастиче-

ского дифференциального уравнения

dXt = f(X, + ф(xt )dWt, Xo = х0 являются кусочно-постоянными функциями и не удовлетворяют ни локальным, ни глобальным условиям Липшица, поэтому уравнение имеет бесконечное число сильных решений. Единственности можно добиться, добавив требование о непрерывности траекторий случайного процесса X. Подробнее - работа [3].

Непрерывное время

Базовой моделью является модель Блэка -Шоулса [4]:

f v \

dSt = St (rdt + ст dWt)

dBt = Btrdt

(1)

Г ^ 1

О

V t Ле[0,Т]

исходной (рыночной) меры P , порождаемой моделью (1).

Заметим, что с помощью формулы Ито [5], примененной для первого уравнения, модель (1) можно представить в виде

((

St = So exp

.2 ^

r --

w

CT 2

t + ctW

В = В0ехр(гО t е[0,Т].

Рассмотрим модель с барьером [6], для этого определим момент остановки

х = т^ е [0,Т]: St = M), где M > £0 - заданный барьер. С помощью момента остановки определим процентную ставку и вола-тильность

Г = ^ < х) + ^ > х), at = ст1! ^ < х) + ст2! ^ > х) .

В качестве финансового обязательства рассмотрим верхний колл-опцион входа

I (ST - K) , änee max St > B JT = j te[0,T ] .

10, eia^ä

(2)

Задачу вычисления справедливой цены можно

рассматривать как задачу вычисления min X o

у

при ограничениях

X

d

V Bt у XT > JT ■

= У td

V Bt у

Измеримый процесс у - рисковая составляющая портфеля: л = (у,р). Процесс (Х1 )^[0,т] - капитал портфеля; оптимальное значение Хо = С -справедливая цена финансового обязательства.

В силу единственности мартингальной меры [5] формула для расчёта справедливой цены имеет вид

C = B0E

(Jt}

V BT у

Процесс )Ге[0,т] описывает стоимость акции,

(вг )?е[0,т ] - банковского счёта. Параметры модели:

г - процентная ставка: < > 0 - волатильность. В качестве источника случайности рассматриваются винеровский процесс (Wt)^[0,т] и естественная

фильтрация ^0 = ^ = ,5 < 0 . Заметим,

1 0

что дисконтированный процесс стоимости акции является мартингалом относительно

Математическое ожидание вычисляется по единственной мартингальной мере. Для рассматриваемой модели формула для расчёта справедливой цены имеет вид

т ( т \

Х0 = С =| С(x)p(x)dx + С(Т) 1 - | р(x)dx

0 V 0 у

где С- справедливая цена рассматриваемого платёжного обязательства (2) при условии, что момент остановки х < Т ; С(т) - справедливая цена финансового обязательства при условии, что х > Т ; р( x) - плотность распределения момента остановки х, которая в данном случае имеет вид [4]

p(x) = J|-1| ах + _

2л х

С

г CT

1 -Т

{

4ъ = -Im (M

V S0 у

■ja=—

Далее понадобится следующая

Теорема 1 [7]. Совместная плотность распре-

деления Wt и max Wt имеет вид

0<t <Т

g (x, T) =

лТ3

- (2 y - х) exp

(с <2\

(2У - х) 2Т

Теорема 1 позволяет доказать теорему 2. Содержание теоремы 2 устанавливает формулы для С^) и С(т).

Теорема 2. Если хе [0,Т), то

( (

C(x) = exp

ri +

2 ^ ai

1

V V

Г2 +

2 ^ a2

(T - x)

X

:X

V2rcx

X J J J

-да bi max(u,ci)

S0 exP((CTi + ai)z + (~2 + a2)u) -

- K exp(aiz + a2u))g(u,y,T - x)exp

( 2 ^ z

2x

v у

dudydz,

где

2

x-

X

2

2

b = — ~2

O1

(л f K ^ ln -

V V S0 у

;2 Л

-CT, z

O1

; c —-

O2

(л f

ln —

V V S0 у ~2 Л O2 2

-ст, z

Если т > T , то

( (

C (T) = exp

х J

2 Л Л

~ +

ai

V V у у

+<ю

J (So exp((ai +~i) х) - K exp(aix)) >

max

O, l Sn )

x,:0-ln| Б a1 V S 0

St —

= So exp

(i

~ af 1 2

VV

(

т +

r2

~2 Л O 2

Л

(T -т) +a1rx+a2rT _

рехода от

меры

Zt — exp I- a$Vт - a2WT-x +1 а2т +1 af(T-т) |.

2

2

Формула для справедливой цены имеет вид

N(x) — Бо E

Бт

( (

V ZT у

= exp

r +

V V

2 Л

a1

ъ +

2 Л 02.

2

(T -т)

х E?(So exp((aj -a^W) -Kexp((~2 - a2#T-x) --Kexp(-a!Wx -oWt-т)•

ra 1

max Wt-т > — х

т<г <T ~

(Л БЛ

ln

V V S0 У

O2 -а1Г~т

( Г

Wt-т> — а2

ln K

V V S0 у

ЛЛ

-a1Wr

уу

Теорема 2 доказана.

Дискретное время

Рассмотрим дискретную аппроксимацию модели (1). Для этого произведём разбиение временного

Т

отрезка [0, Т] на N частей с шагом И = —, введём

N

новые параметры г = гИ, а = а4к и запишем формулы для стоимостей акции и банковского счёта в виде

х g (х, у,Т )ёхёу.

Доказательство. Докажем теорему для те[0,Т). Если х>Т, то доказательство проводится аналогично.

Формулы для стоимости акции и банковского счёта имеют вид

Sn = Sn-1exp

") O2 Л

+ CB,

Вт = во ехР (~х + ~2 (Т " х))

Избавимся от сноса при помощи перехода от меры Р к мере Р и введения процессов, являющихся винеровскими по мере Р . Они имеют вид Wх = Wх - а1х, ¡~т_х = Wт_х - «2 (Т - т); выражения для а и $2 приведены в формулировке теоремы. Формула для стоимости акции

Бт = £о ехР + а2Wт-х). Процесс плотности пеР к мере Р

Вп = Вп-1ехР(г)

п = 1,..., N.

Процесс (Бп )^=о описывает стоимость акции,

(Вп )^=о - банковского счёта. В качестве источника случайности рассматривается последовательность независимых, одинаково распределённых случайных

величин (еи, еи е {_1,1}, Р(еп = _1) = Р(еп = 1), п = 1,..., N. Фильтрация ^ = {0, Еп =а(е1,..., еи ), п = 1,.., N.

Исходя из мартингального равенства

E

Sn V Бп

/ F

n—1

S,

n-1

Б,

n — 1,..., Ж, получаем формулы

n-1

для расчета мартингальной меры:

( ) 2 Л

O

exp

Р (Bn = 1) = p =-

)

- exp(-o)

exp(o) - exp(-CT)x

X |02Л

exp(o) - exp

Р (Bn —-1) — 1 - p —-

2

)

)

Учитывая, что случайная величина W ~ N(0,л/т), а также применяя теорему 1, получаем требуемое равенство.

ехр(а) - ехр(-а)

Заметим, что при р =1.

а^0 2 Рассмотрим случайную величину т = тДп = 1,...,N: Бп >М), где М > Б0 - заданный барьер.

Параметры модели имеют вид ) )

гп = гх1 (п - 1 < х) + Г21 (п -1 > х),

) ) ап =а^(п-1 <х) + а2/(п-1 >х) , п = 1,...,N.

Предположим, что ) ¿2

г =а2,' = 1,2. г 2

Тогда стоимость акции и банковский счёт примут вид

1

2

1

1

a —

^ —

r -

1

2

2

2

T

х

2

r -

2

т

2

т-

х

х

О х ) N SN = So ехрI <1 £ег- +<2 2ег

V г =1 г=х+1

) )

BN = В0ехр(г1х + Г2( N -х)).

Назовём полученную модель моделью с барьером без сноса.

В качестве финансового обязательства рассмотрим также верхний колл-опцион входа

.. _I(SN -K)+,änee max Sn >B

JN = j i<n< N

10, eia-ä

(3)

Рассмотрим аналогичную задачу для дискретного времени:

тт X,

Д

0

у

Xn

V Bn у

= У ПД

XN > JN

rS Л

S n V Bn у

Процесс (Хи )^=0 отражает оптимальный капитал портфеля; Х0 = С - справедливая цена.

В силу единственности мартингальной меры формула для расчёта справедливой цены имеет вид

n = i,...,N.

Xn = C = BnE

f f А * JN

BN у

Для модели с барьером без сноса формула для расчёта справедливой цены

N

Г

X 0 = C = B0 Z E

i=i

Jn

Л

B

/ x = i

N

P (x = i) =

N-i * ( N-i *

= Z C(i)P (x = i) + C(N)| i - z P (x = i)

i=i V i=i

(4)

где С(г) - справедливая цена рассматриваемого платёжного обязательства (3) при условии, что момент остановки х = г .

Для того чтобы использовать (4), необходимо получить формулы для вычисления С(г) и

Р*(х = г). Содержание теоремы 3 устанавливает

*

формулы для С (г ), теоремы 4 - для Р (х = г). Теорема 3. Пусть хе[0,N). Тогда

С (х) = ехр(-Г[Т - - х))(/1 (х) +12(х)).

11 (х) =

)

х 10(£0ехр(а1(х-2./))) ) )

= Е Е ^ 0 ехр(< (х - 2]) + о 2(N-х-2г)) - К) +х

]=0 1=0

12 (х) =

х N -х ) )

= Е Е) ехр(2< 2 a(Soexp(CTl(х-2]))) х

} =01=к0^0 ехр(<1(х-2])))

^ * ^a(S0exp(CTi(x-2 j)))

Р2

1 *

i - Р2

X (S0 exp(CTi (x - 2 j) + CT2 (N - x - 2i)) -

)

)

- K (S0exp(CTi(x- 2 j)))+ x x CjCN-x(i- p*) (p*)N-x-i(i- p2)j(p2)x-j,

a(Sx)=

ln

fß} Sxj

+1, i(S x ) =

-(N -x-a(S x))

i0(Sx) = min(i(Sx), N -x),

k (Sx) =

i (N-x + a(Sx ))

+ i, k0(Sx) = max( k (Sx ),0),

) ) K (Sx) = K exp(-2CT2a(Sx)),

exp

*

pi =-

() 2\ CTl 2

V) у

)

- exp(-CTi)

exp

-b

exp(CTi) - exp(-CTi)

p2 ="

( ) 2 А CT2 2

V) у

)

- exp(-CT2)

-b

exp(CT 2) - exp(-CT 2)

Пусть х > N . Тогда С {К) = ехр(-г1Т )(/1 +12)

min(i0, N) )

Ii = Z (S0 exp(CTi(N - 2i)) - K)+ C'n(i - p')(p ) i=0

*- i/N-i

)

12 = exp(2CTia)

( * Y pi

1

i - pi

X Z (S0 exp (CT i(N - 2k)) - K)+CN (i - p* ) k (p* ) N

k=max(k0,0)

ln

B

+ ^ i0 =

i (N-a)

kr, =

-(N + a)

)

+ i, K =

)

= К ехр(-2ст1а).

Доказательство. Докажем теорему для х е [0, И) (для х > N доказательство проводится аналогично).

Учитывая формулу расчёта справедливой цены ) ) *

С = Х0 = ехр(-Г1х-^^-х))Е fN, для доказатель-

*

ства теоремы вычислим Е fN .

В силу телескопического свойства условного ма-

* * *

тематического ожидания Е fN = Е (Е (fN / ^));

CT

2

X

S

0

)

a=

CT

i

E (fN / F) с учётом того, что max Sn = max Sn

0<n<N x<n<N

для всех xe[0, N), можно записать следующим образом:

E*(fN / Fz) = E* |(Sn - K)+ I | max Sn > b) / Fz\ =

, Л л 0< n< N ) )

= E * ((Sn - K)+1 (Sn > B)/Fx)+

+ E*|(Sn - K)+I| max Sn > B|I(Sn < B)/Fx).

Л Vx<n<N ) )

Обозначим J^x) = E*((Sn -K)+ l(SN > B)/Fx), J 2(T) =

= E* |(SN - K)+1| max Sn > b|I(Sn < B)/Fx

x< n< N

/jCx)=Е*(ад), ад=e*(J2(x)) .

N

Введём обозначения: Zn = ,Mn = max Zn.

i=1 1<n< N

Стоимость акции

) ) Sn = Sx exp(a2ZN-x), Sx = Soexp(aiZx).

Вычислим Ji(x) .

Ji(xV = E* ((SN - K)+1 (SN > B)/Ft)= = E* ((Sn - K)+1 (Zn-x >«S))/Fx)=

i0(S x h ) \+ * ,■ * ДГ T ,■

= X (Sx exp(a2(N-x-2i))-K) C'N-X(1 -p* У(p* )N-x-i. i=0

Значения для ¿0(Sx) и a(Sx) имеют вид ln

a(^x) =

S.

x у

a2

+1; i(Sz) =

1( N-x-a(Sx))

¿0 (S x) = min(i(S x), N -x).

Вычислим Ii (x). Il(x) =

)

x ¿о (So exp(ai (x-2 j))) ) )

= S £ (Soexp(CTi(x- 2j) + CT2( N -x- 2i)) -

j=0 i=0

* . 7 *

- *)+ CTjC^-T (1 - p* )i (p*)N-x-i (1 - p*)j (p*)x-j. Вычислим J2(x) .

J 2 (x) = E*^(Sn - *)+1 ^ max^ Sn > B jl (SN < B)/Fx^j =

= E* ((Sn - *)+1(Mn-x >a(Sx ))l(Z N-x <a(Sx))/M Тогда

J 2(x) =

a(Sx) ) + *

= S (Sxexp(a2(a(Sx)-/))-*)+P (Mn-x>a(Sx), /=1

Zn-x =a(Sx) - /).

По принципу отражения [2] P (М#_x>a(Sx),Zn_x = a(Sx)-/) =

x P (Zn-x =-a(Sx ) - /),

что позволяет записать J2(x) в виде

^ * \a(Sx)

Р2

*

1 - Р2

)

J 2(x) = exp(2CT2a(Sx))

f * \a(S x)

Р2

i *

1 - Р2

a(S x) ) ) + *

X S (Sxexp(a2(-a(Sx)-/))-*S))+ P x /=1

x (Zn-x =-a(Sx) - /) =

( * ^a(Sx)

Р2

)

= exp (2a 2a(Sx))

(

x E

1- P2 , V ) Л+ )

| Sn - K (Sx) J I (SN < B(SZ))/Fx

Л )

) ) где K (Sx) = K exp(-2a2a(Sx)),

) ) B(Sx) = Kexp(-CT2a(Sx)) .

Тогда

\a(Sx )

)

J 2(x) = exp(2CT2a(Sx))

N

)

Р2

i *

1 - Р2

)

X S(Sx exp(a2(N -x- 2i)) - *(Sz)) +x

i=k0 (S x )

X C'n_x (1 - Р!*)г (Р*)N, 12(T) =

x N ) )

= S Sfxp(2a2a(Soexp(CT1(x-2j))) >

j=0 i=ko(So exp(ö[ (x-2 j))) )

^ * \a(S oexP(°1(x-2 j)))

Р2

i *

1 - Р2

))

x (So exp(CT1 (x - 2 j) + ст2(N - x - 2i)) -

) ) + , , * « * - * (So exp(a1 (x - 2 j))))+ Cxj C^-x (1 - Р*)' (A )

x-j

N-x-i

x (1 - p*) J (p*)

Значение для )

1 (N -x + a(Sx))

k (Sx) =

Теорема 3 доказана. Теорема 4 [8].

ln

+1, ko(Sx) = max( к (Sx ),0).

Пусть L =

Sn

+1. Справедлива формула

x

x

a

для расчёта вероятностей Р(т = i), i = 1,..., N -1

Р(т = i) = <

Lei <-£i № -,

j=0 k! /=o ^ 2

0, éíá-^á

áñee k = — (i + i), 2

i = 1,..., N-1, k = 0,1,.

Заключение

Полученные в работе результаты легко распространяются на случай, когда параметры модели изменяются несколько раз на интервале [0,Г], поэтому имеют общий характер для моделей со случайным переключением параметров.

Литература

1. Кудрявцев О.Е. Современные численные методы реше-

ния интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях. М., 2010. 144 с.

2. Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финан-

сы. Дискретное время. М., 2008. 496 с.

3. Данилова Н.В., Белявский Г.И. Вычисление капитала

оптимального портфеля с помощью комбинированного метода Монте-Карло в нелинейных моделях финансовых индексов // Сиб. электр. мат. изв. 2014. URL: http://semr.math.nsc.ru/v11/p1021-1034.pdf (дата обращения: 01.06.2015).

4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой мате-

матики. Т. 1: Факты, модели. М., 2004. 512 c.

5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой мате-

матики. Т. 2: Теория. М., 2004. 544 c.

6. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Диффузионные модели со

случайным переключением параметров. Расчёты и финансовые приложения. Lambert Academic Publishing, 2012. 32 с.

7. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траекто-

рии / пер. с англ.; под ред. Е.Б. Дынкина. М., 1968. 396 с.

8. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Расчёт справедливой цены

европейского опциона в модели ф^-рынка с барьером,

5.

6.

основанной на случайном блуждании // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 4. С. 25-28.

References

Kudryavtsev O.E. Sovremennye chislennye metody resheni-ya integro-differentsial'nykh uravnenii, voznikayushchikh v prilozheniyakh [The modern numeric methods of integro-differential equations solving, arising in applications]. Moscow, 2010, 144 p.

Fel'mer G., Shid A. Vvedenie v stokhasticheskie finansy. Diskretnoe vremya [The introduction to stochastic finances]. Moscow, 2008, 496 p.

Danilova N.V., Belyavskii G.I. Vychislenie kapitala opti-mal'nogo portfelya s pomoshch'yu kombinirovannogo metoda Monte-Karlo v nelineinykh modelyakh finansovykh indeksov [The optimal portfolio capital calculation using the combined Monte-Carlo method in non-linear models of financial indexes]. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya, 2014. Available at: http://semr.math.nsc.ru/v11/p1021-1034.pdf (accessed 01.06.2015). Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki. T. 1: Fakty, modeli [The base of stochastic mathematical finance. Vol. 1: Facts, models]. Moscow, 2004, 512 p. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi ma-tematiki. T. 2: Teoriya [The base of stochastic mathematical finance. Vol. 2: Theory]. Moscow, 2004, 544 p. Belyavskii G.I., Danilova N.V. Diffuzionnye modeli so slu-chainym pereklyucheniem parametrov. Raschety i fi-nansovye prilozheniya [The diffusion models with stochastic changing of parameters. Calculations and financial applications]. Lambert Academic Publishing, 2012, 132 p. Ito K., Makkin G. Diffuzionnye protsessy i ikh traektorii [The diffusion processes and their trajectories]. Transl. from Engl.; Ed. E.B. Dynkin. Moscow, 1968, 396 p. Belyavskii G.I., Danilova N.V. Raschet spravedlivoi tseny evropeiskogo optsiona v modeli (B,S)-rynka s bar'erom, osnovannoi na sluchainom bluzhdanii [The fair price calculation of the European option in the (B,S)-market model with barrier, based on the random walk]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki, 2015, no 4, pp. 25-28.

Поступила в редакцию

19 января 2016 г.