Расчёт справедливой цены Европейского опциона в модели (b,s)-рынка с барьером, основанной на случайном блуждании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Б01 10.18522/0321-3005-2015-4-25-28

РАСЧЁТ СПРАВЕДЛИВОЙ ЦЕНЫ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА В МОДЕЛИ (В,8)-РЫНКА С БАРЬЕРОМ, ОСНОВАННОЙ НА СЛУЧАЙНОМ БЛУЖДАНИИ

© 2015 г. Г.И. Белявский, Н.В. Данилова

Белявский Григорий Исаакович - доктор технических наук, профессор, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Belyavskii Grigorii Isaakovich - Doctor of Technical Science, Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematic, Mechanic and Computer Science of the Southern Federal University, Milcha-kov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: be-liavsky@hotmail. com

Danilova Natal ya Viktorovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematic, Mechanic and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Рассматривается модель (B,S)-рынка, параметры которой изменяются в зависимости от заданного барьера, и находится справедливая цена европейского опциона. Расчёты производятся в дискретном и непрерывном времени. Основным результатом является получение аналитической формулы для нахождения справедливой цены, основанной на вычислении вероятностей достижения случайным блужданием заданного барьера. Для сравнения результатов проведены расчёты справедливой цены для дискретного и непрерывного случая. Приведены зависимости справедливых цен от числа шагов и от величины барьера.

Ключевые слова: случайное блуждание, винеровский процесс, мартингальная мера, опцион, момент остановки, рынок.

The (B,S)-market model with stochastic switching of parameters is considered. The fair price of the European option is calculated. The experiments are conducted both in discrete and continuous times. The main result is the analytic formula for the fair price calculation based on the calculation of the random walk probabilities approach the given barrier. To compare results the fair price calculations are presented for discrete and continuous cases. Also the dependencies of the fair prices on the step and the barrier are obtained.

Keywords: random walk, Wiener process, martingale measure, option, stopping time, market. Описание модели

Рассмотрим модель (Б,8)-рынка, задаваемую следующими формулами:

\ASn = Sn-1 + °nSn

Процесс .V, п отражает значение стоимости акции, процесс Вп " 0 описывает величину банковского счёта. Значения , В0 считаются известными. В качестве источника случайности рассматривается последовательность независимых, одина-

.. N

ково распределенных случайных величин еп н ,

принимающих значения 1 и —1 с равными вероятностями. Рассматривается естественная фильтрация: = 0,П ,^и=сг е1,...,£п ,п = \,...,Ы. Парамет-

n = \...,N.

Из условия неотрицательности стоимости акции вытекают следующие ограничения на параметры модели: 0 <сгп <\ + гп, п —

Отметим, что дисконтированный процесс стоимости акции является мартингалом по исходной (рыночной) мере P.

Стоимость акции выражается следующим обра-

I " " I зом: S„ =S0exp( +

„ i=i i=i

/ /

a. =— In 1 + г. + а + In \ + r. - а. , 2

b, =— in 1 + г, + u: - in 1 + г, - g:

2

/ /

/ /

г ~ 1 ,...,п , п — .

Формулу для банковского счёта можно представить в виде Вп =50ехр[¿с,. , с-1п 1+г ,

ры модели: гп л=1 - процентная ставка; ап л=1 -

волатильность. Отметим, что параметры модели являются предсказуемыми.

/ - 1.....п , /i - 1.....n. Предположим, что

аг= 0, i = l,...,N. (1)

N

N

1=1

Из (1) вытекает следующее ограничение на па-

2 2 О" г

раметры модели: rt - = —г = \...,N.

Модель с барьером

Введём случайную величину г следующим образом: т = тГ Б < М , где М < & - некоторый

1 <п<Ы

барьер. Параметры модели имеют вид гп=г\1 п — 1 < т + г21 п — 1 > т ,

<уп - ах1 п-\<т +<т21 п-\>т , п — .

Исходя из вышеизложенного, стоимость акции и банковский счёт в финальный момент времени N можно записать в виде

SN = S0 exp

S8i

V /=1 /=7+1

BN=B0exp C\T + c2 N -T , где q = In 1 + Pj ,c2 = In 1 + r2 ,

4 = ^ In 1 + rl + al - In 1 + f[ -

b2 = — In 1 + r2 + <j2 - In 1 + r2 - a2

(2)

Постановка задачи. Алгоритм решения

exp —Сук — с2 N — k где Y к =-—-х

к N-k

"ZZ ;./•. exp 4 Ii-к +b2 2j + k-N

1=0 J=0

Справедливы следующие равенства:

т = mf S <М =

l<n<N

f

= mf

l<n<N

Í

Sn exp äVe. \ <M \= inf Vir. <4ln

1 и J J 1

1

V

v^o /у

= inf

1 <n<N

ilnf^

A \So J

\

Отметим, что Л, > 0. поэтому при делении на />, знак неравенства не изменился.

Обозначим /, =

In

М

V^o

тогда

= inf fe, =Z .

Справедливы следующие утверждения. Утверждение 1 [2]. Порождающая функция закона распределения момента остановки т имеет

(

вид Еа1 =

i-Vi-«2

Y

а

де ОД .

Рассмотрим следующую задачу:

minXn

(3)

-^ЛГ -/м

Процесс Хп " 0 отражает оптимальный капитал портфеля; Х0 = С - начальный капитал (справедливая цена); /п * - число единиц рискового актива. В качестве финансового обязательства рассматривается европейский опцион колл: Уд = шах .V. - К. О , где К - контрактная цена.

Решение задачи (3) имеет вид X, = /', .

Хп/Рп_1 ,п = },...,N.

1 + гп

В работе [1] приведены рекуррентные формулы для решения задачи (3) в случае модели (2).

Как уже отмечалось, целью настоящей работы является получение аналитической формулы для решения задачи (3) в случае модели (2). Данная формула имеет вид

N-1 ( N-1 \

к Р т=к +У N т=к , (4)

Утверждение 2. Пусть к = — \L\ + i , / - 0.1.2.....

Тогда

М к-\

j=О 1=0

О, иначе

-1

k-j

-, к -целое число /сч

к\ • (5)

Доказательство.

ЕаТ =

1-4Г-

а2 = -i'V^i =

= -i'^^lqí, i-«2 -i

j=о

Учитывая то, что

¿-i

-1 ' а2'

1=0 1=0 У ^ ) 1

Ц ос г-1

Í А

имеем

И ^i

МП

1=0 j=О 1=0

=ziq Шт1

ад ..-ШЧг^/ v-T-rl J

j=О ' ' 1=0 1=0 '

-1 '-'а^-М

Еа*= -1 11« 2 /

-1 «2¿

i\

l!

С другой стороны, Еа1 = ^а'Р т = i .

i=i

í=i

1=0

Приравняв коэффициенты при а',1 = 0,1,2,.. получим формулу (5).

Утверждение 2 доказано.

Сопоставление непрерывной и дискретной моделей

В работе [1] рассмотрена непрерывная модель

| dS,=S, rtdt + <J,dWt I dB, = B,r,dt

(6)

процесс wt

. Рассматривается естественная

фильтрация F0 = 0,Q , Ft=a Ws,s<t .

Модель (6) можно также представить в виде

ftf

s, = s0 exp

J

V« v

r--\ds + adW

2

/у

В, = B0 exp fcds

t e 0,T .

Рассмотрим следующую задачу: minX„,

d

-rASt

t e 0 J

X0 = jY x p x dx + Y T 1 - Jp x dx

(7)

где Y x , xe 0,T определяется равенством

(

Y x = Sn Ф

-d x x

X x

(

BT

d

X X

где d x = In

i2 Л

0

2 \

- ^

- г,--- х — г2

1 2 2

V / V /

T-x

t e [0,Г].

Источником случайности является винеровский

X x = ^ja2x+ ö\ T-x

1 1 X ,Ф x = ^ф t dt,

л/2ж

exp

x 2

а плотность распределения момента остановки г имеет вид

р х =

^exp ^ т*

1( ъ

expl — ах + — 1 21 х

где

■Ja = —i-

Л

•Jb =—^ln

М

\

хт> /т.

В качестве финансового обязательства рассматривается европейский опцион колл: ]'т = тах 8Т - К, 0 , где К — контрактная цена.

Формула для оптимального капитала имеет вид

Г) *

х, = -!-е /и к; , (е0,т .

пт

Как и в дискретной модели, рассмотрим случайную величину т = М- Л', = М . где М — неко-

/е 0,Т

торый барьер. Рассмотрим разбиение интервала [0,Т ] с шагом h.

Параметры модели имеют вид г( = гх1 / < т +г21 / > т , <т) = ег/ I <т + ег2/ / > г , /е[0,Г].

Определим параметры модели таким образом, чтобы сопоставить дискретную и непрерывную модели: гг.= ^ . = сг = 1,2. В [1] показано, что справедливая цена в данной модели вычисляется по следующей формуле:

Г { Т \

Пример 1. Начальные данные: Л'0 = К = 6, М = 5, п =0,01, г2 =0,02, ст; =0,14, ст2 =0,2.

Из табл. 1 видно, что при увеличении числа разбиений справедливая цена, вычисленная в дискретном случае, сходится к справедливой цене, вычисленной в непрерывном случае и равной 0,3802296862.

Таблица 1

Зависимость справедливой цены от числа разбиений

n * 0 (формула (4))

10 0,3658597467

20 0,3754200279

30 0,3756329319

40 0,3753524576

50 0,3758933240

60 0,3797913062

70 0,3792457574

80 0,3795171612

90 0,3798180256

95 0,3803696335

100 0,3800331066

Пример 2. Начальные данные такие же, как и в примере 1, N = 100.

Из табл. 2 видно, что при увеличении барьера справедливые цены сходятся к значению, соответствующему ситуации, когда параметры модели не изменяются, и равному 0,3663725911.

X

2

о

Таблица 2

Зависимость справедливых цен от величины барьера

жет служить аппроксимацией непрерывной модели для сопоставимых барьеров при достаточно больших N. В то же самое время барьеры непрерывной модели более разнообразны.

Литература

1. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Диффузионные модели со случайным переключением параметров. Расчёты и финансовые приложения. Lambert Academic Publishing, 2012. 123 с.

2. Shreve S.E. Stochastic Calculus for Finance. N.Y., 2003. 187 p.

References

1. Belyavskii G.I., Danilova N.V. Diffuzionnye modeli so sluchainym pereklyucheniem parametrov [Diffusion models with random switching parameters]. Lambert Academic Publishing, 2012, 123 p.

2. Shreve S.E. Stochastic Calculus for Finance. N.Y., 2003, 187 p.

М * 0 (формула (4)) * 0 (формула (7))

5 0,3800331066 0,3802296862

4,9 0,3747229003 0,3770650751

4,8 0,3728139200 0,3740327584

4,7 0,3701317768 0,3718240212

4,6 0,3692195434 0,3702547858

4,5 0,3679604700 0,3691692266

4,4 0,3675408798 0,3684393815

4,3 0,3669970204 0,3679634467

4,2 0,3666996400 0,3676630719

4,1 0,3666098883 0,3664800252

4 0,3664971684 0,3663725911

Сопоставление моделей на основе аналитических формул вычисления справедливой цены позволяет сделать вывод, что дискретная модель мо-

Поступила в редакцию_7 сентября 2015 г.