Вычисление справедливой цены финансового обязательства для дискретного и непрерывного случаев, когда параметры модели (b,s)-рынка изменяются в случайный момент времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

ВЫЧИСЛЕНИЕ СПРАВЕДЛИВОЙ ЦЕНЫ ФИНАНСОВОГО ОБЯЗАТЕЛЬСТВА ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО И НЕПРЕРЫВНОГО СЛУЧАЕВ, КОГДА ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ (Б,8)-РЫНКА ИЗМЕНЯЮТСЯ В СЛУЧАЙНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ

© 2010 г. Г.И. Белявский, Н.В. Данилова, С.С. Сушко

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассматривается обобщение модели Блэка-Шоулса для ценообразования опционов с изменяющимися в момент времени т параметрами: волатильности а, тренда ^ и процентной ставки r. Считается, что т — марковский момент остановки. Также рассматривается дискретный аналог рассматриваемой модели. Особое внимание уделяется тому факту, что рассматриваемые рынки как в дискретном, так и в непрерывном времени являются полными и безарбитражными. Приводятся три метода вычисления справедливых цен в случае европейского опциона call: метод аппроксимации, Монте-Карло, аналитический. Проводится сравнение результатов.

Ключевые слова: модель Блэка-Шоулса, винеровский процесс, преобразование Гирсанова, мартингальная мера, опцион, момент остановки, процесс плотности, рынок.

We consider the generalization of the Black—Scholes model for the computation of option prices in this article. In this model parameters for volatility a, trend ^ and interest rate r changes at once at a time moment т. The moment т is considered as the markovian stopping time. Also the discrete variant of this model is considered. Much attention is given to the fact that both discrete- and continious-time models are incomplete and non-arbitrage. Three methods of computing fair prices for the European Call option are presented: the Monte-Carlo method, the approximation method and the analytical method. The comparing of results is presented.

Keywords: Black—Sholes model, Wiener process, Girsanov transformation, martingale measure, option, stopping time, the density process, market.

В последнее время становятся всё более актуальными вопросы нахождения справедливых цен финансовых обязательств. Одна из наиболее известных -формула Блэка-Шоулса (Б-Ш). Но, как показывает практика, модель Б-Ш имеет некоторые недостатки.

Рассмотрим более реалистичную модель. В ней предполагается, что параметры г и а изменяются в некоторый случайный момент времени т (марковский момент остановки). В частном случае (модель с барьером) т определяется как момент достижения ценой актива некоторого барьерного значения М.

Модель со случайным временем изменения параметров

Опишем стандартную модель Б-Ш [1, гл. 8, § 1Ь]. Пусть Ш - винеровский процесс на некотором фильтрованном вероятностном пространстве (О, ¥, Р) с фильтрацией, удовлетворяющей обычным условиям. Цена базового актива задаётся с помощью геометрического броуновского движения:

((

St = S0exP

и-

\\

а 2

\

t + aWt

где ц - снос; а - вола-

опциона put

P(ST, K) = exp(-rT )E*(K - ST)+ = = K exp(-rT)N(-d2) - S0N(-dl),

(2)

где Е - математическое ожидание относительно единственной эквивалентной мартингальной меры Р*;

ln

d1

2 Л

r + -

T

ln

Ot

d 2 =■

а

2 Л

T

Рассмотрим модель Б-Ш, в которой параметры

r9 и а в момент оста-

M1 , r и а1 меняются на и2, новки т е [0,T].

В этом случае цена рискового актива

St =

= St exp(Yt (t -т)+St (Wt -Wt )), где yt

(

M-а2

1 {00<t <т} +

И2

{r<t<T }

&t = a11{0<t<T} + а21 {T<t<T} ,

тильность, a > 0; S0 - начальное значение цены базового актива (акции) S.

Величина банковского счёта Bt = B0 exp(rt), где r - безрисковая банковская процентная ставка; B0 -начальное количество денег на банковском счёте. Цена стандартного опциона call европейского типа C(ST,K) = exp(-rT)E*(ST - K)+ = (1)

= S0N(d1) - Kexp(-rT)N(d2),

St = Sо exp

/ ff

M

\V

Mi

2

t + OjWt

а формула для бан-

ковского счёта имеет вид Bt = Вт exp(vt (t - т)), где

Вт = Во exp(rjT), Во =1.

Vt = r11{0<t<T} + Г21 {T<t<T}

Справедлива

Теорема 1. Рассматриваемый (Б,8)-рынок является полным и безарбитражным.

Доказательство. Для доказательства используем 1-ю и 2-ю фундаментальные теоремы финансовой

+

+

r -

2

2

V

V

2

+

2

математики в случае непрерывного времени [1, с. 815, 818]. Необходимо доказать, что существует единственная эквивалентная мартингальная мера. Пусть существует Р* - мартингальная мера, эквивалентная исходной мере Р. Рассмотрим случайный процесс

2 = , выражаемый формулой:

= ехр(а, (Г -т) + Д (Ж( - Жт)), где

а, =

- ^

2 Л

1 {0<t<r} +

Ь - Г2

2

{r<t<T} ,

ßt =

' Ь - ^

!{o<t<T} +

'1

((

ZT = exp

'b - О

2 Л

w

r +

fл ¿2 J

f Ь - О

¿1

{r<t<T} ,

Л

Wr

1 J

Z 0 = 1.

Докажем, что (21 ),<г - процесс плотности мар-тингальной меры Р* относительно исходной меры Р. Для этого сначала докажем равенство

E

— / F Z

V Zs

= 1.

(3)

-ф = exp(at (t -r) + ßt (Wt - WT) -

-ах(s-r)-ßs(Ws-Wr)) .

(

Отсюда E

^ / Fs

Z s

V Z s

\ ( 7 \

= E

VZs J

в силу независимости приращений винеровского процесса [1, с. 289]. Из (3) следует, что (2г)1<т - мартингал, > 0 в силу определения и = 20 = 1. Следовательно, (21 )<г - процесс плотности.

Мартингальность процесса

(S Л SLZt

Bt

доказыва-

V~ t J

t <T

Bt

fr

x exp

¿1

л\

Ь - >1 --

VV

r + aWr+ (rt -vt )(t -r) +

+ St (Wt - Wr)

S 1 St

то по формуле Ито [1, гл. 3, § 3d]

B J Bt

d I TT I = IT exp I I Yt -yt +~S? \dt + StdWt |. ПУсть

1 *2

а, =-. Тогда, согласно теореме Гирса-

нова для диффузионных процессов [1, гл. 7, § 3Ь],

* * *

Wt = Ж, asds, где Ж - винеровский процесс от-

0

носительно меры Р*. Расписывая это равенство сначала для 0 <т, а затем для т <, < Г, получим

W; -Jds = W*t, 0<t<r,

Wt = <

0 ¿1 r

¿1

Ь - 1 . t Ь - >1

Wt -J^1ds-J

ds =

0 ¿1

¿

=W

* Ь - >1 Ь - >2

-r--

(t-r), r < t < T.

Дисконтированная стоимость акции W имеет вид

= Sr exp(Yt (t - r) + St (W* - W*)), где

Bt Bt

Yt =

( ¿2\ ¿1 2

V J

1{0<t<r} +

Г A ¿

{r<t<T} ;

(i -2 A

^t = ¿1^{0<t<r} +¿21 {r<t<T} ; TT = S0 exp

2

VV J

r+i1Wr

Теорема 2. Справедливая цена для опциона call C(St , K) = S0E*[^(d3(r))] - (4)

- KE* [exp(-txr - f2 (T - r))N(d4 (r))],

= 1. Это справедливо

где d3 =■

ln| S° I +

(

Л +-

2 Л /

r +

¿0

2

(T -r)

^¿j2r + ¿2 (T -r)

d 4 = ■

I+

A

2 Л f

2

r +

'2 Л

2

(T -r)

ется аналогично.

Тем самым показано, что процесс (21 )<г может быть выбран в качестве плотности мартингальной меры Р* относительно физической меры Р. Значит, безарбитражность рынка доказана.

Единственность мартингальной меры доказывается аналогично доказательству, приведённому в [1, с. 874]. Значит, данный рынок является полным.

Замечание 1. Поскольку —— = х

7^12т + а22(Г -т) и N() - функция распределения стандартной нормальной величины; Е* - математическое ожидание относительно меры Р*.

Доказательство. Цена опциона

C(ST, K) = E

(St - K) + Л BT

call

где Е*- математическое

ожидание относительно мартингальной меры Р*.

Вычислив данное математическое ожидание, получим конечный результат теоремы - формулу (4).

Замечание 2. Для цены опциона put справедлива формула

P(Sr, K) = KE* [exp(- ?2 (T - т))N(-dA (г))] -

- SoE*[N(-d3(T))] . (5)

В связи с изложенными выше рассуждениями рассмотрим один важный пример.

Модель с барьером

Будем предполагать, что параметры модели изменяются при достижении ценой актива барьерного значения М. Применительно к нашей модели

V ¿1 J

V ¿2 J

V

J

V

J

CT

CT

2

¿1 J

J

2

2

2

2

г, -

Го -

2

2

т = inf{t е [0,T]: St = М} =

= inf \t е [0,T ]:ajWt = ln| М I-

ff

- ар

т = inf \t е [0,T ]: a1W* = ln| M I -

(

-_2 \

2

P(x) =

b Jab 1 f 1 f Ь

—e —— exp|--1 ax н—

12* x3/2 1 21 x

0 < x < T,

I 2*

0, x > T,

0 x

1 -J JLe^b J-^expU11 ax н Ь ||dx, x = T,гд

■Ja = -1

(

-2A

2

; S = 4-

'J M*

v IS0 „

Отсюда справедливо равенство: E [N(d3(T))] =

=j2*eVi n (d 3(x)) 2

b

— | ax н— | |dx +

2 V x,

+ N (d 3(T))

b „4äbT 1

1 -J—e<ab J—— exp|--1 ax + - I |dx

1 2*

0 x

2

го процесса:

T

: W=X, где е N(0,1)

независи-

j=1

стоимости акции S; = S0 exp

>2 Л

r --

т.е., как

vv

¡и+аг w

только цена акции будет равна M, параметры модели Д, Г, и CTj поменяются на д2, Г2 и «2. Если S * M для t e[0,T) , то т = T .

Поскольку т является марковским моментом остановки, можно применить результаты теоремы 1 и вычислить справедливые цены в случае опционов call и put.

Используя W , момент остановки т можно представить в виде

Следовательно, т = шТ (&■ > М) • к . Если < М,

0<1<м

I = 0,1,..., N-1, то т = Ж

2. Зная т, следует вычислить соответствующие интегралы с помощью численных методов. К примеру,

1 d3(T) 2 А г —Г

N (d3(T)) = ^= J

л/2*

x2 /2

dx,

Таким образом, значения справедливых цен можно вычислить по формулам (4) и (5). Возникает проблема нахождения распределения случайной величины т относительно мартингальной меры Р*.

а2

Пусть Г —^ > 0 , Д0 < М , тогда случайная величина т относительно мартингальной меры Р* имеет распределение [2] с обобщённой плотностью вероятности

Аналогично можно вычислить другие математические ожидания в формулах (4) и (5).

В итоге цены опционов могут быть рассчитаны по формулам (4) и (5) с помощью численного интегрирования.

Приведём также два альтернативных способа расчёта справедливых цен.

Метод Монте-Карло

Первый способ расчёта строится на основе метода Монте-Карло [3, с. 241] по алгоритму:

1. Для достаточно большого числа опытов нужно генерировать моменты остановки т . Для этого сначала необходимо сгенерировать дискретизацию винеровско-

1 d4(r) 2,,,

N(d4(т)) = -= J e— dx.

■\/2ж -<ю

3. Пусть проведено L опытов. Тогда

* 1 L

E (N(d3(r)) = -ZN(d3(z,)) , L i=i

E * (exp( -rxT - Г2(Т - т)) N (d 4 (т)) = 1 l

=1Z exp(-r,Ti - Г2 (T - Ti))N(d4 (т.)), L i=i

где ri - значение момента остановки, полученное в i-м опыте.

4. Найти значения для справедливых цен опционов call и put по формулам (4) и (5).

Замечание 3. Если S0 > M , т.е. т = 0, то (4) полностью совпадает с формулой (1), если в ней положить д2 = д , <2 = «, r2 = r ; если St ^ M для t е [0,T), т.е. т = T, то (4) полностью совпадает с формулой (1), если в ней положить Д = д , = «, r = r. Такая же связь существует между формулами (5) и (2).

Метод аппроксимации

2-й метод основан на построении дискретной аппроксимации рассматриваемой модели в непрерывном времени.

В [4] рассматривается общая бинарная модель (Б,8)-рынка и приводится общий алгоритм вычисления справедливой цены для марковского платёжного обязательства.

Пусть цена акции изменяется по формуле:

Sn = Sn-1(1 + Д + «nSn ) . (6)

В (6) еп е {-1,1} - независимые случайные величины, причём P(sn = 1) = P(sn = -1). Рассматривается естественная фильтрация F0 = «(Q, 0), Fn =a(S1,...£n).

Ясно, что | Q |= 2N . Информационное дерево для данной модели - бинарное.

Формула для банковского счёта имеет вид Bn = Bn-1 (1 + rn), Bo = 1. Параметры модели д

n , «n , rn •

Mn = M11{n-1<T} + M21{и-1>т} , an = а11{п-1<т} + а2!{n-.

мы; И = —, N - число разбиений. Тогда дискретизация

N

{и-1>т},

Гп = Г11{и-1<т} + Г21{и-1>т} .

Параметры дх, д2, , , Г, г2 постоянны > 0 , &2> 0); т е {0,1,...Д} - марковский момент остановки т = тТ (5г- > М).

0<1<Ы

Если Д,- <М для I = 0,1,..., N-1, то т = N.

1

2

e

1

t

r -

е

r -

Для того чтобы рассматриваемый рынок был полным и безарбитражным, необходимо и достаточно, чтобы параметры модели удовлетворяли ограничениям: max(-rx,CTj -1) < jl1 <à1, max(-r2,â2 -1) < M2 <^2 •

Процесс плотности, позволяющий перейти от исходной мере к мартингальной,

( \

Zn = Zn-1

1 ! rn -Pn

Zo = 1.

Рассматривается частный случай марковского платёжного обязательства fN = fN (SN) - европейский

опцион call: fN = (SN - K)+ = max(SN - K,0).

fN

Пусть (Xn ) N=0 - капитал оптимального портфеля в моменты времени n = 0,1,..., N.

В силу того, что I{

{n—1<т} e Fn-1 ■

I

{n-1>г}

= 1 -1

{n—1<т}

е , параметры /лп е , ап е ^ , гп е Fn-1. Значит для расчёта справедливой цены в данной модели можно применить результаты [4], из которых вытекает следующая рекуррентная формула: *п-1 = Яп-1(^п-1) =

1

1+^^

2(1 + ri)

' r л

VV

CT

gn (Sn-1(1 + Ä+CT1)) +

1У

+

1

1--

V -1 У ((

CT

gn (Sn-1(1 + A-CT1))

n - 1 < т,

1+

r2 -Л2

Л

2(1 + r2) ^V CT

( r2 -М2Л

gn (Sn-1(1 + h +CT2)) +

2У

+

1 --

CT

gn (Sn-1(1 + A> -CT2))

2У

n - 1 > т,

BN BN

B

Отметим, что приведённые методы дают похожие результаты.

/",„ 1 ЛТ\ т,™ XN fN gN (SN) „ v /* С Л

(n=1,..., N)■ где = — = —-- и X0 = g0(S0) -

справедливая цена опциона.

Пример. Сопоставим результаты вычислений справедливой цены 1-м, 2-м и 3-м способами в модели с барьером.

Начальные данные для непрерывного случая: h = 0,1; h = 0,2 ; <г1 = 0,2; Ст2 = 0,4 ; тх = 0,3; r2 = 0,4; S0 = 6; K = 3; T = 1.

В методах аппроксимации и Монте-Карло N = 14. Отметим также, что в методе аппроксимации

h :=А, i := А., ¿г = , < = 1, 2-

N N JN

Результаты расчётов изображены на рисунке.

По оси абсцисс отмечены пороговые значения М (от 6,5 до 12), а по оси ординат - значения справедливых цен C * для опционов call.

С возрастанием порогового значения справедливые цены стремятся к постоянному числу, равному приблизительно 3,77.

Графики зависимости справедливых цен от пороговых значений

В работе рассмотрена модификация модели Б-Ш с параметрами, изменяющимися в случайный момент времени. Для модели с барьером приведены 3 способа расчёта справедливых цен опционов: аналитический (с заданием плотности распределения момента остановки), Монте-Карло и метод аппроксимации. Проведено сравнение результатов. Отметим, что аналитический метод применим только тогда, когда

r1 —— > 0 ; методы Монте-Карло и аппроксимации

применимы и тогда, когда это неравенство не выполняется, поэтому они более универсальны.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М., 1998. 544 с.

2. Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size // Proceedings of the Royal Society. L., 1977. Ser. A. Vol. 353. P. 401-419.

3. ШиряевА.Н. Вероятность. М., 1989. 640 с.

4. Белявский Г.И., Данилова Н.В., Кондратьева Т.Н. Расчеты для общей бинарной модели (В, Sobrara // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16, вып. 6. С. 982-993.

Поступила в редакцию

1S декабря 2009 г.

s

n

CT

n