CC BY
23
УДК 519.2
РАСЧЁТ СПРАВЕДЛИВОЙ ЦЕНЫ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА ПРОДАЖИ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ ДЛЯ ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ (В,8)-РЫНКА СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ
© 2014 г. Г.И. Белявский, Н.В. Данилова
Белявский Григорий Исаакович - доктор технических наук, Beliavsky Grigory Isaakovich - Doctor of Technical Science, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и Professor, Head of High Mathematics and Operations Re-исследования операций, Институт математики, механики search Department, Vorovich Institute of Mathematics and
и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].
Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей матема-
Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].
Danilova Natalia Victorovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of
тики и исследования операций, Институт математики, High Mathematics and Operations Research, Vorovich Insti-
механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича tute of Mathematics and Computer Science of the Southern
Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don,
г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: danilova19 [email protected]. 344090, Russia, e-mail: [email protected].
Рассматривается диффузионная модель (Б^)-рынка, параметры которой изменяются в марковский момент остановки. Приводится способ расчёта справедливой цены для опциона продажи с последействием.
Ключевые слова: винеровский процесс, преобразование Гирсанова, мартингальная мера, опцион, момент остановки, процесс плотности, рынок.
The diffusion (B,S)-market model with stochastic switching ofparameters is considered. The way offair price calculation in case of lookback put option is presented.
Keywords: Wiener process, Girsanov transformation, martingale measure, option, stopping time, density process, market. Классическая модель
модель
Рассмотрим классическую рынка:
Гй^ = {рА + сАЩ) = Б^А '
Параметры модели: р - снос; ст(> 0) - вола-тильность; г - процентная ставка. Процессы:
(B,S)-(1)
Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле п = (/,ß) в следующей постановке: min Хп,
(х\ ( & \ Xt =ytSt +ßtBt, d -L =7td -L K Bt J l Bt
t e [0,T],
(- )
te[0,T ]
- стоимость акции
; B )
скии счет
ёт; (Wt)
te[0,T ]
- банков-
te[0,T ]
винеровскии процесс по
исходной мере P . Решение (1) согласно формуле
хт - /т •
В последнем неравенстве /т - абсолютно интегрируемое финансовое обязательство. Выражения для оптимального капитала {Х( )е[ог] и
справедливой цены с имеют вид
Ито [1] имеет вид
ff
St = S0 exP
w
а 2
2 Л A t + aWt
Bt = B0 exp (rt)
Переход к мартингальной мере P*, согласно теореме Гирсанова [1], приводит к уравнениям
т>
Xt = —LE*(fT / Ft), t e [0, T],
Bj.
C = B E (fT XT = fT ■ B
(2)
if
St = S0 exP
2
r--
W
t + aWt
где
W)
te[0,T ]
- ви-
Bt = B0 exp (rt) неровскии процесс по мартингальнои мере P .
В качестве финансового обязательства рассмотрим опцион продажи с последействием [2]
fT = max St - ST .
te[0,T ]
Из (2) следует, что в данном случае справедливая цена C = exp(-rT)E*\ max St I -S0.
Ve[0,T] )
y
2
Приведём формулу для расчёта справедливой цены. Для этого рассмотрим процесс (
t}te[0,T ]
~ * 1 такой, что Wt = Wt +— а
( а2^
t, t е [0,T], и меру
dP = ZTdP*, относительно которой процесс W~ )е[0 тл является винеровским; соответствую-
l,T ]
щая плотность
(,
ZT = exp
1 (а r
— -— \WT--1---I T -
2 I 2 а
1 (a r Л f r - V a2
a 1 2 a) 2
2Л Л
T
1
. Стоимость акции
при этом будет иметь вид St = S0 exp (aWt). Вычислим
E I max S I = SnE
I te[0,T] t ' 0
1
max exp
V Zr te[0,T]
)
(1 (a r Л2 1 (a r
= S0exP --I T+ 4---
21 2 a I a V 2 a
( ((r ал ~
x E expI I---WT + а max W,
11а 2 i 1 te[0,T] t
2
а
r--
2
v 1 )
Поскольку совместная плотность распределения WT и max (W) имеет вид [3]
T ie[0,r Г
P( X У,Т) (2 У "
то справедливая цена
C = S0 exp
(a-l л2 t+1 (a-l
2 v 2 а i a v 2 а
( а2 ^ r--
\
T - rT
-да max(x,0)
J J expl I L - а Ix + ay Ip(x, y, T)dydx - S0.
а 2
Модель с моментом остановки
В работе [4] рассматривалась модель с моментом остановки, в которой Бт(г) =
( (
= exp
2 Л
2
(
т +
2
(T -т)+аХ + aWT
VV I V
BT (т) = B0 exp (r1r + r2 (T - т)),
где т - момент остановки. Определим процесс
(W)
Wt)te[0,T ]
W = W+-
а
2 Л
l —
V * 1 Wt = Wt + — а2
t, t е [0,т],
2
аз. 2
(t -т), t е[т, T]
и меру dP = ZтdP , относительно которой процесс () е[0 является винеровским с плотностью
ZT (т) = exp (я(т)+ b1TVT + b2WT-т), где
b =а -LL b = а-L_ b1 = 0 , b2 = -
2 а1 2 а2
<т) = -1
1 r a1
a1 v2
1 fa2
a2 ^ 2
( ~ - А2
а±-LL
V 2 а1 I
„ у
т -
1)
-2\
r1 --
а
V
т --
а - L
2 а
(T-т)-
2
V
'2 )
l --
а
|(т-т).
Используем процесс
W)
te[0,T ]
для выражения
стоимости акции
St (т) = S0 exp(a1W- + o2Wt-т).
Пусть т е [ö,T), тогда
E I max S I = E — maxI max St, max St
V te[0,T] i ZT vte^^] te[r,T] ^
= E
1
ZT te[0,r]
max St PI max St > max St I +
(
+ E
1
max St
V ZT tе[г,T]
te[0,r] te[r,T]
1 - P| max S > max S I I.
te[0,r] tе[т,T] ) I
Далее рассчитаем ~(т) = P\ max St > max St
V te[0,r] tе[т,T] y
Отметим, что
max St = S0 expI a1 max Wt I,
te[0,r] V те[0,т]
max S = ST expI a7 max I =
te[r,T] t т V 2 те[т,Т] t т 1
= S0 expI a1Wr + a2 max Wt-T
V те[т,Т ]
Плотность распределения max (w-^ ) имеет вид
r -
2
2
l. -
2
2
2
1
2
2
X
2
x
2
X
1
2
r -
rч -
1
2
( ,.2 Л
g(xT = ^~тexp
Тогда
2T
k J
~(r) = Pl max St > max St I =
K te[0,r] te[r,T] 1
= Pl a1 max Wt > a1Wr + a2 max Wt-r I =
re[0,r]
' re[r,T]
= Pl a max W >a Wr + а max W I =
K re[0,r] 1 r 2 re[0,T-r] 1
= f P\ a max > a W +a2z g(z,T -r)dz =
0 K re[0,r] p
(
= f f g(z,T-r)
0 -да
Л
f p( x, y,r)dy
a2
x +—2 z
a
2
K a1
dxdz .
Следовательно,
+да+да
~(r)= f f g (z,T -r)
( \
+ да
f p( x, y,r)dy
a2
x+—2 z
a
dxdz .
Вычислим ^(r) = E
(
1 с
— max St
K zr te[0,r]
Л
Вычислим B(r) = E
f
1 с
— max St
ZT te[r,T]
Л
E
1
max
K ZT te[r,T]
= S0 exp(- a(r))Ex
: ^exp^(- b1 + a1 )Wr - Ъ2^г-r +
2rr T-r+a2 max Wt II = te[0,T-r] J J
I +да +да +да
= S0 exp(- a(r))-l= f f f exp((- b1 + a1)z - b2x + a2y)x
V 2ЯТ -да-да max(x,0)
: exp
2r
K J
= S0exp
p(x, y, T - r)dydxdz = 2 Л
K
+да +да
/ч r(- b +a,)
- a(r)+ ——1-—
V 7 2
j
x f fexp(- b2x + ay)p(x, y,T-r)dydx■
-да max(x,0)
Следовательно,
B(r) = S0 expi- a(т)+r_b+a!
K
j
+да +да
x f f exp(- b2x + a2y)p(x, y, T -r)dydx .
-да max(x,0)
В результате справедливая цена
— max St
ZT te[0,r]
= S0 exp(- a(r))E expl -bjWr -b2WT +aj max W~t
K K te[0,r]
=S0exp(- a(T))^h)
+да +да +да ^ ^2 ^
x f f f exp(- bxx - b2z + axy)exp
-да -да max (x,0) K
2(T-r)j'
Г (T-r)b?^
с p(x, y, r)dydxdz = S0 exp - a(r) +
+да +да
x f fexp(- bYx + ay)p(x, y,r)dydx.
ф,0)
Следовательно, ^(r) = S0 exp - a(r)+
(T-r)b:
2^ 2
+да +да
x f f exp(- bxx + a:y)p(x, y,r)dydx .
-да max(x,0)
C(r) = exp(- rr - Г2 (T - r)Mr)~(r )+B(r)(1 - ~(r)))- S0 . Пусть r > T, тогда C(T ) = S0 exp(- a(T)-r^T) x
+да +да
x f f exp(- bxx + a:y)p(x, y, T)dydx - S0 .
-да max(x,0)
Справедливая цена
T l +да Л
C = f C(x)dF (x) + C(t ) 1 -f dF(x) I, где F (x) -
функция распределения момента остановки х .
Пример. Пусть х = М-{/ е [0,Т]: ^ = м) . Тогда плотность распределения момента остановки имеет вид [4]
d (a, b, x) = J—e
b 40Тъ 1 l 1 ( b' —„"ab-expl —l ax + -
2^
„3/2
x
2 K x,
•Ja = —
a
a2 )s = _Linf
a
r1--
Jj_
2
K J
K S0 J
Начальные данные: S0 = 6; ir1 = 0,1; a2 = 0,05 ; ^ = 0,2; r2 = 0,15; T = 1; ß0 = 1.
X
X
0 -да
x
0
x
2
X
2
Результаты расчета приведены в таблице.
Зависимость справедливой цены С от величины барьера М
М С
6,5 0,055148751
7 0,072395027
7,5 0,099414291
8 0,124062495
8,5 0,138959115
9 0,145469353
10 0,148264602
10,5 0,148429649
11 0,148434428
11,5 0,148435178
Как видно из таблицы, при увеличении величины барьера значение справедливой цены сходится к значению 0,148, соответствующему ситуации, когда параметры модели не изменяются.
Литература
1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1 : Факты, модели. 512 с.; Т. 2 : Теория. М., 1998. 544 с.
2. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчёт производных ценных бумаг. М., 1997. 120 с.
3. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М., 1968. 390 с.
4. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Диффузионные модели со случайным переключением параметров: расчёты и финансовые приложения. LAP, 2012. 132 с.
References
1. Shiriaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki [Essentials of Stochastic Finance]. T. 1: Fakty, modeli. 512 s.; T. 2: Teoriia. M., 1998. 544 s.
2. Mel'nikov A. V. Finansovye rynki: stokhasticheskii analiz i raschet proizvodnykh tsennykh bumag [Financial markets: stochastic analysis and calculation of derivative securities]. M., 1997. 120 s.
3. Ito K., Makkin G. Diffuzionnye protsessy i ikh traektorii [Diffusion processes and their trajectories]. M., 1968. 390 s.
4. Beliavskii G.I., Danilova N.V. Diffuzionnye modeli so sluchainym perekliucheniem parametrov: raschety i finansovye prilozheniia [Diffusion models with random switching parameters: calculations and financial applications]. LAP, 2012. 132 s.
Поступила в редакцию_23 октября 2014 г.
