Научная статья на тему 'Расчёт справедливой цены Европейского опциона продажи с последействием для диффузионной модели (b,s)-рынка со случайным переключением параметров'

Расчёт справедливой цены Европейского опциона продажи с последействием для диффузионной модели (b,s)-рынка со случайным переключением параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
79
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС / WIENER PROCESS / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИРСАНОВА / GIRSANOV TRANSFORMATION / МАРТИНГАЛЬНАЯ МЕРА / MARTINGALE MEASURE / ОПЦИОН / OPTION / МОМЕНТ ОСТАНОВКИ / STOPPING TIME / ПРОЦЕСС ПЛОТНОСТИ / DENSITY PROCESS / РЫНОК / MARKET

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Белявский Григорий Исаакович, Данилова Наталья Викторовна

Рассматривается диффузионная модель (B,S)-рынка, параметры которой изменяются в марковский момент остановки. Приводится способ расчёта справедливой цены для опциона продажи с последействием.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Белявский Григорий Исаакович, Данилова Наталья Викторовна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The Fair Price Determining for European Lookback Put Option in the Case of (B,S)-Market Diffusion Model with Stochastic Switching of Parameters

The diffusion (B,S)-market model with stochastic switching of parameters is considered. The way of fair price calculation in case of lookback put option is presented.

Текст научной работы на тему «Расчёт справедливой цены Европейского опциона продажи с последействием для диффузионной модели (b,s)-рынка со случайным переключением параметров»

УДК 519.2

РАСЧЁТ СПРАВЕДЛИВОЙ ЦЕНЫ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА ПРОДАЖИ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ ДЛЯ ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ (В,8)-РЫНКА СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ

© 2014 г. Г.И. Белявский, Н.В. Данилова

Белявский Григорий Исаакович - доктор технических наук, Beliavsky Grigory Isaakovich - Doctor of Technical Science, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и Professor, Head of High Mathematics and Operations Re-исследования операций, Институт математики, механики search Department, Vorovich Institute of Mathematics and

и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: beliavsky@hotmail.com.

Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей матема-

Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: beliavsky@hotmail.com.

Danilova Natalia Victorovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of

тики и исследования операций, Институт математики, High Mathematics and Operations Research, Vorovich Insti-

механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича tute of Mathematics and Computer Science of the Southern

Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don,

г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: danilova19 8686@mail.ru. 344090, Russia, e-mail: danilova198686@mail.ru.

Рассматривается диффузионная модель (Б^)-рынка, параметры которой изменяются в марковский момент остановки. Приводится способ расчёта справедливой цены для опциона продажи с последействием.

Ключевые слова: винеровский процесс, преобразование Гирсанова, мартингальная мера, опцион, момент остановки, процесс плотности, рынок.

The diffusion (B,S)-market model with stochastic switching ofparameters is considered. The way offair price calculation in case of lookback put option is presented.

Keywords: Wiener process, Girsanov transformation, martingale measure, option, stopping time, density process, market. Классическая модель

модель

Рассмотрим классическую рынка:

Гй^ = {рА + сАЩ) = Б^А '

Параметры модели: р - снос; ст(> 0) - вола-тильность; г - процентная ставка. Процессы:

(B,S)-(1)

Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле п = (/,ß) в следующей постановке: min Хп,

(х\ ( & \ Xt =ytSt +ßtBt, d -L =7td -L K Bt J l Bt

t e [0,T],

(- )

te[0,T ]

- стоимость акции

; B )

скии счет

ёт; (Wt)

te[0,T ]

- банков-

te[0,T ]

винеровскии процесс по

исходной мере P . Решение (1) согласно формуле

хт - /т •

В последнем неравенстве /т - абсолютно интегрируемое финансовое обязательство. Выражения для оптимального капитала {Х( )е[ог] и

справедливой цены с имеют вид

Ито [1] имеет вид

ff

St = S0 exP

w

а 2

2 Л A t + aWt

Bt = B0 exp (rt)

Переход к мартингальной мере P*, согласно теореме Гирсанова [1], приводит к уравнениям

т>

Xt = —LE*(fT / Ft), t e [0, T],

Bj.

C = B E (fT XT = fT ■ B

(2)

if

St = S0 exP

2

r--

W

t + aWt

где

W)

te[0,T ]

- ви-

Bt = B0 exp (rt) неровскии процесс по мартингальнои мере P .

В качестве финансового обязательства рассмотрим опцион продажи с последействием [2]

fT = max St - ST .

te[0,T ]

Из (2) следует, что в данном случае справедливая цена C = exp(-rT)E*\ max St I -S0.

Ve[0,T] )

y

2

Приведём формулу для расчёта справедливой цены. Для этого рассмотрим процесс (

t}te[0,T ]

~ * 1 такой, что Wt = Wt +— а

( а2^

t, t е [0,T], и меру

dP = ZTdP*, относительно которой процесс W~ )е[0 тл является винеровским; соответствую-

l,T ]

щая плотность

(,

ZT = exp

1 (а r

— -— \WT--1---I T -

2 I 2 а

1 (a r Л f r - V a2

a 1 2 a) 2

2Л Л

T

1

. Стоимость акции

при этом будет иметь вид St = S0 exp (aWt). Вычислим

E I max S I = SnE

I te[0,T] t ' 0

1

max exp

V Zr te[0,T]

)

(1 (a r Л2 1 (a r

= S0exP --I T+ 4---

21 2 a I a V 2 a

( ((r ал ~

x E expI I---WT + а max W,

11а 2 i 1 te[0,T] t

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

а

r--

2

v 1 )

Поскольку совместная плотность распределения WT и max (W) имеет вид [3]

T ie[0,r Г

P( X У,Т) (2 У "

то справедливая цена

C = S0 exp

(a-l л2 t+1 (a-l

2 v 2 а i a v 2 а

( а2 ^ r--

\

T - rT

-да max(x,0)

J J expl I L - а Ix + ay Ip(x, y, T)dydx - S0.

а 2

Модель с моментом остановки

В работе [4] рассматривалась модель с моментом остановки, в которой Бт(г) =

( (

= exp

2 Л

2

(

т +

2

(T -т)+аХ + aWT

VV I V

BT (т) = B0 exp (r1r + r2 (T - т)),

где т - момент остановки. Определим процесс

(W)

Wt)te[0,T ]

W = W+-

а

2 Л

l —

V * 1 Wt = Wt + — а2

t, t е [0,т],

2

аз. 2

(t -т), t е[т, T]

и меру dP = ZтdP , относительно которой процесс () е[0 является винеровским с плотностью

ZT (т) = exp (я(т)+ b1TVT + b2WT-т), где

b =а -LL b = а-L_ b1 = 0 , b2 = -

2 а1 2 а2

<т) = -1

1 r a1

a1 v2

1 fa2

a2 ^ 2

( ~ - А2

а±-LL

V 2 а1 I

„ у

т -

1)

-2\

r1 --

а

V

т --

а - L

2 а

(T-т)-

2

V

'2 )

l --

а

|(т-т).

Используем процесс

W)

te[0,T ]

для выражения

стоимости акции

St (т) = S0 exp(a1W- + o2Wt-т).

Пусть т е [ö,T), тогда

E I max S I = E — maxI max St, max St

V te[0,T] i ZT vte^^] te[r,T] ^

= E

1

ZT te[0,r]

max St PI max St > max St I +

(

+ E

1

max St

V ZT tе[г,T]

te[0,r] te[r,T]

1 - P| max S > max S I I.

te[0,r] tе[т,T] ) I

Далее рассчитаем ~(т) = P\ max St > max St

V te[0,r] tе[т,T] y

Отметим, что

max St = S0 expI a1 max Wt I,

te[0,r] V те[0,т]

max S = ST expI a7 max I =

te[r,T] t т V 2 те[т,Т] t т 1

= S0 expI a1Wr + a2 max Wt-T

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V те[т,Т ]

Плотность распределения max (w-^ ) имеет вид

r -

2

2

l. -

2

2

2

1

2

2

X

2

x

2

X

1

2

r -

rч -

1

2

( ,.2 Л

g(xT = ^~тexp

Тогда

2T

k J

~(r) = Pl max St > max St I =

K te[0,r] te[r,T] 1

= Pl a1 max Wt > a1Wr + a2 max Wt-r I =

re[0,r]

' re[r,T]

= Pl a max W >a Wr + а max W I =

K re[0,r] 1 r 2 re[0,T-r] 1

= f P\ a max > a W +a2z g(z,T -r)dz =

0 K re[0,r] p

(

= f f g(z,T-r)

0 -да

Л

f p( x, y,r)dy

a2

x +—2 z

a

2

K a1

dxdz .

Следовательно,

+да+да

~(r)= f f g (z,T -r)

( \

+ да

f p( x, y,r)dy

a2

x+—2 z

a

dxdz .

Вычислим ^(r) = E

(

1 с

— max St

K zr te[0,r]

Л

Вычислим B(r) = E

f

1 с

— max St

ZT te[r,T]

Л

E

1

max

K ZT te[r,T]

= S0 exp(- a(r))Ex

: ^exp^(- b1 + a1 )Wr - Ъ2^г-r +

2rr T-r+a2 max Wt II = te[0,T-r] J J

I +да +да +да

= S0 exp(- a(r))-l= f f f exp((- b1 + a1)z - b2x + a2y)x

V 2ЯТ -да-да max(x,0)

: exp

2r

K J

= S0exp

p(x, y, T - r)dydxdz = 2 Л

K

+да +да

/ч r(- b +a,)

- a(r)+ ——1-—

V 7 2

j

x f fexp(- b2x + ay)p(x, y,T-r)dydx■

-да max(x,0)

Следовательно,

B(r) = S0 expi- a(т)+r_b+a!

K

j

+да +да

x f f exp(- b2x + a2y)p(x, y, T -r)dydx .

-да max(x,0)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В результате справедливая цена

— max St

ZT te[0,r]

= S0 exp(- a(r))E expl -bjWr -b2WT +aj max W~t

K K te[0,r]

=S0exp(- a(T))^h)

+да +да +да ^ ^2 ^

x f f f exp(- bxx - b2z + axy)exp

-да -да max (x,0) K

2(T-r)j'

Г (T-r)b?^

с p(x, y, r)dydxdz = S0 exp - a(r) +

+да +да

x f fexp(- bYx + ay)p(x, y,r)dydx.

ф,0)

Следовательно, ^(r) = S0 exp - a(r)+

(T-r)b:

2^ 2

+да +да

x f f exp(- bxx + a:y)p(x, y,r)dydx .

-да max(x,0)

C(r) = exp(- rr - Г2 (T - r)Mr)~(r )+B(r)(1 - ~(r)))- S0 . Пусть r > T, тогда C(T ) = S0 exp(- a(T)-r^T) x

+да +да

x f f exp(- bxx + a:y)p(x, y, T)dydx - S0 .

-да max(x,0)

Справедливая цена

T l +да Л

C = f C(x)dF (x) + C(t ) 1 -f dF(x) I, где F (x) -

функция распределения момента остановки х .

Пример. Пусть х = М-{/ е [0,Т]: ^ = м) . Тогда плотность распределения момента остановки имеет вид [4]

d (a, b, x) = J—e

b 40Тъ 1 l 1 ( b' —„"ab-expl —l ax + -

2^

„3/2

x

2 K x,

•Ja = —

a

a2 )s = _Linf

a

r1--

Jj_

2

K J

K S0 J

Начальные данные: S0 = 6; ir1 = 0,1; a2 = 0,05 ; ^ = 0,2; r2 = 0,15; T = 1; ß0 = 1.

X

X

0 -да

x

0

x

2

X

2

Результаты расчета приведены в таблице.

Зависимость справедливой цены С от величины барьера М

М С

6,5 0,055148751

7 0,072395027

7,5 0,099414291

8 0,124062495

8,5 0,138959115

9 0,145469353

10 0,148264602

10,5 0,148429649

11 0,148434428

11,5 0,148435178

Как видно из таблицы, при увеличении величины барьера значение справедливой цены сходится к значению 0,148, соответствующему ситуации, когда параметры модели не изменяются.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1 : Факты, модели. 512 с.; Т. 2 : Теория. М., 1998. 544 с.

2. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчёт производных ценных бумаг. М., 1997. 120 с.

3. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М., 1968. 390 с.

4. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Диффузионные модели со случайным переключением параметров: расчёты и финансовые приложения. LAP, 2012. 132 с.

References

1. Shiriaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki [Essentials of Stochastic Finance]. T. 1: Fakty, modeli. 512 s.; T. 2: Teoriia. M., 1998. 544 s.

2. Mel'nikov A. V. Finansovye rynki: stokhasticheskii analiz i raschet proizvodnykh tsennykh bumag [Financial markets: stochastic analysis and calculation of derivative securities]. M., 1997. 120 s.

3. Ito K., Makkin G. Diffuzionnye protsessy i ikh traektorii [Diffusion processes and their trajectories]. M., 1968. 390 s.

4. Beliavskii G.I., Danilova N.V. Diffuzionnye modeli so sluchainym perekliucheniem parametrov: raschety i finansovye prilozheniia [Diffusion models with random switching parameters: calculations and financial applications]. LAP, 2012. 132 s.

Поступила в редакцию_23 октября 2014 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.