Научная статья на тему 'Комбинированный метод Монте-Карло для расчета справедливых цен барьерных опционов'

Комбинированный метод Монте-Карло для расчета справедливых цен барьерных опционов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
348
76
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОЦЕСС ЛЕВИ / ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ / МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО / БРОУНОВСКИЙ МОСТ / МОДЕЛЬ СО СКАЧКАМИ / LEVY PROCESS / OPTION PRICING / MONTE CARLO METHOD / BROWNIAN BRIDGE / MODEL WITH JUMPS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Белявский Григорий Исаакович, Гирченко Михаил Александрович

Целью данной работы является нахождение справедливой цены барьерного опциона в рамках модели Леви с бесконечной интенсивностью скачков на основе комбинированного метода, в котором вероятность пересечения барьера кусочно-непрерывной траекторией цены акции вычисляется аналитически путем аппроксимации процесса Леви броуновскими мостами, а математическое ожидание по моментам скачков от функции выплаты барьерного опциона рассчитывается численно методом Монте-Карло. На примере умеренно устойчивого процесса было показано, что данный метод может быть применен к случаю бесконечной вариации путем аппроксимации малых скачков броуновским движением. Особое внимание уделено преимуществам моделей, основанных на процессах Леви, по сравнению с классической моделью Блэка Шоулса. Отмечается, что общее число случайных величин, необходимое для одной симуляции Монте-Карло, может быть сокращено по сравнению с полным моделированием траектории процесса цены из-за отсутствия необходимости полностью воспроизводить траекторию процесса цены акции. Проведены численные эксперименты расчета справедливой цены барьерного опциона в модели под управлением умеренно устойчивого процесса. Исследована и преодолена проблема взаимосвязи ошибки нормальной аппроксимации и интенсивности скачков, влияющей на вычислительные затраты применения метода Монте-Карло.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Белявский Григорий Исаакович, Гирченко Михаил Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE COMBINED MONTE-CARLO METHOD OF CALCULATION THE BARRIER OPTIONS FAIR PRICE

The purpose of this work is to find the fair price of a barrier option under the Levy model with infinite intensity of jumps, by using the combined method, in which the probability of crossing the barrier by piecewise continuous trajectory of the stock price is calculated analytically through approximating the Levy process by Brownian bridges, and the expectation of the barrier option payment function over jump times is calculated numerically by using the Monte Carlo method. It have been shown that in case of the tempered stable process this method can be applied to the case of infinite variation, through approximation of the Brownian motion by small jumps. Special attention is given to the advantages of the models based on Levy processes in contrast with the classical Balck-Sholes model. It is noted that the required total number of random values for the Monte Carlo simulation can be reduced in contrast with the full simulation of the price process trajectory due to the lack of need to completely reproduce the trajectory of the stock price process. Numerical experiments to calculate the fair price of an barrier option in model under tampered stable process were conducted. The problem of the relationship between the normal approximation error and intensity of jumps was studied.

Текст научной работы на тему «Комбинированный метод Монте-Карло для расчета справедливых цен барьерных опционов»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1

УДК 519.2 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-9-13

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РАСЧЕТА СПРАВЕДЛИВЫХ ЦЕН БАРЬЕРНЫХ ОПЦИОНОВ

© 2016 г. Г.И. Белявский, М.А. Гирченко

THE COMBINED MONTE-CARLO METHOD OF CALCULATION THE BARRIER OPTIONS FAIR PRICE

G.I. Beliavsky, M.A. Girchenko

Белявский Григорий Исаакович - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и исследования операций, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: beliavsky@hotmail.com

Гирченко Михаил Александрович - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, аспирант, кафедра высшей математики и исследования операций, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: girchenkomikhail@gmail.com

Grigorii I. Beliavsky - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Doctor of Technical Science, Professor, Head of High Mathematics and Operations Research D e-partment, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: beliavsky@hotmail.com

Mikhail A. Girchenko - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Postgraduate, High Mathematics and Operations Research Department, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: girchenkomikhail@gmail.com

Целью данной работы является нахождение справедливой цены барьерного опциона в рамках модели Леви с бесконечной интенсивностью скачков на основе комбинированного метода, в котором вероятность пересечения барьера кусочно-непрерывной траекторией цены акции вычисляется аналитически путем аппроксимации процесса Леви броуновскими мостами, а математическое ожидание по моментам скачков от функции выплаты барьерного опциона рассчитывается численно методом Монте-Карло. На примере умеренно устойчивого процесса было показано, что данный метод может быть применен к случаю бесконечной вариации путем аппроксимации малых скачков броуновским движением. Особое внимание уделено преимуществам моделей, основанных на процессах Леви, по сравнению с классической моделью Блэка - Шоулса. Отмечается, что общее число случайных величин, необходимое для одной симуляции Монте-Карло, может быть сокращено по сравнению с полным моделированием траектории процесса цены из-за отсутствия необходимости полностью воспроизводить траекторию процесса цены акции. Проведены численные эксперименты расчета справедливой цены барьерного опциона в модели под управлением умеренно устойчивого процесса. Исследована и преодолена проблема взаимосвязи ошибки нормальной аппроксимации и интенсивности скачков, влияющей на вычислительные затраты применения метода Монте-Карло.

Ключевые слова: процесс Леви, ценообразование опционов, метод Монте-Карло, броуновский мост, модель со скачками.

The purpose of this work is to find the fair price of a barrier option under the Levy model with infinite intensity ofjumps, by using the combined method, in which the probability of crossing the barrier by piecewise continuous trajectory of the stock price is calculated analytically through approximating the Levy process by Brownian bridges, and the expectation of the barrier option payment function over jump times is calculated numerically by using the Monte Carlo method. It have been shown that in case of the tempered stable process this method can be applied to the case of infinite variation, through approximation of the Brownian motion by small jumps. Special attention is given to the advantages of the models based on Levy processes in contrast with the classical Balck-Sholes model. It is noted that the required total number of random values for the Monte Carlo simulation can be reduced in contrast with the full simulation of the price process trajectory due to the lack of need to completely reproduce the trajectory of the stock price process. Numerical experiments to calculate the fair price of an barrier option in model under tampered stable process were conducted. The problem of the relationship between the normal approximation error and intensity ofjumps was studied.

Keywords: Levy process, option pricing, Monte Carlo method, Brownian bridge, model with jumps.

Введение

В финансовой математике процессы Леви приобретают все большую популярность, так как они позволяют описывать реальную динамику рынков в

отличие от моделей, основанных только на броуновском движении [1, 2]. Анализ финансовых рынков показывает, что траектории процесса цены активов не являются непрерывными, а имеют скачки. Эмпирические исследования указывают на

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

асимметрию и толстые хвосты в распределении лог-доходностей активов, что противоречит предположению об их нормальном распределении [3, 4]. Модели под управлением процесса Леви лишены данных недостатков.

На данный момент существуют вычислительные методы, позволяющие разрешать интегро-дифференциальные уравнения, связанные с барьерными опционами в моделях Леви (методы сеток [5], факторизации Винера - Хопфа [6], с использованием преобразования Лапласа [6]).

Целью данной работы является нахождение справедливой цены барьерного опциона в рамках модели Леви на основе комбинированного метода, в котором аналитические вычисления сочетаются с методом Монте-Карло [7].

Аналитическая часть метода справедлива для процесса типа jump-diffusion (конечная мера Леви), но на примере умеренно устойчивого процесса показано, что данный метод может быть применен также и к случаю бесконечной меры Леви путем аппроксимации малых скачков с бесконечной интенсивностью броуновским движением.

Основное достоинство данного комбинированного метода состоит в отсутствии необходимости полностью воспроизводить траекторию процесса цены акции. Достаточно генерировать моменты скачков и для каждого из них - две случайные величины. Таким образом, общее число случайных величин для одной симуляции в Монте-Карло может быть сокращено по сравнению с воспроизведением всей траектории процесса цены.

Аппроксимация чисто скачкообразного процесса Леви с бесконечной мерой Леви

Пусть случайный адаптированный процесс Xt, t > 0, определённый на стохастическом базисе (Q. (Ft)t>=0 F, P) со значениями в R, и X0 = 0 является процессом Леви.

Поведение процесса Леви может быть описано с помощью символа Леви, для которого существует представление Леви — Хинчина:

ст2

^(u) = imu —— u 2 + (ella — 1 — iuxI^ (x))v(dx) ,

где a > 0, m e R, I - функция-индикатор; v(dx) — a-конечная мера Леви, удовлетворяющая свойству ¿\{o}mm(1, x2}Kdx) <(X>■ В случае конечной меры Леви она может быть нормализована

(ju(dx) =

v(dx) Я

Исследуем задачу аппроксимации процесса с бесконечной степенью активности скачков. Рассмотрим интегральную часть символа Леви

у(и) = (е1их -1 - па1 | х| <! (х))у(аХ) относительно меры Леви умеренно устойчивого процесса. Для этой меры символ Леви будет иметь вид

„ х х

у(и) = Й+ \ (егих -1 - Шх1 | х I <1 (х)) -г— дх + 0 х

0

+ С- | (У™ -1 - гих1|х|<1(х)) - 1+а .

-х I х I

Зафиксируем некоторое положительное число е > 0 и на интервале (0, е) разложим функцию еи в ряд Тейлора до второй степени в каждом из интегралов. После проведения промежуточных выкладок получим приближенное представление для символа Леви

-Я\х

е-Х+x

e U2 ~ 1

y(u) И C+[ J (eiux-1)—:-dx - ium1--ст2] +

x

е-Я-\ x \ |x|

1+a

2

+ C-[ J (elux-1)e ' dx - ium2-—ст2], где V Ix I 1+a 2 2

1 e"V

mi = J——dx, m2 = -J

1 е-Я-x

dx

2-a

e

x

e

' CT v2-a'

Далее

„ 2

y(u) и imu - у ст2 + C+ J D+ (eiux -1) dx +

С

e~X+x

D

+ e D (eiux -1) ^— dx, где

D J I i1 + a

x

+ e

Я-\ x \ 1 + a

,1+a

m = -(C+m1 + C-m2), ст2 = ст2 (C+ + N- ) .

X Яx

Нормализующие константы: D+ = 1/ J dx ,

D_ = 1/ J

e e-^_\x \

^ 1

dx .

Обозначим через А интенсивность наступления С С

скачков: А = --. В результате для символа

Б+ В-

Леви получим

2 ( х

ч . и 2 у(и) и гти ——а + А

-Я x

+ (1 - р) J D- (eiux-1)e

p J D+ (eu-1) ^l+a dx +

ye x

Я+x ^

dx

Я= Jv(dx)) и интерпретирована как

,1+a

распределение размеров скачков.

где p =

С+

D+ A'

e

a

x

oo

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

e

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Для генерации псевдослучайной величины с символом Леви (1) можно воспользоваться методом Неймана.

Ниже представлен график плотности распределения размеров скачков вверх (рис. 1).

- метод Неймана;

— - теоретическая плотность

деления с броуновским движением хорошо изучены [10].

В качестве примера такого вычисления рассмотрим барьерный опцион call типа up & out. Не нарушая общности, положим безрисковую процентную ставку равной нулю, S0 = 1. Проблема оценки такого опциона сводится к вычислению ма-

тематического ожидания C = E[(e T - K)+ lM <ь

Xt

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

Рис. 1. Плотность скачка вверх / Fig. 1. The jump up density

Таким образом, процесс Леви с бесконечной интенсивностью аппроксимирован процессом jumpdiffusion путем замены процесса с бесконечной интенсивностью малых скачков гауссовским процессом. Этот способ аппроксимации довольно популярен в настоящее время [8, 9].

Метод Монте-Карло для барьерных опционов в модели jump-diffusion

Рассмотрим экспоненциальную модель Леви St = S0eX'+rt на конечном интервале, где Xt является процессом jump-diffusion: Xt = mf+aBt+£t на конечном интервале [0, T]. Представим процесс следующим образом: сгенерируем моменты скачков ri и размеры скачков с распределением, заданным мерой Леви. В момент i -го скачка XT = XT + ^ , закон распределения случайной величины £,%i определяется конечной мерой Леви и Xz,- = m(xi-xi-1) + -xi-1 Ni,Ni eN(0,l). Траектория процесса Xt между двумя соседними скачками непрерывна. А именно между двумя моментами времени т и тг+1 процесс Xt является броуновским мостом. Данный факт позволяет вычислить требуемые функционалы между моментами скачков, так как подобного рода совместные законы распре-

],

где Xt, t > 0 - процесс jump-diffusion такой, что eXt -мартингал; Mt = тах{0<^Х^ В работе [4] был предложен комбинированный метод вычисления данного математического ожидания, основанный на конкатенации броуновских мостов. Если какая-либо из генерируемых величин Хть Хт,— окажется больше барьера, то выплата для этой траектории станет равной нулю. В противном случае можно аналитически вычислить вероятность того, что эта траектория пересекла барьер и вернулась обратно между двумя соседними скачками (так как между двумя скачками траектория — броуновский мост). Выплата по такой траектории будет равна выплате по европейскому опциону, умноженной на вероятность пересечения барьера.

В [4] получена формула для вычисления барьерного опциона в модели Леви, однако в ней не учитывается вероятность того, что броуновское движение в момент скачка может пересечь барьер. Ниже представлен исправленный вариант:

C = E[(eX - K) + ПI(x(т,)<ь)л(х(т,-ХЬ)(! " e i=1

2(X ,.--b)( X ,,-,-fe) (Ti -Ti-l)°2

)] •

Алгоритм (метод Монте-Карло для процесса jump-diffusion)

- пока т <T, генерировать моменты скачков;

- генерировать размеры скачков

- генерировать Xт и Xт ;

- вычислить функционал под математическим ожиданием;

- повторить первые четыре пункта необходимое количество раз, чтобы вычислить среднее значение функционала с желаемой точностью.

Используя аппроксимацию малых скачков броуновским движением и алгоритм, можно вычислить барьерные опционы в модели с бесконечной активностью скачков.

Результаты численных экспериментов

После 50 000 итераций метод Монте-Карло дает приемлемую погрешность. Рассмотрим для данного числа симуляций эксперимент, в ходе которого

N

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

будем уменьшать параметр аппроксимации броуновским движением е и подсчитывать вычислительное время работы. Эксперимент был проведен в среде Matlab R2014a с использованием параллельных вычислений (parfor) на процессоре AMD Athlon X4 860K (таблица).

Вычислительное время работы метода Монте-Карло / The computing time of Monte Carlo method

е Х(е) Вычислительное время, с

0,1 0,1306 10,58

0,05 0,4141 14,27

0,01 3,3113 78,48

0,005 7,1751 265,24

0,001 38,8552 5 141,8

\ D - (eiux -1)

Я x|

-dx стремится к нулю. Не-

С_

трудно заметить, что при уменьшении е растет X, и, как было показано выше, этот факт приводит к значительным вычислительным затратам.

В случае комбинированного метода Монте-Карло число операций, необходимое для моделирования одной траектории процесса, равно 2Х(е),

С С где л(е) = +--.

Б+ Б

На рис. 2 показана зависимость ошибки оценки опциона и интенсивности скачков от параметра аппроксимации е, а также отмечено оптимальное значение для е (выколотая точка).

Из результатов, представленных в таблице, следует, что при достаточно малом параметре аппроксимации е применять исследуемый комбинированный метод нецелесообразно.

Оценка погрешности метода

Рассмотрим оценку погрешности метода Монте-Карло при вычислении математического ожидания от функции с ограниченной производной при аппроксимации малых скачков броуновским движением.

Для процесса Леви X аппроксимация малых скачков броуновским движением имеет вид

Xе = ХЕ+а(т)^.

Достаточным условием сходимости по распределению для данной аппроксимации при е ^ 0 яв-а(т)

ляется выражение

[4], помимо которого

существуют и другие условия сходимости, которые гораздо проще использовать [11].

Важное значение для дальнейшего имеет Теорема [4]. Пусть / - вещественнозначная функция, для которой выполняется неравенство | /Xх) I ^ С для некоторого С. Тогда

| Е[/X + ЯТ )] - Е[/(Хгт + а(тЩ)] |< Ар(т)Са(т) ,

где A <16,5; Rf = tJ^v(x)dx; p(e) =

Jljxi3 v(x)

ст3( e )

dx;

дисперсия

fe „2

вычисляется

по

формуле

УагЯТ = /|Т х2^(х)дх = /ст2( т) .

Если мера Леви задается умеренно устойчивым

- 2-а процессом а(т) = р(т)а(т) = т-, то при е ^ 0

ошибка

аппроксимации

3 -a

процесса

0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005

0

ОД

2 А (е)

VN

0,001 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050

Леви

Рис. 2. Зависимость ошибки метода и интенсивности от е / Fig. 2. Dependence of the method error and intensity of the s

Таким образом, становится возможным выбор надлежащим образом параметра аппроксимации е с целью сокращения вычислительного времени и экономии вычислительных ресурсов.

Заключение

Задача вычисления стоимости барьерного опциона в модели Леви с бесконечной активностью решена при помощи аппроксимации процесса малых скачков с бесконечной интенсивностью вине-ровским процессом и последующим вычислением цены финансового обязательства комбинированным методом Монте-Карло, который основывается на аппроксимации процесса Леви последовательностью броуновских мостов.

В качестве процесса с бесконечной интенсивностью скачков рассмотрен умеренно устойчивый процесс Леви.

е

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Исследована взаимосвязь ошибки аппроксимации и интенсивности скачков, влияющей на вычислительные затраты применения метода Монте-Карло. Предложен способ ее преодоления.

Результаты численных экспериментов позволяют утверждать, что для рассматриваемого класса моделей применяемый метод дает приемлемые результаты после 50 000 симуляций Монте-Карло, что соответствует его теоретической оценке.

Стоит также отметить, что с увеличением барьера цена опциона стремится к стоимости европейского опциона, что выглядит вполне естественным.

Основное достоинство метода состоит в отсутствии необходимости полностью воспроизводить траекторию случайного процесса. Достаточно моделировать моменты скачков и для каждого из них генерировать две случайные величины. Общее число случайных величин для одной симуляции Монте-Карло составляет T/2X, в отличие от полного воспроизведения траектории, для которого общее число случайных величин равно T/N, где T — рассматриваемый временной интервал; X — интенсивность скачков; N — количество точек траектории случайного процесса.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2 : Теория. М., 1998. 544 с.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1 : Факты. Модели. М., 1998. 512 с.

3. Carr P., Geman H., Madan D.B., Yor M. The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation // J. of Business. 2002. № 75. Р. 305—332.

4. ContR., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. L., 2004.

5. Cont R., Voltchkova E. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Levy models // SIAM J. on Numerical Analysis. 2005. Vol. 43, № 4. Р. 1596—1626.

6. Кудрявцев О.Е. Современные численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях. М., 2010. 144 с.

7. Glasserman P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. N.Y., 2004.

8. Crosby J., Saux N., A. Approximating Levy processes with a view to option pricing // International J. of Theoretical and Applied Finance. 2010. № 13. Р. 63—91.

9. Hackmann D., Kuznetsov A. Approximating Levy processes with completely monotone jumps // The Annals of Applied Probability. 2016. Vol. 1, № 26. P. 328-359.

10. Borodin A.N., Salminen P. Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae. Basel, 2002. 685 p.

11. Asmussen S., Rosinski J. Approximations of small jumps of Levy processes with a view towards simulation // J. of Applied Probability. 2001. Vol. 2, № 38. P. 482-493.

References

1. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki. T. 2: Teoriya [Fundamentals of stochastic financial mathematics. Vol. 2. Theory]. Moscow, 1998, 544 p.

2. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki. T. 1 : Fakty. Modeli [Fundamentals of stochastic financial mathematics. Vol. 1. Facts. Models]. Moscow, 1998, 512 p.

3. Carr P., Geman H., Madan D.B., Yor M. The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation. J. of Business. 2002, No. 75, pp. 305-332.

4. Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. London, 2004.

5. Cont R., Voltchkova E. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Levy models. SIAM J. on Numerical Analysis. 2005, vol. 43, No. 4, pp. 1596-1626.

6. Kudryavtsev O.E. Sovremennye chislennye metody resheniya integro-differentsial'nykh uravnenii, voznikayu-shchikh v prilozheniyakh [Modern numerical methods for solving integro-differential equations arising in applications]. Moscow, 2010, 144 p.

7. Glasserman P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York, 2004.

8. Crosby J., Saux N., Mijatovi A. Approximating Levy processes with a view to otion pricing. International J. of Theoretical and Applied Finance. 2010, No. 13, pp. 63-91.

9. Hackmann D., Kuznetsov A. Approximating Levy processes with completely monotone jumps. The Annals of Applied Probability. 2016, vol. 1, No. 26, pp. 328-359.

10. Borodin A.N., Salminen P. Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae. Basel, 2002, 685 p.

11. Asmussen S., Rosinski J. Approximations of small jumps of Levy processes with a view towards simulation. J. of Applied Probability. 2001, vol. 2, No. 38, pp. 482-493.

Поступила в редакцию /Received

6 сентября 2016 г. / September 6, 2016

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.