Алгоритм расчета везарвитражной цены финансового обязательства на основе дискретизации процессов Леви Текст научной статьи по специальности «Математика»

вестно, что / У/ Тогда по Подиновскому оценка 7 = (10, 5, 6), полученная из 7 перестановкой чисел 5, 10, будет признана лучшей, чем 7, т. к. на место более «важного» критерия /1 пришло большее значение (10 вместо 5). Если бы критерии /1 и / были равноценными, то оценки 7, 7 считались бы эквивалентными.

Очевидно, в методе П-упорядочения множества WE, WI оказываются конечными и могут быть практически построены без особых вычислительных проблем.

Недостатком метода П-упорядочения является его недостаточная «мощность». Например, пусть ставится задача сравнения двух векторных оценок W = (7, 9, 6), 7 = (5, 10, 6) при наличии ординальной информации /1 У / Эти оценки, очевидно, несравнимы по Парето. Несравнимы

они и по методу П-упорядочения (никакие перестановки численных значений оценок между /1, / не приводят к их сравнимости по Парето). В то же время легко видеть, что согласно методу ¿-упорядочения для 7 = (6, 9, 6), полученной из 7 с помощью переноса 8 = 1 со второй позиции в первую, мы имеем 7 у 7, W у 7 у 7 и, следова-

г

тельно, W у 7 .

С позиций «физического смысла» метод г-упорядочения представляется столь же естественным, что и метод П-упорядочения.

Создан метод, позволяющий на основе ординальной информации пользователя строить процедуры сокращения множества Парето многокритериальной задачи. Для непустого множества задач метод оказывается более эффективным, чем известный метод П-упорядочения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подиновский, В.В. Многокритериальные за- [Текст] / В.В. Подиновский // А и Т. -1976. -№ 11. дачи с упорядоченными по важности критериями -С. 118-127.

УДК 519.2

Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА БЕЗАРБИТРАЖНОИ ЦЕНЫ ФИНАНСОВОГО ОБЯЗАТЕЛЬСТВА НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

ПРОЦЕССОВ ЛЕВИ

Решается задача вычисления условного математического ожидания:

V (г, 5) = Е (/ 5 )/ 5 = 5), (1)

где / - ограниченная функция, интегрирование проводится по мартингальной мере, 5г - экспоненциальный процесс Леви. Заметим, что задача (1) решается при условии, что мера мартингальная. Если исходная мера не является мартингальной, то возникает задача о переходе к эквивалентной мартингальной мере. Для конструирования эквивалентной мартингальной меры рассматриваются преобразования Гирсанова и Эшера [3]. Для приближенного решения данной задачи используется прием, который далее будет называться «Дискретизация по состоянию процесса Леви».

В статье рассматривается вопрос о переходе

к эквивалентной мартингальной мере, если исходная мера не является мартингальной. Задачу вычисления условного математического ожидания можно рассматривать как задачу определения безарбитражной цены хеджирования дисконтированного финансового обязательства /(5т) в момент времени г при условии, что в этот момент времени 5 = 5. При этом процесс 5 - дисконтированная цена рискового актива на финансовом рынке. Для вычисления условного математического ожидания применяются различные вычислительные методы: факторизации Винера-Хопфа, Галеркина, Монте-Карло, преобразования Фурье, мультиномиальных деревьев, конечных элементов, аналитический метод линий; конечно-разностные схемы [2, 4, 6].

Предлагаемый вычислительный алгоритм от-

личается от известных вычислительных способов решения этой задачи тем, что в рассматриваемом методе приближается не столько сам процесс, сколько условное распределение случайной величины Sт.

Дискретизация процесса Леви по состоянию

Будем использовать следующие факты. Согласно формуле Леви-Хинчина [1, 7] характеристическая функция процесса Леви

(

Фt (9) = Eei9Xt = exp it

im9 -

ст2 92

-I-WJ

+ J (ei9x -1 - i9xl{lx<1})v(dx)

(2)

v(Сx) - мера Леви: v({0}) = 0, | (|х|2 л 1)у(Сх) < да.

—да

Кумулянтой называют комплекснозначную функцию:

_2п2 +да

Т(9) = /и9 — — +| (е/9х — 1 — /9х/{|х<ц)v(Сх). (3)

—да

В силу свойств процесса Леви задачу (1) можно рассматривать как задачу вычисления:

V(?, S) = Е/(SeXт—^). (4)

Характеристическая функция Хт< имеет вид Ее19Хт—' = ехр{(Т — ^ )Т(9)}. Рассмотрим

+да

| (е/9х — 1 — /9х/{|х|<1}^(Сх). Представим интеграл

+да

| (е/9х — 1 — /9x1 {]х<1}МСх) =

—да

= | (е/9х — 1 — /9х/{|х<цМСх) +

[—е,е]

+ | (е/9х — 1 — /9х/{|х<1}МСх).

[—в,вГ

Обозначим 11 =| (е/9х — 1 — /9х/{|х|<1}^(Сх).

[-s,s]

Использование формулы Тейлора приводит к приближенному равенству:

I-j

(9x)2

v(dx) = - (CT)2 92.

[-s,sf

[ ] 2 2 Второй интеграл I2 = J (e'9x - l)v(dx) -- i9 J xv(dx).

[-s ,s ]cn[-1,1]

Пусть J xv(dx) = m .

Рассмотрим | (е/9х — 1)v(Сх) = | (е'вх — 1)^ (Сх),

[—6,6 ]с —да

где v6 (Сх) = v(Cx)7|x>6 (х).

Мера v6 (Сх) является конечной, поэтому

да

| (е/9х — 1)v6 (Сх) сходится абсолютно.

—да

Рассмотрим приближенное равенство

да А

| (е/9х — 1)v6 (Сх) и | (е/9х — 1)^ (Сх). Параме-

—да В

тры А, В определяются с помощью оценки

х да

2 (Сх) + (Сх) <у , где у

заданная точ-

ность. Наносим сетку на отрезок [B, A], B = a0 < < a1 <... < a T-t = A . При этом будем использовать элементарные интервалы разной длины и такие,

что X = j vs (dx) = const. Рассмотрим приближен-

;-1

тство:

A NT-t

J (ei9x -1)Vs (dx) (ei9j -1)X,

ное равенство:

A

j=1

где X =

j

x= j Vs (dx).

(5)

Заметим, что выражение в (5) (е'9";—1 — 1)X — кумулянта случайной величины ^—^ ., где ^. — случайная величина, распределенная по закону Пуассона с интенсивностью X(^] е П(X)).

Выберем X, для этого рассмотрим неравенство:

N

J(ei9x -1)Vs (dx) -X (ei9aj-1 -1)X

j=1

<x

j=1

j (ei9x - e'9aj-1)Vs (dx)

При достаточно малой величине разбиения

aj

j J (ei9(-v^ -1)vs (dx)

aj-1

J (i9(x - aj_1))v(dx) -1

v NT

j (ei9x -1)Vs (dx) -x (e'9aj-1 -1)X

= X 9 \aj - ajJ и

j=1

< XX |9| (aj - aj_1) = X|9| (B - A) < y|9|.

[-s, s]c n[-1,1]

Отсюда

j=1

a

a

j-1

Х<-

1

(6)

В - А

Выбрав X , можно определить ак с помощью рекуррентных уравнений:

а = В

у

, | V (йХ) = Х

(7)

Рассмотрим случайную величину Н.

( С\2 {2

с кумулянтой ^ Н (9) = ехр

X (е/9ак-1 -1) X

Л

■9 92(СТ)2 /9ц--+

где ц = т + т

— I 2 —2 ,ст = \/ст +ст , и

характеристической функцией Ф Н (9) = в(т-г Н (9).

Из предыдущих рассуждений следует приближенное равенство

V(г, 5) - Е/(5е -т-').

(8)

Для вычисления математического ожидания в (8) представляем

мт

Нмт- = х (Цк+vk 8к+ак-Лкх

к=1

Ыт-г Ыт-г

где хЦк = (т - г)ц, xV2 = (т - г)(СТ)2,

к=1 к=1 ^к е П((т - ^Х) - независимые случайные величины, 8к е #(0,1) - независимые случайные величины, независимые также от . В част-

(т - г)ц

нт-> ,

ст.

т - г

Введем обозначение кк = цк + vk8к + ак. В результате получим дискретный процесс:

5к = 5к_/к, 50 = 5, к = 1, 2, .., N-г. (9)

Рассмотрим естественную фильтрацию:

=ст{П}, ^ =ст{^, ..., \}. (10)

Относительно фильтрации процесс 5к является адаптированным. Простое вычисление показывает, что условием мартингальности служит равенство:

ц = ^ + Х(т - г)(еак-1 -1),

из которого непосредственно следует, что

(ст)2

ц =

- +

2 к=1

Xx (еак-1 - !)•

(11)

(12)

Нетрудно установить, что равенство (12) является необходимым и достаточным условием мартингальности дискретного процесса 5к . Если условие (12) не выполняется, то возникает необ-

ходимость замены меры на эквивалентную мар-тингальную меру.

Преобразование Гирсанова и Эшера

Заметим, что один из распространенных способов построения мартингальных мер основан на теореме Гирсанова и ее обобщениях. Другим методом является метод, основанный на преобразовании Эшера. Рассмотрим преобразования Эшера и Гирсановадлядискретныхмоделей(9).

Преобразование Гирсанова определяется по следующей схеме. Будем искать процесс плотно-

сти в виде 7к = 7к

л+РА

70 = 1, £ = 1, 2,.., N

Параметры ак, Рк определяются из системы:

\Ере( рк+1) "к = е" [Еревк" = е~ак

(13)

Процесс плотности можно записать, используя и преобразование Эшера:

Л К.

7 = 7

^к к-1

ЕреРк К

(14)

Из второго уравнения системы (13) Еревк = е~а'к . Отсюда следует, что преобразования Гирсанова и Эшера совпадают. Для параметра Рк должно выполняться соотношение

Ере( Рк+1)кк = ЕревК. Характеристическая функция

(

случайной величины кк - Фк (9) = ехр /9 ц -

+ Х(т - г)(е/9ак-1 -1) ^

Отсюда уравнение для параметра Рк имеет

вид

где

эамРк _

Р = --

= РРк+ в,

в=-,

(15)

^ + 2Ц

Х(т - г)(е"к-1 -1) 2Х(т - г)(еак-1 -1)

Поскольку ак-1Р < 0, то решение (15) существует, и при этом - единственное.

Алгоритм решения задачи

После дискретизации задача (4) трансформируется в задачу вычисления Е(7мТ_,/(БмТ_,)). Если исходная мера мартингальная, то процесс плотности 7 = 1 . Предлагаемый вычислительный алгоритм основан на динамическом программировании или телескопическом свойстве математического ожидания.

а

1-1

ности, если положить \хк=тт ,ук =стт , то

тт -, =

2

V

к

2

Рассмотрим последовательность

(

W (S) = Ер

Z+W+1(sk+1)

Fi

Epeek+ihk+i

■Ep (eek+lhk+W+l(Skehk+1)/ Fk),

WNIt (SNlt) = f (SNl,).

Отсюда

от ^

Wk (Sk) = Qk Z i exP(ßk+i К+i + vk+i*+aky))>

y=o l -от

(Wk+1 (Sk exP(^k+1 + vk+1X + aky))e 2 dx

Xy (T -1)y

x (16)

y!

где

Qk =

exp

ßk+Л+1 + kr1 ß2+1 +X(T -1 )e

ak Pk+1

-v/2n

В результате безарбитражная текущая цена финансового обязательства

V(t, ^ = (S) (17)

может быть вычислена с использованием рекуррентных формул (16).

В статье предложен алгоритм вычисления безарбитражной текущей цены финансового обязательства, использующий идею замены процесса Леви дискретным процессом с применением процедуры дискретизации процесса Леви по состоянию. В результате получен рекуррентный алгоритм, в котором на каждом шаге математическое ожидание вычисляется по пуассоновским и нормальным случайным величинам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bertoin, J. Levy Processes [Текст]/ J. Bertoin. -Cambridge University Press: Cambridge, 1996.

2. Carr, P. Option valuation using the fast Fourier transform [Text] / P. Carr, D. Madan // J. Comput. Finance. -1998. -Vol. 2. -P. 61-73.

3. Jacod, J. Limit Theorems for Stochastic Processes [Text] / J. Jacod, A.N. Shiryaev. -Berlin: Springer, 2002.

4. Zhu, J. Modular Pricing of Options: An Application of Fourier Analysis [Text] / J. Zhu. -Berlin: Springer, 2000.

5. Галиц, Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском [Текст] / Л. Галиц. -М.: ТВП, 1998.

6. Кудрявцев, О.Е. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви [Текст] / О.Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2010. -Т. 17. -Вып. 2. -С. 210-220.

7. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики: Т. 1. Факты. Модели [Текст] / А.Н. Ширяев. -М.: ФАЗИС, 1998.

1

1

УДК 530.14

В.Д. Мазин

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОМ ВЕЛИЧИНЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Пути развития теоретической метрологии, указанные в [1], среди которых особо следует отметить построение и обоснование математических моделей, не утратили сегодня актуальность.

Среди подходов к основополагающим категориям измерений особое место занимает геометрический. В «Математической энциклопедии» [2] следующим образом охарактеризована роль геометрии: «Развитие геометрии, ее приложения,

развитие геометрического восприятия абстрактных объектов в различных областях математики и естествознания свидетельствуют о важности геометрии как одного из самых глубоких и плодотворных по идеям и методам средств познания действительности». В [3] подчеркивается огромное эвристическое значение геометрического представления понятий анализа и отмечается, что геометрия «становится все более и более важной