Об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ОБ УДАРЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ШТАМПА В УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ

© 2011 г. В.Б. Зеленцов

Ростовский военный институт ракетных войск, пр. М. Нагибина, 24/50, г. Ростов-на-Дону, 344038, raurostov@aaanet. ги

Rostov Military Institute of Rocket Forces, M. Nagibin Ave, 24/50, Rostov-on-Don, 344038, raurostov@aaanet. ru

Задача сводится к совместному решению численно-аналитически двумерного интегрального уравнения и интегро-дифференциального уравнения движения штампа. Применяется метод ломанной с помощью аппроксимации заранее неизвестной полуширины области контакта ломаной линией. В частном случае, когда скорость полуширины области контакта меньше скорости волны Релея, решение задачи строится по упрощенной схеме с помощью аппроксимации полуширины области контакта ступенчатой линией.

Ключевые слова: нестационарная, контактная задача, параболический штамп, метод ломанной, ступенчатая линия.

The problem is reduced to the joint decision of the two-dimensional integrated equation and the integral-differential equation of movement of a stamp. The problem decision to be under construction numerically analytically by means of approximation of in advance unknown semiwidth of area of contact by a broken line. In that specific case, when speed of semiwidth of area of contact is less than speed of a wave ofReley, the problem decision is under construction under the simplified scheme by means of approximation of semiwidth of area of contact by a step line.

Keywords: nonstationary, a contact problem, parabolic stamp, method of broken, step-like line.

Интегральное уравнение задачи

Нестационарная динамическая контактная задача об ударе параболического штампа массы т с начальной скоростью у0 и формой основания у = -вх2 (в > 0) в покоящуюся упругую полуплоскость (- ж < х < ж, у > 0) сводится к совместному решению 2-мерного интегрального уравнения (ИУ) [1] Цр(^,т)к— х,/ -т)с1£с1т = 2я■/л¿(x,/) , х,/ еП, (1) О

1 ¡ж ж

к (и, V) =— | г^йр | К(а, р)в'а"с1а ,

—1Ж —ж

2 2 —1 К (а, р) = (о"1 (а, р) -а )^(а, р)Я (а, р), (2)

2 2 2

Я(а,р) = (о!(а,р) + а ) -4а а1(а,р)а2(а,р),(3)

s(x,t) = s(t) -Ox2

(4)

¡222 12 2 2 а-! (а, р) = д|а + р /е2 , 02(а,р) = у/а + р /е^ ,

о1 = ^р/{1 +2/), с2 =4р/л , П: {хе[-а(/%а(/)],/е [0,/*]} и интегро-дифференциального уравнения (ИДУ) движения штампа на упругой среде

тё(1) = -Р(/), е(/о) = 0, ¿(/о) = V), (5)

a(t)

P(t) = J p(x, t, e(t),è (t), a(t)) dx,

- a(t )

(6)

его скорость; заранее неизвестная полуширина области контакта а(/) - знакоположительная функция времени / > 0. В (1)-(6) 1, / - коэффициенты Ляме; р -плотность полуплоскости; и С2 - скорости продольной и поперечной упругих волн в полуплоскости; /* - время отрыва штампа от упругой среды.

Решение ИУ (1) совместно с ИДУ (5)-(6) методом ломаной [1] в области П: {х е [-а(/), а(/)], t е [0,/*]} -искомые контактные напряжения р(х, /). В символьной форме р( х, /) записывается в виде [1]

Р(х,/) = рц(х,/,£и(/),еи(/),ап(/)) х,/ еП, (7)

п _ _

¿п (/) = Те к (/ )Н (/ - /к-1) , £к (/) = ¿к-1 + Ек (/ - {к-1) -к=1

линеиная интерполяция

Sit )

на

[tk-1, tk ] :

k = 0,1,2.....n -1 ;

в которых подлежат определению: р( х, /) - распределение контактных напряжений в области контакта; Р(/) - сила контактного воздействия штампа на упругую среду; е(/) - смещение центра масс штампа; ¿(/) -

Ек = Аек / Atk, Аек =ек -ек -, Atk = tk - tk -i, причем в к определяется из решения ИДУ (5), (6) по схеме в к =Вк-1 +Авк _i, в к = в к _i +ABk _i к = 1,2,..., n , где Авк = hg (tk, в к ,Sk, ak); ASk = hz (tk ,Sk Sk, %),

z(a,b,c,d) = -m_iP(a,b,c,d) , g(a,b,c,d) = c; P(a,b,c, d) - из (6). Начальные условия: to = 0, во = в(^), во = v0, ao = a(t0). вп = в(^),

n

вn = e(fn ) , an = a(tn) ; an (t) = Z ^ (t)H(t - tk_i) - лома-

k=1

ная линия, аппроксимирующая a(t) на [to,tn]; ak (t) = ak-i + Vk (t - tk-i) - линейная интерполяция a(t) на [tk-i,tk ] (уравнение хорды ломаной);

Ук = Аак / Мк - тангенс угла наклона хорды к оси t или скорость изменения полуширины области контакта на \!к ¿к_!], ак или Ук находятся на каждом шаге \!к_1, !к ] из дополнительного условия, возникающего в ходе решения задачи, через ек, _1, ак, tk, .

Вид функции (ц( х, !) (7) определяется на 1-м шаге итерационного процесса по координате [1] из ИУ

t ап М

|Ст 1(ц(4,т)к(4 _ х,t _т)С4 = 2п/е(х,Г),

tn_1 _ап (м)

t е \п-Ъ!п], X ^ ап (!) , (8)

и используется при формировании решения задачи.

Решение ИУ (8) на каждом \!п_1,!п ] представляется в виде суперпозиции функций (1 (х, !), (1 (х, !)

(1,1 (х 0 = (1 (ап + х + (\1 (ап _ х _ (д(х ,(9)

являющихся решениями ИУ на координатной полуоси в новых переменных х', ! (х = + х' + ап ($) и t = t' + tn_l) (штрихи опускаются)

t х +

1 ёт 1 ((1 (4, т)к(4 _ х + Уп (! _т), t _т)С4 = 0 0

= 2я/ле(+(ап (!) _ х), 0 , 0 < х <х, (10)

(1 (х,!) из ИУ на всей оси

|Ст 1 (1 (х,т)к(4 _ х,! _т)С4 = 2л/ле(х,!), 0

<х <х , ! > 0 . (11)

Таким образом, механическая информативность решения задачи (7) базируется на качестве аналитического решения ИУ (10), (11).

Решение ИУ на полуоси

Продолжив ИУ (10) на всю действительную ось функцией (+(ап (!) _ х),!), являющейся интегральным оператором ! 0

(х,!) = I ёт 1 (1,1(4, т)к(4 _ х + Уп (! _т),! _т)С4 ,

!п_1 _х

< х < 0, представляющем вертикальные смещения вне области контакта, и применив затем интегральное преобразование Лапласа по !, получим одномерное ИУ Винера-Хопфа [2]. Сделав во внутреннем инте— 1 Г _1 П _1 t

грале замены а = рс2 и 4 = с2Р 4 , х = С2 р х и поделив левую и правую части полученного уравнения на су, получим ИУ в трансформантах Лапласа

(4, p)kL (4- x)d4 =

0 < x < да,

т М- LI С2 | p 2п —е+1 —2x,p ,

2п—vL¡^x,p , c, l p ) C2

-<x>< x < 0,

^±1 (4,p) =\ф\,\(^,т)е pTdr , 0

да

sL (x, p) = J s(±(än (t) - x, t)e~ptdt, 0

"n (

(12)

vL (x, p) = Jv(+(an (t) - x, t)e pt dt,

0

kL (4) = J K (u)elu^du

K (u) =

(1 - luß2) &2(u,1 - luß2)

cvR(u,1 - luß2)

<y2(u, v) =ij u 2 + ß2v2

(13)

(2 2 г 2 2u + v I - 4u &1(u, v)&2 (u, v),

V2 2 1 ^ u + v

ß2<J1-ß

' (2-ßi )-

ßk = ^ , k = 1,2. ck

Функция K(u) не является четной по u, как и K(а, p) (3) по а ; комплекснозначна в комплексной плоскости u = а +17; обладает следующими асимптотическими свойствами:

K(u) = u_1 + \ при u ^да ;

K(u) = K(0) + O(u) при u ^ 0 , K(0) = ß/cv . (14)

В комплексной плоскости u = а +17 K(u) имеет 6 особых точек щ =-iYk, k = 1 + 6, 4 точки ветвления

Г1 =

ß

Г 4 =■

ß1 -1 ß

72 =

1

ß2 - 1

7з =

1

ß2 +1

ß = ~ c1

76 =

7r

ß1 +1 и два полюса Релея

75 =-7^-, 7 Rß2-1

где 7r > 1 -R(u) = (lu2 - 1f - 4u2m1m2 = 0,

(15)

(16)

7Rß2 + 1 корень уравнения Релея

(O1 u2 -1 .

¡2 2

со2 =^и _р . Из (15) и (16) следует, что Ук, к = 6, существенно зависят от Уп, 2-кратный нуль в точке и = является устранимой особой точкой

К (и).

Решение ИУ (12) строится стандартным методом Винера-Хопфа [2-4] и дается формулами

х р) =ж- ± ТМ+(Ыр> е-'^и ,

СуС22^_х+1с К+(и)

0 < x ,

(17)

да

Г

c

c

2

v

0

1 с ж+ю

(х, р) =---2 I g— (и,р)К-(и)е~гихСи ,

2п р —ж+с

—ж< х < 0 , (18)

в которых т— < с <7+ , а функции К± (и) определяются в результате факторизации символа ядра К (и)

К (и) = К+ (и)К_ (и) (19)

и являются регулярными соответственно в верхней (1т(и) >т—) и нижней (1т(и) <т+) полуплоскостях комплексной плоскости и = а + ¡7. Функции g± (и, р) получаются в результате представления

g(u,р) в виде их суммы g(u,р) = е± (и,р)/К— (и) =

ж

= g+ (и,р) + g_(и,р) , е± (и,р) = |е± (х,р)егихСх, и

0

регулярны в верхней и нижней полуплоскостях.

Решение ИУ (11) осуществляется с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье и имеет вид

рж1 (х, /) = л(рс2 )-1 (¿(/) - в(у"с2 (/) + х28(/))),

/ е [/п-1,/п], (20)

у" = К"(0)/К(0), £(/) - дельта-функция Дирака.

Аппроксимация символа ядра и ее факторизация

При точной факторизации (19) символа ядра ИУ (12) функции К± (и) содержат сингулярные квадратуры [2, 5], понижающие эффективность полученного решения и увеличивающие кратность интегралов в решении задачи. Чтобы снять проблему, предлагается аппроксимировать символ ядра (13) ИУ (12) выражением специального вида, удовлетворяющим основным свойствам К (и) (14)-(16), факторизация которого достигается элементарными средствами [6]. В качестве такой аппроксимации берется функция

Kv (u) =

+ ÍUy¡у4 - iu (—У5 + iu)(y6 - iu)

p(MN (iu)),

(21)

N

Mn (a) = S dn S Ln (yk ,a),

n=0 k=1

Ln (a,ß) =

■Ja +y¡a- ß •Ja

\ —2(n+1)

ческих уравнений относительно dn 2 ay dj = bi

N

S

j=0

i = 0,1,2,...,N , a,, = S Lf(jk,iu)u=o , b = [ln(K(u)/l(u))]«,

k=l

I(и) = у]- У1 + у4 - ¡и /(- у5 + ¡и)(у6 - ¡и), где индекс (¡) означает г -ю производную. Выполнение условий (22) гарантирует аппроксимацию К (и) в некотором круге | и |< М (м > 0) комплексной плоскости и =а + гт. В частности, при N = 0 неизвестный параметр с 0 определяется формулой

do = ln

Лк í(? — ß22 F — Wl — ßl2Vl — ß22

(l — vlßl )ß22

Проведение факторизации Kv (u) зависит от расположения ее особых точек в комплексной плоскости, которое существенно зависит от величины Vn . Представляются 4 случая расположения особых точек: в диапазоне Vn > c1 (c1 > c2) все точки K(u) располагаются в нижней полуплоскости комплексной плоскости u = а + ir; в диапазоне С2 < Vn < q точка ветвления -i^i переходит через i< в верхнюю полуплоскость; в диапазоне cR < Vn < С2 еще одна точка ветвления -i у2 таким же образом переходит в верхнюю полуплоскость; в диапазоне Vn < cr полюс Релея -i у5 из нижней полуплоскости через i< переходит в верхнюю полуплоскость. Тогда факторизация Kv (u) в 1-м скоростном диапазоне Д > 1, ¡32 > 1 приводит к тому, что K+ (u) = K(u) , K- (u) = 1.

Во 2-м скоростном диапазоне, когда ¡¡ < 1, ¡2 > 1 ■Jy4 - iu

K+ (u) =-

exp Mn (iu)),

где с п - параметры аппроксимации - комплексные числа в количестве N +1; У1 ^у6 - из (15), (16). Параметры аппроксимации с п определяются различными способами [7], в том числе совпадением разложений К (и) и Кг (и) в ряд Маклорена, что приводит к необходимости выполнения условий

К(т)(0) = Кт)(0) т = 0,1,2,..., N, (22)

сводящихся к решению системы линейных алгебраи-

(-у5 + iuXy6 - iu)

+ N 4

M++ (a) = 2 dn 2 Ln (yk, a),

n=0 k=2

K- (u) = J-y1 + iu exp(mN- (iu)),

- N 1,4

Mn (a) = 2 dn 2 Ln (yk, a),

n=0 k=1

где Ln (a, b) дано в (21).

В 3-м скоростном диапазоне при Д < 1, ¡2 < 1,

T?R¡2 > 1

K+ (u) =

т]У4 — iu

(—У5 + iuÍ76 — iu) N 4

MN (a) = S dn S Ln (yk, a),

n=0 k=3

exp Mn (iu)),

K— (u) = 4—

Mn (iu)),

N

y1 + iu exp MN (a) = 2dn 2Ln (yk, a).

n=0 k=1

В 4-м скоростном диапазоне при Д < 1, ¡2 < 1,

VR¡2 < 1

K+ (u) =

^У4 Ш exp MN (iu)),

— iu

у

N 4

MN (a) = Z dn Z Ln (7k, a),

n=0 k=3

Mn (iu)),

J-r1 + iu

K_ (u) = ———-exp(

-75 + iu

N 2

Mn (a) = Z dn Z Ln (7k, a).

n=0 k=1

Напряжения в области контакта и смещения поверхности вне области контакта

Полученные формулы трансформант Лапласа (р+1 (х, р) (17) и V_ (х, р) (18) в каждом из скоростных диапазонов позволяют с помощью обратного преобразования Лапласа определить аналитический вид решения ИУ (10) и поставленной задачи об ударе (7). Здесь приводятся формулы для вычисления

<р+11(х,!) = (^¿(х,!), дающих решение задачи (9), формулы для вычисления вертикальных смещений свободной поверхности вне области контакта у_ (х,!) и силы контактного воздействия штампа на упругую полуплоскость Р(!).

1. Диапазон Уп > С1 (сверхзвуковой)

(k-1)(k-2)

cp+1(x,t) = —ß-1 Z(-1)k2 2 G+ (x,t) + G0(x,t) ,

k=1

(23)

tn-1 < t < tn , x > 0 ,

G\+ (x,t) = xk-2-

ß

-1 x74

q+ (x, t) =

'iß2

2t2 -(x -ß2t)2

x71 i \

^ J ck (t - c2 x)

-l \q1 (x,r)

dx,

(x - ß2t )2yl 71 x - tyjt-74 x

О0к(х,!) = хк_11к(!) ,

¡1 (!) = С1 (!) _ Г'С2 (!) + (у" + 2у'2 )с3 (!),

¡2(0 = С_1С2(!) _ 2Г'С^1СЪ(!) , ¡з(!) = С_2С3(!) ,

С1 (!) = с_ [(!) _ да?;(!)[ , С2(!) = 2Шп(!), С2(!) = 2дУп , Сз(!) = _вС2(!) , С3(!) = _вСп , С3(!) = 0 , (!) = 0, !п_1 < ! < !п х < 0 .

На крае области контакта при х = _ап (!) согласно (9) контактные напряжения принимают конечные значения.

Записывая в (25) интегралы в виде

Gl+ (x,t) = -

ß

71

f

J ck

-1 74

xt t--

c2

Л „+

q+ (x)

k

ходимо, чтобы lim p(x, t) = 0, так как в противна (t)

ном случае должен образоваться излом поверхности вне штампа, до которой возмущения еще не дошли. Это приводит к дополнительному условию

(k-1)(k - 2)

Z (-1) k 2

k=1

2 G\+ (0, t) + G°(0, t) +

(24)

+ 00 (2ап (!),!) _ Ох (_ап (!),!) = 0 ,

(х,!) = с_ [(!) _ 0,5ву"С2!2]{, которое является обыкновенным дифференциальным уравнением на ! е\!п_1, !п [ ввиду того, что с^ ) содержит производные от е(!) и ап (!). После интегрирования (24) при ! = !п получим уравнение для определения ап или Уп через известные (ранее определенные) еп

'n-1, an-1,

(k-1)(k - 2) 2

Gi+ (0, tn) +

Z (-1) k 2

k=1

+ G°(0,tn) + G°(2an,tn) -Gда(-an,tn) = 0,

(25)

Gl+ (x,tk) = (t)

7 q+x dr,

VßM 74 xk

ck (tn ) = J ck (x)dx , ß2 = c2 \

G°k(x,t„) = xk~Чк(t„), l(t) = i1(t).

lk (t) = J lk (x)dx, k = 2,3 ,

~1 (tn ) = c-1 [Asn - 0Aan (a„ + a„-1)], G«,(-a„,tn) = c-l[Asn - 0,5fc2Atn(t„ +1^)], c2(t„ ) = 2dAtn (an-1 + 0,5 Aan ), c3(tn ) = -0,5ec2AtI Atn = tn - tn-1, At2 = (At„)2 ,

an (tn ) an

an (tn ) - an-1 ,

^ап = ап _ ап_1 > Деп =еп _ еп_1 .

Заметим, что если решение (1 (х,!) взять в мультипликативной форме [6]

(1,1(х,!) = (а(!) + х^Ур^а(!) _ х,ф(1(х,!)

!п_1 <! < !п , х > 0, то условие обнуления контактных напряжений на границе области контакта | х |= ап (!)

несколько

упрощается

имеет

вид

dx и переходя

(k-т-2)

к пределу в рр+1 (х,!) при х ^ 0, в р_1 (х,!) = (+ (х,!) -при х ^ 2ап (!) и учитывая при этом, что Ск(! _ 2ап(!)с2Ул) = 0 при ! < 2ап(!)С2У4 , получим формулу для вычисления контактных напряжений на крае области контакта. Ввиду непрерывности напряжений на границе области контакта | х |= ап (!) необ-

Е(_1)к 2 2 0\+ (0, !п) + 01(0, !п) = 0, причем

к=1

0к(0, !п) = 0 (к = 2,3) .

Из последнего, а также из (25) следует, что в отличие от [8] (25) является, во-первых, дифференциальным уравнением относительно ап (!), а во-вторых, только при малых !п и Д!п выполняется соотношение 2ва(!п)а(!п) = е(!п) + 0(!п) п = 0,1,2,..., откуда следу-

3

3

ж

3

n

n-1

k

X

t

n-1

2

и

ет, что а(!0 ) в начальный момент неограничена, так как а(!0) = 0.

Сила контактного воздействия штампа Р(!) на \!п_1,!п [ вычисляется по формуле

2ап ) ^

Р(0 = 2Р+(!) _ Рх (!) , Р+ (!) = 1 р!+1(х, !)Сх,

an (t)

Рда (t) = J p\1(x,t)dx,

-an (t)

(26)

где р1+11(х,!) и рх1(х,!) определяются формулами (23) и (20).

Г Р 3

Р + (t) = — () ß

I—— Z q\kck+1(t) + 2ak (t)h0(t) Hßl -1k=1

q+k = J

71 q +

74

q+ (4)

4

2+k

d4 , q+(4) =

242 -(1 -4ß2)

(1 -4ßi )2 7-444 -74

cm(t) = Jcm(x)dx, m = 1,2,3,...,

tn-1

~1 (t) = c- (s(t) - a (t) - c-1 Sn-1 - al-1)), ~2(t) = e[an-\ + an(t)](t - tn-1), c3(t) = -0,5c20(t + tn-1 )(t - tn-1),

~0(t) = -y"c2(t) + (y" + 2y'2 ^(t) + + c^iän (t)(c2 (t) - 2y c (t))+ 4c3 (t a (t) / Ipcl)

Рда (t) =

2—an (t)

ßc2

s(t) -6\ y"c^t +1 ah(t)S(t)

2. Диапазон с2 < Уп < С1 (трансзвуковой)

з

р+1 (х,!) = /Р~Х 2 о1+(х,!), !п_1 < ! < !п , х > 0, (27) к=1

г2+(^<\ ^к_3/2 К+ (0) ^ Ок (х,!) = х -х

t -7 4 "

х J bk(x)

(x c2(t -x))„+f c2(t -x)

ck-1(t -x)k

q2+(x „k-1

r2

dx + G0 (x, t),

G°0(x,t) = xk-1lk(t) ,

h(t) = b1(t) - yb(t) + 0,5(7+ + 27+ h(t),

h (t) = c-% (t))-y+b3 (t), I3 (t) = 2-4-% (t), b1 (t) = c1 (t) - y'c (t) + (y+ + 27-- )c3 (t), b2 (t) = c2 (t) - y'c (t), b3 (t) = c3 (t),

q+2 (x,t) = (y5x -17x -1) ,

4t - 74 x r2+ (u) = exp(- (u))cos y+ (u),

X2 (u) = Z Re[®2+ (u)]p(u - 7k H(yo-1 - u), 71 = да,

°2 (u)H(u - 7k )H(7k-1 - u),

k=2 + 4

y2 (u) = Z Im

k=2

02+ (u) =Ndn Z^(7k,u) , y±= , y±= K±(01 2 n=0 k=2 K± (0У Г± K± (0)

3

^(x,t) = ZG2 (x,t) tn-1 < t < tn, x < 0.

(28)

k=1

g2~ (x, t) = (-x)k-3/2_^ х

жK - (0)

t-Yi-

х J c2 h ix) üb c2(tr2-(

ck-1(t -x)k

-x

dx,

q2

(x, t) = 4- 7\x +1, r2(u) = exp (u))cos y- (u),

bk (t) = J bk (x)dx,

1

Z2 (u) = Z Re k=1 1

y- (u) = Z Im k=1 N 1

a- (u) = Zdn ZLn(-7k,u) .

n=0 k=1

[2 (u)H(u - 7k )H(7k-1 - u) > 70 =да, [2 (u)H(u - 7k )H(7k-1 - u).

Ввиду интегрируемости р(+1(х,!) [9] по области контакта | х |< ап (!) на \!п ,!п_^ коэффициент при

—3 / 2

х в (27) должен быть обнулен, что приводит к дополнительному условию на границе области контакта х = 0 следующего вида:

J b1(x)41 -xdx = 0,

(29)

которое при ! = !п превращается в алгебраическое уравнение 2-й степени относительно неизвестной ап = а(!п) . После его решения получим

1 1 , „

ап =_-ап С2Д!п ±_

± 15 16^1

4 8 32

4 an-1 + - y^n I +12 Sn,

(30)

4

8п =~в Деп ап_1С2Д!п _

_2+ 2у_2\Ъп_1Ып _^+ У^,

что позволяет в явной форме в^гчислить ап через известные еп, еп_1, ап_1, .... При выводе (30) использовалась линейная интерполяция е(!) на \!п_1,!п[ вида е(!) = еп_1 + Еп(! _ !п_1), Еп = Деп /Д!п. Выбор ветви решения в (30) из геометрических соображений требует установления знака «+».

С другой стороны, для сохранения геометрического смысла смещений (28) при х = 0 необходимо ко— 1 / 2

эффициент при х обнулить, что приводит к усло-! Ь (т)

вию 1 } Ст = 0, эквивалентному условию (29).

! , V! _ т

Сила контактного воздействия Р(! ) вычисляется по формуле (26), в которой

0

x

n-1

n-1

2

n-1

ж

x

c

x

t

n-1

P+ (t) =

С2 K+ (0)n 1 S q+b (t) + 2~k (t)B0 (t)

k=1

tn-1 < t < tn .

q+k = i

74

q+ (f)

i+k

r+ (f)df,

_ (75 -f)(76 -f)

q2 (f) =-/g-,

Vf-74

bk (t) = J bk (r)dr k = 1,2,3,..

(31)

^0 (/) = -у+й2 (/) + 0,5(у+" + 2у+2 )з (/) +

+ с—хап (/)(ъ2 (/) - у+Ьз (/))+ 2а2 (/ )Ьз (/) / (зс|). Функция Рж (/) дана в (26).

3. Диапазон ск < ¥п < с2 (сверхрелеевский).

Все формулы этого диапазона совпадают с соответствующими формулами предыдущего, кроме пределов суммирования в Хъ(и), У±(и), ®± (и). В формулах для (и), у+(и), ю+(и) суммирование по к от 3 до 4, у2 = ж, в формулах для (и), у—(и),

®3(и) суммирование по к от 1 до 2, -уз = ж .

4. Диапазон ¥п < сК (дорелеевский).

з

Р+1 (х,/) = /Р~Х ТОр(х,/), /п-1 < / < /п , х > 0, (32) к=1

Gt (x, t) = x

k-3/2 K + (0),

x

t--7 4

c2 и , Nq+(x,c2(t-T)) +fc2(t-т)V 0.

x J bk (т) k-1 2—k Г41 ~— F + Gk(x, f),

n-1

c2 -1(t -t) k

x

q+

(x,t) = 76X ^, r+(u) = exp(- (u))cos (u). >/t - 74 x

v-(x,t) = SG4 (x,t), tn-1 < t < tn, x < 0,

(33)

k=1

Gt (x, t) = (-x)k-1/2 c2

k-1/2 V .p.

nK _ (0)

x

t

X cj2 ~k (t)

tn-1

(x, c2(t -r)) -f c2(t -t)

c2k-1(t -T)k 4

- x

dx +

+ 'q4k (75 )bk (t-7 5 x / c2 ),

q-(x,t) = - 71 ■, r4-(u) = exp(^-(u))cos^-(u),

75x -1

~ t

bk (t) = J bk (r)dr ,

~4-k (u )=(- exp(^5 (u )).

Формулы для ^4 (и), у—(и), ®—(и) в (33) совпадают с соответствующими формулами ^2(и), У—(и), ю—(и), в которых суммирования ведется по к от 1 до

2 -уз = ж.

Ввиду гладкости параболического штампа присутствие корневой особенности в контактных напряжениях на границе при х = 0 противоречит физическо-

—1/ 2

му смыслу [6, 8]. Обнуление коэффициента при х в (32) приводит к ограниченности контактных напряжений при | х |= ап (/) и дополнительному условию

j hT.

П-1^

dr = 0,

(34)

реализация которого при / = /п приводит к решению алгебраического уравнения 2-го порядка относительно ап = а(/п ) , откуда получаем ап в явной форме

an =-1 an-1 -7-c2Atn + U( an-1 + 27-c2Atn] + 2sn (35)

2 7-c'2^n I 1 ^ ^n

8n =0 1Aen - 2y-an-^Atn -

-(y- + 27-2jcltn- 1Atn -2(7- + 27-2)c2At2.

При выводе (35) использовалась линейная интерполяция ¿(/) на [/п,/п—1] и выбор ветви решения.

С другой стороны, для сохранения геометрического смысла контакта необходимо обнулить коэффици-

1 / 2

ент при х [9, 10], что приводит к условию

/ ~ (т)

| . 1 =■ Ст = 0, эквивалентному (34).

/п-1 -\(/ — т)3

Сила контактного воздействия штампа на упругую полуплоскость определяется формулой (34), Р + (/), Рж (/), В0(/) - (31). В них д+к , (#) заменяются на

йк , д+ 6) : д+к = ^Ш1 , д+ (§) = ■1.

у4 е л/^ - у 4

Заметим, что ввиду симметрии задачи найденные в каждом скоростном диапазоне смещения (х, /) х < 0 позволяют записать общую формулу для смещений свободной поверхности в виде у(х, /)=(х+ап (/), / )н (— х—ап (/))+ + у—(х - ап (/), /)Н(х - ап (/)), ап (/) <| х |<ж,

/п-1 < / < /п .

Полученные формулы решения контактной задачи на [/п ,/п-1] трансформируются на весь отрезок времени [/0, /п ], если в них и в (9) ап (/) заменить на ап (/) из (1)-(6). Условия окончания итерационного процесса решения методом ломаной сообщены в [1].

Качественный и численный анализ полученных формул показывает их соответствие ранее полученным результатам [3, 4, 9, 10].

Автор благодарит Д.В. Тарлаковского за ценные замечания.

Формулы для ^°(х, /) совпадают с соответствующими в (27), х+ (и), (и), Сй\ (и) - с соответствующими формулами х+ (и), У + (и), (и), только суммирование в них ведется по к от 3 до 4, у2 = ж

t

n

X

t

n-1

Литература

1. Зеленцов В.Б. Об одном методе решения нестационар-

ных динамических контактных задач теории упругости об ударе // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 6. С. 32-37.

2. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для реше-

ния дифференциальных уравнений в частных производных. М., 1962. 279 с.

3. Зеленцов В.Б. О нестационарных динамических кон-

тактных задачах теории упругости с изменяющейся шириной зоны контакта // ПММ. 2004. Т. 68, вып. 1. С. 119-134.

4. Зеленцов В.Б. Нестационарная динамическая контактная

задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую плуплоскость // Изв. РАМ. МТТ. 2006. № 1. С. 28-46.

5. Флитман Л.М. Динамическая задача о штампе на упругой полуплоскости // ПММ. 1959. Т. 23, № 4. С. 697-705.

6. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклас-

сические смешанные задачи теории упругости. М., 1974. 456 с.

7. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплекс-

ной области. М., 1986. 216 с.

8. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические кон-

тактные задачи с подвижными границами. М., 1995. 352 с.

9. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упруго-

сти. М., 1986. 328 с.

10. Robinson A.R., Thomson Y.C. Transient stresses in an elastic

half space resulting from the friction less indentation of a rigid wedge-shaped die // Z. Angew. Mach. and Mech. 1974. Vol. 54, № 3. P. 139-144.

Поступила в редакцию_17 июня 2010 г.